Bac Maths D, Niger 2019

Exercice 1

Une grave maladie affecte le cheptel bovin d'un certain pays.

On estime que $7\%$ des bovins sont atteints.

On vient de mettre au point un test pour diagnostiquer la maladie et on a établi que :

$-\ $ Quand le test est positif, l'animal est malade dans $95\%$ des cas.

$-\ $ Quand le test est négatif, l'animal est cependant malade dans $2\%$ des cas.

On note $M$ l'évènement « être malade » et $T$ l'évènement « avoir un test positif ».

On note $p(T)=x$

1. Faire un arbre pondéré qui traduit cette situation.

2. a) Montrer que $p(M)=0.02+0.93x$

b) En déduire la valeur exacte de $x.$

3. Un animal est atteint par la maladie.

Quelle est la probabilité que son test ait été négatif ?

Exercice 2

On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation : $$z^{3}-(4+\mathrm{i}\sqrt{3})z^{2}+(3+4\mathrm{i}\sqrt{3})z-3\mathrm{i}\sqrt{3}=0$$

1. Montrer que cette équation admet deux solutions réelles $($on les notera $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha<\beta)$ et une solution imaginaire pure, notée $\omega.$

2. Soit $f$ une application de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ telle que pour tout nombre complexe $z$,

$$f(z)=az+b$$ où $a\ $ et $\ b$ sont des complexes.

a) Déterminer $a$ et $b$ de telle sorte que $f(\omega)=w\ $ et $\ f(\alpha)=\beta$

b) Calculer le module et l'argument de $a.$

c) Caractériser la transformation $T$ du plan complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$

Problème

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O\;,\ \vec{U}\;,\ \vec{V}\right).$

Toutes les courbes demandées seront représentées sur un même graphique.

$($Unité graphique : $2cm).$

Partie A

On définit la fonction $f$ sur $]0\;,\ +\infty[$ par : $$f(x)=\ln\left(\sqrt{1+x}-1\right)$$

1. Calculer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$

2. Étudier le sens de variation de $f$ sur $]0\;,\ +\infty[$

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans $\left(O\;,\ \vec{U}\;,\ \vec{V}\right)$ et $A$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $3.$

Soit $B$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $\dfrac{5}{4}$, $P$ le projeté orthogonal de $B$ sur l'axe $\left(O\;,\ \vec{U}\right)$ et $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur l'axe $\left(O\;,\ \vec{V}\right).$

3. a) Calculer l'ordonnée de $A.$

b) Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des points $B$, $P$ et $H.$

c) Placer les points $A$, $B$, $P$, $H$ et représenter la courbe $\mathcal{C}.$

Partie B

Soit $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$

A tout point $M$ du plan d'affixe $z$ la rotation associe le point $M'$ d'affixe $z'.$

1. a) Donner $z'$ en fonction de $z.$

On note $z=x+\mathrm{i}y\quad\text{et}\quad z'=x'+\mathrm{i}y'\quad\text{avec}\quad (x\;,\ y\;,\ x'y')\text{ réels}.$

b) Exprimer $x'\ $ et $\ y'$ en fonction de $x\ $ et $\ y$, puis $x\ $ et $\ y$ en fonction de $x'\ $ et $\ y'.$

Déterminer les coordonnées des points $A'$, $B'$ et $P'$ images respectives des points $A$, $B$ et $P$ par la rotation.

2. On appelle $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\mathrm{e}^{-2x}+2\mathrm{e}^{-x}$ et $\Gamma$ sa courbe représentative dans le repère $\left(O\;,\ \vec{U}\;,\ \vec{V}\right).$

a) Montrer que lorsqu'un point $M$ appartient à $\mathcal{C}$, son image $M'$ décrit $\Gamma.$

b) Placer sur le même graphique les points $A'$, $B'$, $P'$ et tracer la courbe $\Gamma$ $($l'étude des variations de $g$ n'est pas demandée$).$

Partie C : Calcul d'intégrales

On rappelle que l'image d'un domaine plan par une rotation est un domaine plan de même aire.

1. a) Calculer l'intégrale $$\int_{0}^{\ln 2}g(x)\mathrm{d}x$$ puis interpréter cette intégrale.

b) Déterminer, en unité d'aires, l'aire $\mathcal{A}$ du domine plan $\mathcal{D}$ limité par les segments $[AO]$, $[OH]$ et $[HB]$ et l'arc de courbe $\mathcal{C}$ d'extrémités $B$ et $A.$

2. On pose $$I=\int_{\tfrac{5}{4}}^{3}\ln(\sqrt{1+x}-1)\mathrm{d}x.$$

Trouver une relation entre $\mathcal{A}$ et $I$ puis en déduire la valeur exacte de l'intégrale $I.$