Solution série d'exercices : Les fractions - 5e
Classe:
Cinquième
Exercice 1
1) Définition d'une fraction décimale.
On sait qu'en divisant une ou plusieurs parties de l'unité par 1010, 100 ou 1000 on obtient une fraction décimale.
Donc, une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10; 100; 1000etc.
Exemple
410; 35100 et 251000 sont des fractions décimales.
2) Donnons une écriture fractionnaire de chacun des nombres décimaux suivant :
2.8 ; 0.75 et 1.534
On sait que si on a trois nombres a; b et c tels que ab=c alors, l'écriture ab qui représente le résultat exact de la division de a par b est appelée écriture fractionnaire de c.
On a : 145=2.8
Donc, une écriture fractionnaire de 2.8 est 145
De même, 34=0.75
Ainsi, une écriture fractionnaire de 0.75 est 34
1.534 est le résultat exact de la division de 7.67 par 5
Par suite, une écriture fractionnaire de 1.534 est 7.675
Remarque : Toute fraction est une écriture fractionnaire d'un nombre mais, toute écriture fractionnaire n'est pas forcément une fraction.
Exemple
110 est une fraction mais également une écriture fractionnaire de 0.1
Par contre, 91.2 est une écriture fractionnaire de 7.5 mais n'est pas une fraction car le dénominateur n'est pas un nombre entier.
Exercice 2
1) Rendons irréductible les fractions ci-dessous en utilisant les caractères de divisibilités
Soit la fraction suivante : 450375
On voit que le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont divisibles par 3 donc,
450375=450÷3375÷3=150125
Aussi, le numérateur et le dénominateur de la fraction 150125 sont divisibles par 5.
Par suite,
150125=150÷5125÷5=3025
De plus, le numérateur et le dénominateur de la fraction 150125 étant divisibles par 5 alors,
3025=30÷525÷5=65
Par conséquent, 450375=65
On donne la fraction suivante : 256224
On constate que le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont divisibles par 32 donc,
256224=256÷32224÷32=87
Ainsi, 256224=87
Soit la fraction suivante : 700250
Comme le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont divisibles par 50 alors,
700250=700÷50250÷50=145
D'où, 700250=145
2) Rendons irréductible les fractions ci-dessous en utilisant la décomposition en produit de facteurs
Soit la fraction suivante : 450375
Décomposons en produits de facteurs premiers le numérateur et le dénominateur de cette fraction.
On a :
4503150350225555137531255255551
Donc,
450=32×2×52×1 et 375=3×53×1
Ainsi, la fraction 450375 peut s'écrire :
450375=32×2×52×13×53×1=32−1×253−2=3×25=65
Par suite, 450375=65
Considérons la fraction suivante : 256224
En décomposant en produits de facteurs premiers le numérateur et le dénominateur de cette fraction, on obtient :
25621282642322162824222122421122562282142771
Ainsi, 256=28×1 et 224=25×7×1
Par suite,
256224=28×125×7×1=28−57=237=87
D'où, 256224=87
3) Rendons irréductible les fractions ci-dessous en utilisant le PGCD.
En effet, pour rendre irréductible une fraction, on peut diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
Donc, pour la fraction 360200, on a :
360=23×32×5200=23×52} alors, PGCD(360; 200)=23×5=40
Ainsi, 360200=360÷40200÷40=95
D'où, 360200=95
Pour la fraction 45072, on obtient :
450=2×32×5272=23×32} donc, PGCD(450; 72)=2×32=18
Par suite, 45072=450÷1872÷18=254
D'où, 45072=254
De même pour la fraction 735225, on trouve :
735=3×5×72225=32×52} donc, PGCD(735; 225)=3×5=15
Par suite, 735225=735÷15225÷15=4915
D'où, 735225=4915
Exercice 3
Comparons en remplaçant les pointillés par : < ou >.
On sait que : pour une fraction si le numérateur est plus petit que le dénominateur alors, la fraction est plus petite que 1 et si le numérateur est égal au dénominateur alors, la fraction est égale à 1. Donc,
357>1 et 735<1 car 35>7
1323<1 car 13<23
3.56<1 du fait que 3.5<6
1929<1 parce que 19<29
3419>1 car 34>19
Exercice 4
Comparons en remplaçant les pointillés par : < ou >.
a) On sait que : pour deux fractions ayant le même numérateur, la plus grande est celle avec le plus petit dénominateur. Donc,
67>613 car 7<13
1419<149 car 19>9
113.5>113.11 car 3.5<3.11
b) De même, on sait que : pour deux fractions ayant le même dénominateur, la plus grande est celle avec le plus grand numérateur. Donc,
76<136 parce que 7<13
1116>316 car 11>3
1770<4770 du fait que 17<47
Exercice 5
L'âge de Anna représente 79 de celui de Thierno et l'âge de Jacques représente 59 de celui de Thierno. Comparons l'âge de Anna et de Jacques.
Soit x l'âge de Thierno.
Comme l'âge de Anna représente 79 de celui de Thierno alors, on peut écrire :
âge de Anna=79x=7x9
De même, Comme l'âge de Jacques représente 59 de celui de Thierno alors, on peut écrire :
âge de Jacques=59x=5x9
Donc, pour comparer l'âge de Anna et l'âge de Jacques, on compare les fractions 7x9 et 5x9
Or, on sait que : 7x>5x, donc : 7x9>5x9 car les deux fractions ont même dénominateur.
Par conséquent, on conclut que Anna est plus âgée que Jacques ou tout simplement, l'âge de Anna est supérieur à celui de Jacques.
Exercice 6
Comparons chacune des fractions suivantes en utilisant l'unité
a) 711 et 134
On a : 711<1 et 134>1
Ainsi, 711<1<134
D'où, 711<134
b) 118 et 811
On sait que : 118>1 et 811<1
Donc, 811<1<118
Par suite, 118>811
c) 13425 et 13
On a : 13425>1 et 13<1
alors, 13<1<13425
D'où, 13425>13
Exercice 7
1) Montrons que 1029 est un multiple de 147
On a : 1029÷147=7 reste 0
Alors, 1029=147×7+0=147×7
Donc, 1029 est un multiple de 147
2) Calculons PGDC(1029, 147) et PPCM(1029; 147)
− Calcul de PGDC(1029, 147)
En décomposant 1029 et 147 en produit de facteurs premiers, on obtient :
1029334374977711473497771
Donc, 1029=73×3 et 147=72×3
Par suite, PGDC(1029, 147)=72×3=147
D'où, PGDC(1029, 147)=147
− Calcul de PPMC(1029, 147)
En utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers de 1029 et 147, on obtient : PPCM(1029, 147)=73×3=1029
Donc, PPCM(1029, 147)=1029
On remarque que le plus grand diviseur commun de 1029 et 147 est 147 et le plus petit commun multiple de ces deux nombre cités ci-haut est 1029
Exercice 8
1) Rangeons les fractions suivantes dans l'ordre croisant
37; 17; 87; 13.57; 247 et 1.17
En appliquant la règle de comparaison de fractions de même dénominateur, on obtient :
17<1.17<37<87<13.57<247
D'où, le rangement suivant :
17; 1.17; 37; 87; 13.57; 247
2) Rangeons les fractions suivantes dans l'ordre décroissant
151; 157.4; 153; 152; 1520 et 157.14
En appliquant la règle de comparaison de fractions de même numérateur, on obtient :
1520<157.4<157.14<153<152<151
D'où, le rangement suivant, dans l'ordre décroissant
151; 152; 153; 157.14; 157.4; 1520
Exercice 9
1) Mettons chacune des fractions suivantes sous la forme de q+rb
∗ 857
On a : 85÷7=12 reste 1 alors, 85=12×7+1
Donc,
857=12×7+17=12×77+17=12+17
D'où, 857=12+17
∗ 1317
Soit : 13÷17=0 reste 13 alors, 1317=0+1317
Donc, 1317=0+1317
∗ 6525
On a : 65÷25=2 reste 15 donc, 65=2×25+15
Par suite,
6525=2×25+1525=2×2525+1525=2+3×55×5
D'où, 6525=2+35
∗ 203
On sait que : 20÷3=6 reste 2 alors, 20=6×3+2
Donc,
203=6×3+23=6×33+23=6+23
Par suite, 203=6+23
∗ 383
On a : 38÷3=12 reste 2 donc, 38=12×3+2
Ainsi,
383=12×3+23=12×33+23=12+23
D'où, 383=12+23
2) Rangeons ces fractions dans l'ordre décroissant
En utilisant les résultats précédents tout en appliquant les règles de comparaison de fractions, on obtient :
383>857>203>6525>1317
D'où, le rangement suivant :
383; 857; 203; 6525; 1317
Exercice 10
1) Donnons un encadrement de 227 par deux entiers consécutifs
On a : 227≃3.142857 or, 3<3.142857<4
Donc, 3<227<4
2) Donnons un encadrement de 203 à 0.1 prés
Rappel : 203≃6.6666666...6
Comme 6.6<6.66666666<6.7 alors, 6.6<203<6.7
D'où, l'encadrement suivant : 6.6<203<6.7
3) Donnons un encadrement de 9913 par deux décimaux consécutifs ayant deux chiffres après la virgule
Soit : 9913≃7.615384… or, 7.61<7.615384<7.62
Donc, 7.61<9913<7.62
Exercice 11
1) Trouvons une fraction égale à 57 ayant pour dénominateur : 49 ; 77
On a : 49÷7=7 donc, pour trouver une fraction égale à 57 et ayant pour dénominateur 49 il suffit de multiplier par 7 le numérateur et le dénominateur de la fraction 57
On obtient alors : 57×77=3549
D'où, 3549=57
De la même manière, on voit que : 77÷7=11 donc, en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction 57 par 11 on obtient une fraction égale à 57 et ayant pour dénominateur 77
Ainsi, 57×1111=5577
D'où, 5577=57
2) On constate que 88 n'est pas divisible par 7 donc, on ne peut pas trouver une fraction égale à 57 ayant pour dénominateur 88.
Exercice 12
Calculons puis rendons irréductible
1) A=1415+415
On voit que A est l'addition de deux fractions de même dénominateur donc, le résultat sera une fraction de même dénominateur et de numérateur la somme des numérateurs des fractions considérées.
Ainsi, A=1415+415=1815
Or, PGCD(18; 15)=3 donc, on peut rendre irréductible A en divisant le numérateur et le dénominateur par 3.
Par suite, A=18÷315÷3=65
D'où, A=65
De la même manière, on obtient :
B=23+43+83=2+4+83=143
Comme PGCD(14; 3)=1 alors, la fraction 143 est irréductible.
D'où, B=143
Soit : C=45+47
On remarque C est l'addition de deux fractions de même numérateur mais de dénominateur différent.
Donc, pour calculer C on réduit au même dénominateur. Le dénominateur commun sera le PPCM(5; 7)=35
Ainsi, on obtient :
C=4×75×7+4×57×5=2835+2035=4835
Or, PGCD(48; 35)=1 donc, la fraction 4835 est irréductible.
D'où, C=4835
2) A=1415−415
A est la différence de deux fractions de même dénominateur donc, pour calculer A on fait la différence des numérateurs et on conserve le dénominateur.
Ainsi, A=14−415=1015
Or, PGCD(10; 15)=5 donc, on peut rendre irréductible la fraction 1015 en divisant le numérateur et le dénominateur par 5.
Par suite, A=10÷515÷5=23
D'où, A=23
Soit : B=75+35−25
Dans l'expression de B, on remarque que les fractions ont tous le même dénominateur donc, on effectue les opérations sur les numérateurs et on conserve le dénominateur.
Ainsi,
B=75+35−25=7+3−25=85
Comme, PGCD(8; 5)=1 alors, la fraction 85 est irréductible.
D'où, B=85
On donne : C=32−12
Comme les fractions de C ont même dénominateur alors, C=3−12=22=1
Par suite, C=1
3) Soit : A=74×221
On a :
A=74×221=7×24×21=1484
Or, PGCD(14; 84)=14 donc, on peut rendre irréductible la fraction 1484 en divisant le numérateur et le dénominateur par 14.
Ainsi, A=14÷1484÷14=16
Par suite, A=16
Soit : B=20×75×34
Alors :
B=20×75×34=20×7×35×4=42020
Comme PGCD(420; 20)=20 alors, on peut rendre irréductible la fraction 42020 en divisant le numérateur et le dénominateur par 20.
Donc, B=420÷2020÷20=211
D'où, B=211=21
Soit : C=75×314×259
Alors,
C=75×314×259=7×3×255×14×9=525630
Or, PGCD(525; 630)=105 donc, on peut rendre irréductible la fraction 525630 en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre 105.
Ce qui donne alors, C=525÷105630÷105=56
Ainsi, C=56
Exercice 13
Calculons puis rendons irréductible
1) A=4+35
A peut s'écrire sous la forme : A=41+35
On obtient alors,
A=41+35=4×51×5+3×15×1=205+35=20+35=235
Comme PGCD(23; 5)=1 alors, la fraction 235 est irréductible.
D'où, A=235
Soit B=1+72 alors, B peut s'écrire : B=22+72
Par suite, B=2+72=92
Or, PGCD(9; 2)=1 donc, la fraction 92 est irréductible.
Ainsi, B=92
On donne : C=3−43
Alors, on a :
C=31−43=3×31×3−4×13×1=93−43=9−43=53
Comme PGCD(5; 3)=1 alors, la fraction 53 est irréductible.
D'où, C=53
2) A=3×74
A peut s'écrire aussi : A=31×74 ainsi,
A=31×74=3×71×4=214
Or, PGCD(21; 4)=1 donc, la fraction 214 est irréductible.
Par suite, A=214
Soit B=12×718 alors, on a : B=121×718
Donc,
B=121×718=12×718×1=8418
Or, PGCD(84; 18)=6 donc, on peut rendre irréductible la fraction 8418 en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre 6.
Ainsi, B=84÷618÷6=143
D'où, B=143
Soit C=4×1244 alors, C peut s'écrire : C=41×1244
Donc,
C=41×1244=4×121×44=4844
Comme PGCD(48; 44)=4 alors, on peut rendre irréductible la fraction 4844 en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre 4.
Donc, C=48÷444÷4=1211
Par suite, C=1211
3) A=73÷6
A peut encore s'écrire : A=7361
Donc, on aura :
A=7361=73×16=7×13×6=718
Comme, PGCD(7; 18)=1 alors, la fraction 718 est irréductible.
D'où, A=718
Soit : B=415÷8
Alors, B peut encore s'écrire : B=41581
Ainsi,
B=41581=415×18=4×115×8=4120
Or, PGCD(4; 120)=4 donc, on peut rendre irréductible la fraction 4120 en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre 4.
Donc, B=4÷4120÷4=130
Par suite, B=130
Soit C=2713÷9 alors, on a :
C=271391=2713×19=27×113×9=27117
Comme PGCD(27; 117)=9 alors, pour rendre irréductible la fraction 27117 on divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre 9.
Donc, C=27÷9117÷9=313
D'où, C=313
4) Pour cette question, on utilise la propriété suivante : si a; b sont deux nombres tels que b≠0 et n un entier naturel alors,
(ab)n=anbn
Soit A=(43)2, on a :
A=(43)2=(4)2(3)2=4×43×3=169
Comme PGCD(16; 9)=1 alors, la fraction 169 est irréductible.
Par suite, A=169
Soit B=(14×12)3
On calcule d'abord le produit des fractions 14 et 12
On obtient : 14×12=1×14×2=18
Ensuite on calcule (18)3 en appliquant la propriété.
On obtient alors :
B=(18)3=(1)3(8)3=1×1×18×8×8=1512
Enfin on trouve B=1512
On donne : C=[(53)2]3
Calculons d'abord (53)2 en appliquant la propriété.
On obtient : (53)2=5232=259
Calculons ensuite (259)3
On obtient alors :
C=(259)3=(25)3(9)3=25×25×259×9×9=15625729
Comme PGCD(15625; 729)=1 alors, la fraction 15625729 est irréductible.
D'où, C=15625729
On pouvait aussi utiliser la propriété suivante : si a; b sont deux nombres tels que b≠0 et n; m deux entiers naturels alors,
[(ab)n]m=(ab)n×m
Ainsi,
C=[(53)2]3=(53)2×3=(53)6=(5)6(3)6=5×5×5×5×5×53×3×3×3×3×3=15625729
D'où, C15625729
Exercice 14
Dans le village de Mbane, 12 des terres est cultivé ; 35 des terres cultivées le sont en tomates et 13 des terres cultivées l'est en arachides.
1) Calculons la fraction des terres non cultivées.
On sait que la fraction des terres cultivées est de 12.
Or, la somme des parts est toujours égale à 1 donc, la fraction des terres non cultivées sera donnée par :
Fraction des terres non cultivées=1−12
Par suite, 1−12=22−12=2−12=12
D'où, 12 des terres du village est non cultivée.
2) Calculons la fraction des terres du village qui sont cultivées en tomates.
On sait que : 12 des terres du village est cultivée et dans cette part, les 35 sont cultivées en tomates.
Donc, on peut dire : 35 de 12 des terres du village sont cultivées en tomates. Ce qui se traduit par :
Fraction des terres cultivées en tomates=35×12
On a : 35×12=3×15×2=310
Donc, 310 des terres du village sont cultivées en tomates.
3) Calculons la fraction des terres du village qui sont cultivées en arachides.
La part des terres cultivées en arachides représente 13 des terres cultivées.
Or, les terres cultivées constituent 12 des terres du village.
Donc, on peut dire : 13 de 12 des terres du village sont cultivées en arachides. Ce qui signifie :
Fraction des terres cultivées en arachides=13×12
En calculant, on obtient : 13×12=1×13×2=16
Ainsi, 16 des terres du village sont cultivées en arachides.
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Amy Dia (non vérifié)
dim, 04/04/2021 - 13:34
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Je vous soutient
Anonyme (non vérifié)
mar, 02/21/2023 - 21:22
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y'a pas de correction
Mohamed Ndiaye (non vérifié)
jeu, 12/21/2023 - 18:10
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Quelque contributions
Anonyme (non vérifié)
dim, 01/21/2024 - 22:15
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l'application ma surprri sunu
Anonyme (non vérifié)
dim, 01/21/2024 - 22:15
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l'application ma surprri sunu
Thioro diop (non vérifié)
ven, 01/26/2024 - 20:49
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Je n'ai jamais vu un
Anonyme (non vérifié)
lun, 02/26/2024 - 20:01
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Non vérifié
Anonyme (non vérifié)
mer, 03/06/2024 - 18:52
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Devoirs de maths
Issadiallo (non vérifié)
mer, 03/13/2024 - 00:07
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Correction
Anonyme (non vérifié)
mer, 01/22/2025 - 14:16
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Merci
Anonyme (non vérifié)
dim, 02/09/2025 - 16:31
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MAIS la correction SVP
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