Distance - 4e
Classe:
Quatrième
I. Distance sur le plan
I.1. Activité
1) Tracer un segment [AB] de longueur 5cm
2) Marquer un point C sur [AB] et un point D∉[AB]
3) a) Quelle est la distance du point A au point B ?
b) Comparer les longueurs AB et AC+CB puis AB et AD+DB
c) Peut-on trouver un point N tel que la longueur du segment [AN] soit nulle ?
Solution
1) et 2)
3) a) La distance du point A au point B est de 5cm
b) AB=5cm; AC=1.7cm et CB=3.3cm
Donc, AC+CB=1.7cm+3.3cm=5cm=AB
D'où, AC+CB=AB
On a : AD=2.9cm et DB=3.2cm
Alors, AD+DB=2.9cm+3.2cm=6.1cm
Donc, AB<AD+DB
c) Si N=A alors, la distance de A à N est nulle.
I.2. Définition
La distance d'un point A à un point B est la longueur du segment [AB]. On le note :
ABoud(A, B)
Propriétés
Soit A et B deux points du plan.
⋅ AB=0 si, et seulement si, A=B (A et B sont confondus)
⋅ AB=BA (d(A, B)=d(B, A))
⋅ Pour tout point du plan :
AB=AM+MB si M∈[AB]
AB<AM+MB si M∉[AB]
Conclusion
Si A et B sont deux points du plan alors, pour tout point M du plan on a :
AB≤AM+MB(Inégalité triangulaire)
II. Positions relatives de deux cercles
Soient C(O, r) et C′(O′, r′) deux cercles du plan.
II.1. C et C′ sont tangents extérieurement
Si OO′=r+r′ alors, les cercles C et C′ sont dits tangents extérieurement.
Exemple
Marquer deux points O et O′ tels que OO′=5cm.
Construire les cercles C et C′ de centres O et O′ respectivement et de rayon r=2cm et r′=3cm
Soit : OO′=5cm, on a :
r+r′=2cm+3cm=5cm donc, OO′=r+r′
II.2. C et C′ sont tangents intérieurement
Si OO′=|r−r′| alors, les cercles C et C′ sont dits tangents intérieurement.
Exemple
Marquer deux points O et O′ tels que OO′=1cm.
Construire les cercles C et C′ de centres O et O′ et de rayon r=2cm et r′=3cm respectivement.
On a :
|r−r′|=|2−3|=|−1|=1cm
Or, OO′=1cm donc, |r−r′|=OO′
II.3. C et C′ sont disjoints extérieurement
Si OO′ est supérieure à r+r′ alors, les cercles C et C′ sont disjoints extérieurement.
Exemple
Marquer deux points O et O′ tels que OO′=6cm.
Construire les cercles C et C′ de centres O et O′ et de rayon r=2cm et r′=3cm respectivement.
On a :
r+r′=3cm+2cm=5cm
Or, OO′=6cm donc, OO′>r+r′
II.4. C et C′ sont disjoints intérieurement
Si OO′ est inférieure à |r−r′| alors, les cercles C et C′ sont disjoints intérieurement.
Exemple
Marquer deux points O et O′ tels que OO′=1cm.
Construire les cercles C et C′ de centres O et O′ et de rayon r=4cm et r′=2cm respectivement.
On a :
|r−r′|=|4−2|=|2|=2cm
Or, OO′=1cm donc, OO′<|r−r′|
II.4. C et C′ sont sécants
Si OO′ est inférieure à r+r′ et supérieure à |r−r′| alors, les cercles C et C′ sont sécants.
Exemple
Marquer deux points O et O′ tels que OO′=4cm.
Construire les cercles C et C′ de centres O et O′ et de rayon r=3cm et r′=2cm respectivement.
Soit : r+r′=3cm+2cm=5cm et |r−r′|=|3cm−2cm|=1cm
Comme OO′=4cm alors, on a : OO′<r+r′ et OO′>|r−r′|
III. Critère d'existence d'un triangle
III.1. Activité
Soit ABC un triangle quelconque.
1) En utilisant l'inégalité triangulaire, montrer que :
AB<BC+AC,BC<AB+AC,AC<AB+BC
2) En déduire que :
BC−AC<AB<BC+AC
AB−AC<BC<AB+AC
AB−BC<AC<AB+BC
Solution
1) En utilisant l'inégalité triangulaire, on a :
C∉[AB] donc, AB<BC+AC(1)
A∉[BC] alors, BC<AB+AC(2)
B∉[AC] donc, AC<AB+BC(3)
2) Démontrons que : BC−AC<AB<BC+AC
D'après (2), on a :
BC<AB+AC⇒BC−AC<AB+AC−AC⇒BC−AC<AB
Donc, BC−AC<AB
Or, d'après (1) on a : AB<BC+AC d'où, finalement :
BC−AC<AB<BC+AC
Démontrons que : AB−AC<BC<AB+AC
D'après (1), on a :
AB<BC+AC⇒AB−AC<BC+AC−AC⇒AB−AC<BC
Ainsi, AB−AC<BC
Comme d'après (2) BC<AB+AC alors, on obtient :
AB−AC<BC<AB+AC
Démontrons que : AB−BC<AC<AB+BC
De la même manière, en considérant la relation (1), on obtient :
AB<BC+AC⇒AB−BC<BC+AC−BC⇒AB−BC<AC
Donc, AB−BC<AC
Or, d'après (3) on a : AC<AB+BC d'où, finalement :
AB−BC<AC<AB+BC
III.2. Propriété
Dans un triangle, la longueur d'un côté est toujours comprise entre la somme et la différence des longueurs des deux autres côtés.
Application
Soit ABM un triangle tel que :
AB=7cmetAM=4cm
1) Peut-on avoir BM=5cm ? Pourquoi ?
1) Peut-on avoir BM=2cm ? Pourquoi ?
Solution
1) On a : AB−AM<BM<AB+AM. Soit :
AB−AM=7cm−4cm=3cm
AB+AM=7cm+4cm=11cm
Comme 3cm<5cm<11cm alors, on peut bien avoir BM=5cm
2) BM ne vérifie pas AB−AM<BM<AB+AM donc, on ne peut pas avoir BM=2cm.
IV. Distance d'un point à une droite
IV.1. Activité
Soit (D) une droite donnée dans le plan et A un point n'appartenant pas à (D).
On note H le pied de la perpendiculaire à (D) passant par A, et A′ le symétrique de A par rapport à H.
Démontrer que pour tout point M appartenant à (D) tel que M≠H, on a : AH<AM
Solution
H est le point de (D) le plus proche de A donc, AH est la distance de A à la droite (D).
Démontrons que AH<AM pour tout point M∈(D) et M≠H.
Comme AMA′ est un triangle alors, on a :
AA′<AM+MA′ (car M∉[AA′])
Or, AA′=AH+HA′ donc, AH+HA′<AM+MA′
Par suite, AH+AH<AM+MA′ (car HA′=AH)
Ainsi, 2AH<AM+MA′
Mais comme AMA′ est isocèle alors, AM=MA′
Ce qui donne :
2AH<AM+MA⇒2AH<AM+AM⇒2AH<2AM⇒AH<AM
D'où, AH<AM
IV.2. Définition
La distance d'un point A à une droite (D) est la longueur du segment de droite joignant A au pied H de la perpendiculaire à (D) passant par A.
IV.3. Propriété
Soit (D) une droite et A un point du plan. Soit H le pied de la perpendiculaire à (D) passant par A.
Quelque soit le point M∈(D) tel que M≠H on a :
AH<AM
Application 1
Tracer une droite (D) et placer un point A à 2.5cm de (D).
Solution
Application 2
Tracer deux droites (D) et (D′) distantes de 3cm
Solution
V. Propriété de la bissectrice d'un angle
V.1. Activité
Tracer deux demi-droites [Ox) et [Oy).
Tracer la bissectrice [Oz) de l'angle ^xOy puis y placer un point M.
Comparer la distance de M à [Ox) à celle de M à [Oy).
Solution
MI=MJ, M est équidistant des supports des côtés de l'angle.
V.2. Propriété
Si un point M appartient à la bissectrice d'un angle alors, il est équidistant des supports des deux côtés de l'angle.
Auteur:
Mamadou Siradji Dia
Commentaires
OULIMATA DIEME (non vérifié)
lun, 01/18/2021 - 20:54
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MON OBJECTIF EST DE ETUDIERET DE REUSSIR POUR AIDER MES PARENTS
OULIMATA DIEME (non vérifié)
lun, 01/18/2021 - 20:54
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MON OBJECTIF EST DE ETUDIERET DE REUSSIR POUR AIDER MES PARENTS
Mr Sonko (non vérifié)
mer, 11/24/2021 - 10:48
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Contribution
Anonyme (non vérifié)
sam, 01/13/2024 - 19:18
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