Corrigé devoir n° 3 maths - 3e

 

1) les solutions de l'équation $x^{2}=36$ sont $-6\ $ et $\ 6$

 

2) Le carrée d'un nombre est égale à $6.$ Ce nombre est $\sqrt{6}$

 

3) Le $PGCD$ de deux nombres est le plus grand diviseur commun de ces deux nombres

 

4) l'image d'un cercle par une translation est un cercle de même rayon

 

5) Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres cotés

1) Calculons $A=\dfrac{5}{3}\div\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{7}\right)$

 

On a alors :

 

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{5}{3}\div\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{7}\right)\\\\&=&\dfrac{5}{3}\div\left(\dfrac{7}{28}+\dfrac{20}{28}\right)\\\\&=&\dfrac{5}{3}\div \dfrac{27}{28}\\\\&=&\dfrac{5}{3}\times\dfrac{28}{27}\\\\&=&\dfrac{140}{81}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{A=\dfrac{140}{81}}$

 

2) On donne : $B=\dfrac{42\times 10^{7}\times 5\times 10^{-7}}{25\times 10^{-6}}$

 

Calculons $B$ et donnons le résultat sous la forme $a\times 10^{p}$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{42\times 10^{7}\times 5\times 10^{-7}}{25\times 10^{-6}}\\\\&=&\dfrac{42\times 5\times 10^{7}\times 10^{-7}\times 10^{6}}{25}\\\\&=&\dfrac{42\times 10^{6}}{5}\\\\&=&\dfrac{42}{5}\times 10^{6}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{B=\dfrac{42}{5}\times 10^{6}}$

 

3) Écrivons sous la forme $a\sqrt{b}$ l'expression $C=2\sqrt{48}+\sqrt{75}-3\sqrt{12}$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} C&=&2\sqrt{48}+\sqrt{75}-3\sqrt{12}\\\\&=&2\sqrt{16\times 3}+\sqrt{25\times 3}-3\sqrt{4\times 3}\\\\&=&2\times\sqrt{16}\times\sqrt{3}+\sqrt{25}\times\sqrt{3}-3\times\sqrt{4}\times\sqrt{3}\\\\&=&2\times 4\times\sqrt{3}+5\times\sqrt{3}-3\times 2\times\sqrt{3}\\\\&=&8\sqrt{3}+5\sqrt{3}-6\sqrt{3}\\\\&=&7\sqrt{3}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{C=7\sqrt{3}}$

 

4) Développons, réduisons et ordonnons $D=(5\sqrt{2}+3)(4\sqrt{2}-7)$

 

Soit :

 

$\begin{array}{rcl} D&=&(5\sqrt{2}+3)(4\sqrt{2}-7)\\\\&=&5\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}-7\times 5\sqrt{2}+3\times 4\sqrt{2}-3\times 7\\\\&=&5\times 2-35\sqrt{2}+12\sqrt{2}-21\\\\&=&10-23\sqrt{2}-21\\\\&=&-11-23\sqrt{2}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{D=-11-23\sqrt{2}}$

 

5) Écrivons $E$ sans radical au dénominateur $E=\dfrac{4}{2+\sqrt{3}}$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} E&=&\dfrac{4}{2+\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{4(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}\\\\&=&\dfrac{8-4\sqrt{3}}{(2^{2}-(\sqrt{3})^{2})}\\\\&=&\dfrac{8-4\sqrt{3}}{4-3}\\\\&=&8-4\sqrt{3}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{D=8-4\sqrt{3}}$

 

6) Déterminons le $PGCD(42\;;\ 56)$

 

En décomposant en produits de facteurs premiers $42\ $ et $\ 56$, on obtient :

 

$42=2\times 3\times 7\ $ et $\ 56=2^{3}\times 7$

 

Par suite, $PGCD(42\;;\ 56)=2\times 7=14$

Exercice 3