Équations à une inconnue dans Q - 4e
Classe:
Quatrième
I. Activité
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On réalise l'équilibre ci-dessus à l'aide d'une balance. Un objet de masse xx et une masse marquée de 50g50g sont en équilibre avec un corps de masse 72g.72g.
L'équilibre de la balance traduit une égalité entre les masses.
On obtient ainsi une équation à une inconnue s.s.
⋅ x+5 est le premier membre de l'équation.
⋅ 72 est le second membre de l'équation.
Donc, l'équation est : x+50=72
II. Définition et exemples
II.1. Définition
On appelle équation à une inconnue toute égalité dans laquelle se trouve une inconnue.
II.2. Exemples
x+3=5 ; ici x est l'inconnue
2t=0 ; c'est une équation d'inconnue t
2y=15 ; dans cette équation, y est l'inconnue
3z+4=−z−8 ; pour cette équation, c'est z l'inconnue
(3p−5)(p+2)=0 ; dans cette équation, p est l'inconnue
III. Résolution d'équations
Résoudre une équation dans Q revient à déterminer l'ensemble des nombres rationnels qui vérifient l'égalité.
Cet ensemble est appelé l'ensemble des solutions de l'équation.
On le note : S.
Exemples
x+3=5⇒x=5−2⇒x=2
D'où, S={2}
III.1. Équations se ramenant à la forme ax+b=0 avec a≠0
Activité 1
Soit un triangle ABC tel que : mes^BAC est égale à x ; mes^ABC est le double de mes^BAC et est le triple de mes^ACB.
Trouver la mesure de ^ABC; ^CAB et ^BAC.
Solution
1) Choix de l'inconnu
Soit x la mesure de l'angle ^BAC
On a : {mes^ABC=2xmes^ACB=3x
2) Mise en équation
Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180∘
Donc, x+2x+3x=180∘⇔6x=180∘
3) Résolution
x+2x+3x=180∘⇔6x=180∘⇔x=180∘6⇔x=30∘
Ainsi :
mes^BAC=30∘
mes^ABC=2×30∘=60∘
mes^ACB=3×30∘=90∘
4) Vérification
30∘+60∘+90∘=180∘
Activité 2
La somme de 3 nombres entiers consécutifs est égale à 96.
Quels sont ces 3 entiers ?
Solution
1) Choix de l'inconnu
Soit x le premier nombre
Soit (x+1) le deuxième nombre
Soit ((x+1)+1)=(x+2) le troisième nombre
2) Mise en équation
x+(x+1)+(x+2)=96
3) Résolution
x+(x+1)+(x+2)=96⇔3x+3=96⇔3x=96−3⇔x=933⇔x=31
Par suite :
Le premier nombre est égal à : x=31
Le deuxième nombre est donnée par : (x+1)=(31+1)=32
Le troisième nombre est égal à : (x+2)=(31+2)=33
4) Vérification
31+32+33=96
Soit l'équation : ax+b=0 avec a≠0
Alors, on a : ax+b=0 si, et seulement si, ax=−b.
Ce qui donne : x=−ba
D'où, l'ensemble des solutions S sera donné par :
S={−ba}
Remarque
− Si a=0 et b=0 alors, l'équation devient 0x=0
D'où, S=Q
− Si a=0 et b≠0 alors, l'équation devient 0x=b. Impossible
D'où, S=∅
Exercice d'application
1) Résoudre dans Q les équations suivantes :
a) 4x+12=127
b) 2x−4=0
c) −7x−1=−3
d) 34x+12=32
2) Dans une classe de quatrième 1/3 écrit, 1/4 dessine, 1/6 calcule, 1/10 bavarde et les 9 restants sont absents.
Quel est l'effectif total de cette classe.
Solution
1)
a) 4x+12=127⇔4x=127−12⇔4x=115⇔x=1154
Ainsi, S={1154}
b) 2x−4=0⇔2x=4⇔x=42⇔x=2
D'où, S={2}
c) −7x−1=−3⇔−7x=−3+1⇔−7x=−2⇔x=−2−7⇔x=27
Par suite, S={27}
d) 34x+12=32⇔34x=32−12⇔34x=3−12⇔34x=22⇔34x=1⇔x=134⇔x=43
D'où, S={43}
2)
Choix de l'inconnu
Soit x l'effectif total de cette classe. Alors :
x3=40x120 élèves écrivent,
x4=30x120 élèves dessinent,
x6=20x120 élèves calculent,
x10=12x120 élèves bavardent et les 9 restants sont absents.
Mise en équation
x=40x120+30x120+20x120+12x120+9
Ce qui donne : x=40x+30x+20x+12x120+9=102x120+9
Résolution
x=102x120+9⇔x−102x120=9⇔120x120−102x120=9⇔120x−102x120=9⇔18x120=9⇔18x=9×120⇔18x=1080⇔x=108018⇔x=60
Donc, cette classe de quatrième compte 60 élèves dont :
603=20 écrivent,
604=15 dessinent,
606=10 calculent,
6010=6 bavardent et les 9 restants sont absents.
Vérification
20+15+10+6+9=60
III.2. Équations de la forme (ax+b)(cx+d)=0 et équation se ramenant à cette forme avec a≠0 et c≠0
Règle : Un produit de facteur est nul si au moins l'un des facteurs est nul.
(ax+b)(cx+d)=0⇔ax+b=0 ou cx+d=0
Les deux équations sont résolues séparément.
Ce qui donne : ax=−b ou cx=−d
Par suite : x=−ba ou x=−dc
D'où, l'ensemble des solutions sera donné par :
S={−ba; −dc}
Exercice d'application
Résoudre dans Q les équations suivantes :
a) (3x−7)(x+5)=0
b) (2x+3)(4x+1)=0
c) 4x2−25=0
d) (x−5)(2x−3)=(x−5)(4x−1)
Solution
a) (3x−7)(x+5)=0⇔3x−7=0 ou x+5=0⇔3x=7 ou x=−5⇔x=73 ou x=−5
Ainsi, S={73; −5}
b) (2x+3)(4x+1)=0⇔2x+3=0 ou 4x+1=0⇔2x=−3 ou 4x=−1⇔x=−32 ou x=−14
D'où, S={−32; −14}
c) Pour résoudre l'équation 4x2−25=0, on factorise d'abord l'expression 4x2−25
On a : 4x2−25=(2x)2−(5)2=(2x−5)(2x+5)
Par suite,
4x2−25=0⇔(2x−5)(2x+5)=0⇔2x−5=0 ou 2x+5=0⇔2x=5 ou 2x=−5⇔x=52 ou x=−52
Ainsi, S={52; −52}
d) On a : (x−5)(2x−3)=(x−5)(4x−1) si, et seulement si, (x−5)(2x−3)−(x−5)(4x−1)=0
En factorisant, on obtient :
(x−5)(2x−3)−(x−5)(4x−1)=(x−5)[(2x−3)−(4x−1)]=(x−5)(2x−3−4x+1)=(x−5)(−2x−2)
Donc,
(x−5)(2x−3)−(x−5)(4x−1)=0⇔(x−5)(−2x−2)=0⇔x−5=0 ou −2x−2=0⇔x=5 ou −2x=2⇔x=5 ou x=2−2⇔x=5 ou x=−1
D'où, S={5; −1}
III.3. Équations de type ax=b; ax=bc avec c≠0 et x≠0
On a : ax=bc si, et seulement si, a×c=b×x
Ce qui entraine : x=acb
Ainsi, l'ensemble des solutions sera donné par :
S={acb}
Remarque
Pour le cas c=1, on obtient les équations de type ax=b
D'où, S={ab}
Exemples
Résoudre dans Q les équations suivantes :
a) 7x=45
b) 2x=3
c) 3x=17
d) 5x=1
Solution
a) 7x=45⇔7×5=4x⇔35=4x⇔x=354
Ainsi, S={354}
b) 2x=3⇔2x=31⇔2×1=3x⇔2=3x⇔x=23
D'où, S={23}
c) 3x=17⇔3×7=x⇔21=x
Donc, S={21}
d) 5x=1⇔5x=11⇔5×1=x⇔x=5
Ainsi, S={5}
Commentaires
Saliou FALL (non vérifié)
lun, 04/20/2020 - 15:23
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R
Mbar Faye (non vérifié)
dim, 11/08/2020 - 07:39
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Bonjour je veux le format pdf
Aliou marone (non vérifié)
mar, 05/04/2021 - 07:24
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Riopli gigologjk
Aliou marone (non vérifié)
mar, 05/04/2021 - 07:24
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Riopli gigologjk
AISSATOU SYLLA (non vérifié)
dim, 10/15/2023 - 18:57
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sunudaara
Cheikh seye (non vérifié)
mar, 12/22/2020 - 01:12
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Très cool
Aliou marone (non vérifié)
mar, 05/04/2021 - 07:24
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U ou iii
Aliou marone (non vérifié)
mar, 05/04/2021 - 07:27
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Très cool mais les sc il
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