Équations à une inconnue dans Q - 4e

Classe: 
Quatrième
 
 

I. Activité

 
 
On réalise l'équilibre ci-dessus à l'aide d'une balance. Un objet de masse xx et une masse marquée de 50g50g sont en équilibre avec un corps de masse 72g.72g.
L'équilibre de la balance traduit une égalité entre les masses.
 
On obtient ainsi une équation à une inconnue s.s.
 
 x+5 est le premier membre de l'équation.
 
 72 est le second membre de l'équation.
 
Donc, l'équation est : x+50=72

II. Définition et exemples

II.1. Définition

On appelle équation à une inconnue toute égalité dans laquelle se trouve une inconnue.

II.2. Exemples

x+3=5 ; ici x est l'inconnue
 
2t=0 ; c'est une équation d'inconnue t
 
2y=15 ; dans cette équation, y est l'inconnue
 
3z+4=z8 ; pour cette équation, c'est z l'inconnue
 
(3p5)(p+2)=0 ; dans cette équation, p est l'inconnue

III. Résolution d'équations

Résoudre une équation dans Q revient à déterminer l'ensemble des nombres rationnels qui vérifient l'égalité.
 
Cet ensemble est appelé l'ensemble des solutions de l'équation. 
 
On le note : S.
 
Exemples
 
x+3=5x=52x=2
 
D'où, S={2}

III.1. Équations se ramenant à la forme ax+b=0 avec a0

Activité 1

Soit un triangle ABC tel que : mes^BAC est égale à x ; mes^ABC est le double de mes^BAC et est le triple de mes^ACB.
 
Trouver la mesure de ^ABC; ^CAB  et  ^BAC.

Solution

1) Choix de l'inconnu
 
Soit x la mesure de l'angle ^BAC
 
On a : {mes^ABC=2xmes^ACB=3x
 
2) Mise en équation
 
Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180
 
Donc, x+2x+3x=1806x=180
 
3) Résolution
 
x+2x+3x=1806x=180x=1806x=30
 
Ainsi :
 
mes^BAC=30
 
mes^ABC=2×30=60
 
mes^ACB=3×30=90
 
4) Vérification
 
30+60+90=180

Activité 2

La somme de 3 nombres entiers consécutifs est égale à 96.
 
Quels sont ces 3 entiers ?

Solution

1) Choix de l'inconnu
 
Soit x le premier nombre 
 
Soit (x+1) le deuxième nombre
 
Soit ((x+1)+1)=(x+2) le troisième nombre
 
2) Mise en équation
 
x+(x+1)+(x+2)=96
 
3) Résolution
 
x+(x+1)+(x+2)=963x+3=963x=963x=933x=31
 
Par suite :
 
Le premier nombre est égal à : x=31
 
Le deuxième nombre est donnée par : (x+1)=(31+1)=32
 
Le troisième nombre est égal à : (x+2)=(31+2)=33
 
4) Vérification
 
31+32+33=96
 
Soit l'équation : ax+b=0 avec a0
 
Alors, on a : ax+b=0 si, et seulement si, ax=b.
 
Ce qui donne : x=ba
 
D'où, l'ensemble des solutions S sera donné par :
S={ba}
Remarque
 
  Si a=0  et  b=0 alors, l'équation devient 0x=0
 
D'où, S=Q
  Si a=0  et  b0 alors, l'équation devient 0x=b. Impossible
 
D'où, S=

Exercice d'application

1) Résoudre dans Q les équations suivantes :
 
a) 4x+12=127
 
b) 2x4=0
 
c) 7x1=3
 
d) 34x+12=32
 
2) Dans une classe de quatrième 1/3 écrit, 1/4 dessine, 1/6 calcule, 1/10 bavarde et les 9 restants sont absents.
 
Quel est l'effectif total de cette classe.

Solution

1)
 
a)  4x+12=1274x=127124x=115x=1154
 
Ainsi, S={1154}
 
b)  2x4=02x=4x=42x=2
 
D'où, S={2}
 
c)  7x1=37x=3+17x=2x=27x=27
 
Par suite, S={27}
 
d)  34x+12=3234x=321234x=31234x=2234x=1x=134x=43
 
D'où, S={43}
 
2)
 
Choix de l'inconnu
 
Soit x l'effectif total de cette classe. Alors :
 
x3=40x120 élèves écrivent,
 
x4=30x120 élèves dessinent,
 
x6=20x120 élèves calculent,
 
x10=12x120 élèves bavardent et les 9 restants sont absents.
 
Mise en équation
 
x=40x120+30x120+20x120+12x120+9
 
Ce qui donne : x=40x+30x+20x+12x120+9=102x120+9
 
Résolution
 
x=102x120+9x102x120=9120x120102x120=9120x102x120=918x120=918x=9×12018x=1080x=108018x=60
 
Donc, cette classe de quatrième compte 60 élèves dont :
 
603=20 écrivent,
 
604=15 dessinent,
 
606=10 calculent,
 
6010=6 bavardent et les 9 restants sont absents.
 
Vérification
 
20+15+10+6+9=60

III.2. Équations de la forme (ax+b)(cx+d)=0 et équation se ramenant à cette forme avec a0  et  c0

Règle : Un produit de facteur est nul si au moins l'un des facteurs est nul.
 
(ax+b)(cx+d)=0ax+b=0 ou cx+d=0
 
Les deux équations sont résolues séparément.
 
Ce qui donne : ax=b  ou  cx=d
 
Par suite : x=ba  ou  x=dc
 
D'où, l'ensemble des solutions sera donné par :
S={ba; dc}

Exercice d'application

Résoudre dans Q les équations suivantes :
 
a) (3x7)(x+5)=0
 
b) (2x+3)(4x+1)=0
 
c) 4x225=0
 
d) (x5)(2x3)=(x5)(4x1)

Solution

a)  (3x7)(x+5)=03x7=0  ou  x+5=03x=7  ou  x=5x=73  ou  x=5
 
Ainsi, S={73; 5}
 
b)  (2x+3)(4x+1)=02x+3=0  ou  4x+1=02x=3  ou  4x=1x=32  ou  x=14
 
D'où, S={32; 14}
 
c) Pour résoudre l'équation 4x225=0, on factorise d'abord l'expression 4x225
 
On a : 4x225=(2x)2(5)2=(2x5)(2x+5)
 
Par suite,
 
4x225=0(2x5)(2x+5)=02x5=0  ou  2x+5=02x=5  ou  2x=5x=52  ou  x=52
 
Ainsi, S={52; 52}
 
d) On a : (x5)(2x3)=(x5)(4x1) si, et seulement si, (x5)(2x3)(x5)(4x1)=0
 
En factorisant, on obtient :
 
(x5)(2x3)(x5)(4x1)=(x5)[(2x3)(4x1)]=(x5)(2x34x+1)=(x5)(2x2)
 
Donc,
 
(x5)(2x3)(x5)(4x1)=0(x5)(2x2)=0x5=0  ou  2x2=0x=5  ou  2x=2x=5  ou  x=22x=5  ou  x=1
 
D'où, S={5; 1}

III.3. Équations de type ax=b; ax=bc avec c0  et  x0

On a : ax=bc si, et seulement si, a×c=b×x
 
Ce qui entraine : x=acb
 
Ainsi, l'ensemble des solutions sera donné par :
S={acb}
Remarque
 
Pour le cas c=1, on obtient les équations de type ax=b 
 
D'où, S={ab}
 
Exemples
 
Résoudre dans Q les équations suivantes :
 
a) 7x=45
 
b) 2x=3
 
c) 3x=17
 
d) 5x=1
 
Solution
 
a)  7x=457×5=4x35=4xx=354
 
Ainsi, S={354}
 
b)  2x=32x=312×1=3x2=3xx=23
 
D'où, S={23}
 
c)  3x=173×7=x21=x
 
Donc, S={21}
 
d)  5x=15x=115×1=xx=5
 
Ainsi, S={5}
 

Commentaires

Bonjour je veux le format pdf de se cours et des exercices corrigés. Merci de votre soutien

Riopli gigologjk

Riopli gigologjk

idem je veux le format pdf ou le logiciel pour ordi

Très cool

U ou iii pitjhhhfhhhhjrrhhhhhzii

Très cool mais les sc il faut les mettre devant

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