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Géométrie dans l'espace - T S1

I Détermination de droites et de plans

$\centerdot\ \$ Une droite

$\Delta$ de l'espace est entièrement déterminée par :

$-\$ deux points distincts

$-\$ un point et une droite

$-\$ l'intersection de deux plans

$-\$ un système paramétrique

Exemple

Soient

$A\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$ et

$B\begin{pmatrix} -4\\ 1\\ 5 \end{pmatrix}$ deux points de l'espace

Déterminons les équations paramétriques et cartésiennes de

$(AB)$ .

On a : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-5\\ -1\\2\end{pmatrix}$ . Soit $M\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in (AB)$ alors, $\overrightarrow{AM}$ colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ .

Donc, il existe

$k\in\mathbb{R}^{*}$ tel que

$\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow \: \left\lbrace\begin{array} {lcl} x-1 &=& -5k\\ y-2 &=& -k\\ z-3 &=& 2k \end{array} \right. \text{ Ainsi, } \left\lbrace\begin{array} {lcl} x &=& -5k+1\\ y &=& -k+2\\ z &=& 2k+3 \end{array}\right.$ est l'équation paramétrique de

$(AB)$ .

Pour

$k=2-y$ nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x-5y+9 &=& 0\\ 2y+z-7 &=& 0 \end{array}\right.$ qui constitue une équation cartésienne de

$(AB)$ .

$\centerdot\ \$ Un plan

$(\mathcal{P})$ de l'espace peut être défini et déterminé par :

$-\$ trois points non alignés
$-\$ un point $A$ et une droite qui lui est perpendiculaire ou un plan qui lui est parallèle.
$-\$ deux droites strictement parallèles ou sécantes
$-\$ une droite et un point extérieur à cette droite
$-\$ une équation cartésienne du type $ax+by+cz+d=0$ avec $a$ , $b$ et $c$ non tous nuls
$-\$ une représentation paramétrique

Exemple

Soient

$A\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$ ,

$\ B\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 5 \end{pmatrix}$ et

$C\begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 4 \end{pmatrix}$ trois points de l'espace.

On a :

$M\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}\in$ au plan

$(ABC)$ si, et seulement si, il existe

$k$ et

$k'$

$\in\mathbf{R}^{*}$ tels que

$\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}+k'\overrightarrow{AC}$

Ainsi, une équation paramétrique du plan

$(ABC)$ est donnée par :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x &=& -2k+k'+1\\ y &=& k'+2\\ z &=& 2k+k'+3 \end{array} \right.$

Et enfin, on déduit une équation cartésienne de la forme

$x-2y+z=0.$

Remarques

Soit un plan

$(\mathcal{P})$ d'équation :

$ax+by+cz+d=0$ alors

$\vec{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$ est un vecteur normal à

$(\mathcal{P}).$

II Positions relatives de droites et de plans

$\centerdot\ \$ Deux droites

$\Delta$ et

$\Delta'$ de l'espace sont soit coplanaires soit non coplanaires

$\centerdot\ \$ Une droite $\Delta$ et un plan de l'espace sont :

$-\$ soit sécants en un point $A$ , et on dit que la droite perce le plan
$-\$ soit la droite est parallèle au plan ( $\Delta\cap\mathcal{P}=\emptyset$ ou $\Delta\subset\mathcal{P}$ )

$\centerdot\ \$ Deux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ de l'espace sont soit parallèles $\mathcal{P}=\mathcal{P}'$ ou $\mathcal{P}\cap\mathcal{P}'=\emptyset$ , soit sécants $\mathcal{P}\cap\mathcal{P}'=\Delta$

III Parallélisme et orthogonalité dans l'espace

$\centerdot\ \$ Deux droites

$\Delta$ et

$\Delta'$ de l'espace sont parallèles si elles sont coplanaires et parallèles dans le plan

$\centerdot\ \$ Une droite $\Delta$ et un plan $\mathcal{P}$ sont parallèles si ( $\Delta\cap\mathcal{P}=\emptyset$ ou $\Delta\subset\mathcal{P}$ )

$\centerdot\ \$ Deux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont parallèles si $\mathcal{P}=\mathcal{P}'$ ou $\mathcal{P}\cap\mathcal{P}'=\emptyset$ . Les vecteurs normaux $\vec{n}$ et $\vec{n}'$ sont colinéaires

$\centerdot\ \$ Deux droites $\Delta$ et $\Delta'$ sont perpendiculaires

$-\$ si l'une parallèle à un plan perpendiculaire à l'autre
$-\$ et si en un point quelconque de l'espace elles sont perpendiculaires.

$\centerdot\ \$ Une droite $\Delta$ et un plan $\mathcal{P}$ sont perpendiculaires

$-\$ si $\Delta$ est perpendiculaire à deux droites sécantes de $\mathcal{P}$
$-\$ si $\Delta$ est perpendiculaire à toute droite $D\subset\mathcal{P}$
$-\$ si le vecteur directeur de $\Delta$ et $\vec{n}$ sont colinéaires.

$\centerdot\ \$ Deux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont perpendiculaires

$-\$ si l'un des plans contient une droite perpendiculaire à l'autre plan
$-\$ si $\vec{n}$ orthogonal à $\vec{n}'$

IV Produit vectoriel

IV.1 Orientations dans l'espace

On dira qu'un repère

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$ est direct si, pour un observateur couché sur

$(Oz)$ , les point en

$O$ et fixant le point

$I$ , il a le point

$J$ à gauche. Dans le cas contraire le repère est dit indirect.

IV.2 Définitions

Soient

$\vec{u}$ et

$\vec{v}$ deux vecteurs. On appelle produit vectoriel des vecteurs

$\vec{u}$ et

$\vec{v}$ , le vecteur noté

$\vec{u}\wedge\vec{v}$ qui est :

$-\$ égal au vecteur nul si

$\vec{u}$ et

$\vec{v}$ sont colinéaires

$-\$ perpendiculaire à

$\vec{u}$ , à

$\vec{v}$ et

$(\vec{u}\;,\ \vec{v}\;,\ \vec{u}\wedge\vec{v})$ est direct et

$||\vec{u}\wedge\vec{v}||=||\vec{u}||\times||\vec{v}||\times|\sin(\vec{u}\;,\ \vec{v})|$

IV.3 Propriétés

$\centerdot\ \ \vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}$ si, et seulement si,

$\vec{u}$ et

$\vec{v}$ sont colinéaires.

$\centerdot\ \ \vec{u}\wedge\vec{v}=-\vec{v}\wedge\vec{u}=$ (antisymétrique)

$\centerdot\ \ \alpha\in\mathbb{R}\;,\ (\alpha\vec{u}\wedge\vec{v})=(\vec{u}\wedge\alpha\vec{v})=\alpha(\vec{u}\wedge\vec{v})$

$\centerdot\ \ \vec{u}\wedge(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\wedge\vec{v}+\vec{u}\wedge\vec{w}$

$\centerdot\ \ \alpha\vec{u}\wedge\rho\vec{v}=\alpha\rho(\vec{u}\wedge\vec{v})$

IV.4 Expression dans une base orthonormée

Soient

$\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et

$\vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$ deux vecteurs de l'espace.

$\vec{i}$ ,

$\ \vec{j}$ et

$\vec{k}$ vecteurs unitaires du repère direct tels que

$\vec{i}\wedge\vec{j}=\vec{k}\;,\quad\vec{j}\wedge\vec{k}=\vec{i}\quad\text{et}\quad\vec{k}\wedge\vec{i}=\vec{j}$

Soient $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ et $\vec{u}=x'\vec{i}+y'\vec{j}+z'\vec{k}$

On a : $\begin{eqnarray}\vec{u}\wedge\vec{v}&=&(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k})\wedge(x'\vec{i}+y'\vec{j}+z'\vec{k})\nonumber\\ \\ \\&=&xy'\vec{k}-xz'\vec{j}-yx\vec{k}+yz'\vec{i}+zx'\vec{j}-zy'\vec{i} \nonumber\\ \\ \\&=&(yz'-zy')\vec{i}-(xz'-zx')\vec{j}+(xy'-yx')\vec{k} \nonumber\\ \\ \\&=&\vec{i}\begin{vmatrix} y&y'\\ z&z'\end{vmatrix}-\vec{j}\begin{vmatrix} x&x'\\ z&z'\end{vmatrix}+\vec{k}\begin{vmatrix} x&x'\\ y&y'\end{vmatrix} \nonumber \end{eqnarray}$

Donc,

$\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}\wedge\vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}=\vec{i}\begin{vmatrix} y&y'\\ z&z' \end{vmatrix}-\vec{j}\begin{vmatrix} x&x'\\ z&z' \end{vmatrix}+\vec{k}\begin{vmatrix} x&x'\\ y&y' \end{vmatrix}$

IV.5 Applications

IV.5.1 Aire d'un triangle - aire d'un parallélogramme

Considérons le parallélogramme

$ABCD$ ci-dessous.

L'aire du triangle

$ABD$ , notée

$\mathcal{A}_{ABD}$ , est donnée par :

$\mathcal{A}_{ABD}=\dfrac{AB\times AH}{2}$ avec $H$ le projeté orthogonal de $D$ sur $(AB)$ .

On a : $\begin{eqnarray} AH&=&AD\times|\sin(\pi-(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD}))| \nonumber\\ \\ &=&AD\times|\sin(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD})| \nonumber \end{eqnarray}$

Donc,

$\begin{eqnarray}\mathcal{A}_{ABD}&=&\dfrac{AB\times AD\times|\sin(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD})|}{2} \nonumber\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}||\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD}|| \nonumber \end{eqnarray}$

Et par suite, l'aire du parallélogramme

$ABCD$ notée

$\mathcal{A}_{ABCD}$ , est donnée par :

$\mathcal{A}_{ABCD}=||\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD}||$

IV.5.2 Distance d'un point à un plan

Soient

$\mathcal{P}$ un plan d'équation :

$ax+by+cz+d=0$ et

$M_{0}\begin{pmatrix} x_{0}\\ y_{0}\\ z_{0} \end{pmatrix}\notin\mathcal{P}$ .

Soit $H$ le projeté orthogonal de $M_{0}$ sur le plan $\mathcal{P}$ . On note par $d(M_{0},\ \mathcal{P})$ la distance entre le point $M_{0}$ et le plan $\mathcal{P}$ .

On a : $d(M_{0}\;,\ \mathcal{P})=M_{0}H$ or $\overrightarrow{M_{0}H}$ est colinéaire à $\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ , vecteur normal à $\mathcal{P}.$

Donc,

$|\overrightarrow{M_{0}H}\cdot\vec{n}|=||\overrightarrow{M_{0}H}||\cdot||\vec{n}||\ \Rightarrow\ M_{0}H=\dfrac{|\overrightarrow{M_{0}H}\cdot\vec{n}|}{||\vec{n}||}$

On a :

$\overrightarrow{M_{0}H}\begin{pmatrix} x_{H}-x_{0} \\ y_{H}-y_{0} \\ z_{H}-z_{0} \end{pmatrix}$ alors,

$\begin{eqnarray}\overrightarrow{M_{0}H}\cdot\vec{n}&=&a(x_{H}-x_{0})+b(y_{H}-y_{0})+c(z_{H}-z_{0}) \nonumber\\ \\ &=&\underbrace{ax_{H}+by_{H}+cz_{H}}_{0}-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0})\ \text{ car }H\in\mathcal{P}\nonumber\\ \\ \Rightarrow\ \overrightarrow{M_{0}H}\cdot\vec{n}&=&-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d)\nonumber \end{eqnarray}$

D'où,

$M_{0}H=\dfrac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

IV.5.3 Distance d'un point à une droite

Soit

$\Delta$ une droite, de vecteur directeur

$\vec{u}$ , passant par

$A$ . Soit

$M_{0}\notin\Delta$ de projeté orthogonal

$H$ sur

$\Delta$

Notons

$d(M_{0}\;,\ \Delta)$ la distance entre

$M_{0}$ et la droite

$\Delta.$

On a :

$\overrightarrow{M_{0}A}\wedge\vec{u}=\overrightarrow{M_{0}H}\wedge\vec{u}\$ et

$\ ||\overrightarrow{M_{0}H}\wedge\vec{u}||=M_{0}H\times||\vec{u}||$

Donc,

$d(M_{0}\;,\ \Delta)=M_{0}H=\dfrac{||\overrightarrow{M_{0}A}\wedge\vec{u}||}{||\vec{u}||}$

En effet,

on a ;

$\begin{eqnarray}\overrightarrow{M_{0}A}\wedge\vec{u}&=&(\overrightarrow{M_{0}H}+\overrightarrow{HA})\wedge\vec{u}\nonumber\\ \\ &=&\overrightarrow{M_{0}H}\wedge\vec{u}+\underbrace{\overrightarrow{HA}\wedge\vec{u}}_{\vec{0}}\;,\quad\text{car }\overrightarrow{HA}\text{ colinéaire à }\vec{u}\nonumber\\ \\ &=&\overrightarrow{M_{0}H}\wedge\vec{u}\nonumber\\ \\ \Rightarrow\ ||\overrightarrow{M_{0}A}\wedge\vec{u}||&=&||\overrightarrow{M_{0}H}\wedge\vec{u}||\ =\ ||\overrightarrow{ M_{0}H}||\times||\vec{u}||\times\sin\dfrac{\pi}{2}\nonumber \\ \\&=&M_{0}H\times||\vec{u}||\nonumber\\ \\ \Rightarrow\ M_{0}H&=&\dfrac{||\overrightarrow{M_{0}A}\wedge\vec{u}||}{||\vec{u}||}\nonumber \end{eqnarray}$

V Produit mixte

V.1 Définitions

Soient

$\vec{u}$ ,

$\ \vec{v}$ et

$\vec{w}$ trois vecteurs. On appelle produit mixte des vecteurs

$\vec{u}$ ,

$\ \vec{v}$ et

$\vec{w}$ le réel noté

$\vec{u}\cdot(\vec{v}\wedge\vec{w})$

V.2 Expression dans une base orthonormée

On se donne

$\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ ,

$\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}\$ et

$\ \vec{w}\begin{pmatrix} x''\\ y''\\ z'' \end{pmatrix}$ dans

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$ , repère orthonormé.

On a :

$\vec{v}\wedge\vec{w}\begin{pmatrix} y'z''-y''z'\\ x''z'-x'z''\\ x'y''-y'x'' \end{pmatrix}$ .

Ainsi,

$\vec{u}\cdot(\vec{v}\wedge\vec{w})=x(y'z''-y''z')-y(x'z''-x''z')+z(x'y''-y'x'')$

D'où,

$\begin{eqnarray}\vec{u}\cdot(\vec{v}\wedge\vec{w})&=&\begin{vmatrix} x&x'&x''\\ y&y'&y''\\ z&z'&z'' \end{vmatrix} \nonumber \\ \\&=&x\begin{vmatrix} y'&y''\\ z'&z'' \end{vmatrix}-y\begin{vmatrix} x'&x''\\ z'&z'' \end{vmatrix}+z\begin{vmatrix} x'&x''\\ y'&y'' \end{vmatrix} \nonumber \end{eqnarray}$

En application, on peut constater que le volume

$\mathcal{V}_{ABCD}$ d'un tétraèdre

$ABCD$ est donné par :

$\mathcal{V}_{ABCD}=\dfrac{1}{6}\left|\overrightarrow{AD}\cdot(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC})\right|$

Auteur:

Seyni Ndiaye & Diny Faye

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dim, 05/21/2023 - 03:40

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IV.2 Définitions

IV.3 Propriétés

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IV.5 Applications

IV.5.1 Aire d'un triangle - aire d'un parallélogramme

IV.5.2 Distance d'un point à un plan

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V.1 Définitions

V.2 Expression dans une base orthonormée

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