Série d'exercices : Calcul dans R - 2nd

Classe: 
Seconde

Exercice 1

Calculer les nombres suivants en présentant les résultats sous forme de fraction irréductible :
 
$X=\dfrac{\dfrac{8}{3}-2+\dfrac{1}{2}}{-4+\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{2}}-\dfrac{\dfrac{3}{7}-\dfrac{2}{5}+1}{\dfrac{3}{2}-\dfrac{4}{7}-1}$
$\quad$
$Y=\left(\dfrac{\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{3}}{\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{3}}\times\dfrac{\dfrac{4}{5}-\dfrac{3}{4}}{\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{4}}\right)\div\dfrac{2+\dfrac{5}{6}}{2-\dfrac{5}{6}}$

Exercice 2

a) Soient $a\;,\ b$ et $c$ des réels non nuls. Mettre sous la forme $a^{n}$, ou $a^{n}b^{p}$ ou $a^{n}b^{p}c^{q}$ les réels suivants :
 
$A=\dfrac{a^{5}}{a^{8}}\left(\dfrac{a}{a^{4}}\right)^{-2}$
$\quad$
$B=\dfrac{a^{-2}a^{3}a^{5}}{a^{-4}a^{3}a^{2}}$
$\quad$
$C=\dfrac{a^{2}a^{4}}{(a^{3})^{-2}a^{5}}$
$\quad$
$D=(a^{3}b)^{3}(a^{2}b)^{-1}$
$\quad$
$E=\dfrac{a^{-2}b^{-5}}{a^{3}b^{-2}}$
$\quad$
$F=\dfrac{(a^{2}b)^{3}b^{-2}c^{3}}{a^{2}c(bc^{2})^{2}}$
$\quad$
$G=\dfrac{(a^{2}b)^{-3}\times(bc^{3})^{2}\times(a^{-2}b^{5}c)^{3}}{(b^{2}c^{2}a)^{-4}\times(a^{-1}b^{6})^{2}}$
$\quad$
$H=\dfrac{(a^{-2}c)^{-4}\times(-b^{2}c)^{5}\times(a^{3}bc^{-1})^{-2}}{(-a^{2}b^{-3}c)^{3}\times(-b)^{4}\times(a^{-5}c)^{2}}$
 
b) Écrire sous la forme $2^{m}3^{n}5^{p}$ (avec $m\;,\ n$ et $p$ entiers relatifs) les réels suivants :
 
$X=\dfrac{(0.09)^{-3}\times(0.16)^{2}\times 25}{(0.0075)^{-1}\times 810^{3}}$
$\quad$
$Y=\dfrac{(-6)^{4}\times 30^{-2}\times(-10)^{-3}\times 15^{4}}{(-25)^{2}\times 36^{-5}\times(-12)^{3}}$

Exercice 3

Développer et réduire les expressions suivantes :
 
$A=(a+b)^{3}+2(a^{3}+b^{3})-3(a+b)(a^{2}+b^{2})$ 
 
$B=(3x+2y)^{3}+(3x-2y)^{3}$ 
 
$C=(3x^{2}-2y+z)^{2}$ 
 
$D=(a+b)^{4}+a^{4}+b^{4}-2(a^{2}+ab+b^{2})^{2}$ 
 
$E=(x-y)(x+y-z)+(y-z)(y+z-x)+(z-y)(z+x-y)$ 
 
$F=(a+b+c)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+(a-b)^{2}$

Exercice 4

Factoriser les expressions suivantes : 
 
$A=(a^{2}+b^{2}-9)^{2}-4a^{2}b^{2}$
$\quad$
$B=(a^{2}+b^{2}-5)^{2}-(4ab+2)^{2}$
$\quad$
$C=(ax+by)^{2}-(ay+bx)^{2}$
$\quad$
$D=(ax+by)^{2}+(ay-bx)^{2}$
$\quad$
$E=a^{4}-b^{4}+2ab(a^{2}-b^{2})-(a^{3}-b^{3})+ab^{2}-a^{2}b$
$\quad$
$F=a^{2}(x^{2}+b^{4})-b^{2}(x^{2}+a^{4})$
$\quad$
$G=(a^{2}b^{2}+x^{2}y^{2})-(b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2})$
$\quad$
$H=9x^{2}-12x+4+(x-3)^{2}-(2x+1)^{2}$
$\quad$
$I=(x+y)^{3}-x^{3}-y^{3}$
$\quad$
$J=16x^{2}+8xy-4xz-2yz$

Exercice 5

Les dénominateurs étant supposés non nuls, écrire le plus simplement possible les réels suivants :
 
$A=\dfrac{1}{2x(2x-1)}+\dfrac{2x}{2x-1}+\dfrac{2x-1}{2x}$
 
$B=\dfrac{a}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{c}{(c-a)(c-b)}$
 
$C=\dfrac{xy}{ab}+\dfrac{(x-a)(y-a)}{a(a-b)}+\dfrac{(x-b)(y-b)}{b(b-a)}$
$\quad$
$D=\dfrac{a-\dfrac{a-b}{1+ab}}{1+\dfrac{a(a-b)}{1+ab}}$
$\quad$
$E=\dfrac{\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b+c}}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b+c}}\times\dfrac{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a+c}}{\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a+c}}$

Exercice 6

Simplifier
 
$A=(\sqrt{8}-\sqrt{18})(\sqrt{50}-\sqrt{72}+\sqrt{32})$
$\quad$
$B=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
$\quad$
$C=\sqrt{3(\sqrt{3}-2)^{2}}-\sqrt{4(1-\sqrt{3})^{2}}$
$\quad$
$D=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{9}}}}$
$\quad$
$E=\dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}-\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$
$\quad$
$F=(\sqrt{x+y}+\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x+y}-\sqrt{x}+\sqrt{y})$
$\quad$
$G=\dfrac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}$
$\quad$
$H=\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$

Exercice 7

Rendre rationnel le dénominateur des expressions suivantes :
 
$x=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{20}}\ ;$
$\quad$
$y=\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}-1}\ ;$
$\quad$
$z=\dfrac{3+\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}-\dfrac{1-2\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}$
$\quad$
$s=\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\;;\quad t=\dfrac{1}{\sqrt{7}-2\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

Exercice 8

Soient $a$ et $b$ deux réels de même signe et non nuls. Calculer la valeur de $\sqrt{1+x^{2}}$ pour $x=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\dfrac{a}{b}}-\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)$

Exercice 9

Calculer, lorsqu'il existe, le carré de $A=\sqrt{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}}+\sqrt{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}}}$

Exercice 10 (*)

Montrer que si $a\;,\ a'\;,\ b\;,\ b'\;,\ c$ et $c'$ sont positifs tels que : $\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}$, alors $$\sqrt{aa'}+\sqrt{bb'}+\sqrt{cc'}=\sqrt{(a+b+c)(a'+b'+c')}$$

Exercice 11

Mettre les nombres $\sqrt{11-2\sqrt{30}}\;,\ \sqrt{7-2\sqrt{10}}$ et $\sqrt{8+4\sqrt{3}}$ sous la forme $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ ou $\sqrt{x}-\sqrt{y}\;,\ x$ et $y$ étant des entiers naturels.
 
En déduire la valeur de $A=\dfrac{1}{\sqrt{11-2\sqrt{30}}}-\dfrac{3}{\sqrt{7-2\sqrt{10}}}-\dfrac{4}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}$

Exercice 12

1) Calculer, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2 : $$A=\left(1+\dfrac{1}{n-1}\right)\left(1-\dfrac{1}{n}\right)$$
2) Calculer $B=\left(1-\dfrac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^{2}}\right)$
 
3) Calculer en fonction de $n$ l'expression $$x_{n}=\left(1-\dfrac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^{2}}\right)\ldots\left(1-\dfrac{1}{n^{2}}\right)$$
 
4) Donner la valeur de $\left(1-\dfrac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^{2}}\right)\ldots\left(1-\dfrac{1}{2000^{2}}\right)$

Exercice 13 (*)

Soit $a\;,\ b\;,\ c$ trois réels non nul tels que $ab+bc+ca=0.$
 
Calculer la somme $S=\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c}$

Exercice 14

Soit $a\;,\ b\;,\ c$ trois réels : 
 
1) Développer $(a+b+c)(ab+bc+ca)$ puis $(a+b+c)^{3}$
 
2) Démontrer que si : $a+b+c=0$, alors $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$
 
3) En déduire que, pour tous réel $x\;,\ y\;,\ z$ on a : $$(x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3}=3(x-y)(y-z)(z-x)$$

Exercice 15

Soit $n$ un entier naturel, écrire sans radical au dénominateur $$\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$
En déduire une expression simple de $$\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$$

Exercice 16 (*)

Simplifier les expressions suivantes :
 
$A=\dfrac{a^{2}}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^{2}}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{c^{2}}{(c-a)(c-b)}$
 
$B=\dfrac{a^{3}}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^{3}}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{c^{3}}{(c-a)(c-b)}$
 
$C=\left(b\sqrt{\dfrac{a}{b}}-a\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)^{2}$
$\quad$
$D=\left(\dfrac{m^{2}-1}{m^{2}+1}\right)^{2}+\left(\dfrac{2m}{m^{2}+1}\right)^{2}$
$\quad$
$E=\sqrt{\dfrac{8^{10}+4^{10}}{8^{4}+4^{11}}}$
$\quad$
$F=\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}+\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}$
$\quad$
$G=\left(\sqrt{\dfrac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}}+\sqrt{\dfrac{3-2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}}\right)^{2}$
$\quad$
$H=\dfrac{1}{(x+y)^{2}}\left(\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\right)+\dfrac{2}{(x+y)^{3}}\left(\dfrac{x+y}{xy}\right)$

Exercice 17

Écrire, dans chacun des cas suivants, le réel $A$ sous forme scientifique : 
 
a) $A=919631770$
$\quad$
b) $A= 27000000000000$
$\quad$
c) $A=0.000007277$
$\quad$
d) $A=12420000$
$\quad$
$\text{e)}\ A=0.00000000000000000000000000000000066262$ (constante de Planck, en joule seconde).

Exercice 18

Écrire, dans chacun des cas suivants, le réel $B$ sous forme décimale : 
 
a) $B=4.168\times 10^{-3}$
$\quad$
b) $B=6.429793\times 10^{-2}$
$\quad$
c) $B=2.051738\times 10^{2}$
$\quad$
d) $B=264.587 2\times 10^{-6}$
$\quad$
e) $B=5.258\times 10^{6}$
$\quad$
f) $B=37.000 25\times 10^{-1}$

Exercice 19

Dans chacun des cas suivants, calculer le réel $C$ et donner le résultat sous forme scientifique : 
 
a) $C=124.2\times 10^{-6}\times 58\ 000 000$
$\quad$
b) $C=(0.000\ 024\ 51)^{2}\times 1\ 524\ 000$
$\quad$
c) $C=4.29\times 9.465\times 126\times 10^{12}$
$\quad$
$\text{d)}\ C=299 792.2\times 365.242\times 3600\times 24$

N.B.

L'expression $C$ du d) est la distance $($en $km)$ parcourue par la lumière en une année (année-lumière)

Exercice 20

Écrire sous la forme d'un produit de puissance de nombres premiers les expressions suivantes :

$a=(2^{-4})^{3}$

$b=-54^{4}$

$c=(2^{3})^{5}\times\left(\dfrac{3}{5}\right)^{3}\times 25\times 7^{3}$

$d=\dfrac{(27)^{2}\times 81\times(3^{2}\times(-7))^{3}\times 25^{2}}{(121)^{3}\times(49)^{3}\times(-15)^{4}}$

$e=\dfrac{\dfrac{(2^{3}\times 5^{2})^{-2}}{(5^{2}\times 3^{-3})^{3}}}{\left[\dfrac{(3\times 5^{2})^{-2}\times 2}{2^{-2}\times 3^{3}\times 5}\right]^{-3}}$

Exercice 21

Soient $a\;,\ b$ et $c$ trois nombres réels.

1) Montrer que si,

 $a+b+c=0$ alors $a^{2}+b^{2}+c^{2}=-2(ab+bc+ac)$

2) Montrer que si,

 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0$ alors $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Exercice 22

1) Soit $x=\sqrt{12-3\sqrt{7}}-\sqrt{12+3\sqrt{7}}$

a) Donner le signe de $x$

b) Calculer $x^{2}$

c) Donner une écriture simplifiée de $x$

2) Simplifier l'écriture de $y=\sqrt{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}$

3) Donner une écriture simplifiée de

$z=\dfrac{2\sqrt{9+\sqrt{65}}}{\sqrt{19}-3}-\dfrac{\sqrt{19}+3}{2\sqrt{9-\sqrt{65}}}$

Exercice 23

On donne les réels $A=\sqrt{7+4\sqrt{3}}$ et $B=\sqrt{7-4\sqrt{3}}$
 
1) Calculer $A\times B$
 
2) On pose $X=A+B$ et $Y=A-B$
 
a) Vérifier que $X>0$ et $Y>0$
 
b) Calculer $X^{2}$ et $Y^{2}$
 
c) En déduire les valeurs de $X$ et $Y$
 
d) En déduire une écriture plus simple de $A$ et $B$

Exercice 24

Dans chacun des cas suivants calculer $x^{2}$ puis en déduire une écriture simple de $x.$
 
$x=\sqrt{4\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$
 
$x=\sqrt{12-3\sqrt{7}}-\sqrt{12+3\sqrt{7}}$

Exercice 25 (*) 

Proportionnalité

Quatre nombres $a\;,\ b\;,\ c$ et $d$ (pris dans cet ordre) sont dits former une proportion lorsque $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}.$
 
$a$ et $d$ sont les termes extrêmes de la proportion ; $b$ et $c$ en sont les termes moyens.
 
1) Soit la proportion $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}.$ Montrer qu'on a alors : $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}$$ et plus généralement $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{ka+lc}{kb+ld}$$ quels que soient les réels $k$ et $l.$
 
2) Démontrer que si les nombres $a\;,\ b\,\ c\;,\ d$ forment une proportion, il en est de même de $a^{2}\;,\ b^{2}\;,\ c^{2}\;,\ d^{2}$ d'une part et de $ab\;,\ cd\;,\ (a+b)^{2}\;,\ (c+d)^{2}$ d'autre part. Étudier les réciproques.
 
3) On appelle quatrième proportionnelle à 3 nombres $a\;,\ b$ et $c$ le nombre $d$ tel que : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}.$ Calculer les quatrièmes proportionnelles aux nombres suivants :
 
(1) $\dfrac{4}{3}\;,\ -\dfrac{2}{5}\;,\ -5$
$\quad$
(2) $\dfrac{1}{4}\;,\ 8\;,\ 25$
$\quad$
(3) $-\dfrac{1}{3}\;,\ 5\;,\ 4$
 
4) On appelle moyenne proportionnelle à deux nombres $a$ et $b$ le nombre positif $x$ tel que : $$\dfrac{a}{x}=\dfrac{x}{b}.$$
 
On donne quatre nombre réels $m\;,\ n\;,\ p\;,\ q$ tels que : $$\dfrac{m}{n}=\dfrac{p}{q}$$
 
Démontrer que la moyenne proportionnelle de $mn$ et $pq$ est $\dfrac{mq+pn}{2}.$ La réciproque est-elle exacte ?
 
5) Étant donnés deux réels $a$ et $b$, on considère le nombre $h$ tel que : $$\dfrac{1}{h}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)$$
$h$ est appelé moyenne harmonique de $a$ et $b.$
 
a) Démontrer que les nombres $a-h\;,\ h-b\;,\ a$ et $b$ sont en proportion (supposer $a\neq b).$
 
b) La réciproque est-elle exacte ?
 
6) Une horloge sonne six heures du matin en six secondes. En combien de temps sonne-t-elle midi ?
 
7) Un berger a de quoi nourrir 6 vaches pendant 60 jours. Pendant combien de temps pourrait-il nourrir 8 vaches ?
 
8) Une poule et demie pond un œuf et demi en un jour et demi. Combien d'œufs pondront douze poules en douze jours ?
 
9) Le prix d'un diamant est proportionnel au carré de son poids. Un diamant de $0.45\;g$ vaut $5000000\ F.$
 
a) Combien coûte un diamant de $0.693\;g$ ?
 
b) Quel est le poids d'un diamant valant $3000000\ F$
 
10) Problème de Newton : $75$ bœufs se sont nourris pendant $12$ jours dans un pré de $60$ ares avec l'herbe qui y était et celle qui a poussé depuis ; $81$ bœufs se sont nourris pendant $15$ jours dans un pré de $72$ ares avec l'herbe qui y était et celle qui a poussé depuis. 
 
On demande combien de bœufs pourra nourrir dans les mêmes conditions un pré de $96$ ares.
 
Notes : 
 
1. L'herbe pousse régulièrement. 
 
2. La réponse est $100$ bœufs
 

$\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

sam, 10/20/2018 - 13:40

J'aime

adja fatou tall (non vérifié)

jeu, 11/08/2018 - 14:23

le corrigé des exercices svp

fdini

jeu, 11/08/2018 - 14:51

Pour cette série des corrigés sont dispo, dans exo math 2nd

Anonyme (non vérifié)

ven, 10/26/2018 - 00:58

Téléchargement

mamadou gueyr (non vérifié)

lun, 10/21/2019 - 02:11

telechargemet

Ibrahima ndoye (non vérifié)

sam, 05/04/2019 - 15:45

Sa m'a aidé sur beaucoup de chose

Mamadou aminata... (non vérifié)

lun, 07/22/2019 - 15:02

Les exercices répondent aux exigences et besoins l'élève

bah (non vérifié)

dim, 10/13/2019 - 13:38

j'aime

Anonyme (non vérifié)

jeu, 11/04/2021 - 07:43

Merci

Béthelclass (non vérifié)

ven, 10/14/2022 - 20:00

J'aimerais avoir les exercices en PDf

Anonyme (non vérifié)

jeu, 11/03/2022 - 21:11

J’adore

Anonyme (non vérifié)

jeu, 11/03/2022 - 21:11

J’adore

Anonyme (non vérifié)

jeu, 11/03/2022 - 21:11

J’adore

Anonyme (non vérifié)

jeu, 11/03/2022 - 21:11

J’adore

Anonyme (non vérifié)

jeu, 11/03/2022 - 21:11

J’adore

Anonyme (non vérifié)

lun, 01/30/2023 - 18:22

Merci

Anonyme (non vérifié)

mar, 10/10/2023 - 09:37

Ndjrjhejxhng Ugghjuhhju Jfjejjdbf Jfbfueujz Dubfidudbr

Robogo Nathan (non vérifié)

dim, 10/15/2023 - 23:20

En pdf

Robogo Nathan (non vérifié)

dim, 10/15/2023 - 23:21

PDF

f (non vérifié)

jeu, 10/19/2023 - 21:18

Pour s'entrainer

mkalala (non vérifié)

jeu, 10/19/2023 - 21:18

pour s'entraîner

Tijani (non vérifié)

mar, 10/24/2023 - 21:44

Correction de l'exercice 22

mously (non vérifié)

mer, 10/25/2023 - 22:45

i like it

Anonyme (non vérifié)

sam, 10/26/2024 - 07:29

Je vais prendre ça pour traiter les exercices

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