Série d'exercices : Projection orthogonale dans le plan 4e

Classe: 
Quatrième

Exercice 1  Projection orthogonale

Soit ABC un triangle rectangle en A.
 
1) a) Quel est le projeté orthogonal de B sur (BC) ?
 
b) Quel est le projeté orthogonal de C sur la (AB) ?
 
2) a) Marquer le point H, projeté orthogonal de A sur (BC).
 
b) Que représente [AH] pour le triangle ABC ?
 
3) a) Quel est le projeté orthogonal de [AC] sur (BC) ?
 
b) Quel est le projeté orthogonal de [AB] sur (BC) ?

Exercice 2  Projection orthogonale

Tracer un triangle ABC rectangle en A.
 
1) Quel est le projeté orthogonal de B sur la droite (AC) ? Celui de C sur (AB) ?
 
2) Marquer le point H, projeté orthogonal de A sur (BC).
 
Que peut-on dire de [AH] ?
 
3) Soit I et J les projetés orthogonaux respectifs de H sur (AB) et (AC).
 
Quelle est la nature du quadrilatère AIHJ ?

Exercice 3  Projection orthogonale

Soit ENS un triangle isocèle en E; I est le milieu du segment [EN] et J le projeté orthogonal de I sur la droite (NS).
 
Démontrer que : BJ=14EN

Exercice 4  Projection orthogonale

1) Tracer un triangle MNP, placer A milieu de [MN], puis le point C, pied de la hauteur issue de N.
 
2) Construire le projeté orthogonal B de A sur (MP).
 
3) Démontrer que B est le milieu de [MC].

Exercice 5  Repérage

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). 
 
1) Placer les points A, B, C et D tel que :
 
A(2; 1); B(2; 3); C(2; 0) et D(2; 2).
 
2) Calculer les coordonnées de E milieu [AC] et F celui de [DB].
 
3) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier.

Exercice 6  Repérage

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O; I; J).
 
On donne A(2; 4); B(2; 4); C(2; 0).
 
1) Placer les points A; B et C.
 
2) Calculer les distances : AB2; AC2 et BC2, en déduire la nature du triangle ABC ?
 
3) Calculer les coordonnées de E centre du cercle (C) circonscrit à ABC.

Exercice 7  Repérage

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O; I; J). 
 
On donne A(0; 1); B(3; 1); C(1; 4) et M(2; 52).
 
1) Placer les points A; B; C et M.
 
2) Démontrer que M est le milieu de [BC].
 
3) Calculer : AB2; AC2 et BC2 puis montrer que ABC est un triangle rectangle et isocèle en B.
 
4) Démontrer que : BM2=14AC2.
 
En déduire que : BM=12AC.
 
5) Calculer les coordonnées de I milieu [AC].
 
6) Puis construire le cercle (C) circonscrit à ABC.

Exercice 8

On considère la figure ci-dessous.
 
 
Réponds par vrai ou faux à chacune des
 
affirmations suivantes :
 
1) I est le projeté orthogonal de A sur (LM).
 
2) B est le projeté orthogonal de A sur (BJ).                                                      
 
3) L est le projeté orthogonal de M sur (LN).
 
4) L est le projeté orthogonal de N sur (LM).
 
5) A est le projeté orthogonal de N sur (IA).

Exercice 9

Dans un triangle ABC, on appelle A le pied de la hauteur issue de A.
 
Recopie puis complète la phrase ci-dessous.
 
Le point ........... est le projeté ........... du point ......... sur ...............

Exercice 10

Trace une droite (D) et marque des points A, B , C n'appartenant pas à (D) et un point E appartenant à (D).
 
Construis les points A, B, C et E projetés orthogonaux respectifs de A, B , C et E sur (D).

Exercice 11

Pour chacune des figures ci-dessous, une droite et un segment sont donnés.
 
Reproduis chaque figure et construis le projeté orthogonal du segment sur la droite.
 
 

Exercice 12

Soit ABC un triangle rectangle en A.
 
1) a) Quel est le projeté orthogonal de B sur (BC) ?
 
b) Quel est le projeté orthogonal de C sur (AB) ?
 
2) a) Marque le point H, projeté orthogonal de A sur (BC).
 
b) Que représente [AH] pour le triangle ABC ?
 
3) a) Quel est le projeté orthogonal de [AC] sur (BC) ?
 
b) Quel est le projeté orthogonal de [AB] sur (BC) ?

Exercice 13

1) Trace un triangle MNP, place A milieu de [MN], puis le point C, pied de la hauteur issue de N.
 
2) Construis le projeté orthogonal B de A sur (MP).
 
3) Démontre que B est le milieu de [MC].

Exercice 14

1) Trace un parallélogramme ABCD de centre O.
 
2) Construis les points E et F, projetés orthogonaux respectifs de A et C sur (BD).
 
G et H, projetés orthogonaux respectifs de B et D sur (AC).
 
Quelle est la nature du quadrilatère EGFH ? Justifie.

Exercice 15

Soit ENS un triangle isocèle en E ; I est le milieu du segment [EN], K milieu de [NS] et J le projeté orthogonal de I sur la droite (NS).
 
Démontre que : 
 
NJ=14NS.

Exercice 16

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J).
 
1) Place les points A(2; 1); B(2; 3); C(2; 0) et D(2; 2).
 
2) Calcule les coordonnées de E milieu [AC] et F milieu de [DB].
 
3) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifie.

Exercice 17

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O; I; J).
 
On donne A(2; 4); B(2; 4); C(2; 0).
 
1) Place les points A ; B et C.
 
2) Calcule les distances : 
 
AB2 ; AC2 et BC2, en déduis la nature du triangle ABC ?
 
3) Calcule les coordonnées de E centre du cercle (C) circonscrit à ABC.

Exercice 18

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O; I; J).
 
On donne
 
1) Place les points A(0; 1); B(3; 1); C(1; 4) et M(2; 52).
 
2) Démontre que M est le milieu de [BC].
 
3) Montre que ABC est un triangle rectangle et isocèle en B.
 
4) Démontre que : 
 
BM2=14A2B2.
 
5) Détermine les coordonnées du point I centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Exercice 19

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J).
 
On donne les points V(3; 3), A(3; 5) et S(5; 1)
 
1) Détermine la nature du triangle VAS.
 
2) Soit B le milieu de [VS] et E le symétrique de A par rapport à B.
 
a) Calcule les coordonnées de B et E.
 
b) Démontre que le quadrilatère VASE est un carré.

Commentaires

comment justifier qu'un triangle est rectangle sans mesure

merci pour les exercices

Corriger

Ajouter un commentaire