Série d'exercice sur les fonctions 1e S

Classe: 
Première
 

Exercice 1

Dans chacun des cas suivants, déterminer l'ensemble de définition de la fonction ff
 
1)f(x)=x;2)f(x)=1|x|;3)f(x)=1x
 
4)f(x)=2x3x+7;5)f(x)=2x5x3
 
6)f(x)=|x|;7)f(x)=1x1+x
 
8)f(x)=2x36x213x5;9)f(x)=2x36x2|13x5|
 
10)f(x)=16x213x5;11)f(x)=3x6|x+1||x5|
 
12)f(x)=6x2+13x+52x3;13)f(x)=6x2+13x+52x3

14);f(x)=6x2+13x+52x3

 
15){f(x)=1xsix1f(x)=x+3six>116){f(x)=3x214x5six1f(x)=122+11x15six>1
 
17)f(x)=(x1)(1+x)(2x)x(2x1)
 

Exercice 2

Pour chacune des fonctions numériques définies ci-dessous, préciser l'ensemble de définition suivant les valeurs du paramètre réel m
 
1)f(x)=3|x|+m;2)f(x)=x216x2mx+1
 
3)f(x)=x2+m;4)f(x)=x2mx+1
 

Exercice 3

Parmi les fonctions suivantes, préciser celles qui sont des applications :
 
f : RRx|x|;g : RRxxx
 
h : [2; +[Rxx2;i : [0;+[Rx1x1
 
j : [0;+[Rxx+1x2+2x3;k : [0;+[Rx|xx1|
 
l : [0; 0]Rx14x2;m : ]; 0[Rxx1x3

Exercice 4

Parmi les fonctions suivantes, préciser celles qui définissent une bijection .Dans ce cas, déterminer la bijection réciproque.
 
f1 : RRx1x;f2 : RRx1+x2
 
f3 : RRx1x;f4 : RR+xx
 
f5 : [0; 1][0; 1]x1x;f6 : [4; +[Rxx4
 
f7 : R]; 5]xx2+5;f8 : [2; +[[3; +[x3+x2

f9 : R{1}R{1}xx+1x1

Exercice 5

Dans chacun des cas suivants, étudier si l'application f de E vers F est injective, surjective ou bijective.
 
1)E=F=R, f(x)=x2+2;2)E=R{1}, F=R, f(x)=11x
 
3)E=R{1},F=R{2}, f(x)=2x+1x1;4)E=R+, F=R, f(x)=3x24
 
5)E=R, F=[3; +[, f(x)=2x23

6)E=F=Z, si x est pair : f(x)=x1, si x est impair : f(x)=x+1

 
7)E=F=Z, si x est pair : f(x)=x2, si x est impair : f(x)=x12

8)E=F=Z, si x est pair : f(x)=2x, si x est impair : f(x)=2x+1

Exercice 6

Soit f la fonction définie par : f(x)=1+x211x21
 
1) Déterminer son ensemble de définition D
 
2) Résoudre dans R l'équation f(x)=y, où y est un paramètre réel.
 
L'application f : DR est-elle injective ? surjective ?
 
3) Déterminer deux parties E et F de R, les plus grandes possibles, pour que l'application g : EFxf(x) soit bijective.
 
Définir alors g.

Exercice 7

Soit f : RRx2x+3 
 
1) Calculer f(12) et f(12)
 
2) Démontrer que f est bijective et déterminer l'application réciproque.
 
3) La restriction de f à Z est-elle une bijection de Z vers Z ?
 
Soit g : ZZ xg(x)=x2+4, si x est pairxg(x)=x2x2, si x est impair 
 
Déterminer l'image par g de chacun des entiers (2), (1), 1, 2, 3.
 
L'application g est-elle injective ? surjective ?

Exercice 8

Le plan est rapporté au repère orthonormé (O, i, j)
 
Soit le point A(1; 0) et le point B(1; 0) et C le cercle de diamètre [AB]
 
Le demi-cercle fermé inclus dans C et formé des points de C d'ordonnées positives est appelé C1.
 
Le demi-cercle fermé inclus dans C et formé des points de C d'ordonnées négatives est appelé C2.
 
La droite D(O, i) est appelée xx (axe des abscisses).
 
Étant donné un point M du cercle C, on peut effectuer la construction suivante : par M, on trace la perpendiculaire à xx qui coupe xx en un point H unique.
 
1) L'application :
 
f1 : C1xxMH
 
est-elle injective, surjective, bijective ?
 
2) Même question pour les applications suivantes :
 
f2 : C2[AB]MH
 
f3 : C3[Ax)MH
 
f4 : C4[AB]MH

Exercice 9

La courbe C ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie sur l'intervalle [6; 7]
 
FIG...
 
1) Quelles sont les images des réels 3, 2, 6 et 0 par f ?
 
2) Quels sont les antécédents de 2 ?
 
3) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=0.
 
4) Quel est en fonction de m le nombre de solutions de l'équation f(x)=m ?
 
5) Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)>0 
 
6) Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)<2

Exercice 10

Soit la courbe C ci-dessous, représentative de la fonction f : xx34x2+3, et la droite D d'équation y=x3.
 
1) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=3, puis l'inéquation f(x)<3.
 
2) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=0, puis l'inéquation f(x)0.
 
On donnera un encadrement d'amplitude 5×101 des solutions non entières.
 
3) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=x3, puis l'inéquation f(x)x3
 
4) Retrouver algébriquement les résultats des questions 1), 2) et 3)
 
FIG...2

Exercice 11

Les courbes suivantes sont sont-elles représentatives de fonctions ?
 
FIG...3

Exercice 12

Soit f une fonction numérique définie sur l'intervalle [a; +a] avec a>0.
 
Soient g et h les fonctions telles que :
 
g(x)=12[f(x)+f(x)];h(x)=12[f(x)f(x)]
 
1) Démontrer que g est une fonction paire et que h est une fonction impaire.
 
2) Vérifier que f=g+h.
 
3) Déterminer g et h lorsque f(x)=x2+x+1 ; lorsque f(x)=2x+3x+2 lorsque f(x)=x2+3x2x2+x+1

Exercice 13

Soient f et g deux fonctions affines telles que : f(x)=ax+b ; g(x)=cx+d.
 
1) Trouver une relation entre a, b, c, et d caractérisant la propriété : fg=gf.
 
2) Soient D et D les droites d'équations y=ax+b et y=cx+d.
 
On désigne par Δ la droite d'équation y=x . Montrer que fg=gf équivaut à :
 
(1) D  et D est égale à Δ,soit 
 
(2) D et D sont strictement parallèles à Δ,soit
 
(3) D, D et Δ sont concourantes.

Exercice 14

1) Soient f, g et h les fonctions définies par :
 
f(x)=x2;g(x)=11+x;h(x)=x1
 
a) Déterminer les fonctions (gf) et (hg).
 
b) Montrer que les fonctions [(hg)f] et [h(gf)] ont même ensemble de définition D puis que pour tout x de D, on a : [(hg)f](x)=[h(gf)](x).
 
N.B On peut donc écrire sans ambiguïté : (hgf)(x)
 
2) Soient f, g et h les fonctions définies par :
 
f(x)=3x;g(x)=1+x2;h(x)=x
 
Déterminer et comparer les fonctions (fgh) et (hgf)

Exercice 15

Soit f telle que f(x)=|x+2|+|x2|+2x.
 
1) Exprimer f(x)= sans valeur absolue suivant les valeurs de x.
 
2) Tracer C courbe représentative de la fonction f.
 
3) Résoudre graphiquement les équations f(x)=2 et f(x)=x

Exercice 16

Dans chacun des cas suivants, on demande de tracer la courbe C représentative de la fonction f relativement à un repère orthogonal (O, i, j)
 
1) On sait que :
 
a) f est impaire
 
b) si x[0; 4], alors f(x)=x; si x]4; +[, alors f(x)=2
 
2) On sait que :
 
a) f est paire
 
b) si x[0; 3[, alors f(x)=2; si x[3; +[, alors f(x)=12x+12
 
3) On sait que :
 
a) f est périodique, de période 2
 
b) si x[0; 2[, alors f(x)=x+1
 
Tracer C sur l'intervalle [4; 8[.
 
4) On sait que :
 
a) f est impaire
 
b) f est périodique, de période 2
 
c) si x[0; 1[, alors f(x)=x
 
Tracer C sur l'intervalle ]1; 1[ puis sur l'intervalle ]3; 5[
 
Connaît-on la valeur de f(1) ? de f(3) ?
 
5) On sait que :
 
a) f est paire
 
b) f est périodique, de période 2
 
c) si x[0; 1], alors f(x)=x
 
Tracer C sur l'intervalle [5; 5]
 

Exercice 17

Soit f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I.
 
1) On suppose les deux fonctions f et g croissantes sur I.
 
Étudier le sens de variation de la somme f+g sur I.
 
2) Reprendre la question pour deux fonctions f et g décroissantes sur I.

Exercice 18

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur un intervalle J contenant l'image par f de l'intervalle I.
 
1) On suppose les deux fonctions f et g croissantes sur leur intervalle de définition
 
Étudier le sens de variation de la composée fg sur I.
 
2) On suppose les deux fonctions f et g décroissantes sur leur intervalle de définition.
 
Étudier le sens de variation de la composée fg sur I.
 
3) On suppose f croissante sur I et g décroissantes sur J.
 
Étudier le sens de variation de la composée fg sur I

Exercice 19

Soit f une fonction numérique définie sur l'intervalle [a; a] avec a>0.
 
1) Si f est paire et strictement croissante sur [0; a], déterminer le sens de variation de f sur [a; 0].
 
2) Si f est impaire et strictement croissante sur [0; a], déterminer le sens de variation de f sur [a; 0].
 
Étudier et représenter graphiquement la restriction à [1; 5] de la fonction f définie par :
f(x)=E(3x)E(x)
 
Étudier et représenter graphiquement la fonction f définie par : f(x)=1E(x+E(x))
 
Étudier le sens de variation des fonctions suivantes :
 
f : xx;g : xx;h : x1x

k : xx2;m : xax+b;n : xax2+bx+c

Exercice 20

Soit k un réel strictement positif et f une fonction définie sur R telle que, pour tout réel x, f(x+k)=f(xk).
 
Montrer que la fonction f est périodique de période 4k 

Exercice 21

Soit f une fonction définie sur R, telle que, pour tout réel x, f(x+1)=1+f(x)1f(x)
 
1) Calculer f(x+2), f(x+3) et f(x+4) 
 
2) Que peut-on en déduire pour la fonction f 

Exercice 22

On considère la fonction f de R dans R définie par :
 
xf(x)=E(x)2E(x2)
 
1) Donner, sans employer le symbole E, les expressions de f(x) sur le segment [0; 2]
 
2) Montrer que f(x) est périodique et construire sa représentation graphique dans le plan rapporté au repère orthonormé (O, i, j)

Exercice 23

n étant un entier donné supérieur ou égal à 1, on considère la fonction f définie sur [0; +[ par :
 
f(x)=xnE(xn)
 
Démontrer que cette fonction est périodique.
 
En déduire que, quel que soit x0, on a 0f(x)<n

Exercice 24

On considère les fonctions f : RRx3x5;g : RRx2x2+1x2+1
 
1) Démontrer que xR, 1g(x)<2
 
2) La fonction f est-elle bornée sur R ?
 
3) Démontrer que la fonction (gf) existe bornée sur R
 
4) Démontrer que la fonction (fg) est bornée sur R et que :
xR, 2(fg)(x)<1

Exercice 25

On donne les fonctions f, g, h de R vers R telles que :
 
f(x)=x3|x|+1;g(x)=x1|x|1;h(x)=|2x+1||x3|+4
 
Déterminer les restrictions :
 
1) de f à R,  à [1; 1]{0}
 
2) de g à R+{1},  à R{1}
 
3) de h à ]; 12],  à [12; 3] et à [3; +[

Exercice 26

Pour tout réel x, on définit E(x) (partie entière de x) comme étant le plus grand entier inférieur ou égal à x, c'est-à-dire l'unique entier n tel que : nx<n+1  
 
Soit les fonctions Φ : R[0; 1],xxE(x) et h : [0; 1][0; 1],u|2u1|
 
1) Soit f=hΦ . Montrer que f est une fonction paire, périodique de période 1.
 
2) Soit F la restriction de f à [0; 12]
 
Démontrer que F admet une fonction réciproque F1, dont on précisera l'ensemble de définition et l'ensemble image
 
3) Soit g=F1f .Démontrer que g est une fonction paire, définie sur R, périodique de période 1.
 
Soit kZ. Dans les deux cas suivants, exprimer g(x) en fonction de x et k :
 
a)x[k; k+12[b)x[k12; k[

Exercice 27

1) a) f et g sont deux fonctions positives croissantes sur un intervalle I
 
Montrer que la fonction p=fg est croissante sur I 
 
b) f et g sont deux fonctions positives décroissantes sur un intervalle I
 
Montrer que la fonction p=fg est décroissante sur I
 
2) f est une fonction définie sur un intervalle I et garde un signe constant sur I
 
(f>0 sur I ou bien f<0 sur I) On suppose f monotone sur I 
 
En examinant tous les cas possibles, trouver le sens de variation de la fonction 1f sur I
 
Applications :
 
Trouver le sens de variation de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle I
 
a) xxx+3 I=[1; +[;b) x1x2+1 I=[0; +[
c) x1x I=]0; +[;d) x|x|(x2+1) I=]; 0] puis I=[0; +[

Exercice 28

Soient fa, b, g, h les trois fonctions numériques suivantes :
 
fa, b : xax+b;g : x1x;h : xx2
 
Montrer que les fonctions Φ suivantes peuvent s'écrire comme composées de fa, b, g, h en choisissant convenablement a et b
 
1) Φ : x2x1+32) Φ : x3(3x2)23) Φ : x(2x1)2+2
4) Φ : xx+1x5) Φ : xx446) Φ : xx2+2x3

Exercice 29

Partie entière et partie décimale
 
Pour tout réel x, on admet qu'il existe un unique entier relatif n tel que nx<n+1
 
Cet entier est appelé "partie entière de x" et est noté E(x).
 
Par exemple 22.8<3 donc E(2.8)=2.
 
Ainsi E(x)=n signifie que x[n; n+1[ ou encore que nx<n+1.
 
A Étude de la fonction E
 
1) Placer sur un axe les nombres suivants et en déduire leur partie entière :
 
1.75; 3.4; 32; 174; 2; 5; 3; 22; 123; 0.245; π; π2
 
2) Quels sont les nombres x tels que :
 
a) E(x)=3 ?
 
b) E(x)=2 ?
 
c) E(x)=0 ?
 
3) Étudier la fonction E et tracer la courbe représentative de E restreinte à l'intervalle [5; 4].
 
4) Quels sont les nombres x tels que :
 
a) E(2x)=3 ?
 
b) E(15x)=1 ?
 
c) E(3x2)=4 ?
 
d) E(1x)=1(x0) ?
 
e) E(x2)=3 ?
 
5) x est un réel tel que E(x)=4.
 
Montrer qu'alors E(x+3)=7.
 
Montrer que, plus généralement, si x est un réel quelconque et p un entier relatif quelconque, alors E(x+p)=E(x)+p.
 
B Avec la partie entière
 
h est la fonction définie sur ]0; +[ par h(x)=1x
 
f désigne la fonction Eh.
 
1) Quel est l'ensemble de définition de f ?
 
2) Calculer f(1), f(3.2), puis f(x) lorsque x>1.
 
3) Calculer f(12), f(0.75), puis f(x) lorsque x]12; 1[
 
4) p est un entier naturel non nul.
 
Calculer f(x) pour x]1p+1; 1p]
 
5) Tracer la représentation graphique de la restriction de f à [14; +[
 
6) Peut-on tracer la courbe représentative de f sur ]0; +[ ?
 
C La partie décimale
 
d est la fonction définie sur R par d(x)=xE(x).
 
1) Calculer les images par d des réels : 
 
5.2; 32; 8; 5; 6.3
 
2) Donner au moins cinq réels différents, et pas tous de même signe, qui vérifient : d(x)=0.3
 
3) Montrer que pour tout réel x, 0d(x)<1.
 
4) Montrer que d est périodique.
 
5) Tracer la représentation graphique de la restriction de d à [0; 1[ et en déduire alors la courbe représentative de d.
 
6) On considère la fonction g définie sur ]0; + par g(x)=d(x)x
 
Calculer g(x) pour x]0; 1[.
 
En déduire une majoration de g(x) sur ]0; 1[.
 
Montrer alors que g est bornée sur ]0; +[.

Exercice 30

Le plan est rapporté au repère orthonormé (O, i, j).
 
Soit le point A(1; 0) et le point B(1; 0) et C le cercle de diamètre [AB].
 
Le demi-cercle fermé inclus dans C et formé des points de C d'ordonnées positives est appelé C1. 
 
Le demi-cercle fermé inclus dans C et formé des points de C d'ordonnées négatives est appelé C2.
 
La droite D(O, i) est appelée xx (axe des abscisses).
 
Étant donné un point M du cercle C , on peut effectuer la construction suivante : 
 
par M , on trace la perpendiculaire à xx qui coupe xx en un point H unique.
 
1) L'application
f1 : C1xxMH est-elle injective, surjective, bijective ?
 
2) Même question pour les applications suivantes :
f2 : C2[AB]MH
 
f3 : C3[Ax)MH
 
f4 : C4[AB]MH

Exercice 31

La courbe C ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie sur l'intervalle [6; 7].  
 
   
                                                                     
1) Quelles sont les images des réels 3, 2, 6 et 0 par f ?
 
2) Quels sont les antécédents de 2 ?
 
3) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=0.
 
4) Quel est en fonction de m le nombre de solutions de l'équation f(x)=m ?
 
5) Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)>0.
 
6) Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)<2.

Exercice 32

Soit la courbe C ci-dessous, représentative de la fonction f : xx34x2+3, et la droite D d'équation y=x3.
 
1) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=3, puis l'inéquation f(x)<3.
 
2) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=0, puis l'inéquation f(x)0.
 
On donnera un encadrement d'amplitude 5×101 des solutions non entières.
 
3) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=x3 , puis l'inéquation f(x)x3.
 
4) Retrouver algébriquement les résultats des questions 1), 2) et 3).
 
                                          

Exercice 33

Les courbes suivantes sont-elles représentatives de fonctions ?
 

 

Exercice 34

Soit f : RR avec f(x)=x1x+2 si x2 et f(2)=1, et g : RR x2x+3
 
1) Déterminer les fonctions f+g, fg, fg, 3f2g.
 
2) Déterminer et comparer les fonctions (gf) et (fg).            

Exercice 35

Les courbes suivantes sont représentatives de fonctions :
 
 
Dans chacun des cas, dire si la fonction admet : un maximum, un minimum, un majorant et/ou un minorant.
 
Préciser leurs valeurs s'ils existent.

Exercice 36

Dans chacun des cas suivants, f est une fonction définie sur R et C sa courbe représentative.
 
A l'aide de la courbe, conjecturer l'existence d'un majorant et d'un minorant (entiers) pour f, puis démontrer cette conjecture algébriquement.
 
 


 

Exercice 37

Les courbes ci-dessous sont les représentations graphiques de fonctions périodiques.
 
 
 
Quelles sont les périodes de ces fonctions ?

Exercice 38

Dans un même repère (O; i; j), on a représenté la courbe Cf de la fonction f définie par f(x)=x2 ainsi que la courbe Cg d'une fonction g. 
 
En vous aidant des transformations permettant de fabriquer Cg à partir de Cf, donner l'expression de g(x)
 
 

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