Série d'exercice sur les fonctions 1e S
Classe:
Première
Exercice 1
Dans chacun des cas suivants, déterminer l'ensemble de définition de la fonction ff
1)f(x)=√−x;2)f(x)=1√|x|;3)f(x)=√1−x
4)f(x)=2x√3x+7;5)f(x)=√2x−5x−3
6)f(x)=√|−x|;7)f(x)=1−√−x1+√−x
8)f(x)=2x−36x2−13x−5;9)f(x)=2x−36x2−|13x−5|
10)f(x)=1√6x2−13x−5;11)f(x)=3x−6|x+1|−|x−5|
12)f(x)=√−6x2+13x+52x−3;13)f(x)=√−6x2+13x+5√2x−3
14);f(x)=√−6x2+13x+52x−3
15){f(x)=1xsix≤1f(x)=x+3six>116){f(x)=√3x2−14x−5six≤1f(x)=1√−22+11x−15six>1
17)f(x)=(x−1)√(1+x)(2−x)x(2x−1)
Exercice 2
Pour chacune des fonctions numériques définies ci-dessous, préciser l'ensemble de définition suivant les valeurs du paramètre réel m
1)f(x)=3|x|+m;2)f(x)=x2−16x2−mx+1
3)f(x)=√x2+m;4)f(x)=√x2−mx+1
Exercice 3
Parmi les fonctions suivantes, préciser celles qui sont des applications :
f : R→Rx↦|x|;g : R→Rx↦x−√x
h : [2; +∞[→Rx↦√x−2;i : [0;+∞[→Rx↦1x−1
j : [0;+∞[→Rx↦x+1x2+2x−3;k : [0;+∞[→Rx↦|xx−1|
l : [0; 0]→Rx↦1√4−x2;m : ]−∞; 0[→Rx↦x−1x−3
Exercice 4
Parmi les fonctions suivantes, préciser celles qui définissent une bijection .Dans ce cas, déterminer la bijection réciproque.
f1 : R→Rx↦1−x;f2 : R→Rx↦1+x2
f3 : R→Rx↦1x;f4 : R−→R+x↦√−x
f5 : [0; 1]→[0; 1]x↦1−x;f6 : [4; +∞[→R−x↦−√x−4
f7 : R−→]−∞; 5]x↦−x2+5;f8 : [2; +∞[→[3; +∞[x↦3+√x−2
f9 : R∖{−1}→R∖{−1}x↦x+1x−1
Exercice 5
Dans chacun des cas suivants, étudier si l'application f de E vers F est injective, surjective ou bijective.
1)E=F=R, f(x)=x2+2;2)E=R∖{1}, F=R, f(x)=11−x
3)E=R∖{1},F=R∖{2}, f(x)=2x+1x−1;4)E=R+, F=R, f(x)=3x2−4
5)E=R, F=[−3; +∞[, f(x)=2x2−3
6)E=F=Z, si x est pair : f(x)=x−1, si x est impair : f(x)=x+1
7)E=F=Z, si x est pair : f(x)=x2, si x est impair : f(x)=x−12
8)E=F=Z, si x est pair : f(x)=2x, si x est impair : f(x)=2x+1
Exercice 6
Soit f la fonction définie par : f(x)=1+√x2−11−√x2−1
1) Déterminer son ensemble de définition D
2) Résoudre dans R l'équation f(x)=y, où y est un paramètre réel.
L'application f : D→R est-elle injective ? surjective ?
3) Déterminer deux parties E et F de R, les plus grandes possibles, pour que l'application g : E→Fx↦f(x) soit bijective.
Définir alors g−.
Exercice 7
Soit f : R→Rx↦2x+3
1) Calculer f(−12) et f(12)
2) Démontrer que f est bijective et déterminer l'application réciproque.
3) La restriction de f à Z est-elle une bijection de Z vers Z ?
Soit g : Z→Z x↦g(x)=x2+4, si x est pairx↦g(x)=x2−x2, si x est impair
Déterminer l'image par g de chacun des entiers (−2), (−1), 1, 2, 3.
L'application g est-elle injective ? surjective ?
Exercice 8
Le plan est rapporté au repère orthonormé (O, →i, →j)
Soit le point A(−1; 0) et le point B(1; 0) et C le cercle de diamètre [AB]
Le demi-cercle fermé inclus dans C et formé des points de C d'ordonnées positives est appelé C1.
Le demi-cercle fermé inclus dans C et formé des points de C d'ordonnées négatives est appelé C2.
La droite D(O, →i) est appelée x′x (axe des abscisses).
Étant donné un point M du cercle C, on peut effectuer la construction suivante : par M, on trace la perpendiculaire à x′x qui coupe x′x en un point H unique.
1) L'application :
f1 : C1→x′xM↦H
est-elle injective, surjective, bijective ?
2) Même question pour les applications suivantes :
f2 : C2→[AB]M↦H
f3 : C3→[Ax)M↦H
f4 : C4→[AB]M↦H
Exercice 9
La courbe C ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie sur l'intervalle [−6; 7]
FIG...
1) Quelles sont les images des réels 3, −2, −6 et 0 par f ?
2) Quels sont les antécédents de 2 ?
3) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=0.
4) Quel est en fonction de m le nombre de solutions de l'équation f(x)=m ?
5) Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)>0
6) Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)<2
Exercice 10
Soit la courbe C ci-dessous, représentative de la fonction f : x→x3−4x2+3, et la droite D d'équation y=−x−3.
1) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=3, puis l'inéquation f(x)<3.
2) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=0, puis l'inéquation f(x)≥0.
On donnera un encadrement d'amplitude 5×10−1 des solutions non entières.
3) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=−x−3, puis l'inéquation f(x)≤−x−3
4) Retrouver algébriquement les résultats des questions 1), 2) et 3)
FIG...2
Exercice 11
Les courbes suivantes sont sont-elles représentatives de fonctions ?
FIG...3
Exercice 12
Soit f une fonction numérique définie sur l'intervalle [−a; +a] avec a>0.
Soient g et h les fonctions telles que :
g(x)=12[f(x)+f(−x)];h(x)=12[f(x)−f(−x)]
1) Démontrer que g est une fonction paire et que h est une fonction impaire.
2) Vérifier que f=g+h.
3) Déterminer g et h lorsque f(x)=x2+x+1 ; lorsque f(x)=2x+3x+2 lorsque f(x)=x2+3x−2x2+x+1
Exercice 13
Soient f et g deux fonctions affines telles que : f(x)=ax+b ; g(x)=cx+d.
1) Trouver une relation entre a, b, c, et d caractérisant la propriété : f∘g=g∘f.
2) Soient D et D′ les droites d'équations y=ax+b et y=cx+d.
On désigne par Δ la droite d'équation y=x . Montrer que f∘g=g∘f équivaut à :
(1) D et D′ est égale à Δ,soit
(2) D et D′ sont strictement parallèles à Δ,soit
(3) D, D′ et Δ sont concourantes.
Exercice 14
1) Soient f, g et h les fonctions définies par :
f(x)=x2;g(x)=11+x;h(x)=x−1
a) Déterminer les fonctions (g∘f) et (h∘g).
b) Montrer que les fonctions [(h∘g)∘f] et [h∘(g∘f)] ont même ensemble de définition D puis que pour tout x de D, on a : [(h∘g)∘f](x)=[h∘(g∘f)](x).
N.B On peut donc écrire sans ambiguïté : (h∘g∘f)(x)
2) Soient f, g et h les fonctions définies par :
f(x)=3x;g(x)=1+x2;h(x)=√x
Déterminer et comparer les fonctions (f∘g∘h) et (h∘g∘f)
Exercice 15
Soit f telle que f(x)=|x+2|+|x−2|+2x.
1) Exprimer f(x)= sans valeur absolue suivant les valeurs de x.
2) Tracer C courbe représentative de la fonction f.
3) Résoudre graphiquement les équations f(x)=2 et f(x)=x
Exercice 16
Dans chacun des cas suivants, on demande de tracer la courbe C représentative de la fonction f relativement à un repère orthogonal (O, →i, →j)
1) On sait que :
a) f est impaire
b) si x∈[0; 4], alors f(x)=x; si x∈]4; +∞[, alors f(x)=2
2) On sait que :
a) f est paire
b) si x∈[0; 3[, alors f(x)=2; si x∈[3; +∞[, alors f(x)=12x+12
3) On sait que :
a) f est périodique, de période 2
b) si x∈[0; 2[, alors f(x)=−x+1
Tracer C sur l'intervalle [−4; 8[.
4) On sait que :
a) f est impaire
b) f est périodique, de période 2
c) si x∈[0; 1[, alors f(x)=x
Tracer C sur l'intervalle ]−1; 1[ puis sur l'intervalle ]−3; 5[
Connaît-on la valeur de f(−1) ? de f(3) ?
5) On sait que :
a) f est paire
b) f est périodique, de période 2
c) si x∈[0; 1], alors f(x)=x
Tracer C sur l'intervalle [−5; 5]
Exercice 17
Soit f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I.
1) On suppose les deux fonctions f et g croissantes sur I.
Étudier le sens de variation de la somme f+g sur I.
2) Reprendre la question pour deux fonctions f et g décroissantes sur I.
Exercice 18
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur un intervalle J contenant l'image par f de l'intervalle I.
1) On suppose les deux fonctions f et g croissantes sur leur intervalle de définition
Étudier le sens de variation de la composée f∘g sur I.
2) On suppose les deux fonctions f et g décroissantes sur leur intervalle de définition.
Étudier le sens de variation de la composée f∘g sur I.
3) On suppose f croissante sur I et g décroissantes sur J.
Étudier le sens de variation de la composée f∘g sur I
Exercice 19
Soit f une fonction numérique définie sur l'intervalle [−a; a] avec a>0.
1) Si f est paire et strictement croissante sur [0; a], déterminer le sens de variation de f sur [−a; 0].
2) Si f est impaire et strictement croissante sur [0; a], déterminer le sens de variation de f sur [−a; 0].
Étudier et représenter graphiquement la restriction à [−1; 5] de la fonction f définie par :
f(x)=E(3−x)E(x)
Étudier et représenter graphiquement la fonction f définie par : f(x)=1E(x+E(−x))
Étudier le sens de variation des fonctions suivantes :
f : x→x;g : x→√x;h : x→1x
k : x→x2;m : x→ax+b;n : x→ax2+bx+c
Exercice 20
Soit k un réel strictement positif et f une fonction définie sur R telle que, pour tout réel x, f(x+k)=−f(x−k).
Montrer que la fonction f est périodique de période 4k
Exercice 21
Soit f une fonction définie sur R, telle que, pour tout réel x, f(x+1)=1+f(x)1−f(x)
1) Calculer f(x+2), f(x+3) et f(x+4)
2) Que peut-on en déduire pour la fonction f
Exercice 22
On considère la fonction f de R dans R définie par :
x→f(x)=E(x)−2E(x2)
1) Donner, sans employer le symbole E, les expressions de f(x) sur le segment [0; 2]
2) Montrer que f(x) est périodique et construire sa représentation graphique dans le plan rapporté au repère orthonormé (O, →i, →j)
Exercice 23
n étant un entier donné supérieur ou égal à 1, on considère la fonction f définie sur [0; +∞[ par :
f(x)=x−nE(xn)
Démontrer que cette fonction est périodique.
En déduire que, quel que soit x≥0, on a 0≤f(x)<n
Exercice 24
On considère les fonctions f : R→Rx↦3x−5;g : R→Rx↦2x2+1x2+1
1) Démontrer que ∀x∈R, 1≤g(x)<2
2) La fonction f est-elle bornée sur R ?
3) Démontrer que la fonction (g∘f) existe bornée sur R
4) Démontrer que la fonction (f∘g) est bornée sur R et que :
∀x∈R, −2≤(f∘g)(x)<1
Exercice 25
On donne les fonctions f, g, h de R vers R telles que :
f(x)=x3|x|+1;g(x)=x−1|x|−1;h(x)=|2x+1|−|x−3|+4
Déterminer les restrictions :
1) de f à R∗−, à [−1; 1]∖{0}
2) de g à R+∖{1}, à R−∖{1}
3) de h à ]−∞; −12], à [−12; 3] et à [3; +∞[
Exercice 26
Pour tout réel x, on définit E(x) (partie entière de x) comme étant le plus grand entier inférieur ou égal à x, c'est-à-dire l'unique entier n tel que : n≤x<n+1
Soit les fonctions Φ : R→[0; 1],x↦x−E(x) et h : [0; 1]→[0; 1],u↦|2u−1|
1) Soit f=h∘Φ . Montrer que f est une fonction paire, périodique de période 1.
2) Soit F la restriction de f à [0; 12]
Démontrer que F admet une fonction réciproque F−1, dont on précisera l'ensemble de définition et l'ensemble image
3) Soit g=F−1∘f .Démontrer que g est une fonction paire, définie sur R, périodique de période 1.
Soit k∈Z. Dans les deux cas suivants, exprimer g(x) en fonction de x et k :
a)x∈[k; k+12[b)x∈[k−12; k[
Exercice 27
1) a) f et g sont deux fonctions positives croissantes sur un intervalle I
Montrer que la fonction p=fg est croissante sur I
b) f et g sont deux fonctions positives décroissantes sur un intervalle I
Montrer que la fonction p=fg est décroissante sur I
2) f est une fonction définie sur un intervalle I et garde un signe constant sur I
(f>0 sur I ou bien f<0 sur I) On suppose f monotone sur I
En examinant tous les cas possibles, trouver le sens de variation de la fonction 1f sur I
Applications :
Trouver le sens de variation de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle I
a) x→x√x+3 I=[1; +∞[;b) x→1x2+1 I=[0; +∞[
c) x→1√x I=]0; +∞[;d) x→|x|(x2+1) I=]−∞; 0] puis I=[0; +∞[
Exercice 28
Soient fa, b, g, h les trois fonctions numériques suivantes :
fa, b : x↦ax+b;g : x↦1x;h : x↦x2
Montrer que les fonctions Φ suivantes peuvent s'écrire comme composées de fa, b, g, h en choisissant convenablement a et b
1) Φ : x↦2x−1+32) Φ : x↦3(3x−2)23) Φ : x↦(2x−1)2+2
4) Φ : x↦x+1x5) Φ : x↦x4−46) Φ : x↦x2+2x−3
Exercice 29
Partie entière et partie décimale
Pour tout réel x, on admet qu'il existe un unique entier relatif n tel que n≤x<n+1
Cet entier est appelé "partie entière de x" et est noté E(x).
Par exemple 2≤2.8<3 donc E(2.8)=2.
Ainsi E(x)=n signifie que x∈[n; n+1[ ou encore que n≤x<n+1.
A Étude de la fonction E
1) Placer sur un axe les nombres suivants et en déduire leur partie entière :
1.75; −3.4; 32; 174; √2; 5; −3; √2−2; 1−2√3; 0.245; π; −π2
2) Quels sont les nombres x tels que :
a) E(x)=3 ?
b) E(x)=−2 ?
c) E(x)=0 ?
3) Étudier la fonction E et tracer la courbe représentative de E restreinte à l'intervalle [−5; 4].
4) Quels sont les nombres x tels que :
a) E(2x)=3 ?
b) E(15x)=−1 ?
c) E(3x−2)=4 ?
d) E(1x)=1(x≠0) ?
e) E(x2)=3 ?
5) x est un réel tel que E(x)=4.
Montrer qu'alors E(x+3)=7.
Montrer que, plus généralement, si x est un réel quelconque et p un entier relatif quelconque, alors E(x+p)=E(x)+p.
B Avec la partie entière
h est la fonction définie sur ]0; +∞[ par h(x)=1x
f désigne la fonction E∘h.
1) Quel est l'ensemble de définition de f ?
2) Calculer f(1), f(3.2), puis f(x) lorsque x>1.
3) Calculer f(12), f(0.75), puis f(x) lorsque x∈]12; 1[
4) p est un entier naturel non nul.
Calculer f(x) pour x∈]1p+1; 1p]
5) Tracer la représentation graphique de la restriction de f à [14; +∞[
6) Peut-on tracer la courbe représentative de f sur ]0; +∞[ ?
C La partie décimale
d est la fonction définie sur R par d(x)=x−E(x).
1) Calculer les images par d des réels :
5.2; 32; 8; −5; −6.3
2) Donner au moins cinq réels différents, et pas tous de même signe, qui vérifient : d(x)=0.3
3) Montrer que pour tout réel x, 0≤d(x)<1.
4) Montrer que d est périodique.
5) Tracer la représentation graphique de la restriction de d à [0; 1[ et en déduire alors la courbe représentative de d.
6) On considère la fonction g définie sur ]0; +∞ par g(x)=d(x)√x
Calculer g(x) pour x∈]0; 1[.
En déduire une majoration de g(x) sur ]0; 1[.
Montrer alors que g est bornée sur ]0; +∞[.
Exercice 30
Le plan est rapporté au repère orthonormé (O, →i, →j).
Soit le point A(−1; 0) et le point B(1; 0) et C le cercle de diamètre [AB].
Le demi-cercle fermé inclus dans C et formé des points de C d'ordonnées positives est appelé C1.
Le demi-cercle fermé inclus dans C et formé des points de C d'ordonnées négatives est appelé C2.
La droite D(O, →i) est appelée x′x (axe des abscisses).
Étant donné un point M du cercle C , on peut effectuer la construction suivante :
par M , on trace la perpendiculaire à x′x qui coupe x′x en un point H unique.
1) L'application
f1 : C1→x′xM↦H est-elle injective, surjective, bijective ?
2) Même question pour les applications suivantes :
f2 : C2→[AB]M↦H
f3 : C3→[Ax)M↦H
f4 : C4→[AB]M↦H
Exercice 31
La courbe C ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie sur l'intervalle [−6; 7].
1) Quelles sont les images des réels 3, −2, −6 et 0 par f ?
2) Quels sont les antécédents de 2 ?
3) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=0.
4) Quel est en fonction de m le nombre de solutions de l'équation f(x)=m ?
5) Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)>0.
6) Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)<2.
Exercice 32
Soit la courbe C ci-dessous, représentative de la fonction f : x↦x3−4x2+3, et la droite D d'équation y=−x−3.
1) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=3, puis l'inéquation f(x)<3.
2) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=0, puis l'inéquation f(x)≥0.
On donnera un encadrement d'amplitude 5×10−1 des solutions non entières.
3) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=−x−3 , puis l'inéquation f(x)≤−x−3.
4) Retrouver algébriquement les résultats des questions 1), 2) et 3).
Exercice 33
Les courbes suivantes sont-elles représentatives de fonctions ?
Exercice 34
Soit f : R→R avec f(x)=x−1x+2 si x≠−2 et f(−2)=1, et g : R→R x→2x+3
1) Déterminer les fonctions f+g, fg, fg, 3f−2g.
2) Déterminer et comparer les fonctions (g∘f) et (f∘g).
Exercice 35
Les courbes suivantes sont représentatives de fonctions :
Dans chacun des cas, dire si la fonction admet : un maximum, un minimum, un majorant et/ou un minorant.
Préciser leurs valeurs s'ils existent.
Exercice 36
Dans chacun des cas suivants, f est une fonction définie sur R et C sa courbe représentative.
A l'aide de la courbe, conjecturer l'existence d'un majorant et d'un minorant (entiers) pour f, puis démontrer cette conjecture algébriquement.
Exercice 37
Les courbes ci-dessous sont les représentations graphiques de fonctions périodiques.
Quelles sont les périodes de ces fonctions ?
Exercice 38
Dans un même repère (O; →i; →j), on a représenté la courbe Cf de la fonction f définie par f(x)=x2 ainsi que la courbe Cg d'une fonction g.
En vous aidant des transformations permettant de fabriquer Cg à partir de Cf, donner l'expression de g(x)
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
ven, 04/23/2021 - 19:12
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merci c'est très intéressant
HAwa sow (non vérifié)
dim, 12/03/2023 - 20:35
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Réussite en s
Anonyme (non vérifié)
dim, 02/12/2023 - 10:11
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Vos exercices sont trés
Ngom (non vérifié)
mer, 02/22/2023 - 09:22
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Bien
HAwa sow (non vérifié)
dim, 12/03/2023 - 20:36
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Les corrections des exercices
HAwa sow (non vérifié)
dim, 12/03/2023 - 20:37
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Correction des exercices svp
Anonyme (non vérifié)
mar, 09/03/2024 - 13:16
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La correction s'il vous plaît
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