Devoir n°31 - Ts2

Classe: 
Terminale
 

Exercice 1

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O, →i , →j).
 
On considère les points A, B, I et F d'affixes respectives zA=i, zB=1−i, zI=2 et zF=2+i.
 
1) Soit r la rotation de centre A et d'angle π4 qui, à tout point M d'affixe z associe le point M′ d'affixe z′.
 
a) Déterminer l'écriture complexe de r.
 
b) Déterminer l'affixe du point E tel que : r(E)=F.
 
c) Déterminer l'expression analytique de r.
 
d) Déterminer l'équation du cercle (C′), image du cercle (C), de centre E et de rayon R=3, par r
 
2) Soit T la transformation du plan qui, à tout à tout point M d'affixe z associe le
point M′ d'affixe z′ tel que :
 
z′=az+b, a∈C∗ et b∈C.
 
a) Déterminer a et b sachant que T laisse invariant I et transforme B en O.
 
b) Montrer que z′−zI=(1−i)(z−zI)
 
c) En déduire que IM′=√2IM et (→IM, →IM′)=−π4[2π].
 
d) Déduire de 2 c) la nature de T et préciser ses éléments caractéristiques.
 
3) Soit S=T or Soient M le point d'affixe z et M′ le point d'affixe z′ tels que :
 
S(M)=M′.
 
a) Montrer que z′=√2z+1i(3−√2
 
b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de S.

Problème

PARTIE A

Soit g la fonction définie sur ]0; +∞[ par : 
 
g(x)=−21+x2+ln(1+1x2)
 
1) Étudier les variations de g et dresser le tableau de variations de g.
 
2) Montrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution α et que 0.5<α<0.6
 
3) En déduire le signe de g sur ]0; +∞[

PARTIE B

Soit la fonction f définie par :
 
{f(x)=xln(1+1x2)si x>0f(x)=−(x+1)e−1xsi x<0f(0)=0
 
On désigne par (Cf) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O, →i , →j).
 
1) Déterminer l'ensemble de définition de f et calculer les limites aux bornes de celui-ci.
 
2) a) Étudier la continuité puis la dérivabilité de f en 0.
 
b) Interpréter graphiquement les résultats de la question 2 a).
 
3) Étudier les branches infinies de (Cf).
 
4) a) Montrer que pour tout x appartenant à ]0; +∞[,f′(x)=g(x).
 
b) Étudier le sens de variation de f et dresser le tableau de variations de f.
 
c) Montrer que f(α)=2α1+α2
 
5) Tracer (Cf). 
 
(On prendra α=0.5 , unité=2cm)
On précisera l'équation de la tangente au point d'abscisse -1.
 
6) Soit h la restriction de f sur ]−∞; 0[. 
 
Montrer que h réalise une bijection de sur un intervalle J à préciser.
 
7) Tracer (Ch−1) la courbe de h−1 dans le même repère.
Auteur: 
Babacar Djité

Commentaires

Nantenaina (non vérifié)

sam, 01/14/2023 - 19:10

CORRECTION!

Anonyme (non vérifié)

dim, 05/07/2023 - 23:31

Correction svp

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