Série d'exercices : Barycentre - 2nd

Classe: 
Seconde

 

Exercice 1

A  et  B sont deux points distincts.
 
1) Justifier qu'il existe un point G barycentre de (A, 2) et (B, 3).
 
2) Exprimer AG en fonction de AB. Placer G.

Exercice 2

Reprendre l'exercice 1 précédent pour G barycentre de (A, 0) et (B, 3).

Exercice 3

G est le barycentre de (A; 13) et (B; 56). G est le barycentre de (A, 2) et (B, 5).
 
Comparer G et G.

Exercice 4

Sur une droite, on donne trois points A, B et G tels que GA=25GB
 
Trouver des réels a et b tels que G soit le barycentre du système {(A, a); (B; b)}

Exercice 5 Construction de barycentres

Soient A et B deux points distincts et G le barycentre de (A, 3) et (B, 2).
 
1) La méthode du parallélogramme
 
Soit M un point n'appartenant pas à (AB). Construire les points A1, B1  et  S tels que : MA1=3MA;MB1=2MBetMS=MA1+MB1
Montrer alors que les droites (MS) et (AB) sont sécantes en G.
 
2) La méthode des parallèles
 
Soit u un vecteur non colinéaire à MA. Construire les points A et B tels que : AA=2u  et  BB=3u
(on permute les coefficients en changeant le signe de l'un).
 
Montrer que les droites (AB) et (AB) sont sécantes en G.

Exercice 6

Soient A et B deux points distincts.
 
Dans chacun des cas suivants, déterminer deux réels α et β tel que G soit le barycentre du système (A; α), (B; β)
 
a) AG=2GB
 
b) AB+GB=3GA
 
c) 3AB+GA=0

Exercice 7

Dans chacun des cas suivants, trouver des réels α  et  β tels que A soit barycentre de {(B; α) (C; β)}
 
1) AB2CA=0
 
2) BA=3AC
 
3) 2BC+AC=0
 
4) AB+AC+BC=2BA

Exercice 8

Soit ABCD un parallélogramme, I milieu de [AC] et G défini par : AG=13AB
 
1) Déterminer α et β pour que G soit barycentre de (A; α), (B; β)
 
2) Donner les coordonnées de A, B, C, D, I,  et G dans le repère (A; AC, AD)
 
3) Donner les coordonnées de A, B, C, D, I,  et G dans le repère (B; BD, BC)
 
4) Donner les coordonnées de A,  B, C, D, I,  et G dans le repère (A; AB, AD)

Exercice 9

On donne deux points A  et  B tels que AB=10
 
Soit C barycentre de {(A; 2), (B; 3)} et D barycentre de {(A; 3), (B; 2)}
 
1) Construire C et D.
 
2) Démontrer que [AB] et [CD] ont même milieu noté E.
 
3) Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que ||2MA+3MB||=10
 
4) Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que ||2MA+3MB||=||3MA+2MB||

Exercice 10

ABCD est un parallélogramme de centre O.
 
1) Définir vectoriellement et placer les points I, J, K et L définis par :
 
I est le barycentre de (A, 5) et (B, 2)
 
J le barycentre de (B, 1) et (C, 2)
 
K le barycentre de (C, 5) et (D, 2) et L est le barycentre de (D, 1) et (A, 2).
 
2) Démontrer que IJKL est un parallélogramme de centre O.

Exercice 11

Soit ABC un triangle, A le barycentre des points pondérés (B, 1) et (C, 2)
 
B le barycentre de (A, 3) et (C, 2) et C le barycentre de (A, 3) et (B, 1).
 
1) Placer A, B et C.
 
2) Soit G le barycentre de (A, 3) (B, 1) et (C, 2). 
 
Montrer que : 3GA+GA=0.
 
En déduire que G est un point de (AA).
 
3) Montrer que les droites (AA), (BB) et (CC) sont concourantes.

Exercice 12

Soit ABC un triangle. Soient I et J les points définis par :
 
AI=34AB et AJ=23AC
 
Les droites (BJ) et (CI) se coupent en G. La droite (AG) coupe (BC) en K.
 
1) Faire une figure.
 
2) Trouver les réels a, b et c tels que I soit le barycentre de {(A, a) (B, b)} et J le barycentre du système {(A, a) (C, c)}.
 
3) Montrer que le barycentre du système {(A, a); (B, b); (C, c)} est le point G.
 
En déduire que K est le barycentre de (B, b) et (C, c) et donner la position de K sur la droite (BC)

Exercice 13

Soit ABC un triangle quelconque.
 
1) Construire :
 
  le barycentre G de (A, 3) et (B, 3)
 
  le barycentre E de (B, 3) et (C, 1)
 
  le barycentre F de (A, 3) et (C, 1)
 
2) Soit I le barycentre de (A, 3), (B, 3) et (C, 1). Démontrer que :
 
  les points A, I et E sont alignés.
 
  les points B, I et F sont alignés, ainsi que C, I et G.
 
Que peut-on en déduire pour les droites (AE), (BF) et (CG) ?
 
3) Construire le barycentre E de (B, 3) et (C, 1).
 
Exprimer les vecteurs EG et GF en fonction des vecteurs AB et AC.
 
En déduire que E, F et G sont alignés.
 
4) Montrer que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.
 
Soit H le symétrique de A par rapport à B et K le point d'intersection des droites (EH) et (EF).
 
Montrer que EK=32EH

Exercice 14

1) Soit ABC un triangle, construire les points I, J et K définis par :
 
 I est le barycentre de (A, 2) et (C, 1)
 
 J est le barycentre de (A, 1) et (B, 2)
 
 K est le barycentre de (C, 1) et (B, 4).
 
2) Exprimer B comme barycentre de (K, α) et (C, 1) (α étant un réel à déterminer.)
 
3) Quel est le barycentre de (A, 2), (K, 3) et (C, 1) ?
 
4) Déduire du 3) que I, J, K sont alignés. Que représente J pour le segment [IK] ?
 
5) L étant le milieu de [CI] et E celui de [KC], démontrer que IJEL est un parallélogramme dont le centre G est l'isobarycentre de A, B et C.

Exercice 15

Soit ABC un triangle . On effectue les constructions suivantes : on symétrise A par rapport à B, B par rapport à C et C par rapport à A ; on obtient respectivement les points K, I, J (donc un triangle IJK).
 
1) Faire une figure .
 
2) Exprimer chacun des points A, B, C comme barycentre des points I, J, K
(indication : pour A par exemple AJ+AC=....? puis exprimer AC en fonction de AI et AB; et AB en fonction de AK, etc...).
 
3) On définit les points P, Q, R par :
KP=13KJ,IQ=13IK,JR=13JI
Montrons que les points P, Q, R sont respectivement les points d'intersection des droites (BC)  et  (KJ), (AC)  et  (KI), (AB)  et  (JI).

Exercice 16

Soit ABC un triangle et k un réel non nul. Soient D et E définis par : 
 
AD=kAB et CE=kCA
 
1) Faire une figure illustrant ces données pour k=13 , puis pour k=1.
 
2) Montrer que D est le barycentre de (A, 1k) et (B, k) et E le barycentre de
(C, 1k) et (A, k).
 
3) En déduire que, pour tout point M du plan, on a :
 
MD+ME=MA+MC+kCB=2(MB+kBC)B et C sont les milieux respectifs de [AC] et [AB].
 
4) Montrer que [DE], [AC] et [AB] ont leurs milieux alignés.

Exercice 17

Soient A, B, C trois points distincts ; a, b, c des réels tels que a+b+c0.
 
Soit G le barycentre des points pondérés (A, a), (B, b) et (C, c).
 
1) Démontrer que les points pondérés (A, 2a+1), (B, 2b2) et (C, 2c+1) admettent un barycentre qu'on appellera K.
 
2) a) Donner une relation vectorielle définissant K et en déduire que : aKA+bKB+cKC=AB+CB2
b) En déduire que G et K sont confondus si et seulement si B est le milieu du segment [AC].
 
3) On suppose que A, B et C ne sont pas alignés. Soit E le point vérifiant que ABCE est un parallélogramme.
 
Démontrer que GK=BE2(a+b+c) en utilisant la question 2).
 
On pose a=c=12 et b=2. Construire les points G et K.

Exercice 18

Soit ABC un triangle équilatéral de côté a=4cm.
 
Soit D le point défini par : 3DAAB+2AC=0
 
1) Exprimer D comme barycentre de A, B et C affectés de coefficients à préciser.
 
2) Soit I le milieu de [AC]. Montrer que D est barycentre de B et I affectés de coefficients à préciser. En déduire que D est le symétrique de G par rapport à I (G étant le centre de gravité du triangle ABC)
 
3) Soit (E) l'ensemble des points M du plan tels que : ||2MAMB+2MC||=43
Déterminer (E).
 
Vérifier que G appartient à (E) et construire (E).

Exercice 19

1) Construire un triangle ABC tel que AC=12, BA=10 et CB=8 puis placer le barycentre G de (A, 1), (B, 2) et (C, 1).
 
2) Déterminer et représenter l'ensemble des points M du plan tels que : ||MA+2MB+MC||=AC
 
3) Soit (E) l'ensemble des points M du plan tels que : ||MA+2MB+MC||=||BA+BC||
Montrer que B appartient à (E).
 
Déterminer et représenter l'ensemble (E).
 
4) Déterminer et représenter l'ensemble des points M du plan tels que : ||MA+2MB+MC||=||3MA+MC||

Exercice 20

On considère trois points A, B, C non alignés affectés des coefficients respectifs 1, 2, et -3.
 
1) Ces points pondérés ont-ils un barycentre ?
 
2) Montrer que lorsque M se déplace dans le plan, le vecteur MA+2MB3MC reste constant.
 
On note u ce vecteur constant. Construire le point D tel que :
AD=u
3) Construire les barycentres :
 
A de (B, 2) et (C, 3)
 
B de (C, 3) et (A, 1)
 
C de (A, 1) et (B, 2)
 
Démontrer que u=AA=2BB=3CC
 
Que peut-on en déduire pour les droites (AA), (BB) et (CC) ?

Exercice 21

Construire dans chacun des cas suivants le barycentre des points A, B, C et D.
 
a) (A, 1); (B, 1); (C, 2); (D, 4)
 
b) (A, 1); (B, 2); (C, 3); (D, 2)
 
c) (A, 2); (B, 4); (C, 1); (D, 1)
 
d) (A, 12); (B, 13); (C, 14); (D, 14)

Exercice 22

On se donne un triangle ABC. Pour tout point M du plan , on pose : f(M)=2MA3MB+MC
 
1) P désignant un point quelconque du plan , prouver que f(M)=f(P) (f constante)
 
2) Construire G1 barycentre (B; 3) et (C; 1). Montrer que f(M)=2G1A
 
3) Construire G2 barycentre (A; 2) et (C; 1). f(M)=3BG2
 
4) On désigne par G3 le barycentre de (B; 3) et (A; 2).
 
Montre que les droites (AG1), (BG2) et (CG3) sont parallèles.
 
5) En déduire une construction de G3.

Exercice 23

Soit un triangle ABC rectangle en A et tel que AB=4, AC=6.
 
1) Placer le point G tel que : AG=AB+12AC
 
2) Calculer AG.
 
3) Démontrer que G est le barycentre de A, B, C affectés de coefficients que l'on précisera.
 
4) Déterminer l'ensemble (Γ) des points M du plan tels que : ||MA+2MB+MC||=10
 
5) Montrer que (Γ) passe par C et A.

Exercice 24

Soit ABCD un rectangle. On note I le milieu de [AB], J milieu de [BC] et E le centre de gravité du triangle ABC.
 
Soient F et G  tels que F barycentre de (C; 1), (D; 3)  et G barycentre de (E; 3), (D; 3)
 
1) Construire F.
 
2) Montrer que G est milieu de [ED]. Construire G.
 
3) Démontrer que G est le barycentre de (A, 1), (B, 1), (C, 1) et (D, 3)
 
4) Démontrer que G appartient à la droite (IF).
 
5) Soit K le point défini par : AK=34AD
 
Montrer que G, K  et J sont alignés.

Exercice 25

Soient A,  B  et C trois points non alignés tels que 
 
AB=6cm, BC=4cm  et AC=5cm
 
Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que :
 
a) ||MA+2MB||=6
 
b) ||MA+2MB||=||MC+2MB||
 
c) ||MA+2MB||=||MCMA||

Exercice 26

Soit un triangle ABC tel que AB=6cm, BC=4cm  et AC=5cm
 
1) Construire I et J tels que I soit barycentre de (A; 1), (B; 1), (C; 2) et J barycentre de (A; 2), (B; 3), (C; 1)
 
2) Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que ||MA+MB+2MC||=||2MA+3MBMC||
 
3) Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que ||MA+MB+2MC||=||MBMC||

Exercice 27

Soient A et B deux points distincts ; à tout point M du plan on associe M défini par MM=MA+3MB
1) Quels sont les points A et B associés respectivement à A et à B ?
 
2) Démontrer qu'il existe un point G confondu avec son point associé. Construire G.
 
3) Soit M un point situé sur la droite (AB). Construire M et tracer (MM). Que constate-t-on ?
 
4) Démontrer cette propriété en utilisant la forme réduite du vecteur MM. Indiquer une construction plus simple de M.

Exercice 28

Soit trois points A, B, C non alignés ; à tout réel m on associe le point Gm s'il existe, barycentre de {(A; 2), (B; 1), (C; m)}
 
1) Pour quelles valeurs de m existe-t-il un barycentre Gm ?
 
2) Construire les points G0, G1 et G1 respectivement associés à 0, 1 et -1.
 
Que constate-t-on ?
 
3) Démontrer que lorsque m varie, Gm se déplace sur une droite fixe.

Exercice 29

On considère deux triangles ABC et ABC et leur centre de gravité respectif G et G.
 
1) Démontrer que AA+BB+CC=3GG
En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que les deux triangles aient le même centre de gravité.
 
2) Examiner les cas suivants :
 
a) A, B, C sont les milieux respectifs de [BC], [CA], [AB]
 
b) Un réel k1 étant donné, les points  A, B, C sont tels que ABAC=BCBA=CACB=k

Correction des exercices

Commentaires

Tres interessant

Correction exo 15

Correction exo 15

S'il vous plaît la solution des exercises sur bary centre niveau seconde et premiere

J'ai absolument besoin de la solution

C'est assez satisfaisant. Les exercices sont complets et très riches

s'il vous plait la solution des exercices niveau 2nd

Comme vous avez les séries d'exercices

les exos sont vraiment satisfaisant mais c la solution qui pourra nous aidé.

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