Série d'exercices : Barycentre - 2nd
Classe:
Seconde
Exercice 1
A et B sont deux points distincts.
1) Justifier qu'il existe un point G barycentre de (A, 2) et (B, 3).
2) Exprimer →AG en fonction de →AB. Placer G.
Exercice 2
Reprendre l'exercice 1 précédent pour G barycentre de (A, 0) et (B, −3).
Exercice 3
G est le barycentre de (A; 13) et (B; −56). G′ est le barycentre de (A, 2) et (B, −5).
Comparer G et G′.
Exercice 4
Sur une droite, on donne trois points A, B et G tels que →GA=−25→GB
Trouver des réels a et b tels que G soit le barycentre du système {(A, a); (B; b)}
Exercice 5 Construction de barycentres
Soient A et B deux points distincts et G le barycentre de (A, 3) et (B, 2).
1) La méthode du parallélogramme
Soit M un point n'appartenant pas à (AB). Construire les points A1, B1 et S tels que : →MA1=3→MA;→MB1=2→MBet→MS=→MA1+→MB1
Montrer alors que les droites (MS) et (AB) sont sécantes en G.
2) La méthode des parallèles
Soit →u un vecteur non colinéaire à →MA. Construire les points A′ et B′ tels que : →AA′=2→u et →BB′=−3→u
(on permute les coefficients en changeant le signe de l'un).
Montrer que les droites (A′B′) et (AB) sont sécantes en G.
Exercice 6
Soient A et B deux points distincts.
Dans chacun des cas suivants, déterminer deux réels α et β tel que G soit le barycentre du système (A; α), (B; β)
a) →AG=2→GB
b) →AB+→GB=3→GA
c) 3→AB+→GA=→0
Exercice 7
Dans chacun des cas suivants, trouver des réels α et β tels que A soit barycentre de {(B; α) (C; β)}
1) →AB−2→CA=→0
2) →BA=3→AC
3) 2→BC+→AC=→0
4) →AB+→AC+→BC=2→BA
Exercice 8
Soit ABCD un parallélogramme, I milieu de [AC] et G défini par : →AG=13→AB
1) Déterminer α et β pour que G soit barycentre de (A; α), (B; β)
2) Donner les coordonnées de A, B, C, D, I, et G dans le repère (A; →AC, →AD)
3) Donner les coordonnées de A, B, C, D, I, et G dans le repère (B; →BD, →BC)
4) Donner les coordonnées de A, B, C, D, I, et G dans le repère (A; →AB, →AD)
Exercice 9
On donne deux points A et B tels que AB=10
Soit C barycentre de {(A; 2), (B; 3)} et D barycentre de {(A; 3), (B; 2)}
1) Construire C et D.
2) Démontrer que [AB] et [CD] ont même milieu noté E.
3) Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que ||2→MA+3→MB||=10
4) Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que ||2→MA+3→MB||=||3→MA+2→MB||
Exercice 10
ABCD est un parallélogramme de centre O.
1) Définir vectoriellement et placer les points I, J, K et L définis par :
I est le barycentre de (A, 5) et (B, −2)
J le barycentre de (B, 1) et (C, −2)
K le barycentre de (C, −5) et (D, 2) et L est le barycentre de (D, −1) et (A, 2).
2) Démontrer que IJKL est un parallélogramme de centre O.
Exercice 11
Soit ABC un triangle, A′ le barycentre des points pondérés (B, −1) et (C, 2)
B′ le barycentre de (A, 3) et (C, 2) et C′ le barycentre de (A, 3) et (B, −1).
1) Placer A′, B′ et C′.
2) Soit G le barycentre de (A, 3) (B, −1) et (C, 2).
Montrer que : 3→GA+→GA′=→0.
En déduire que G est un point de (AA′).
3) Montrer que les droites (AA′), (BB′) et (CC′) sont concourantes.
Exercice 12
Soit ABC un triangle. Soient I et J les points définis par :
→AI=34→AB et →AJ=23→AC
Les droites (BJ) et (CI) se coupent en G. La droite (AG) coupe (BC) en K.
1) Faire une figure.
2) Trouver les réels a, b et c tels que I soit le barycentre de {(A, a) (B, b)} et J le barycentre du système {(A, a) (C, c)}.
3) Montrer que le barycentre du système {(A, a); (B, b); (C, c)} est le point G.
En déduire que K est le barycentre de (B, b) et (C, c) et donner la position de K sur la droite (BC)
Exercice 13
Soit ABC un triangle quelconque.
1) Construire :
− le barycentre G de (A, 3) et (B, 3)
− le barycentre E de (B, 3) et (C, 1)
− le barycentre F de (A, 3) et (C, 1)
2) Soit I le barycentre de (A, 3), (B, 3) et (C, 1). Démontrer que :
− les points A, I et E sont alignés.
− les points B, I et F sont alignés, ainsi que C, I et G.
Que peut-on en déduire pour les droites (AE), (BF) et (CG) ?
3) Construire le barycentre E′ de (B, 3) et (C, −1).
Exprimer les vecteurs →E′G et →GF en fonction des vecteurs →AB et →AC.
En déduire que E′, F et G sont alignés.
4) Montrer que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.
Soit H le symétrique de A par rapport à B et K le point d'intersection des droites (E′H) et (EF).
Montrer que →E′K=32→E′H
Exercice 14
1) Soit ABC un triangle, construire les points I, J et K définis par :
− I est le barycentre de (A, 2) et (C, 1)
− J est le barycentre de (A, 1) et (B, 2)
− K est le barycentre de (C, 1) et (B, −4).
2) Exprimer B comme barycentre de (K, α) et (C, 1) (α étant un réel à déterminer.)
3) Quel est le barycentre de (A, 2), (K, 3) et (C, 1) ?
4) Déduire du 3) que I, J, K sont alignés. Que représente J pour le segment [IK] ?
5) L étant le milieu de [CI] et E celui de [KC], démontrer que IJEL est un parallélogramme dont le centre G est l'isobarycentre de A, B et C.
Exercice 15
Soit ABC un triangle . On effectue les constructions suivantes : on symétrise A par rapport à B, B par rapport à C et C par rapport à A ; on obtient respectivement les points K, I, J (donc un triangle IJK).
1) Faire une figure .
2) Exprimer chacun des points A, B, C comme barycentre des points I, J, K
(indication : pour A par exemple →AJ+→AC=....? puis exprimer →AC en fonction de →AI et →AB; et →AB en fonction de →AK, etc...).
3) On définit les points P, Q, R par :
→KP=13→KJ,→IQ=13→IK,→JR=13→JI
Montrons que les points P, Q, R sont respectivement les points d'intersection des droites (BC) et (KJ), (AC) et (KI), (AB) et (JI).
Exercice 16
Soit ABC un triangle et k un réel non nul. Soient D et E définis par :
→AD=k→AB et →CE=k→CA
1) Faire une figure illustrant ces données pour k=13 , puis pour k=−1.
2) Montrer que D est le barycentre de (A, 1−k) et (B, k) et E le barycentre de
(C, 1−k) et (A, k).
3) En déduire que, pour tout point M du plan, on a :
→MD+→ME=→MA+→MC+k→CB=2(→MB′+k→B′C′) où B′ et C′ sont les milieux respectifs de [AC] et [AB].
4) Montrer que [DE], [AC] et [AB] ont leurs milieux alignés.
Exercice 17
Soient A, B, C trois points distincts ; a, b, c des réels tels que a+b+c≠0.
Soit G le barycentre des points pondérés (A, a), (B, b) et (C, c).
1) Démontrer que les points pondérés (A, 2a+1), (B, 2b−2) et (C, 2c+1) admettent un barycentre qu'on appellera K.
2) a) Donner une relation vectorielle définissant K et en déduire que : a→KA+b→KB+c→KC=→AB+→CB2
b) En déduire que G et K sont confondus si et seulement si B est le milieu du segment [AC].
3) On suppose que A, B et C ne sont pas alignés. Soit E le point vérifiant que ABCE est un parallélogramme.
Démontrer que →GK=→BE2(a+b+c) en utilisant la question 2).
On pose a=c=12 et b=2. Construire les points G et K.
Exercice 18
Soit ABC un triangle équilatéral de côté a=4cm.
Soit D le point défini par : 3→DA−→AB+2→AC=→0
1) Exprimer D comme barycentre de A, B et C affectés de coefficients à préciser.
2) Soit I le milieu de [AC]. Montrer que D est barycentre de B et I affectés de coefficients à préciser. En déduire que D est le symétrique de G par rapport à I (G étant le centre de gravité du triangle ABC)
3) Soit (E) l'ensemble des points M du plan tels que : ||2→MA−→MB+2→MC||=4√3
Déterminer (E).
Vérifier que G appartient à (E) et construire (E).
Exercice 19
1) Construire un triangle ABC tel que AC=12, BA=10 et CB=8 puis placer le barycentre G de (A, 1), (B, 2) et (C, 1).
2) Déterminer et représenter l'ensemble des points M du plan tels que : ||→MA+2→MB+→MC||=AC
3) Soit (E) l'ensemble des points M du plan tels que : ||→MA+2→MB+→MC||=||→BA+→BC||
Montrer que B appartient à (E).
Déterminer et représenter l'ensemble (E).
4) Déterminer et représenter l'ensemble des points M du plan tels que : ||→MA+2→MB+→MC||=||3→MA+→MC||
Exercice 20
On considère trois points A, B, C non alignés affectés des coefficients respectifs 1, 2, et -3.
1) Ces points pondérés ont-ils un barycentre ?
2) Montrer que lorsque M se déplace dans le plan, le vecteur →MA+2→MB−3→MC reste constant.
On note →u ce vecteur constant. Construire le point D tel que :
→AD=→u
3) Construire les barycentres :
A′ de (B, 2) et (C, −3)
B′ de (C, −3) et (A, 1)
C′ de (A, 1) et (B, 2)
Démontrer que →u=−→AA′=−2→BB′=3→CC′
Que peut-on en déduire pour les droites (AA′), (BB′) et (CC′) ?
Exercice 21
Construire dans chacun des cas suivants le barycentre des points A, B, C et D.
a) (A, 1); (B, 1); (C, 2); (D, 4)
b) (A, −1); (B, 2); (C, 3); (D, 2)
c) (A, −2); (B, −4); (C, −1); (D, −1)
d) (A, 12); (B, 13); (C, 14); (D, 14)
Exercice 22
On se donne un triangle ABC. Pour tout point M du plan , on pose : →f(M)=2→MA−3→MB+→MC
1) P désignant un point quelconque du plan , prouver que →f(M)=→f(P) (f constante)
2) Construire G1 barycentre (B; −3) et (C; 1). Montrer que →f(M)=2→G1A
3) Construire G2 barycentre (A; 2) et (C; 1). →f(M)=3→BG2
4) On désigne par G3 le barycentre de (B; −3) et (A; 2).
Montre que les droites (AG1), (BG2) et (CG3) sont parallèles.
5) En déduire une construction de G3.
Exercice 23
Soit un triangle ABC rectangle en A et tel que AB=4, AC=6.
1) Placer le point G tel que : →AG=→AB+12→AC
2) Calculer AG.
3) Démontrer que G est le barycentre de A, B, C affectés de coefficients que l'on précisera.
4) Déterminer l'ensemble (Γ) des points M du plan tels que : ||−→MA+2→MB+→MC||=10
5) Montrer que (Γ) passe par C et A.
Exercice 24
Soit ABCD un rectangle. On note I le milieu de [AB], J milieu de [BC] et E le centre de gravité du triangle ABC.
Soient F et G tels que F barycentre de (C; 1), (D; 3) et G barycentre de (E; 3), (D; 3)
1) Construire F.
2) Montrer que G est milieu de [ED]. Construire G.
3) Démontrer que G est le barycentre de (A, 1), (B, 1), (C, 1) et (D, 3)
4) Démontrer que G appartient à la droite (IF).
5) Soit K le point défini par : →AK=34→AD
Montrer que G, K et J sont alignés.
Exercice 25
Soient A, B et C trois points non alignés tels que
AB=6cm, BC=4cm et AC=5cm
Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que :
a) ||→MA+2→MB||=6
b) ||→MA+2→MB||=||→MC+2→MB||
c) ||→MA+2→MB||=||→MC−→MA||
Exercice 26
Soit un triangle ABC tel que AB=6cm, BC=4cm et AC=5cm
1) Construire I et J tels que I soit barycentre de (A; 1), (B; 1), (C; 2) et J barycentre de (A; 2), (B; 3), (C; −1)
2) Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que ||→MA+→MB+2→MC||=||2→MA+3→MB−→MC||
3) Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que ||→MA+→MB+2→MC||=||→MB−→MC||
Exercice 27
Soient A et B deux points distincts ; à tout point M du plan on associe M′ défini par →MM′=→MA+3→MB
1) Quels sont les points A′ et B′ associés respectivement à A et à B ?
2) Démontrer qu'il existe un point G confondu avec son point associé. Construire G.
3) Soit M un point situé sur la droite (AB). Construire M′ et tracer (MM′). Que constate-t-on ?
4) Démontrer cette propriété en utilisant la forme réduite du vecteur →MM′. Indiquer une construction plus simple de M′.
Exercice 28
Soit trois points A, B, C non alignés ; à tout réel m on associe le point Gm s'il existe, barycentre de {(A; 2), (B; 1), (C; m)}
1) Pour quelles valeurs de m existe-t-il un barycentre Gm ?
2) Construire les points G0, G1 et G−1 respectivement associés à 0, 1 et -1.
Que constate-t-on ?
3) Démontrer que lorsque m varie, Gm se déplace sur une droite fixe.
Exercice 29
On considère deux triangles ABC et A′B′C′ et leur centre de gravité respectif G et G′.
1) Démontrer que →AA′+→BB′+→CC′=3→GG′
En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que les deux triangles aient le même centre de gravité.
2) Examiner les cas suivants :
a) A′, B′, C′ sont les milieux respectifs de [BC], [CA], [AB]
b) Un réel k≠1 étant donné, les points A′, B′, C′ sont tels que A′BA′C=B′CB′A=C′AC′B=k
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
mer, 01/30/2019 - 21:26
Permalien
Tres interessant
Anonyme (non vérifié)
jeu, 02/16/2023 - 19:23
Permalien
Correction exo 15
Anonyme (non vérifié)
jeu, 02/16/2023 - 19:23
Permalien
Correction exo 15
Anonyme (non vérifié)
jeu, 06/06/2019 - 12:07
Permalien
S'il vous plaît la solution
Mouhamed dieng fall (non vérifié)
mar, 01/19/2021 - 20:47
Permalien
J'ai absolument besoin de la
Mamadou aminata... (non vérifié)
mer, 06/12/2019 - 17:53
Permalien
C'est assez satisfaisant. Les
Anonyme (non vérifié)
mar, 12/17/2019 - 23:03
Permalien
s'il vous plait la solution
Mouhamadou Rass... (non vérifié)
mar, 03/02/2021 - 08:34
Permalien
Comme vous avez les séries d
Anonyme (non vérifié)
mar, 12/17/2019 - 23:07
Permalien
les exos sont vraiment
Anonyme (non vérifié)
sam, 01/25/2020 - 15:54
Permalien
la solution
Allane (non vérifié)
mer, 05/06/2020 - 13:22
Permalien
Demande de solution
Mouhamed dieng fall (non vérifié)
mar, 01/19/2021 - 21:16
Permalien
J'ai absolument besoin de la
Anonyme (non vérifié)
jeu, 01/13/2022 - 00:11
Permalien
A
waly ndong (non vérifié)
mar, 03/08/2022 - 22:52
Permalien
Vraiment c satisfait
Arfaoui lazhar (non vérifié)
lun, 11/14/2022 - 14:43
Permalien
Satisfait
Arfaoui lazhar (non vérifié)
lun, 11/14/2022 - 14:43
Permalien
Satisfait
Anonyme (non vérifié)
ven, 01/26/2024 - 07:44
Permalien
Série exercice
Ajouter un commentaire