Série d'exercices : Barycentre - 2nd
Classe:
Seconde
Exercice 1
$A\ $ et $\ B$ sont deux points distincts.
1) Justifier qu'il existe un point $G$ barycentre de $(A\;,\ 2)$ et $(B\;,\ 3).$
2) Exprimer $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}.$ Placer $G.$
Exercice 2
Reprendre l'exercice 1 précédent pour $G$ barycentre de $(A\;,\ -4)$ et $(B\;,\ 7).$
Exercice 3
Reprendre l'exercice 1 précédent pour $G$ barycentre de $(A\;,\ 0)$ et $(B\;,\ -3).$
Exercice 4
$G$ est le barycentre de $\left(A\;;\ \dfrac{1}{3}\right)$ et $\left(B\;;\ -\dfrac{5}{6}\right).\ G'$ est le barycentre de $(A\;,\ 2)$ et $(B\;,\ -5).$
Comparer $G$ et $G'.$
Exercice 5
Sur une droite, on donne trois points $A\;,\ B$ et $G$ tels que $\overrightarrow{GA}=-\dfrac{2}{5}\overrightarrow{GB}$
Trouver des réels $a$ et $b$ tels que $G$ soit le barycentre du système $\{(A\;,\ a)\;;\ (B\;;\ b)\}$
Exercice 6 Construction de barycentres
Soient $A$ et $B$ deux points distincts et $G$ le barycentre de $(A\;,\ 3)$ et $(B\;,\ 2).$
1) La méthode du parallélogramme
Soit $M$ un point n'appartenant pas à $(AB).$ Construire les points $A_{1}\;,\ B_{1}\ $ et $\ S$ tels que : $$\overrightarrow{MA}_{1}=3\overrightarrow{MA}\;;\quad \overrightarrow{MB}_{1}=2\overrightarrow{MB}\quad\text{et}\quad \overrightarrow{MS}=\overrightarrow{MA}_{1}+\overrightarrow{MB}_{1}$$
Montrer alors que les droites $(MS)$ et $(AB)$ sont sécantes en $G.$
2) La méthode des parallèles
Soit $\vec{u}$ un vecteur non colinéaire à $\overrightarrow{MA}.$ Construire les points $A'$ et $B'$ tels que : $$\overrightarrow{AA'}=2\vec{u}\ \text{ et }\ \overrightarrow{BB'}=-3\vec{u}$$
(on permute les coefficients en changeant le signe de l'un).
Montrer que les droites $(A'B')$ et $(AB)$ sont sécantes en $G.$
Exercice 7
Soient $A$ et $B$ deux points distincts.
Dans chacun des cas suivants, déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tel que $G$ soit le barycentre du système $(A\;;\ \alpha)\;,\ (B\;;\ \beta)$
a) $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GB}$
b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GB}=3\overrightarrow{GA}$
c) $3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{0}$
Exercice 8
Dans chacun des cas suivants, trouver des réels $\alpha\ $ et $\ \beta$ tels que $A$ soit barycentre de $\{(B\;;\ \alpha)\ (C\;;\ \beta)\}$
1) $\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{CA}=\vec{0}$
2) $\overrightarrow{BA}=3\overrightarrow{AC}$
3) $2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}=\vec{0}$
4) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BA}$
Exercice 9
Soit $ABCD$ un parallélogramme, $I$ milieu de $[AC]$ et $G$ défini par : $$\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$$
1) Déterminer $\alpha$ et $\beta$ pour que $G$ soit barycentre de $(A\;;\ \alpha)\;,\ (B\;;\ \beta)$
2) Donner les coordonnées de $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ I\;,\ $ et $G$ dans le repère $(A\;;\ \overrightarrow{AC}\;,\ \overrightarrow{AD})$
3) Donner les coordonnées de $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ I\;,\ $ et $G$ dans le repère $(B\;;\ \overrightarrow{BD}\;,\ \overrightarrow{BC})$
4) Donner les coordonnées de $A\;,\ $ $B\;,\ C\;,\ D\;,\ I\;,\ $ et $G$ dans le repère $(A\;;\ \overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD})$
Exercice 10
On donne deux points $A\ $ et $\ B$ tels que $AB=10$
Soit $C$ barycentre de $\{(A\;;\ 2)\;,\ (B\;;\ 3)\}$ et $D$ barycentre de $\{(A\;;\ 3)\;,\ (B\;;\ 2)\}$
1) Construire $C$ et $D$.
2) Démontrer que $[AB]$ et $[CD]$ ont même milieu.
3) Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $$||2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}||=10$$
4) Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $$||2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}||=||3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}||$$
5) Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $$MA^{2}+3MB^{2}=k$$
Exercice 11
Soient $A$ et $B$ deux points tels que $AB=10\;cm.$
1) Construire le barycentre $C$ de $(A\;,\ 2)$ et $(B\;,\ 3)$ et le barycentre $D$ de $(A\;,\ 3)$ et $(B\;,\ 2).$
2) Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que : $$||2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}||=||3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}||$$
Exercice 12
$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O.$
1) Définir vectoriellement et placer les points $I\;,\ J\;,\ K$ et $L$ définis par :
$I$ est le barycentre de $(A\;,\ 5)$ et $(B\;,\ -2)$
$J$ le barycentre de $(B\;,\ 1)$ et $(C\;,\ -2)$
$K$ le barycentre de $(C\;,\ -5)$ et $(D\;,\ 2)$ et $L$ est le barycentre de $(D\;,\ -1)$ et $(A\;,\ 2).$
2) Démontrer que $IJKL$ est un parallélogramme de centre $O.$
Exercice 13
Soit $ABC$ un triangle, $A'$ le barycentre des points pondérés $(B\;,\ -1)$ et $(C\;,\ 2)$
$B'$ le barycentre de $(A\;,\ 3)$ et $(C\;,\ 2)$ et $C'$ le barycentre de $(A\;,\ 3)$ et $(B\;,\ -1).$
1) Placer $A'\;,\ B'$ et $C'.$
2) Soit $G$ le barycentre de $(A\;,\ 3)\ (B\;,\ -1)$ et $(C\;,\ 2).$
Montrer que : $3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA'}=\vec{0}.$
En déduire que $G$ est un point de $(AA').$
3) Montrer que les droites $(AA')\;,\ (BB')$ et $(CC')$ sont concourantes.
Exercice 14
Soit $ABC$ un triangle. Soient $I$ et $J$ les points définis par :
$\overrightarrow{AI}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$
Les droites $(BJ)$ et $(CI)$ se coupent en $G.$ La droite $(AG)$ coupe $(BC)$ en $K.$
1) Faire une figure.
2) Trouver les réels $a\;,\ b$ et $c$ tels que $I$ soit le barycentre de $\{(A\;,\ a)\ (B\;,\ b)\}$ et $J$ le barycentre du système $\{(A\;,\ a)\ (C\;,\ c)\}.$
3) Montrer que le barycentre du système $\{(A\;,\ a)\;;\ (B\;,\ b)\;;\ (C\;,\ c)\}$ est le point $G.$
En déduire que $K$ est le barycentre de $(B\;,\ b)$ et $(C\;,\ c)$ et donner la position de $K$ sur la droite $(BC)$
Exercice 15
Soit $ABC$ un triangle quelconque.
1) Construire :
$-\ $ le barycentre $G$ de $(A\;,\ 3)$ et $(B\;,\ 3)$
$-\ $ le barycentre $E$ de $(B\;,\ 3)$ et $(C\;,\ 1)$
$-\ $ le barycentre $F$ de $(A\;,\ 3)$ et $(C\;,\ 1)$
2) Soit $I$ le barycentre de $(A\;,\ 3)\;,\ (B\;,\ 3)$ et $(C\;,\ 1).$ Démontrer que :
$-\ $ les points $A\;,\ I$ et $E$ sont alignés.
$-\ $ les points $B\;,\ I$ et $F$ sont alignés, ainsi que $C\;,\ I$ et $G.$
Que peut-on en déduire pour les droites $(AE)\;,\ (BF)$ et $(CG)$ ?
3) Construire le barycentre $E'$ de $(B\;,\ 3)$ et $(C\;,\ -1).$
Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{E'G}$ et $\overrightarrow{GF}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}.$
En déduire que $E'\;,\ F$ et $G$ sont alignés.
4) Montrer que les droites $(EF)$ et $(AB)$ sont parallèles.
Soit $H$ le symétrique de $A$ par rapport à $B$ et $K$ le point d'intersection des droites $(E'H)$ et $(EF).$
Montrer que $\overrightarrow{E'K}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{E'H}$
Exercice 16
1) Soit $ABC$ un triangle, construire les points $I\;,\ J$ et $K$ définis par :
$-\ I$ est le barycentre de $(A\;,\ 2)$ et $(C\;,\ 1)$
$-\ J$ est le barycentre de $(A\;,\ 1)$ et $(B\;,\ 2)$
$-\ K$ est le barycentre de $(C\;,\ 1)$ et $(B\;,\ -4).$
2) Exprimer $B$ comme barycentre de $(K\;,\ \alpha)$ et $(C\;,\ 1)$ ($\alpha$ étant un réel à déterminer.)
3) Quel est le barycentre de $(A\;,\ 2)\;,\ (K\;,\ 3)$ et $(C\;,\ 1)$ ?
4) Déduire du 3) que $I\;,\ J\;,\ K$ sont alignés. Que représente $J$ pour le segment $[IK]$ ?
5) $L$ étant le milieu de $[CI]$ et $E$ celui de $[KC]$, démontrer que $IJEL$ est un parallélogramme dont le centre $G$ est l'isobarycentre de $A\;,\ B$ et $C.$
Exercice 17
Soit $ABC$ un triangle . On effectue les constructions suivantes : on symétrise $A$ par rapport à $B\;,\ B$ par rapport à $C$ et $C$ par rapport à $A$ ; on obtient respectivement les points $K\;,\ I\;,\ J$ (donc un triangle $IJK$).
1) Faire une figure .
2) Exprimer chacun des points $A\;,\ B\;,\ C$ comme barycentre des points $I\;,\ J\;,\ K$
(indication : pour $A$ par exemple $\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{AC}=....?$ puis exprimer $\overrightarrow{AC}$ en fonction de $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AB}$; et $\overrightarrow{AB}$ en fonction de $\overrightarrow{AK}$, etc...).
3) On définit les points $P\;,\ Q\;,\ R$ par :
$\overrightarrow{KP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{KJ}\;;\ \overrightarrow{IQ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IK}\;;\ \overrightarrow{JR}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{JI}$
Montrer que les points $P\;,\ Q\;,\ R$ sont respectivement les points d'intersection des droites $(BC)$ et $(KJ)\;,\ (AB)$ et $(JI)\;,\ (AC)$ et $(KI).$
Exercice 18
Soit $ABC$ un triangle et $k$ un réel non nul. Soient $D$ et $E$ définis par :
$\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CE}=k\overrightarrow{CA}$
1) Faire une figure illustrant ces données pour $k=\dfrac{1}{3}$ , puis pour $k=-1.$
2) Montrer que $D$ est le barycentre de $(A\;,\ 1-k)$ et $(B\;,\ k)$ et $E$ le barycentre de
$(C\;,\ 1-k)$ et $(A\;,\ k).$
3) En déduire que, pour tout point $M$ du plan, on a :
$\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}+k\overrightarrow{CB}=2(\overrightarrow{MB'}+k\overrightarrow{B'C'})$ où $B'$ et $C'$ sont les milieux respectifs de $[AC]$ et $[AB].$
4) Montrer que $[DE]\;,\ [AC]$ et $[AB]$ ont leurs milieux alignés.
Exercice 19
Soient $A\;,\ B\;,\ C$ trois points distincts ; $a\;,\ b\;,\ c$ des réels tels que $a+b+c\neq 0.$
Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A\;,\ a)\;,\ (B\;,\ b)$ et $(C\;,\ c).$
1) Démontrer que les points pondérés $(A\;,\ 2a+1)\;,\ (B\;,\ 2b-2)$ et $(C\;,\ 2c+1)$ admettent un barycentre qu'on appellera $K.$
2) a) Donner une relation vectorielle définissant $K$ et en déduire que : $$a\overrightarrow{KA}+b\overrightarrow{KB}+c\overrightarrow{KC}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}}{2}$$
b) En déduire que $G$ et $K$ sont confondus si et seulement si $B$ est le milieu du segment $[AC].$
3) On suppose que $A\;,\ B$ et $C$ ne sont pas alignés. Soit $E$ le point vérifiant que $ABCE$ est un parallélogramme.
Démontrer que $\overrightarrow{GK}=\dfrac{\overrightarrow{BE}}{2(a+b+c)}$ en utilisant la question 2).
On pose $a=c=\dfrac{1}{2}$ et $b=2.$ Construire les points $G$ et $K.$
Exercice 20
Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $a=4\;cm.$
Soit $D$ le point défini par : $3\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\vec{0}$
1) Exprimer $D$ comme barycentre de $A\;,\ B$ et $C$ affectés de coefficients à préciser.
2) Soit $I$ le milieu de $[AC].$ Montrer que $D$ est barycentre de $B$ et $I$ affectés de coefficients à préciser. En déduire que $D$ est le symétrique de $G$ par rapport à $I\ (G$ étant le centre de gravité du triangle $ABC)$
3) Soit $(E)$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que : $$||2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}||=4\sqrt{3}$$
Déterminer $(E).$
Vérifier que $G$ appartient à $(E)$ et construire $(E).$
Exercice 21
1) Construire un triangle $ABC$ tel que $AC=12\;,\ BA=10$ et $CB=8$ puis placer le barycentre $G$ de $(A\;,\ 1)\;,\ (B\;,\ 2)$ et $(C\;,\ 1).$
2) Déterminer et représenter l'ensemble des points $M$ du plan tels que : $$||\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=AC$$
3) Soit $(E)$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que : $$||\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=||\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}||$$
Montrer que $B$ appartient à $(E).$
Déterminer et représenter l'ensemble $(E).$
4) Déterminer et représenter l'ensemble des points $M$ du plan tels que : $$||\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=||3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}||$$
Exercice 22
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=4$ et $AC=6.$
1) Placer le point $G$ tel que $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
2) Démontrer que $G$ est le barycentre de $A\;,\ B$ et $C$ affectés de coefficients que l'on précisera
3) Déterminer et représenter l'ensemble $C$ des points $M$ du plan tels que : $$||\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=10$$
4) Montrer que $(C)$ passe par les points $C$ et $A.$
Exercice 23
On considère trois points $A\;,\ B\;,\ C$ non alignés affectés des coefficients respectifs 1, 2, et -3.
1) Ces points pondérés ont-ils un barycentre ?
2) Montrer que lorsque $M$ se déplace dans le plan, le vecteur $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}$ reste constant.
On note $\vec{u}$ ce vecteur constant. Construire le point $D$ tel que :
$$\overrightarrow{CD}=\vec{u}$$
3) Construire les barycentres :
$A'$ de $(B\;,\ 2)$ et $(C\;,\ -3)$
$B'$ de $(C\;,\ -3)$ et $(A\;,\ 1)$
$C'$ de $(A\;,\ 1)$ et $(B\;,\ 2)$
Démontrer que $\vec{u}=-\overrightarrow{AA'}=-2\overrightarrow{BB'}=3\overrightarrow{CC'}$
Que peut-on en déduire pour les droites $(AA')\;,\ (BB')$ et $(CC')$ ?
Exercice 24
Construire dans chacun des cas suivants le barycentre des points $A\;,\ B\;,\ C$ et $D.$
a) $(A\;,\ 1)\;;\ (B\;,\ 1)\;;\ (C\;,\ 2)\;;\ (D\;,\ 4)$
b) $(A\;,\ -1)\;;\ (B\;,\ 2)\;;\ (C\;,\ 3)\;;\ (D\;,\ 2)$
c) $(A\;,\ -2)\;;\ (B\;,\ -4)\;;\ (C\;,\ -1)\;;\ (D\;,\ -1)$
$\text{d)}\ \left(A\;,\ \dfrac{1}{2}\right)\;;\ \left(B\;,\ \dfrac{1}{3}\right)\;;\ \left(C\;,\ \dfrac{1}{4}\right)\;;\ \left(D\;,\ \dfrac{1}{4}\right)$
Exercice 25
Soit $A$ et $B$ deux points tels que $AB=10.$(L'unité de longueur est le centimètre.)
1) Construire la barycentre $C$ des points pondérés $(A\;,\ 2)$ et $(B\;,\ 3)$
2) Démontrer que $[AB]$ et $[CD]$ ont milieu.
3) Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que :
Exercice 26
On se donne un triangle $ABC.$ Pour tout point $M$ du plan , on pose : $\overrightarrow{f(M)}=2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$
1) $P$ désignant un point quelconque du plan , prouver que $\overrightarrow{f(M)}=\overrightarrow{f(P)}$ ($f$ constante)
2) Construire $G_{1}$ barycentre $(B\;;\ -3)$ et $(C\;;\ 1).$ Montrer que $\overrightarrow{f(M)}=2\overrightarrow{G_{1}A}$
3) Construire $G_{2}$ barycentre $(A\;;\ 2)$ et $(C\;;\ 1).\ \overrightarrow{f(M)}=3\overrightarrow{BG}_{2}$
4) On désigne par $G_{3}$ le barycentre de $(B\;;\ -3)$ et $(A\;;\ 2).$
Montre que les droites $(AG_{1})\;,\ (BG_{2})$ et $(CG_{3})$ sont parallèles.
5) En déduire une construction de $G_{3}.$
Exercice 27
Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ et tel que $AB=4\;,\ AC=6.$
1) Placer le point $G$ tel que : $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
2) Calculer $AG.$
3) Démontrer que $G$ est le barycentre de $A\;,\ B\;,\ C$ affectés de coefficients que l'on précisera.
4) Déterminer l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ du plan tels que : $$||-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=10$$
5) Montrer que $(\Gamma)$ passe par $C$ et $A.$
Exercice 28
Soit $ABCD$ un rectangle. On note $I$ le milieu de $[AB]\;,\ J$ milieu de $[BC]$ et $E$ le centre de gravité du triangle $ABC.$
Soient $F$ et $G\ $ tels que $F$ barycentre de $(C\;;\ 1)\;,\ (D\;;\ 3)\ $ et $G$ barycentre de $(E\;;\ 3)\;,\ (D\;;\ 3)$
1) Construire $F.$
2) Montrer que $G$ est milieu de $[ED].$ Construire $G.$
3) Démontrer que $G$ est le barycentre de $(A\;,\ 1)\;,\ (B\;,\ 1)\;,\ (C\;,\ 1)$ et $(D\;,\ 3)$
4) Démontrer que $G$ appartient à la droite $(IF).$
5) Soit $K$ le point défini par : $\overrightarrow{AK}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}$
Montrer que $G\;,\ K\ $ et $J$ sont alignés.
Exercice 29
Soient $A\;,\ $ $B\ $ et $C$ trois points non alignés tels que
$AB=6\;cm\;,\ BC=4\;cm\ $ et $AC=5\;cm$
Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que :
a) $||\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}||=6$
b) $||\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}||=||\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MB}||$
c) $||\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}||=||\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}||$
Exercice 30
Soit un triangle $ABC$ tel que $AB=6\;cm\;,\ BC=4\;cm\ $ et $AC=5\;cm$
1) Construire $I$ et $J$ tels que $I$ soit barycentre de $(A\;;\ 1)\;,\ (B\;;\ 1)\;,\ (C\;;\ 2)$ et $J$ barycentre de $(A\;;\ 2)\;,\ (B\;;\ 3)\;,\ (C\;;\ -1)$
2) Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $$||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}||=||2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}||$$
3) Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $$||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}||=||\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}||$$
Exercice 31
On donne deux points $A$ et $B$ tels que $AB=10$
Soit $C$ barycentre de $\{(A\;;\ 2)\;,\ (B\;;\ 3)\}$ et $D$ barycentre de $\{(A\;;\ 3)\;,\ (B\;;\ 2)\}$
1) Construire $C$ et $D$.
2) Démontrer que $[AB]$ et $[CD]$ ont même milieu.
3) Déterminer et construire l'ensemble des points $M$ tels que $$||2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}||=||3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}||$$
Exercice 32
Soient $A$ et $B$ deux points distincts ; à tout point $M$ du plan on associe $M'$ défini par $$\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}$$
1) Quels sont les points $A'$ et $B'$ associés respectivement à $A$ et à $B$ ?
2) Démontrer qu'il existe un point $G$ confondu avec son point associé. Construire $G.$
3) Soit $M$ un point situé sur la droite $(AB).$ Construire $M'$ et tracer $(MM').$ Que constate-t-on ?
4) Démontrer cette propriété en utilisant la forme réduite du vecteur $\overrightarrow{MM'}.$ Indiquer une construction plus simple de $M'.$
Exercice 33
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=4\;,\ BC=6$
1) Placer le point $G$ tel que $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
Calculer $AG$
2) Démontrer que $G$ est le barycentre des points $A\;,\ B\;,\ C$ affectés des coefficients que l'on déterminera.
3) Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $$||-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=10$$
4) Démontrer que $A$ et $C$ sont éléments de cet ensemble.
Exercice 34
Soit trois points $A\;,\ B\;,\ C$ non alignés ; à tout réel $m$ on associe le point $G_{m}$ s'il existe, barycentre de $\{(A\;;\ 2)\;,\ (B\;;\ 1)\;,\ (C\;;\ m)\}$
1) Pour quelles valeurs de $m$ existe-t-il un barycentre $G_{m}$ ?
2) Construire les points $G_{0}\;,\ G_{1}$ et $G_{-1}$ respectivement associés à 0, 1 et -1.
Que constate-t-on ?
3) Démontrer que lorsque $m$ varie, $G_{m}$ se déplace sur une droite fixe.
Exercice 35
Soit $ABCD$ un parallélogramme, $I$ milieu de $[AB]$ et $J$ milieu de $[BC].$
Soient trois points $E\;,\ F$ et $G\ $ tels que $E\ $ barycentre de $(A\;;\ 1)\;,\ (B\;;\ 1)\;,\ (C\;;\ 1)\;,\ F$ barycentre de $(C\;;\ 1)\;,\ (D\;;\ 3)\ $ et $G$ barycentre de $(E\;;\ 3)\;,\ (D\;;\ 3)$
1) Montrer que $\overrightarrow{CF}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{CD}$
2) Montrer que $G$ est milieu de $[ED]$
3) Montrer que $G\in(IF)$
4) Soit $K$ tel que $$\overrightarrow{AK}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}$$ montrer que $G\;,\ K\ $ et $J$ sont alignés.
Exercice 36
On considère deux triangles $ABC$ et $A'B'C'$ et leur centre de gravité respectif $G$ et $G'.$
1) Démontrer que $$\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=3\overrightarrow{GG'}$$
En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que les deux triangles aient le même centre de gravité.
2) Examiner les cas suivants :
a) $A'\;,\ B'\;,\ C'$ sont les milieux respectifs de $[BC]\;,\ [CD]\;,\ [AB]$
b) Un réel $k\neq 1$ étant donné, les points $A'\;,\ B'\;,\ C'$ sont tels que $$\dfrac{A'B}{A'C}=\dfrac{B'C}{B'A}=\dfrac{C'A}{C'B}=k$$
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
mer, 01/30/2019 - 21:26
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Tres interessant
Anonyme (non vérifié)
jeu, 02/16/2023 - 19:23
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Correction exo 15
Anonyme (non vérifié)
jeu, 02/16/2023 - 19:23
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Correction exo 15
Anonyme (non vérifié)
jeu, 06/06/2019 - 12:07
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S'il vous plaît la solution
Mouhamed dieng fall (non vérifié)
mar, 01/19/2021 - 20:47
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J'ai absolument besoin de la
Mamadou aminata... (non vérifié)
mer, 06/12/2019 - 17:53
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C'est assez satisfaisant. Les
Anonyme (non vérifié)
mar, 12/17/2019 - 23:03
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s'il vous plait la solution
Mouhamadou Rass... (non vérifié)
mar, 03/02/2021 - 08:34
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Comme vous avez les séries d
Anonyme (non vérifié)
mar, 12/17/2019 - 23:07
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les exos sont vraiment
Anonyme (non vérifié)
sam, 01/25/2020 - 15:54
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la solution
Allane (non vérifié)
mer, 05/06/2020 - 13:22
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Demande de solution
Mouhamed dieng fall (non vérifié)
mar, 01/19/2021 - 21:16
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J'ai absolument besoin de la
Anonyme (non vérifié)
jeu, 01/13/2022 - 00:11
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A
waly ndong (non vérifié)
mar, 03/08/2022 - 22:52
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Vraiment c satisfait
Arfaoui lazhar (non vérifié)
lun, 11/14/2022 - 14:43
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Satisfait
Arfaoui lazhar (non vérifié)
lun, 11/14/2022 - 14:43
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Satisfait
Anonyme (non vérifié)
ven, 01/26/2024 - 07:44
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Série exercice
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