Série d'exercices : Projection orthogonale dans le plan 4e

Exercice 1  Projection orthogonale

Exercice 2  Projection orthogonale

Exercice 3  Projection orthogonale

Exercice 4  Projection orthogonale

Exercice 5  Repérage

Exercice 6  Repérage

Exercice 7  Repérage

Exercice 8

On considère la figure ci-dessous.

 

 

Réponds par vrai ou faux à chacune des

 

affirmations suivantes :

 

1) $I$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(LM).$

 

2) $B$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(BJ).$                                                      

 

3) $L$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(LN).$

 

4) $L$ est le projeté orthogonal de $N$ sur $(LM).$

 

5) $A$ est le projeté orthogonal de $N$ sur $(IA).$

Exercice 9

Dans un triangle $ABC$, on appelle $A'$ le pied de la hauteur issue de $A.$

 

Recopie puis complète la phrase ci-dessous.

 

Le point ........... est le projeté ........... du point ......... sur ...............

Exercice 10

Trace une droite $(\mathcal{D})$ et marque des points $A$, $B$ , $C$ n'appartenant pas à $(\mathcal{D})$ et un point $E$ appartenant à $(\mathcal{D}).$

 

Construis les points $A'$, $B'$, $C'$ et $E'$ projetés orthogonaux respectifs de $A$, $B$ , $C$ et $E$ sur $(\mathcal{D}).$

Exercice 11

Pour chacune des figures ci-dessous, une droite et un segment sont donnés.

 

Reproduis chaque figure et construis le projeté orthogonal du segment sur la droite.

 

 

Exercice 12

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A.$

 

1) a) Quel est le projeté orthogonal de $B$ sur $(BC)$ ?

 

b) Quel est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ ?

 

2) a) Marque le point $H$, projeté orthogonal de $A$ sur $(BC).$

 

b) Que représente $[AH]$ pour le triangle $ABC$ ?

 

3) a) Quel est le projeté orthogonal de $[AC]$ sur $(BC)$ ?

 

b) Quel est le projeté orthogonal de $[AB]$ sur $(BC)$ ?

Exercice 13

1) Trace un triangle $MNP$, place $A$ milieu de $[MN]$, puis le point $C$, pied de la hauteur issue de $N.$

 

2) Construis le projeté orthogonal $B$ de $A$ sur $(MP).$

 

3) Démontre que $B$ est le milieu de $[MC].$

Exercice 14

1) Trace un parallélogramme $ABCD$ de centre $O.$

 

2) Construis les points $E$ et $F$, projetés orthogonaux respectifs de $A$ et $C$ sur $(BD).$

 

$G$ et $H$, projetés orthogonaux respectifs de $B$ et $D$ sur $(AC).$

 

Quelle est la nature du quadrilatère $EGFH$ ? Justifie.

Exercice 15

Soit $ENS$ un triangle isocèle en $E$ ; $I$ est le milieu du segment $[EN]$, $K$ milieu de $[NS]$ et $J$ le projeté orthogonal de $I$ sur la droite $(NS).$

 

Démontre que : 

 

$NJ=\dfrac{1}{4}NS.$

Exercice 16

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O\;,\ I,\ J).$

 

1) Place les points $A(-2\;;\ 1)\;;\ B(2\;;\ 3)\;;\ C(2\;;\ 0)\text{ et }D(-2\;;\ -2).$

 

2) Calcule les coordonnées de $E$ milieu $[AC]$ et $F$ milieu de $[DB].$

 

3) Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? Justifie.

Exercice 17

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O\;;\ I\;;\ J).$

 

On donne $A(-2\;;\ 4)\;;\ B(-2\;;\ -4)\;;\ C(2\;;\ 0).$

 

1) Place les points $A$ ; $B$ et $C.$

 

2) Calcule les distances : 

 

$AB^{2}$ ; $AC^{2}$ et $BC^{2}$, en déduis la nature du triangle $ABC$ ?

 

3) Calcule les coordonnées de $E$ centre du cercle $(\mathcal{C})$ circonscrit à $ABC.$

Exercice 18

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\;;\ I\;;\ J).$

 

On donne

 

1) Place les points $A(0\;;\ -1)\;;\ B(3\;;\ 1)\;;\ C(1\;;\ 4)\text{ et }M\left(2\;;\ \dfrac{5}{2}\right).$

 

2) Démontre que $M$ est le milieu de $[BC].$

 

3) Montre que $ABC$ est un triangle rectangle et isocèle en $B.$

 

4) Démontre que : 

 

$BM^{2}=\dfrac{1}{4}A^{2}B^{2}.$

 

5) Détermine les coordonnées du point $I$ centre du cercle circonscrit au triangle $ABC.$

Exercice 19

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O\;,\ I\;,\ J).$

 

On donne les points $V(-3\;;\ 3)\;,\ A(3\;;\ 5)\text{ et }S(5\;;\ -1)$

 

1) Détermine la nature du triangle $VAS.$

 

2) Soit $B$ le milieu de $[VS]$ et $E$ le symétrique de $A$ par rapport à $B.$

 

a) Calcule les coordonnées de $B$ et $E.$

 

b) Démontre que le quadrilatère $VASE$ est un carré.