Limites en un point
Exercice 1
Dans chacun des cas suivants, on demande d'étudier la limite en x0 de la fonction f
1) f(x)=x2+x+1; x0=22) f(x)=−x2−x+2; x0=1
3) f(x)=x+1x; x0=−24) f(x)=3x−17x−4; x0=1
5) f(x)=x2−1x+1; x0=−16) f(x)=x3−8x−2; x0=2
7) f(x)=x5+1x3+1; x0=−18) f(x)=x2+2x−33x2−2x−1; x0=1
9) f(x)=x−9√x−3; x0=910) f(x)=√x+1−2x−3; x0=3
11) f(x)=√x+1−2√x+6−3; x0=312) f(x)=x√1+x2−3; x0=0
13) f(x)=x2(x−3)x−√x+6; x0=314) f(x)=2x−√x+1−4(x+1)(x−3); x0=3
15) f(x)=x−√x+2√4x+1−3; x0=2;16) f(x)=x−√x2−x+12x−√4x2+2; x0=0
17) f(x)=2x2−1−1x−1; x0=1;18) f(x)=√x−1−√3x2−16; x0=4
Exercice 2
Calculer :
limx→2x2+x−6x2−5x+6;limx→−2x3+x2−8x−12x2−4x−12;limx→0.56x3+5x2−x−12x2−9x+4
Limites infinies à l'infini
Exercice 3
Trouver les limites suivantes :
a) limx→+∞x2+3x−1x2−2;b) limx→−∞x4+3x2−12x4+x−2
c) limx→+∞5x+3x2−4x+1;d) limx→−∞5x+3x2−4x+1
e) limx→+∞5x2+4x−1x+2;f) limx→−∞4x2−x+32x−1
Exercice 4
La fonction f définie par :
f(x)=(x+3)(x−2)|x−2|
a-t-elle une limite pour x arbitrairement voisin de +2 ?
Calculer limx→+∞f(x);limx→−∞f(x)
Exercice 5
La fonction f définie par :
f(x)=x+√x2x
a-t-elle une limite pour arbitrairement voisin de 0 ?
Exercice 6
Trouver les limites suivantes :
limx→1√x2−3x+22x2−x−1;limx→0√x+3−√4x+3√x+4−√2x+4
limx→1x3−4x2+5x−2x2−6x+5
Exercice 7
Trouver les limites suivantes :
limx→+∞[√x2−x−1−(x−1)]
limx→+∞[√x4+x2+2−(x2+x+1)]
limx→−∞[√x4+x2+2−(x2+x+1)]
limx→−∞[√x2−x−√x2−1]
Exercice 8
Trouver les limites suivantes :
limx→+∞x−√x2+x+12x−√4x2+x;limx→−∞x−√x2+x+12x−√4x2+x
limx→+∞x−√x2+x+12x−√4x2+x;limx→−∞x−√x2+3x−√x2+x−3
Exercice 9
Soit la fonction f définie par :
f(x)=2x−1−√4x2+2x−5x−3+√3x2−x+2
Calculer limx→+∞f(x);limx→+∞f(x);limx→1f(x)
Continuité
Exercice 10
Calculer limx→x0f(x) et trouver un prolongement par continuité de f dans les cas suivants :
1) f(x)=x2−a2x−a; x0=a
2) f(x)=6x2+5x−42x−1; x0=12
Exercice 11
Étudier la continuité des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition :
1) f : x↦x2−7x+√2;2) f : x↦x2−3x+2x2+7x−8
3) {f : x↦x+1x+2six∈[−1; 1]f : x↦3x+3x+4six∈R∖[−1; 1]
4) {f : x↦xx+1six∈R−f : x↦x2−xx+3six∈R∗+
Exercice 12
Étudier la continuité des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition, en discutant éventuellement suivant les valeurs de a et b :
1) f(x)=x+1 si x≤1
2) {f(x)=0pourx<0f(x)=xpour0≤x<1f(x)=3−ax2six>1
3) {f(x)=−x2+4x−2pour1≤x≤3f(x)=4−xpourx≥3
4) {f(x)=x2−asix<1f(x)=3x+asix>1f(1)=b
5) {f(x)=x2−absix<−2f(x)=2x+asi−2≤x<1f(x)=x−asix≥1
Exercice 13
1) Déterminer
a et
b réels pour que la fonction
g définie par :
{g(x)=x2x−asix<0g(x)=x−bsix≥0
soit continue sur son domaine de définition.
2) Soit fa la fonction définie par :
{fa(x)=√x2+3x−√x2+ax+ax−2six≠2fa(2)=k
Quelles valeurs faut-il donner à a et k pour que f soit continue au point x0=2 ?
Exercice 14
Soit la fonction
f définie sur
R∖{3} par :
f(x)={mx+x2−9x−3six>3√x+1−2x−2six<3
Déterminer
limx→3+f(x) et limx→3−f(x)
Pour quelle valeur de m f est-elle prolongeable par continuité en 3 ?
Exercice 15
Soit la fonction f définie sur ]1; +∞[ par :
f(x)=x3−2x2+x−2x2−3x+2
Déterminer la limite de f en 2
La fonction f est-elle prolongeable par continuité en 2 ? Si oui définir ce prolongement.
Exercice 16
Soit la fonction f définie sur R∖{0} par :
f(x)=2x2+|x|x
La fonction f est-elle prolongeable par continuité en 0 ?
Exercice 17
Soit la fonction
f définie par :
f(x)={x+a+√x2+x+1six<−1ax−b+a2x+4six>123bx−√x2+3+2x+1six>1
1) Montrer que le domaine de définition de f est IR.
2) Trouver une relation entre a et b pour que f soit continue en (−1).
3) Trouver une relation entre a et b pour que f soit continue en 1.
4) Déterminer a et b pour que f soit continue en (−1) et (1).
Commentaires
Oumar Camara (non vérifié)
jeu, 11/19/2020 - 00:11
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Être un grand mathématicien
Oumar Camara (non vérifié)
jeu, 11/19/2020 - 00:13
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Mon objectif est de traité les exercices durs
Oumar Camara (non vérifié)
jeu, 11/19/2020 - 00:13
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Anonyme (non vérifié)
mar, 04/06/2021 - 01:23
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Lim con
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mar, 07/13/2021 - 18:15
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jeu, 02/08/2024 - 20:59
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