Série d'exercices : Gravitation universelle - Ts

Classe: 
Terminale
 

Exercice 1

Un satellite artificiel de la Terre, de masse m, se déplace vitesse constante sur une orbite circulaire dans un référentiel galiléen lié au centre de la Terre à l'altitude h=3.6107m compté à partir de la surface de la Terre. 
 
La trajectoire est située dans le plan équatorial et le satellite tourne dans le sens de rotation de la Terre.
 
Le rayon de la Terre est R=6.4106m
 
1. Calculer la valeur de l'intensité g du champ de pesanteur à l'altitude h, sachant qu'à la surface de la Terre g0=9.8ms2. 
 
On rappelle la loi de la gravitation universelle F=kMmr20 où M est la masse de la Terre et r la distance du satellite au centre de la Terre.
 
2. Faire le bilan des forces appliquées au satellite supposé ponctuel et en déduire sa vitesse
 
3. Déterminer la période du mouvement dans le repère galiléen considéré ici.
 
 

Exercice 2

La Terre est assimilée à une sphère de rayon TR et de masse MT.
 
Elle possède une répartition de masse à symétrie sphérique.
 
1. On suppose galiléen, le repère géocentrique dont l'origine coincide avec le centre de la Terre et dont les axes ont une direction fixe par rapport aux étoiles
 
Deux corps sphériques de masse m1 et m2, dont les centres sont distants de r exercent l'un sur l'autre des forces d'attraction ayant pour intensité : F=Gm1m2r2
 
G est la constante de gravitation univerelle
 
1.1
 
1.1.1 Écrire l'expression de l'intensité F0 de la force que la Terre exerce sur un corps ponctuel de masse m=1Kg placé à surface
 
1.1.2 a) Déduire de la question 1.1.1, l'expression de la masse MT de la Terre en fonction de g0, RT et G
 
b) Calculer MT
 
On donne : 
 
G=6.671011S.I
 
g0=9.8ms2
 
RT=6370Km
 
1.2 Montrer qu'a l'altitude h au-dessus de la Terre, l'intensité du champ de gravitation est donnée par la relation : g=g0R2T(RT+h)2
 
g0 est l'intensité du champ de gravitation terrestre au niveau du sol
 
2. Un satellite assimilé à un point matériel décrit une orbite circulaire dont son centre est confondu avec celui de la Terre.
 
Il est à l'altitude h.
 
2.1 Montrer que le mouvement du satellite est uniforme.
 
2.2 Établir en fonction g0, RT et h.
 
2.2.1 la vitesse v du satellite ;
 
2.2.2 La période T du satellite ;
 
2.3 Calculer v et T
 
2.4 On pose r=RT+h
 
2.4.1 Montrer que le rapport T2r3=cte est égal à un constante.
 
C'est la 3e de Kepler
 
2.4.2 Exprimer le rapport T2r3=cte en fonction de MT et G
 
2.4.3 Calculer la masse MT de la Terre.
 
Cette valeur est-elle compatible avec celle de la question 1.1.2 
 
On donne h=300Km.

Exercice 3

La terre est assimilée à une sphère homogène de centre O de masse M et de rayon R. 
 
Le champ de gravitation crée par la Terre en tout point A de l'espace situé à une distance r du point O est :
G=GMr2uetu=OAOA
 
G : Constante universelle de gravitation
 
1. Un satellite (S) de masse m décrit un mouvement uniforme sur une orbite circulaire de r autour de la Terre.
 
Le mouvement est rapporté par rapport au repère géocentrique et on suppose que (S) soumis à la seule action du champ de gravitation terrestre
 
1.1 Exprimer la vitesse V de (S) en fonction de l'intensité G0 du champ de gravitation du sol, de R et r
 
1.2 En déduire l'expression de la période T du mouvement. 
 
Calculer T
 
On donne R=6400Km
 
G0=9.8ms2
 
r=8000Km
 
2.
 
2.1 A partir du travail élémentaire dw=fdr de la force de gravitation exercée par la Terre sur le satellite ; montrer que le travail de cette force lors du déplacement du sol jusqu'à l'orbite de rayon r est donné par : W=mG0R2(1r1R)
 
2.2 En déduire l'expression de l'énergie potentielle du système Terre-satellite en fonction de G0, m, r et R.
 
On choisira le niveau du sol comme étant de référence pour l'énergie potentielle
 
2.3 Exprimer l'énergie cinétique de (S) en fonction de G0, m, r et R
 
En déduire l'expression de l'énergie mécanique E
 
3. Il se produit une très faible variation dr du rayon r, telle que la trajectoire puisse toujours être considéré comme circulaire
 
3.1 Exprimer la variation dv de la vitesse qui en résulte et montrer que dv=πTdr 
 
3.2 La variation de dr est en réalité due au travail dwf des forces de frottements exercées par les couches raréfiées de l'atmosphère pendant le déplacement. 
 
Du signe de dwf, déduire l'effet de ces forces sur l'altitude et la vitesse de (S).

Exercice 4

On assimile le Soleil à une sphère de rayon RS et de masse MS présentant une répartition de masse à symétrie sphérique. 
 
On suppose que la trajectoire de la Terre autour du Soleil est un cercle de rayon r.
 
1. Donner l'expression littérale du champ de gravitation G0S à la surface du Soleil. 
 
Calculer sa valeur numérique.
 
2. Donner l'expression littérale du champ de gravitation GS en un point de l'orbite terrestre autour du Soleil. 
 
Calculer sa valeur numérique.
 
3. Comparer la valeur du champ de gravitation GS précédente à celle G0T du champ de gravitation terrestre au niveau du sol. 
 
Conclure.
 
Données :
 
RS=7.0105km 
 
MS=2.01030kg 
 
r=1.5108km
 
Constante de gravitation universelle : G=6.671011S.I.
 
Champ de gravitation au niveau du sol : G0T=9.8Nkg1
 
Soit ML et MT les masses respectives de la Lune et de la Terre, ces astres étant supposés sphériques. 
 
Soit RL et RT leurs rayons. 
 
On a les relations MT=81ML et RT=113RL.
 
4. Calculer la valeur du champ de gravitation lunaire G0L au niveau de son sol.
 
5. Il existe sur la ligne joignant les deux astres Terre et Lune un point où les champs de gravitation lunaire et terrestre se compensent.
 
a) Situer ce point M remarquable en calculant sa distance d au centre de la Terre.
 
b) Indiquer, sur le segment Terre-Lune, le domaine où l'action gravitationnelle d'un des deux astres est prépondérante.
 
Données : 
 
Distance Terre-Lune : D=380 000km.

Exercice 5

Données : 
 
Masse de la Terre MT=5.97×1024kg
 
Rayon de la Terre RT=6.38×106m
 
Masse du Soleil MS=333×103×MT
 
Constante universelle de gravitation G=6.67×1011S.I.
 
Valeur du champ de pesanteur au niveau du sol g=9.81m/s2

1 Lancement d'un satellite

On étudie le lancement d'un satellite artificiel à partir d'un point O de la surface terrestre.
 
1.a) Établir l'expression de la vitesse du point O de la surface terrestre. 
 
Dans le référentiel géocentrique Rg (assimilé ici à un référentiel galiléen) en fonction de la vitesse angulaire de rotation de la Terre autour de l'axe de ses pôles (cette vitesse angulaire est notée Ω), du rayon terrestre RT et de la latitude λ du lieu du lancement.
 
1.b) En déduire les conditions les plus favorables pour le lancement du satellite. 
 
Parmi les trois champs de tirs suivants, lequel choisir de préférence ?
 
Baïkonour au Kazakhstan λ=46 ;
 
Cap Canaveral aux USA λ=28.5 ;
 
Kourou en Guyane française λ=5.23.
 
1.c) Établir l'expression de l'énergie potentielle de gravitation d'un satellite en fonction de son altitude z par rapport au sol. 
 
On prend pour référence une énergie potentielle nulle à l'infini. 
 
En déduire l'expression de l'énergie mécanique du satellite sur sa base de lancement dans le référentiel géocentrique.
 
1.d) On appelle ici vitesse de libération v1, la vitesse verticale minimale qu'il faut communiquer initialement au satellite par rapport au sol, pour qu'il puisse se libérer de l'attraction terrestre. 
 
Donner l'expression de v1. 
 
Calculer sa valeur numérique dans le cas où le satellite est lancé de la base de Kourou (on tient donc compte de la rotation de la terre).

2. Satellite artificiel en orbite

On considère un satellite artificiel de masse m en mouvement circulaire autour de la Terre.
 
2.a) Montrer que le mouvement du satellite est uniforme. 
 
Établir l'expression de la vitesse du satellite en fonction de son altitude ainsi que la troisième loi de Kepler liant la période de rotation T du satellite au rayon r de sa trajectoire.
 
2.b) Calculer le rayon de l'orbite d'un satellite géostationnaire .
 
2.c) Soit un satellite d'énergie mécanique initiale Em0. 
 
Son orbite est relativement basse et il subit donc les frottements des couches hautes de l'atmosphère. 
 
Il s'ensuit que l'énergie mécanique du satellite varie selon la loi :
 
Em=Em0(1+bt), b étant un coefficient constant positif.
 
En supposant que la trajectoire reste approximativement circulaire.
 
Établir l'expression du rayon r et de la vitesse v du satellite en fonction du temps. 
 
Comparer les évolutions de r et de v ainsi que celles des énergies potentielle et cinétique. 
 
Que devient l'énergie perdue ?

Exercice 6

Pour mettre un satellite en orbite, une fusée a, au décollage, une poussée de 7.5105N. 
 
La masse totale de la fusée est de 40 tonnes.
 
1. Quelle est l'accélération de la fusée ?
 
2. Le satellite est placé sur une orbite circulaire de rayon r. 
 
Exprimer la vitesse v et la période T du mouvement du satellite en fonction de K, constante universelle de gravitation, r et M, la masse de la terre. 
 
En déduire que T2R3=constante.
 
3. La courbe reproduite en annexe donne la représentation graphique de T2 en fonction de r3.
 
Elle est obtenue à partir de données numériques sur la période T et le rayon r de quelques satellites qui tournent autour de la Terre. 
 
Déduire de la courbe la valeur de la masse M de la Terre.
 
K=6.671011U.S.I.
 
4. Le satellite est placé sur une orbite de rayon r, contenu dans le plan équatorial.
 
a) Exprimer les énergies potentielles EP, EC et totale ET du satellite en fonction de la masse M de la Terre, de la masse m du satellite et de r. 
 
« E_{P} est nulle lorsque le satellite est infiniment éloigné de la Terre ».
 
b) Avant d'être placé sur son orbite de rayon r, le satellite, était posé sur le sol, en un point P de latitude \gamma. 
 
Sa vitesse était, la vitesse V_{e} due à la rotation de la Terre, supposée sphérique de rayon R. 
 
Donner l'expression de V_{e} en fonction de ω_{T}, vitesse angulaire de rotation de la Terre, R et \gamma. 
 
Déterminer les expressions des énergies potentielles E_{P1}, cinétique E_{C1} et totale E_{T1} du satellite au point P.
 
5. a) Pour placer le satellite sur son orbite, il a fallu lui fournir l'énergie \Delta E=E_{T}-E_{T1}.
 
Montrer que \Delta E varie avec \gamma.
 
b) On considérera que le satellite tourne dans le même sens que la Terre. 
 
Où doit-on choisir les bases de lancement pour l'énergie \Delta E soit minimale ?
 
6. La première vitesse cosmique V_{1} est la vitesse de satellisation circulaire à basse altitude autour de la Terre d'un engin spatial. 
 
Calculer V_{1} à l'altitude h=100\,km.
 
On donne R=6400\,km et la masse M de la Terre.
 
 

Exercice 7

Un satellite supposé ponctuel, de masse m_{S}, décrit une orbite circulaire d'altitude h autour de la Terre assimilée à une sphère de rayon R_{T}. 
 
On fera l'étude dans un référentiel géocentrique considéré comme galiléen.
 
1. Établir l'expression de l'intensité g du vecteur champ de pesanteur à l'altitude h en fonction de sa valeur g_{0}, au niveau du sol, de R_{T} et de h.
 
2. Déterminer l'expression de la vitesse v_{S} du satellite, celle de sa période et de son énergie cinétique.
 
Application numérique : 
 
m_{S}=1020\,kg
 
g_{0}=9.81\,m/s^{2}
 
R_{T}=6400\,Km
 
h=400\,km.
 
3. L'énergie potentielle du satellite dans le champ de pesanteur à l'altitude h est donnée par la relation : 
E_{P}=-\dfrac{Km_{S}M_{T}}{R_{T}+h} avec K, constante de gravitation et M_{T} masse de la Terre et en convenant que E_{P}=0 pour h_{P\infty}.
 
Justifier le signe négatif et exprimer E_{P} en fonction de m_{S}, g_{0}, R_{T} et h. 
 
Déterminer l'expression de l'énergie mécanique E du satellite puis comparer E_{P} à E_{C} et E à E_{C}.
 
4. On fournit au satellite un supplément d'énergie \Delta E=+5\cdot10^{8}J.
 
Il prend alors une nouvelle orbite circulaire. 
 
Déterminer :
 
a) Sa nouvelle énergie cinétique et sa vitesse
 
b) Sa nouvelle énergie potentielle et son altitude.

Exercice 8

Le 15 octobre 1997, le véhicule spatial Cassini emportait à son bord la sonde HUYGENS destinée à l'exploration des anneaux de Saturne.
 
Titan, le plus gros satellite de Saturne, a été découvrent en 1665
 
On étudie le mouvement supposé circulaire de Titan dans le référentiel centré sur Saturne et dont les trois axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines supposées fixes
 
1. Reproduire le schéma ci-dessus et représenter qualitativement la force gravitationnelle qui agit sur Titan
 
2. Donner l'expression vectorielle de cette force
 
3. Établir du vecteur accélération du centre d'inertie de Titan sur son orbite et le représenter qualitativement sur le schéma précédent
 
4. Montrer que le mouvement de Titan sur son orbite est uniforme
 
5. Établir en fonction de G M_{S} et r_{T} :
 
5.1 l'expression de la vitesse V_{T} du centre d'inertie de Titan
 
5.2 l'expression de la période de révolution T_{T} de Titan autour de Saturne
 
6. Montrer qu'au cours de sa révolution autour de Saturne :
 
\dfrac{T_{T}^{2}}{r_{T}^{3}}=K=\text{constante} (3^{e} loi de Kepler)
 
7. En fait Saturne possède un cortège de satellites dont au moins 60 ont été identifiés à ce jour.
 
Parmi eux, figurent Rhéa et Dioné découverts par Jean Dominique Cassini respectivement en 1672 et 1684
 
7.1 Montrer que ces deux satellites vérifient la 3^{e} loi de Kepler
 
7.2 En déduire la masse M_{S} de Saturne
 
On donne :
 
-\ Constante de gravitation universelle G : G=6.67\cdot10^{-11}S.I
 
-\ Rayon de l'orbite de Rhéa r_{R}=527070\,Km
 
-\ Période de révolution de Rhéa autour de Saturne T_{R}=4.518\,jours soit 390355\,s
 
-\ Rayon de l'orbite de Dioné r_{D}=377400\,Km
 
-\ Période de révolution de Dioné autour de Saturne T_{D}=2.737\;jours soit 236477\,s
 

\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}

 

Commentaires

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