Devoir n°15 - Ts2

Classe: 
Terminale
 
 

Exercice 1

1) Soit $f(x)=\ln(2\cos x+1)-\ln(\sin x).$
 
Pour quelles valeurs de $x$ de l'intervalle $[0\;;\ 2\pi]$ peut-on calculer $f(x)$ ?
 
2) Soit $g(x)=\ln\left(\dfrac{2\cos x+1}{\sin x}\right).$
 
Pour quelles valeurs de $x$ de l'intervalle $[0\;;\ 2\pi]$ peut-on calculer $g(x)$ ?
 
3) On pose $t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)$ Vérifier les relations suivantes :
 
$\forall\;x\neq\pi+2k\pi\;,\ (k\in\mathbb{Z})\;,\ \cos x=\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\text{ et }\sin x=\dfrac{2t}{1+t^{2}}$
 
4) Résoudre l'équation : 
 
$\ln(2\cos x+1)-\ln(\sin x)=\ln\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\;,\text{ où }x\in[0\;;\ 2\pi].$
 
(On posera $t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right))$
 

Exercice 2

Soit $f\ :\ x\mapsto\dfrac{1-\sqrt{1-x^{4}}}{x}.$
 
1) Déterminer $D_{f}.$
 
2) a) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f.$
 
b) Calculer $\lim _{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}.$
 
Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
 
3) a) Montrer qu'il existe une fonction $g$ définie et continue sur $[-1\;;\ 1]$ et telle que :
 
$$\forall\;x\in[-1\;;\ 0[\;\cup\;]0\;;\ 1]\;,\ g(x)=f(x).$$
 
b) $g$ est-elle dérivable en 0 ?
 
4) Étudier la parité de $g$, puis achever l'étude de $g$ et construire sa courbe représentative dans un repère
orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$ (Unité : $3\;cm$).
 

Exercice 3

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\ln|x^{2}-x-2|.$
 
1) Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.
 
2) Montrer que la droite d'équation $x=\dfrac{1}{2}$ est un axe de symétrie pour $\mathcal{C}_{f}$
 
3) Montrer que $\mathcal{C}_{f}$ admet deux branches paraboliques dont on précisera les directions.
 
4) Déterminer les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe $(O\;,\ \vec{i}).$
 
5) Calculer $f(0)\;;\ f\left(\dfrac{1}{2}\right)\text{ et }f(-2)\text{ à }10^{-2}\text{ près }.$
 
6) Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $]2\;;\ +\infty[.$
 
a) Montrer que $g$ réalise une bijection de $]2\;;\ +\infty[$ sur un intervalle à déterminer.
 
b) Établir le tableau de variation de sa bijection réciproque $g^{-1}.$
 
c) Calculer $g(3)$ et en déduire $(g^{-1'})(2\ln 2).$
 
d) Montrer que l'équation $g(x)=-x$ admet une unique solution $\alpha$ et que $\alpha\in]2\;;\ 3[.$
 
7) Construire les courbes $\mathcal{C}_{f}\text{ et }\mathcal{C}_{g}^{-1}$ sur le même graphique.
 
8) Soit $h$ la fonction définie par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} h(x) &=& \dfrac{g(x)}{\ln(x-2)}\\ \\ h(2) &=& 1 \end{array}\right.$$
 
Étudier la continuité et la dérivabilité de $h\text{ en }x_{0}=2.$
 

Commentaires

Diallo (non vérifié)

dim, 02/17/2019 - 02:38

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Anonyme (non vérifié)

mar, 11/14/2023 - 21:18

Superbe

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