Bac Maths D, Niger 2019
Exercice 1
Une grave maladie affecte le cheptel bovin d'un certain pays.
On estime que 7% des bovins sont atteints.
On vient de mettre au point un test pour diagnostiquer la maladie et on a établi que :
− Quand le test est positif, l'animal est malade dans 95% des cas.
− Quand le test est négatif, l'animal est cependant malade dans 2% des cas.
On note M l'évènement « être malade » et T l'évènement « avoir un test positif ».
On note p(T)=x
1. Faire un arbre pondéré qui traduit cette situation.
2. a) Montrer que p(M)=0.02+0.93x
b) En déduire la valeur exacte de x.
3. Un animal est atteint par la maladie.
Quelle est la probabilité que son test ait été négatif ?
Exercice 2
On considère dans C l'équation : z3−(4+i√3)z2+(3+4i√3)z−3i√3=0
1. Montrer que cette équation admet deux solutions réelles (on les notera α et β avec α<β) et une solution imaginaire pure, notée ω.
2. Soit f une application de C dans C telle que pour tout nombre complexe z,
f(z)=az+b où a et b sont des complexes.
a) Déterminer a et b de telle sorte que f(ω)=w et f(α)=β
b) Calculer le module et l'argument de a.
c) Caractériser la transformation T du plan complexe qui à tout point M d'affixe z associe le point M′ d'affixe z′
Problème
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O, →U, →V).
Toutes les courbes demandées seront représentées sur un même graphique.
(Unité graphique : 2cm).
Partie A
On définit la fonction f sur ]0, +∞[ par : f(x)=ln(√1+x−1)
1. Calculer les limites de f en 0 et en +∞
2. Étudier le sens de variation de f sur ]0, +∞[
Soit C la courbe représentative de f dans (O, →U, →V) et A le point de C d'abscisse 3.
Soit B le point de C d'abscisse 54, P le projeté orthogonal de B sur l'axe (O, →U) et H le projeté orthogonal de B sur l'axe (O, →V).
3. a) Calculer l'ordonnée de A.
b) Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des points B, P et H.
c) Placer les points A, B, P, H et représenter la courbe C.
Partie B
Soit r la rotation de centre O et d'angle π2.
A tout point M du plan d'affixe z la rotation associe le point M′ d'affixe z′.
1. a) Donner z′ en fonction de z.
On note z=x+iyetz′=x′+iy′avec(x, y, x′y′) réels.
b) Exprimer x′ et y′ en fonction de x et y, puis x et y en fonction de x′ et y′.
Déterminer les coordonnées des points A′, B′ et P′ images respectives des points A, B et P par la rotation.
2. On appelle g la fonction définie sur R par g(x)=e−2x+2e−x et Γ sa courbe représentative dans le repère (O, →U, →V).
a) Montrer que lorsqu'un point M appartient à C, son image M′ décrit Γ.
b) Placer sur le même graphique les points A′, B′, P′ et tracer la courbe Γ (l'étude des variations de g n'est pas demandée).
Partie C : Calcul d'intégrales
On rappelle que l'image d'un domaine plan par une rotation est un domaine plan de même aire.
1. a) Calculer l'intégrale ∫ln20g(x)dx puis interpréter cette intégrale.
b) Déterminer, en unité d'aires, l'aire A du domine plan D limité par les segments [AO], [OH] et [HB] et l'arc de courbe C d'extrémités B et A.
2. On pose I=∫354ln(√1+x−1)dx.
Trouver une relation entre A et I puis en déduire la valeur exacte de l'intégrale I.
Commentaires
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mer, 06/30/2021 - 17:37
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Almoustapha (non vérifié)
dim, 11/26/2023 - 11:17
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sam, 04/22/2023 - 21:41
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mer, 01/10/2024 - 13:28
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Anonyme
mer, 07/19/2023 - 22:19
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mer, 06/12/2024 - 23:39
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