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Série d'exercices : Calcul dans R - 2nd

Classe:

Seconde

Exercice 1

Calculer les nombres suivants en présentant les résultats sous forme de fraction irréductible :

$X=\dfrac{\dfrac{8}{3}-2+\dfrac{1}{2}}{-4+\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{2}}-\dfrac{\dfrac{3}{7}-\dfrac{2}{5}+1}{\dfrac{3}{2}-\dfrac{4}{7}-1}$

$\quad$

$Y=\left(\dfrac{\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{3}}{\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{3}}\times\dfrac{\dfrac{4}{5}-\dfrac{3}{4}}{\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{4}}\right)\div\dfrac{2+\dfrac{5}{6}}{2-\dfrac{5}{6}}$

Exercice 2

a) Soient

$a\;,\ b$ et

$c$ des réels non nuls. Mettre sous la forme

$a^{n}$ , ou

$a^{n}b^{p}$ ou

$a^{n}b^{p}c^{q}$ les réels suivants :

$A=\dfrac{a^{5}}{a^{8}}\left(\dfrac{a}{a^{4}}\right)^{-2}$

$\quad$

$B=\dfrac{a^{-2}a^{3}a^{5}}{a^{-4}a^{3}a^{2}}$

$\quad$

$C=\dfrac{a^{2}a^{4}}{(a^{3})^{-2}a^{5}}$

$\quad$

$D=(a^{3}b)^{3}(a^{2}b)^{-1}$

$\quad$

$E=\dfrac{a^{-2}b^{-5}}{a^{3}b^{-2}}$

$\quad$

$F=\dfrac{(a^{2}b)^{3}b^{-2}c^{3}}{a^{2}c(bc^{2})^{2}}$

$\quad$

$G=\dfrac{(a^{2}b)^{-3}\times(bc^{3})^{2}\times(a^{-2}b^{5}c)^{3}}{(b^{2}c^{2}a)^{-4}\times(a^{-1}b^{6})^{2}}$

$\quad$

$H=\dfrac{(a^{-2}c)^{-4}\times(-b^{2}c)^{5}\times(a^{3}bc^{-1})^{-2}}{(-a^{2}b^{-3}c)^{3}\times(-b)^{4}\times(a^{-5}c)^{2}}$

b) Écrire sous la forme

$2^{m}3^{n}5^{p}$ (avec

$m\;,\ n$ et

$p$ entiers relatifs) les réels suivants :

$X=\dfrac{(0.09)^{-3}\times(0.16)^{2}\times 25}{(0.0075)^{-1}\times 810^{3}}$

$\quad$

$Y=\dfrac{(-6)^{4}\times 30^{-2}\times(-10)^{-3}\times 15^{4}}{(-25)^{2}\times 36^{-5}\times(-12)^{3}}$

Exercice 3

Développer et réduire les expressions suivantes :

$A=(a+b)^{3}+2(a^{3}+b^{3})-3(a+b)(a^{2}+b^{2})$

$B=(3x+2y)^{3}+(3x-2y)^{3}$

$C=(3x^{2}-2y+z)^{2}$

$D=(a+b)^{4}+a^{4}+b^{4}-2(a^{2}+ab+b^{2})^{2}$

$E=(x-y)(x+y-z)+(y-z)(y+z-x)+(z-y)(z+x-y)$

$F=(a+b+c)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+(a-b)^{2}$

Exercice 4

Factoriser les expressions suivantes :

$A=(a^{2}+b^{2}-9)^{2}-4a^{2}b^{2}$

$\quad$

$B=(a^{2}+b^{2}-5)^{2}-(4ab+2)^{2}$

$\quad$

$C=(ax+by)^{2}-(ay+bx)^{2}$

$\quad$

$D=(ax+by)^{2}+(ay-bx)^{2}$

$\quad$

$E=a^{4}-b^{4}+2ab(a^{2}-b^{2})-(a^{3}-b^{3})+ab^{2}-a^{2}b$

$\quad$

$F=a^{2}(x^{2}+b^{4})-b^{2}(x^{2}+a^{4})$

$\quad$

$G=(a^{2}b^{2}+x^{2}y^{2})-(b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2})$

$\quad$

$H=9x^{2}-12x+4+(x-3)^{2}-(2x+1)^{2}$

$\quad$

$I=(x+y)^{3}-x^{3}-y^{3}$

$\quad$

$J=16x^{2}+8xy-4xz-2yz$

Exercice 5

Les dénominateurs étant supposés non nuls, écrire le plus simplement possible les réels suivants :

$A=\dfrac{1}{2x(2x-1)}+\dfrac{2x}{2x-1}+\dfrac{2x-1}{2x}$

$B=\dfrac{a}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{c}{(c-a)(c-b)}$

$C=\dfrac{xy}{ab}+\dfrac{(x-a)(y-a)}{a(a-b)}+\dfrac{(x-b)(y-b)}{b(b-a)}$

$\quad$

$D=\dfrac{a-\dfrac{a-b}{1+ab}}{1+\dfrac{a(a-b)}{1+ab}}$

$\quad$

$E=\dfrac{\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b+c}}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b+c}}\times\dfrac{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a+c}}{\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a+c}}$

Exercice 6

Simplifier

$A=(\sqrt{8}-\sqrt{18})(\sqrt{50}-\sqrt{72}+\sqrt{32})$

$\quad$

$B=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

$\quad$

$C=\sqrt{3(\sqrt{3}-2)^{2}}-\sqrt{4(1-\sqrt{3})^{2}}$

$\quad$

$D=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{9}}}}$

$\quad$

$E=\dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}-\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

$\quad$

$F=(\sqrt{x+y}+\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x+y}-\sqrt{x}+\sqrt{y})$

$\quad$

$G=\dfrac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}$

$\quad$

$H=\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$

Exercice 7

Rendre rationnel le dénominateur des expressions suivantes :

$x=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{20}}\ ;$

$\quad$

$y=\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}-1}\ ;$

$\quad$

$z=\dfrac{3+\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}-\dfrac{1-2\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}$

$\quad$

$s=\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\;;\quad t=\dfrac{1}{\sqrt{7}-2\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

Exercice 8

Soient

$a$ et

$b$ deux réels de même signe et non nuls. Calculer la valeur de

$\sqrt{1+x^{2}}$ pour

$x=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\dfrac{a}{b}}-\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)$

Exercice 9

Calculer, lorsqu'il existe, le carré de

$A=\sqrt{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}}+\sqrt{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}}}$

Exercice 10 (*)

Montrer que si

$a\;,\ a'\;,\ b\;,\ b'\;,\ c$ et

$c'$ sont positifs tels que :

$\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}$ , alors

$\sqrt{aa'}+\sqrt{bb'}+\sqrt{cc'}=\sqrt{(a+b+c)(a'+b'+c')}$

Exercice 11

Mettre les nombres

$\sqrt{11-2\sqrt{30}}\;,\ \sqrt{7-2\sqrt{10}}$ et

$\sqrt{8+4\sqrt{3}}$ sous la forme

$\sqrt{x}+\sqrt{y}$ ou

$\sqrt{x}-\sqrt{y}\;,\ x$ et

$y$ étant des entiers naturels.

En déduire la valeur de

$A=\dfrac{1}{\sqrt{11-2\sqrt{30}}}-\dfrac{3}{\sqrt{7-2\sqrt{10}}}-\dfrac{4}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}$

Exercice 12

1) Calculer, pour tout entier

$n$ supérieur ou égal à 2 :

$A=\left(1+\dfrac{1}{n-1}\right)\left(1-\dfrac{1}{n}\right)$

2) Calculer

$B=\left(1-\dfrac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^{2}}\right)$

3) Calculer en fonction de

$n$ l'expression

$x_{n}=\left(1-\dfrac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^{2}}\right)\ldots\left(1-\dfrac{1}{n^{2}}\right)$

4) Donner la valeur de

$\left(1-\dfrac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^{2}}\right)\ldots\left(1-\dfrac{1}{2000^{2}}\right)$

Exercice 13 (*)

Soit

$a\;,\ b\;,\ c$ trois réels non nul tels que

$ab+bc+ca=0.$

Calculer la somme

$S=\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c}$

Exercice 14

Soit

$a\;,\ b\;,\ c$ trois réels :

1) Développer

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$ puis

$(a+b+c)^{3}$

2) Démontrer que si :

$a+b+c=0$ , alors

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$

3) En déduire que, pour tous réel

$x\;,\ y\;,\ z$ on a :

$(x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3}=3(x-y)(y-z)(z-x)$

Exercice 15

Soit

$n$ un entier naturel, écrire sans radical au dénominateur

$\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

En déduire une expression simple de

$\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$

Exercice 16 (*)

Simplifier les expressions suivantes :

$A=\dfrac{a^{2}}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^{2}}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{c^{2}}{(c-a)(c-b)}$

$B=\dfrac{a^{3}}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^{3}}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{c^{3}}{(c-a)(c-b)}$

$C=\left(b\sqrt{\dfrac{a}{b}}-a\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)^{2}$

$\quad$

$D=\left(\dfrac{m^{2}-1}{m^{2}+1}\right)^{2}+\left(\dfrac{2m}{m^{2}+1}\right)^{2}$

$\quad$

$E=\sqrt{\dfrac{8^{10}+4^{10}}{8^{4}+4^{11}}}$

$\quad$

$F=\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}+\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}$

$\quad$

$G=\left(\sqrt{\dfrac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}}+\sqrt{\dfrac{3-2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}}\right)^{2}$

$\quad$

$H=\dfrac{1}{(x+y)^{2}}\left(\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\right)+\dfrac{2}{(x+y)^{3}}\left(\dfrac{x+y}{xy}\right)$

Exercice 17

Écrire, dans chacun des cas suivants, le réel

$A$ sous forme scientifique :

$A=919631770$

$\quad$
b)

$A= 27000000000000$

$\quad$

$A=0.000007277$

$\quad$
d)

$A=12420000$

$\quad$

$\text{e)}\ A=0.00000000000000000000000000000000066262$ (constante de Planck, en joule seconde).

Exercice 18

Écrire, dans chacun des cas suivants, le réel

$B$ sous forme décimale :

$B=4.168\times 10^{-3}$

$\quad$
b)

$B=6.429793\times 10^{-2}$

$\quad$

$B=2.051738\times 10^{2}$

$\quad$
d)

$B=264.587 2\times 10^{-6}$

$\quad$

$B=5.258\times 10^{6}$

$\quad$
f)

$B=37.000 25\times 10^{-1}$

Exercice 19

Dans chacun des cas suivants, calculer le réel

$C$ et donner le résultat sous forme scientifique :

$C=124.2\times 10^{-6}\times 58\ 000 000$

$\quad$
b)

$C=(0.000\ 024\ 51)^{2}\times 1\ 524\ 000$

$\quad$

$C=4.29\times 9.465\times 126\times 10^{12}$

$\quad$

$\text{d)}\ C=299 792.2\times 365.242\times 3600\times 24$

N.B.

L'expression

$C$ du d) est la distance

$($ en

$km)$ parcourue par la lumière en une année (année-lumière)

Exercice 20

Écrire sous la forme d'un produit de puissance de nombres premiers les expressions suivantes :

$a=(2^{-4})^{3}$

$b=-54^{4}$

$c=(2^{3})^{5}\times\left(\dfrac{3}{5}\right)^{3}\times 25\times 7^{3}$

$d=\dfrac{(27)^{2}\times 81\times(3^{2}\times(-7))^{3}\times 25^{2}}{(121)^{3}\times(49)^{3}\times(-15)^{4}}$

$e=\dfrac{\dfrac{(2^{3}\times 5^{2})^{-2}}{(5^{2}\times 3^{-3})^{3}}}{\left[\dfrac{(3\times 5^{2})^{-2}\times 2}{2^{-2}\times 3^{3}\times 5}\right]^{-3}}$

Exercice 21

Soient

$a\;,\ b$ et

$c$ trois nombres réels.

1) Montrer que si,

$a+b+c=0$ alors $a^{2}+b^{2}+c^{2}=-2(ab+bc+ac)$

2) Montrer que si,

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0$ alors $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Exercice 22

1) Soit

$x=\sqrt{12-3\sqrt{7}}-\sqrt{12+3\sqrt{7}}$

a) Donner le signe de $x$

b) Calculer $x^{2}$

c) Donner une écriture simplifiée de $x$

2) Simplifier l'écriture de $y=\sqrt{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}$

3) Donner une écriture simplifiée de

$z=\dfrac{2\sqrt{9+\sqrt{65}}}{\sqrt{19}-3}-\dfrac{\sqrt{19}+3}{2\sqrt{9-\sqrt{65}}}$

Exercice 23

On donne les réels

$A=\sqrt{7+4\sqrt{3}}$ et

$B=\sqrt{7-4\sqrt{3}}$

1) Calculer

$A\times B$

2) On pose

$X=A+B$ et

$Y=A-B$

a) Vérifier que

$X>0$ et

$Y>0$

b) Calculer

$X^{2}$ et

$Y^{2}$

c) En déduire les valeurs de

$X$ et

$Y$

d) En déduire une écriture plus simple de

$A$ et

$B$

Exercice 24

Dans chacun des cas suivants calculer

$x^{2}$ puis en déduire une écriture simple de

$x.$

$x=\sqrt{4\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$

$x=\sqrt{12-3\sqrt{7}}-\sqrt{12+3\sqrt{7}}$

Exercice 25 (*)

Proportionnalité

Quatre nombres

$a\;,\ b\;,\ c$ et

$d$ (pris dans cet ordre) sont dits former une proportion lorsque

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}.$

$a$ et

$d$ sont les termes extrêmes de la proportion ;

$b$ et

$c$ en sont les termes moyens.

1) Soit la proportion

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}.$ Montrer qu'on a alors :

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}$ et plus généralement

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{ka+lc}{kb+ld}$ quels que soient les réels

$k$ et

$l.$

2) Démontrer que si les nombres

$a\;,\ b\,\ c\;,\ d$ forment une proportion, il en est de même de

$a^{2}\;,\ b^{2}\;,\ c^{2}\;,\ d^{2}$ d'une part et de

$ab\;,\ cd\;,\ (a+b)^{2}\;,\ (c+d)^{2}$ d'autre part. Étudier les réciproques.

3) On appelle quatrième proportionnelle à 3 nombres

$a\;,\ b$ et

$c$ le nombre

$d$ tel que :

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}.$ Calculer les quatrièmes proportionnelles aux nombres suivants :

(1)

$\dfrac{4}{3}\;,\ -\dfrac{2}{5}\;,\ -5$

$\quad$
(2)

$\dfrac{1}{4}\;,\ 8\;,\ 25$

$\quad$
(3)

$-\dfrac{1}{3}\;,\ 5\;,\ 4$

4) On appelle moyenne proportionnelle à deux nombres

$a$ et

$b$ le nombre positif

$x$ tel que :

$\dfrac{a}{x}=\dfrac{x}{b}.$

On donne quatre nombre réels

$m\;,\ n\;,\ p\;,\ q$ tels que :

$\dfrac{m}{n}=\dfrac{p}{q}$

Démontrer que la moyenne proportionnelle de

$mn$ et

$pq$ est

$\dfrac{mq+pn}{2}.$ La réciproque est-elle exacte ?

5) Étant donnés deux réels

$a$ et

$b$ , on considère le nombre

$h$ tel que :

$\dfrac{1}{h}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)$

$h$ est appelé moyenne harmonique de

$a$ et

$b.$

a) Démontrer que les nombres

$a-h\;,\ h-b\;,\ a$ et

$b$ sont en proportion (supposer

$a\neq b).$

b) La réciproque est-elle exacte ?

6) Une horloge sonne six heures du matin en six secondes. En combien de temps sonne-t-elle midi ?

7) Un berger a de quoi nourrir 6 vaches pendant 60 jours. Pendant combien de temps pourrait-il nourrir 8 vaches ?

8) Une poule et demie pond un œuf et demi en un jour et demi. Combien d'œufs pondront douze poules en douze jours ?

9) Le prix d'un diamant est proportionnel au carré de son poids. Un diamant de

$0.45\;g$ vaut

$5000000\ F.$

a) Combien coûte un diamant de

$0.693\;g$ ?

b) Quel est le poids d'un diamant valant

$3000000\ F$

10) Problème de Newton :

$75$ bœufs se sont nourris pendant

$12$ jours dans un pré de

$60$ ares avec l'herbe qui y était et celle qui a poussé depuis ;

$81$ bœufs se sont nourris pendant

$15$ jours dans un pré de

$72$ ares avec l'herbe qui y était et celle qui a poussé depuis.

On demande combien de bœufs pourra nourrir dans les mêmes conditions un pré de

$96$ ares.

Notes :

1. L'herbe pousse régulièrement.

2. La réponse est

$100$ bœufs

$\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$

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sam, 10/20/2018 - 13:40

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adja fatou tall (non vérifié)

jeu, 11/08/2018 - 14:23

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le corrigé des exercices svp

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fdini

jeu, 11/08/2018 - 14:51

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Pour cette série des corrigés

Pour cette série des corrigés sont dispo, dans exo math 2nd

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Anonyme (non vérifié)

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mamadou gueyr (non vérifié)

lun, 10/21/2019 - 02:11

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telechargemet

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Ibrahima ndoye (non vérifié)

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Sa m'a aidé sur beaucoup de

Sa m'a aidé sur beaucoup de chose

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Mamadou aminata... (non vérifié)

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Les exercices répondent aux

Les exercices répondent aux exigences et besoins l'élève

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bah (non vérifié)

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cv

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Anonyme (non vérifié)

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J'aimerais avoir les

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Ndjrjhejxhng Ugghjuhhju Jfjejjdbf Jfbfueujz Dubfidudbr

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Correction de l'exercice 22

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sam, 10/26/2024 - 07:29

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Je vais prendre ça pour traiter les exercices

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