Série d'exercices sur les limites et continuité 1e S

Dans chacun des cas suivants, on demande d'étudier la limite en $x_{0}$ de la fonction $f$

 

$1)\ f(x)=x^{2}+x+1\;;\ x_{0}=2\qquad 2)\ f(x)=-x^{2}-x+2\;;\ x_{0}=1$

$3)\ f(x)=\dfrac{x+1}{x}\;;\ x_{0}=-2\qquad 4)\ f(x)=\dfrac{3x-1}{7x-4}\;;\ x_{0}=1$

$5)\ f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x+1}\;;\ x_{0}=-1\qquad 6)\ f(x)=\dfrac{x^{3}-8}{x-2}\;;\ x_{0}=2$

$7)\ f(x)=\dfrac{x^{5}+1}{x^{3}+1}\;;\ x_{0}=-1\qquad 8)\ f(x)=\dfrac{x^{2}+2x-3}{3x^{2}-2x-1}\;;\ x_{0}=1$

$9)\ f(x)=\dfrac{x-9}{\sqrt{x}-3}\;;\ x_{0}=9\qquad 10)\ f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}\;;\ x_{0}=3$

$11)\ f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt{x+6}-3}\;;\ x_{0}=3\qquad 12)\ f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}-3}\;;\ x_{0}=0$

$13)\ f(x)=\dfrac{x^{2}(x-3)}{x-\sqrt{x+6}}\;;\ x_{0}=3\qquad 14)\ f(x)=\dfrac{2x-\sqrt{x+1}-4}{(x+1)(x-3)}\;;\ x_{0}=3$

$15)\ f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x+2}}{\sqrt{4x+1}-3}\;;\ x_{0}=2\;;\qquad 16)\ f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x^{2}-x+1}}{2x-\sqrt{4x^{2}+2}}\;;\ x_{0}=0$

$17)\ f(x)=\dfrac{2}{x^{2}-1}-\dfrac{1}{x-1}\;;\ x_{0}=1\;;\qquad 18)\ f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}-\sqrt{3}}{x^{2}-16}\;;\ x_{0}=4$

Calculer :

 

$\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^{2}+x-6}{x^{2}-5x+6}\;;\qquad \lim_{x\rightarrow -2}\dfrac{x^{3}+x^{2}-8x-12}{x^{2}-4x-12}\;;\qquad \lim_{x\rightarrow 0.5}\dfrac{6x^{3}+5x^{2}-x-1}{2x^{2}-9x+4}$

Trouver les limites suivantes :

 

$a)\ \lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^{2}+3x-1}{x^{2}-2}\;;\qquad b)\ \lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{x^{4}+3x^{2}-1}{2x^{4}+x-2}$

 

$c)\ \lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{5x+3}{x^{2}-4x+1}\;;\qquad d)\ \lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{5x+3}{x^{2}-4x+1}$

 

$e)\ \lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{5x^{2}+4x-1}{x+2}\;;\qquad f)\ \lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{4x^{2}-x+3}{2x-1}$

La fonction $f$ définie par :
$$f(x)=\dfrac{(x+3)(x-2)}{|x-2|}$$

a-t-elle une limite pour $x$ arbitrairement voisin de +2 ?

 

Calculer $lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)\;;\qquad \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$

La fonction $f$ définie par :
$$f(x)=x+\dfrac{\sqrt{x^{2}}}{x}$$
a-t-elle une limite pour arbitrairement voisin de 0 ?

Trouver les limites suivantes :

 

$\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}-3x+2}}{2x^{2}-x-1}\;;\qquad \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{x+3}-\sqrt{4x+3}}{\sqrt{x+4}-\sqrt{2x+4}}$

$\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{x^{3}-4x^{2}+5x-2}{x^{2}-6x+5}$

Trouver les limites suivantes :

 

$\lim_{x\rightarrow +\infty}[\sqrt{x^{2}-x-1}-(x-1)]$

 

$\lim_{x\rightarrow +\infty}[\sqrt{x^{4}+x^{2}+2}-(x^{2}+x+1)]$

 

$\lim_{x\rightarrow -\infty}[\sqrt{x^{4}+x^{2}+2}-(x^{2}+x+1)]$

 

$\lim_{x\rightarrow -\infty}[\sqrt{x^{2}-x}-\sqrt{x^{2}-1}]$

Trouver les limites suivantes :

 

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x-\sqrt{x^{2}+x+1}}{2x-\sqrt{4x^{2}+x}}\;;\qquad \lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{x-\sqrt{x^{2}+x+1}}{2x-\sqrt{4x^{2}+x}}$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x-\sqrt{x^{2}+x+1}}{2x-\sqrt{4x^{2}+x}}\;;\qquad \lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{x-\sqrt{x^{2}+3}}{x-\sqrt{x^{2}+x-3}}$

Soit la fonction $f$ définie par :

$$f(x)=\dfrac{2x-1-\sqrt{4x^{2}+2x-5}}{x-3+\sqrt{3x^{2}-x+2}}$$

Calculer $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)\;;\quad \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)\;;\quad \lim_{x\rightarrow 1}f(x)$

Calculer $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ et trouver un prolongement par continuité de $f$ dans les cas suivants :

 

$1)\ f(x)=\dfrac{x^{2}-a^{2}}{x-a}\;;\ x_{0}=a$

$2)\ f(x)=\dfrac{6x^{2}+5x-4}{2x-1}\;;\ x_{0}=\dfrac{1}{2}$

Étudier la continuité des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition :

 

$1)\ f\ :\ x\mapsto x^{2}-7x+\sqrt{2}\;;\qquad 2)\ f\ :\ x\mapsto \dfrac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+7x-8}$

 

$3)\ \left\lbrace\begin{array}{ccc} f\ :\ x\mapsto\dfrac{x+1}{x+2}&\text{si}&x\in\;[-1\;;\ 1] \\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{3x+3}{x+4}&\text{si}&x\in\;\mathbb{R}\setminus[-1\;;\ 1]\end{array}\right.$

 

$4)\ \left\lbrace\begin{array}{ccc} f\ :\ x\mapsto\dfrac{x}{x+1}&\text{si}&x\in\;\mathbb{R}^{-} \\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{2}-x}{x+3}&\text{si}&x\in\;\mathbb{R}^{\ast}_{+} \end{array}\right.$

Étudier la continuité des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition, en discutant éventuellement suivant les valeurs de $a$ et $b\ :$

 

1) $f(x)=x+1\text{ si }x\leq 1$

 

2) $\left\lbrace\begin{array}{rclll} f(x) &=& 0 &\text{pour}& x<0 \\ f(x) &=&x& \text{pour}& 0\leq x<1 \\ f(x)&=&3-ax^{2} &\text{si}& x>1\end{array}\right.$

 

3) $\left\lbrace\begin{array}{lllll} f(x) &=& -x^{2}+4x-2 &\text{pour} &1\leq x\leq 3 \\ f(x) &=& 4-x &\text{pour} & x\geq 3 \end{array}\right.$

 

4) $\left\lbrace\begin{array}{lllll} f(x) &=& x^{2}-a &\text{si} &x<1 \\ f(x) &=& 3x+a &\text{si} & x>1 \\ f(1) &=& b &  & \end{array}\right.$

5) $\left\lbrace\begin{array}{lllll} f(x) &=& x^{2}-ab & \text{si} & x<-2 \\ f(x) &=& 2x+a &\text{si} & -2\leq x<1 \\ f(x) &=& x-a & \text{si} & x\geq 1 \end{array}\right.$

1) Déterminer $a$ et $b$ réels pour que la fonction $g$ définie par :

$$\left\lbrace\begin{array}{lllll} g(x) &=& \dfrac{x^{2}}{x-a} & \text{si} & x<0 \\ \\ g(x) &=& x-b & \text{si} & x\geq 0 \end{array}\right.$$

soit continue sur son domaine de définition.

2) Soit $f_{a}$ la fonction définie par :
 
$$\left\lbrace\begin{array}{lllll} f_{a}(x) &=& \dfrac{\sqrt{x^{2}+3x}-\sqrt{x^{2}+ax+a}}{x-2} & \text{si} & x\neq 2 \\ \\ f_{a}(2) &=& k&  & \end{array}\right.$$

Quelles valeurs faut-il donner à $a$ et $k$ pour que $f$ soit continue au point $x_{0}=2$ ?

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{3\}$ par :

$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcl} mx+\dfrac{x^{2}-9}{x-3} & \text{si} & x>3 \\ \\ \dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-2} & \text{si} & x<3 \end{array}\right.$$

Déterminer

$\lim_{x\rightarrow 3^{+}}f(x)\text{ et }\lim_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)$

Pour quelle valeur de $m$ $f$ est-elle prolongeable par continuité en 3 ?

Soit la fonction $f$ définie sur $]1\;;\ +\infty[$ par :
$$f(x)=\dfrac{x^{3}-2x^{2}+x-2}{x^{2}-3x+2}$$

Déterminer la limite de $f$ en 2

 

La fonction $f$ est-elle prolongeable par continuité en 2 ? Si oui définir ce prolongement.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ par :
$$f(x)=\dfrac{2x^{2}+|x|}{x}$$
La fonction $f$ est-elle prolongeable par continuité en 0 ?

Soit la fonction $f$ définie par :

$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcl} x+a+\sqrt{x^{2}+x+1} & \text{si} & x<-1 \\ \\ \dfrac{ax-b+a}{2x+4} & \text{si} & x>1 \\ \\ \dfrac{2}{3}bx-\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}+2}{x+1} & \text{si} & x>1 \end{array}\right.$$

1) Montrer que le domaine de définition de $f$ est $I\;\mathbb{R}$.

2) Trouver une relation entre $a$ et $b$ pour que $f$ soit continue en $(-1)$.

3) Trouver une relation entre $a$ et $b$ pour que $f$ soit continue en 1.

4) Déterminer $a$ et $b$ pour que $f$ soit continue en $(-1)$ et $(1)$.