Devoir n°31 - Ts2

 

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{\mathrm{i}}\ ,\ \vec{j}).$

 

On considère les points $A\;,\ B\;,\ I$ et $F$ d'affixes respectives $z_{A}=\mathrm{i}\;,\ z_{B}=1-\mathrm{i}\;,\ z_{I}=2$ et $z_{F}=2+\mathrm{i}.$

 

1) Soit $r$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'.$

 

a) Déterminer l'écriture complexe de $r.$

 

b) Déterminer l'affixe du point $E$ tel que : $r(E)=F.$

 

c) Déterminer l'expression analytique de $r.$

 

d) Déterminer l'équation du cercle $(C'),$ image du cercle $(C),$ de centre $E$ et de rayon $R=3$, par $r$

 

2) Soit $T$ la transformation du plan qui, à tout à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le

point $M'$ d'affixe $z'$ tel que :

 

$z'=az+b\;,\ a\;\in\;\mathbb{C}^{\ast}$ et $b\;\in\;\mathbb{C}.$

 

a) Déterminer $a$ et $b$ sachant que $T$ laisse invariant $I$ et transforme $B$ en $O.$

 

b) Montrer que $z'-z_{I}=(1-\mathrm{i})(z-z_{I})$

 

c) En déduire que $IM'=\sqrt{2}IM$ et $(\overrightarrow{IM}\;,\ \overrightarrow{IM'})=-\dfrac{\pi}{4}[2\pi].$

 

d) Déduire de 2 c) la nature de $T$ et préciser ses éléments caractéristiques.

 

3) Soit $S=T$ or Soient $M$ le point d'affixe $z$ et $M'$ le point d'affixe $z'$ tels que :

 

$S(M)=M'.$

 

a) Montrer que $z'=\sqrt{2}z+1\mathrm{i}(3-\sqrt{2}$

 

b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $S.$

Soit $g$ la fonction définie sur $]0\;;\ +\infty[$ par : 

 

$g(x)=\dfrac{-2}{1+x^{2}}+\ln\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)$

 

1) Étudier les variations de $g$ et dresser le tableau de variations de $g.$

 

2) Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ et que $0.5<\alpha<0.6$

 

3) En déduire le signe de $g$ sur $]0\;;\ +\infty[$

Soit la fonction $f$ définie par :

 

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& x\ln\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)\quad\text{si }\;x>0\\ \\ f(x) &=& -(x+1)\mathrm{e}^{\frac{-1}{x}}\quad\text{si }\;x<0\\ \\ f(0)& =& 0\end{array}\right.$$

 

On désigne par $(Cf)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{\mathrm{i}}\ ,\ \vec{j}).$

 

1) Déterminer l'ensemble de définition de $f$ et calculer les limites aux bornes de celui-ci.

 

2) a) Étudier la continuité puis la dérivabilité de $f$ en 0.

 

b) Interpréter graphiquement les résultats de la question 2 a).

 

3) Étudier les branches infinies de $(Cf).$

 

4) a) Montrer que pour tout $x$ appartenant à $]0\;;\ +\infty[$,$f'(x)=g(x).$

 

b) Étudier le sens de variation de $f$ et dresser le tableau de variations de $f.$

 

c) Montrer que $f(\alpha)=\dfrac{2\alpha}{1+\alpha^{2}}$

 

5) Tracer $(Cf).$ 

 

(On prendra $\alpha=0.5$ , unité=2cm)

On précisera l'équation de la tangente au point d'abscisse -1.

 

6) Soit $h$ la restriction de $f$ sur $]-\infty\;;\ 0[.$ 

 

Montrer que $h$ réalise une bijection de sur un intervalle $J$ à préciser.

 

7) Tracer $(Ch^{-1})$ la courbe de $h^{-1}$ dans le même repère.