Devoir n°15 - Ts2

Classe: 
Terminale
 
 

Exercice 1

1) Soit f(x)=ln(2cosx+1)−ln(sinx).
 
Pour quelles valeurs de x de l'intervalle [0; 2π] peut-on calculer f(x) ?
 
2) Soit g(x)=ln(2cosx+1sinx).
 
Pour quelles valeurs de x de l'intervalle [0; 2π] peut-on calculer g(x) ?
 
3) On pose t=tan(x2) Vérifier les relations suivantes :
 
∀x≠π+2kπ, (k∈Z), cosx=1−t21+t2 et sinx=2t1+t2
 
4) Résoudre l'équation : 
 
ln(2cosx+1)−ln(sinx)=ln(√33), où x∈[0; 2π].
 
(On posera t=tan(x2))
 

Exercice 2

Soit f : x↦1−√1−x4x.
 
1) Déterminer Df.
 
2) a) Étudier la continuité et la dérivabilité de f.
 
b) Calculer lim
 
Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
 
3) a) Montrer qu'il existe une fonction g définie et continue sur [-1\;;\ 1] et telle que :
 
\forall\;x\in[-1\;;\ 0[\;\cup\;]0\;;\ 1]\;,\ g(x)=f(x).
 
b) g est-elle dérivable en 0 ?
 
4) Étudier la parité de g, puis achever l'étude de g et construire sa courbe représentative dans un repère
orthonormé (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}). (Unité : 3\;cm).
 

Exercice 3

Soit f la fonction définie par f(x)=\ln|x^{2}-x-2|.
 
1) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
 
2) Montrer que la droite d'équation x=\dfrac{1}{2} est un axe de symétrie pour \mathcal{C}_{f}
 
3) Montrer que \mathcal{C}_{f} admet deux branches paraboliques dont on précisera les directions.
 
4) Déterminer les abscisses des points d'intersection de \mathcal{C}_{f} avec l'axe (O\;,\ \vec{i}).
 
5) Calculer f(0)\;;\ f\left(\dfrac{1}{2}\right)\text{ et }f(-2)\text{ à }10^{-2}\text{ près }.
 
6) Soit g la restriction de f à l'intervalle ]2\;;\ +\infty[.
 
a) Montrer que g réalise une bijection de ]2\;;\ +\infty[ sur un intervalle à déterminer.
 
b) Établir le tableau de variation de sa bijection réciproque g^{-1}.
 
c) Calculer g(3) et en déduire (g^{-1'})(2\ln 2).
 
d) Montrer que l'équation g(x)=-x admet une unique solution \alpha et que \alpha\in]2\;;\ 3[.
 
7) Construire les courbes \mathcal{C}_{f}\text{ et }\mathcal{C}_{g}^{-1} sur le même graphique.
 
8) Soit h la fonction définie par :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} h(x) &=& \dfrac{g(x)}{\ln(x-2)}\\ \\ h(2) &=& 1 \end{array}\right.
 
Étudier la continuité et la dérivabilité de h\text{ en }x_{0}=2.
 

Commentaires

Diallo (non vérifié)

dim, 02/17/2019 - 02:38

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Anonyme (non vérifié)

mar, 11/14/2023 - 21:18

Superbe

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