Solution série d'exercices : Les fractions - 5e
Classe:
Cinquième
Exercice 1
1) Définition d'une fraction décimale.
On sait qu'en divisant une ou plusieurs parties de l'unité par $10$, $100$ ou $1000$ on obtient une fraction décimale.
Donc, une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est $10\;;\ 100\;;\ 1000\; \text{etc.}$
Exemple
$\dfrac{4}{10}\;;\ \dfrac{35}{100}\;\text{ et }\dfrac{25}{1000}$ sont des fractions décimales.
2) Donnons une écriture fractionnaire de chacun des nombres décimaux suivant :
$$2.8\ ;\ 0.75\ \text{ et }\ 1.534$$
On sait que si on a trois nombres $a\;;\ b\ $ et $\ c$ tels que $\dfrac{a}{b}=c$ alors, l'écriture $\dfrac{a}{b}$ qui représente le résultat exact de la division de $a$ par $b$ est appelée écriture fractionnaire de $c.$
On a : $\dfrac{14}{5}=2.8$
Donc, une écriture fractionnaire de $2.8$ est $\dfrac{14}{5}$
De même, $\dfrac{3}{4}=0.75$
Ainsi, une écriture fractionnaire de $0.75$ est $\dfrac{3}{4}$
$1.534$ est le résultat exact de la division de $7.67$ par $5$
Par suite, une écriture fractionnaire de $1.534$ est $\dfrac{7.67}{5}$
Remarque : Toute fraction est une écriture fractionnaire d'un nombre mais, toute écriture fractionnaire n'est pas forcément une fraction.
Exemple
$\dfrac{1}{10}$ est une fraction mais également une écriture fractionnaire de $0.1$
Par contre, $\dfrac{9}{1.2}$ est une écriture fractionnaire de $7.5$ mais n'est pas une fraction car le dénominateur n'est pas un nombre entier.
Exercice 2
1) Rendons irréductible les fractions ci-dessous en utilisant les caractères de divisibilités
Soit la fraction suivante : $\dfrac{450}{375}$
On voit que le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont divisibles par 3 donc,
$\begin{array}{lcl}\dfrac{450}{375}&=&\dfrac{450\div 3}{375\div 3}\\ \\&=&\dfrac{150}{125}\end{array}$
Aussi, le numérateur et le dénominateur de la fraction $\dfrac{150}{125}$ sont divisibles par 5.
Par suite,
$\begin{array}{lcl}\dfrac{150}{125}&=&\dfrac{150\div 5}{125\div 5}\\ \\&=&\dfrac{30}{25}\end{array}$
De plus, le numérateur et le dénominateur de la fraction $\dfrac{150}{125}$ étant divisibles par 5 alors,
$\begin{array}{lcl}\dfrac{30}{25}&=&\dfrac{30\div 5}{25\div 5}\\ \\&=&\dfrac{6}{5}\end{array}$
Par conséquent, $\boxed{\dfrac{450}{375}=\dfrac{6}{5}}$
On donne la fraction suivante : $\dfrac{256}{224}$
On constate que le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont divisibles par 32 donc,
$\begin{array}{lcl}\dfrac{256}{224}&=&\dfrac{256\div 32}{224\div 32}\\ \\&=&\dfrac{8}{7}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{\dfrac{256}{224}=\dfrac{8}{7}}$
Soit la fraction suivante : $\dfrac{700}{250}$
Comme le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont divisibles par 50 alors,
$\begin{array}{lcl}\dfrac{700}{250}&=&\dfrac{700\div 50}{250\div 50}\\ \\&=&\dfrac{14}{5}\end{array}$
D'où, $\boxed{\dfrac{700}{250}=\dfrac{14}{5}}$
2) Rendons irréductible les fractions ci-dessous en utilisant la décomposition en produit de facteurs
Soit la fraction suivante : $\dfrac{450}{375}$
Décomposons en produits de facteurs premiers le numérateur et le dénominateur de cette fraction.
On a :
$$\begin{array}{c|c} 450&3\\ 150&3\\ 50&2\\ 25&5\\ 5&5\\ 1&\\ \end{array}\qquad\begin{array}{c|c} 375&3\\ 125&5\\ 25&5\\ 5&5\\ 1&\\ \end{array}$$
Donc,
$450=3^{2}\times 2\times 5^{2}\times 1\ $ et $\ 375=3\times 5^{3}\times 1$
Ainsi, la fraction $\dfrac{450}{375}$ peut s'écrire :
$\begin{array}{rcl}\dfrac{450}{375}&=&\dfrac{3^{2}\times 2\times 5^{2}\times 1}{3\times 5^{3}\times 1}\\ \\&=&\dfrac{3^{2-1}\times 2}{5^{3-2}}\\ \\&=&\dfrac{3\times 2}{5}\\ \\&=&\dfrac{6}{5}\end{array}$
Par suite, $\boxed{\dfrac{450}{375}=\dfrac{6}{5}}$
Considérons la fraction suivante : $\dfrac{256}{224}$
En décomposant en produits de facteurs premiers le numérateur et le dénominateur de cette fraction, on obtient :
$$\begin{array}{c|c} 256&2\\ 128&2\\ 64&2\\ 32&2\\ 16&2\\ 8&2\\ 4&2\\ 2&2\\ 1&\\ \end{array}\qquad\begin{array}{c|c} 224&2\\ 112&2\\ 56&2\\ 28&2\\ 14&2\\ 7&7\\ 1&\\ \end{array}$$
Ainsi, $256=2^{8}\times 1\ $ et $\ 224=2^{5}\times 7\times 1$
Par suite,
$\begin{array}{rcl}\dfrac{256}{224}&=&\dfrac{2^{8}\times 1}{2^{5}\times 7\times 1}\\ \\&=&\dfrac{2^{8-5}}{7}\\ \\&=&\dfrac{2^{3}}{7}\\ \\&=&\dfrac{8}{7}\end{array}$
D'où, $\boxed{\dfrac{256}{224}=\dfrac{8}{7}}$
3) Rendons irréductible les fractions ci-dessous en utilisant le $PGCD.$
En effet, pour rendre irréductible une fraction, on peut diviser le numérateur et le dénominateur par leur $PGCD.$
Donc, pour la fraction $\dfrac{360}{200}$, on a :
$\left.\begin{array}{rcl} 360&=&2^{3}\times 3^{2}\times 5\\200&=&2^{3}\times 5^{2}\end{array}\right\rbrace\ \text{ alors, }\ PGCD(360\;;\ 200)=2^{3}\times 5=40$
Ainsi, $\dfrac{360}{200}=\dfrac{360\div 40}{200\div 40}=\dfrac{9}{5}$
D'où, $\boxed{\dfrac{360}{200}=\dfrac{9}{5}}$
Pour la fraction $\dfrac{450}{72}$, on obtient :
$\left.\begin{array}{rcl} 450&=&2\times 3^{2}\times 5^{2}\\72&=&2^{3}\times 3^{2}\end{array}\right\rbrace\ \text{ donc, }\ PGCD(450\;;\ 72)=2\times 3^{2}=18$
Par suite, $\dfrac{450}{72}=\dfrac{450\div 18}{72\div 18}=\dfrac{25}{4}$
D'où, $\boxed{\dfrac{450}{72}=\dfrac{25}{4}}$
De même pour la fraction $\dfrac{735}{225}$, on trouve :
$\left.\begin{array}{rcl} 735&=&3\times 5\times 7^{2}\\225&=&3^{2}\times 5^{2}\end{array}\right\rbrace\ \text{ donc, }\ PGCD(735\;;\ 225)=3\times 5=15$
Par suite, $\dfrac{735}{225}=\dfrac{735\div 15}{225\div 15}=\dfrac{49}{15}$
D'où, $\boxed{\dfrac{735}{225}=\dfrac{49}{15}}$
Exercice 3
Comparons en remplaçant les pointillés par : $<\ $ ou $\ >.$
On sait que : pour une fraction si le numérateur est plus petit que le dénominateur alors, la fraction est plus petite que 1 et si le numérateur est égal au dénominateur alors, la fraction est égale à 1. Donc,
$\dfrac{35}{7}>1\ $ et $\ \dfrac{7}{35}<1\ $ car $\ 35>7$
$\dfrac{13}{23}<1\ $ car $\ 13<23$
$\dfrac{3.5}{6}<1\ $ du fait que $\ 3.5<6$
$\dfrac{19}{29}<1\ $ parce que $\ 19<29$
$\dfrac{34}{19}>1\ $ car $\ 34>19$
Exercice 4
Comparons en remplaçant les pointillés par : $<\ $ ou $\ >.$
a) On sait que : pour deux fractions ayant le même numérateur, la plus grande est celle avec le plus petit dénominateur. Donc,
$\dfrac{6}{7}>\dfrac{6}{13}\ $ car $\ 7<13$
$\dfrac{14}{19}<\dfrac{14}{9}\ $ car $\ 19>9$
$\dfrac{11}{3.5}>\dfrac{11}{3.11}\ $ car $\ 3.5<3.11$
b) De même, on sait que : pour deux fractions ayant le même dénominateur, la plus grande est celle avec le plus grand numérateur. Donc,
$\dfrac{7}{6}<\dfrac{13}{6}\ $ parce que $7<13$
$\dfrac{11}{16}>\dfrac{3}{16}\ $ car $\ 11>3$
$\dfrac{17}{70}<\dfrac{47}{70}\ $ du fait que $\ 17<47$
Exercice 5
L'âge de Anna représente $\dfrac{7}{9}$ de celui de Thierno et l'âge de Jacques représente $\dfrac{5}{9}$ de celui de Thierno. Comparons l'âge de Anna et de Jacques.
Soit $x$ l'âge de Thierno.
Comme l'âge de Anna représente $\dfrac{7}{9}$ de celui de Thierno alors, on peut écrire :
$$\text{âge de Anna}=\dfrac{7}{9}x=\dfrac{7x}{9}$$
De même, Comme l'âge de Jacques représente $\dfrac{5}{9}$ de celui de Thierno alors, on peut écrire :
$$\text{âge de Jacques}=\dfrac{5}{9}x=\dfrac{5x}{9}$$
Donc, pour comparer l'âge de Anna et l'âge de Jacques, on compare les fractions $\dfrac{7x}{9}\ $ et $\ \dfrac{5x}{9}$
Or, on sait que : $7x>5x$, donc : $\dfrac{7x}{9}>\dfrac{5x}{9}\ $ car les deux fractions ont même dénominateur.
Par conséquent, on conclut que Anna est plus âgée que Jacques ou tout simplement, l'âge de Anna est supérieur à celui de Jacques.
Exercice 6
Comparons chacune des fractions suivantes en utilisant l'unité
a) $\dfrac{7}{11}\ $ et $\ \dfrac{13}{4}$
On a : $\dfrac{7}{11}<1\ $ et $\ \dfrac{13}{4}>1$
Ainsi, $\dfrac{7}{11}<1<\dfrac{13}{4}$
D'où, $\boxed{\dfrac{7}{11}<\dfrac{13}{4}}$
b) $\dfrac{11}{8}\ $ et $\ \dfrac{8}{11}$
On sait que : $\dfrac{11}{8}>1\ $ et $\ \dfrac{8}{11}<1$
Donc, $\dfrac{8}{11}<1<\dfrac{11}{8}$
Par suite, $\boxed{\dfrac{11}{8}>\dfrac{8}{11}}$
c) $\dfrac{134}{25}\ $ et $\ \dfrac{1}{3}$
On a : $\dfrac{134}{25}>1\ $ et $\ \dfrac{1}{3}<1$
alors, $\dfrac{1}{3}<1<\dfrac{134}{25}$
D'où, $\boxed{\dfrac{134}{25}>\dfrac{1}{3}}$
Exercice 7
1) Montrons que $1029$ est un multiple de $147$
On a : $1029\div 147=7\text{ reste }0$
Alors, $1029=147\times 7+0=147\times 7$
Donc, $1029$ est un multiple de $147$
2) Calculons $PGDC(1029\;,\ 147)\ $ et $\ PPCM(1029\;;\ 147)$
$-\ $ Calcul de $PGDC(1029\;,\ 147)$
En décomposant $1029\ $ et $\ 147$ en produit de facteurs premiers, on obtient :
$$\begin{array}{c|c} 1029&3\\ 343&7\\ 49&7\\ 7&7\\ 1&\\ \end{array}\qquad\begin{array}{c|c} 147&3\\ 49&7\\ 7&7\\ 1&\\ \end{array}$$
Donc, $1029=7^{3}\times 3\ $ et $\ 147=7^{2}\times 3$
Par suite, $PGDC(1029\;,\ 147)=7^{2}\times 3=147$
D'où, $\boxed{PGDC(1029\;,\ 147)=147}$
$-\ $ Calcul de $PPMC(1029\;,\ 147)$
En utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers de $1029\ $ et $\ 147$, on obtient : $PPCM(1029\;,\ 147)=7^{3}\times 3=1029$
Donc, $\boxed{PPCM(1029\;,\ 147)=1029}$
On remarque que le plus grand diviseur commun de $1029$ et $147$ est $147$ et le plus petit commun multiple de ces deux nombre cités ci-haut est $1029$
Exercice 8
1) Rangeons les fractions suivantes dans l'ordre croisant
$\dfrac{3}{7}\;;\ \dfrac{1}{7}\;;\ \dfrac{8}{7}\;;\ \dfrac{13.5}{7}\;;\ \dfrac{24}{7}$ et $\dfrac{1.1}{7}$
En appliquant la règle de comparaison de fractions de même dénominateur, on obtient :
$$\dfrac{1}{7}<\dfrac{1.1}{7}<\dfrac{3}{7}<\dfrac{8}{7}<\dfrac{13.5}{7}<\dfrac{24}{7}$$
D'où, le rangement suivant :
$$\dfrac{1}{7}\;;\ \dfrac{1.1}{7}\;;\ \dfrac{3}{7}\;;\ \dfrac{8}{7}\;;\ \dfrac{13.5}{7}\;;\ \dfrac{24}{7}$$
2) Rangeons les fractions suivantes dans l'ordre décroissant
$\dfrac{15}{1}\;;\ \dfrac{15}{7.4}\;;\ \dfrac{15}{3}\;;\ \dfrac{15}{2}\;;\ \dfrac{15}{20}$ et $\dfrac{15}{7.14}$
En appliquant la règle de comparaison de fractions de même numérateur, on obtient :
$$\dfrac{15}{20}<\dfrac{15}{7.4}<\dfrac{15}{7.14}<\dfrac{15}{3}<\dfrac{15}{2}<\dfrac{15}{1}$$
D'où, le rangement suivant, dans l'ordre décroissant
$$\dfrac{15}{1}\;;\ \dfrac{15}{2}\;;\ \dfrac{15}{3}\;;\ \dfrac{15}{7.14}\;;\ \dfrac{15}{7.4}\;;\ \dfrac{15}{20}$$
Exercice 9
1) Mettons chacune des fractions suivantes sous la forme de $q+\dfrac{r}{b}$
$\ast\ \dfrac{85}{7}$
On a : $85\div 7=12\text{ reste }1$ alors, $85=12\times 7+1$
Donc,
$\begin{array}{rcl}\dfrac{85}{7}&=&\dfrac{12\times 7+1}{7}\\ \\&=&\dfrac{12\times 7}{7}+\dfrac{1}{7}\\ \\&=&12+\dfrac{1}{7}\end{array}$
D'où, $\boxed{\dfrac{85}{7}=12+\dfrac{1}{7}}$
$\ast\ \dfrac{13}{17}$
Soit : $13\div 17=0\text{ reste }13$ alors, $\dfrac{13}{17}=0+\dfrac{13}{17}$
Donc, $\boxed{\dfrac{13}{17}=0+\dfrac{13}{17}}$
$\ast\ \dfrac{65}{25}$
On a : $65\div 25=2\text{ reste }15$ donc, $65=2\times 25+15$
Par suite,
$\begin{array}{rcl}\dfrac{65}{25}&=&\dfrac{2\times 25+15}{25}\\ \\&=&\dfrac{2\times 25}{25}+\dfrac{15}{25}\\ \\&=&2+\dfrac{3\times 5}{5\times 5}\end{array}$
D'où, $\boxed{\dfrac{65}{25}=2+\dfrac{3}{5}}$
$\ast\ \dfrac{20}{3}$
On sait que : $20\div 3=6\text{ reste }2$ alors, $20=6\times 3+2$
Donc,
$\begin{array}{rcl}\dfrac{20}{3}&=&\dfrac{6\times 3+2}{3}\\ \\&=&\dfrac{6\times 3}{3}+\dfrac{2}{3}\\ \\&=&6+\dfrac{2}{3}\end{array}$
Par suite, $\boxed{\dfrac{20}{3}=6+\dfrac{2}{3}}$
$\ast\ \dfrac{38}{3}$
On a : $38\div 3=12\text{ reste }2$ donc, $38=12\times 3+2$
Ainsi,
$\begin{array}{rcl}\dfrac{38}{3}&=&\dfrac{12\times 3+2}{3}\\ \\&=&\dfrac{12\times 3}{3}+\dfrac{2}{3}\\ \\&=&12+\dfrac{2}{3}\end{array}$
D'où, $\boxed{\dfrac{38}{3}=12+\dfrac{2}{3}}$
2) Rangeons ces fractions dans l'ordre décroissant
En utilisant les résultats précédents tout en appliquant les règles de comparaison de fractions, on obtient :
$$\dfrac{38}{3}>\dfrac{85}{7}>\dfrac{20}{3}>\dfrac{65}{25}>\dfrac{13}{17}$$
D'où, le rangement suivant :
$$\dfrac{38}{3}\;;\ \dfrac{85}{7}\;;\ \dfrac{20}{3}\;;\ \dfrac{65}{25}\;;\ \dfrac{13}{17}$$
Exercice 10
1) Donnons un encadrement de $\dfrac{22}{7}$ par deux entiers consécutifs
On a : $\dfrac{22}{7}\simeq 3.142857$ or, $3<3.142857<4$
Donc, $\boxed{3<\dfrac{22}{7}<4}$
2) Donnons un encadrement de $\dfrac{20}{3}$ à $0.1$ prés
Rappel : $\dfrac{20}{3}\simeq 6.6666666...6$
Comme $6.6<6.66666666<6.7$ alors, $6.6<\dfrac{20}{3}<6.7$
D'où, l'encadrement suivant : $\boxed{6.6<\dfrac{20}{3}<6.7}$
3) Donnons un encadrement de $\dfrac{99}{13}$ par deux décimaux consécutifs ayant deux chiffres après la virgule
Soit : $\dfrac{99}{13}\simeq 7.615384\ldots$ or, $7.61<7.615384<7.62$
Donc, $\boxed{7.61<\dfrac{99}{13}<7.62}$
Exercice 11
1) Trouvons une fraction égale à $\dfrac{5}{7}$ ayant pour dénominateur : $49\ $ ; $77$
On a : $49\div 7=7$ donc, pour trouver une fraction égale à $\dfrac{5}{7}$ et ayant pour dénominateur $49$ il suffit de multiplier par $7$ le numérateur et le dénominateur de la fraction $\dfrac{5}{7}$
On obtient alors : $\dfrac{5}{7}\times\dfrac{7}{7}=\dfrac{35}{49}$
D'où, $\boxed{\dfrac{35}{49}=\dfrac{5}{7}}$
De la même manière, on voit que : $77\div 7=11$ donc, en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction $\dfrac{5}{7}$ par $11$ on obtient une fraction égale à $\dfrac{5}{7}$ et ayant pour dénominateur $77$
Ainsi, $\dfrac{5}{7}\times\dfrac{11}{11}=\dfrac{55}{77}$
D'où, $\boxed{\dfrac{55}{77}=\dfrac{5}{7}}$
2) On constate que $88$ n'est pas divisible par $7$ donc, on ne peut pas trouver une fraction égale à $\dfrac{5}{7}$ ayant pour dénominateur $88.$
Exercice 12
Calculons puis rendons irréductible
1) $A=\dfrac{14}{15}+\dfrac{4}{15}$
On voit que $A$ est l'addition de deux fractions de même dénominateur donc, le résultat sera une fraction de même dénominateur et de numérateur la somme des numérateurs des fractions considérées.
Ainsi, $A=\dfrac{14}{15}+\dfrac{4}{15}=\dfrac{18}{15}$
Or, $PGCD(18\;;\ 15)=3$ donc, on peut rendre irréductible $A$ en divisant le numérateur et le dénominateur par $3.$
Par suite, $A=\dfrac{18\div 3}{15\div 3}=\dfrac{6}{5}$
D'où, $\boxed{A=\dfrac{6}{5}}$
De la même manière, on obtient :
$B=\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{2+4+8}{3}=\dfrac{14}{3}$
Comme $PGCD(14\;;\ 3)=1$ alors, la fraction $\dfrac{14}{3}$ est irréductible.
D'où, $\boxed{B=\dfrac{14}{3}}$
Soit : $C=\dfrac{4}{5}+\dfrac{4}{7}$
On remarque $C$ est l'addition de deux fractions de même numérateur mais de dénominateur différent.
Donc, pour calculer $C$ on réduit au même dénominateur. Le dénominateur commun sera le $PPCM(5\;;\ 7)=35$
Ainsi, on obtient :
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{4\times 7}{5\times 7}+\dfrac{4\times 5}{7\times 5}\\ \\&=&\dfrac{28}{35}+\dfrac{20}{35}\\ \\&=&\dfrac{48}{35}\end{array}$
Or, $PGCD(48\;;\ 35)=1$ donc, la fraction $\dfrac{48}{35}$ est irréductible.
D'où, $\boxed{C=\dfrac{48}{35}}$
2) $A=\dfrac{14}{15}-\dfrac{4}{15}$
$A$ est la différence de deux fractions de même dénominateur donc, pour calculer $A$ on fait la différence des numérateurs et on conserve le dénominateur.
Ainsi, $A=\dfrac{14-4}{15}=\dfrac{10}{15}$
Or, $PGCD(10\;;\ 15)=5$ donc, on peut rendre irréductible la fraction $\dfrac{10}{15}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par $5.$
Par suite, $A=\dfrac{10\div 5}{15\div 5}=\dfrac{2}{3}$
D'où, $\boxed{A=\dfrac{2}{3}}$
Soit : $B=\dfrac{7}{5}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}$
Dans l'expression de $B$, on remarque que les fractions ont tous le même dénominateur donc, on effectue les opérations sur les numérateurs et on conserve le dénominateur.
Ainsi,
$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{7}{5}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}\\ \\&=&\dfrac{7+3-2}{5}\\ \\&=&\dfrac{8}{5}\end{array}$
Comme, $PGCD(8\;;\ 5)=1$ alors, la fraction $\dfrac{8}{5}$ est irréductible.
D'où, $\boxed{B=\dfrac{8}{5}}$
On donne : $C=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}$
Comme les fractions de $C$ ont même dénominateur alors, $C=\dfrac{3-1}{2}=\dfrac{2}{2}=1$
Par suite, $\boxed{C=1}$
3) Soit : $A=\dfrac{7}{4}\times\dfrac{2}{21}$
On a :
$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{7}{4}\times\dfrac{2}{21}\\ \\&=&\dfrac{7\times 2}{4\times 21}\\ \\&=&\dfrac{14}{84}\end{array}$
Or, $PGCD(14\;;\ 84)=14$ donc, on peut rendre irréductible la fraction $\dfrac{14}{84}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par $14.$
Ainsi, $A=\dfrac{14\div 14}{84\div 14}=\dfrac{1}{6}$
Par suite, $\boxed{A=\dfrac{1}{6}}$
Soit : $B=20\times\dfrac{7}{5}\times\dfrac{3}{4}$
Alors :
$\begin{array}{rcl} B&=&20\times\dfrac{7}{5}\times\dfrac{3}{4}\\ \\&=&\dfrac{20\times 7\times 3}{5\times 4}\\ \\&=&\dfrac{420}{20}\end{array}$
Comme $PGCD(420\;;\ 20)=20$ alors, on peut rendre irréductible la fraction $\dfrac{420}{20}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par $20.$
Donc, $B=\dfrac{420\div 20}{20\div 20}=\dfrac{21}{1}$
D'où, $\boxed{B=\dfrac{21}{1}=21}$
Soit : $C=\dfrac{7}{5}\times\dfrac{3}{14}\times\dfrac{25}{9}$
Alors,
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{7}{5}\times\dfrac{3}{14}\times\dfrac{25}{9}\\ \\&=&\dfrac{7\times 3\times 25}{5\times 14\times 9}\\ \\&=&\dfrac{525}{630}\end{array}$
Or, $PGCD(525\;;\ 630)=105$ donc, on peut rendre irréductible la fraction $\dfrac{525}{630}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre $105.$
Ce qui donne alors, $C=\dfrac{525\div 105}{630\div 105}=\dfrac{5}{6}$
Ainsi, $\boxed{C=\dfrac{5}{6}}$
Exercice 13
Calculons puis rendons irréductible
1) $A=4+\dfrac{3}{5}$
$A$ peut s'écrire sous la forme : $A=\dfrac{4}{1}+\dfrac{3}{5}$
On obtient alors,
$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{4}{1}+\dfrac{3}{5}\\ \\&=&\dfrac{4\times 5}{1\times 5}+\dfrac{3\times 1}{5\times 1}\\ \\&=&\dfrac{20}{5}+\dfrac{3}{5}\\ \\&=&\dfrac{20+3}{5}\\ \\&=&\dfrac{23}{5}\end{array}$
Comme $PGCD(23\;;\ 5)=1$ alors, la fraction $\dfrac{23}{5}$ est irréductible.
D'où, $\boxed{A=\dfrac{23}{5}}$
Soit $B=1+\dfrac{7}{2}$ alors, $B$ peut s'écrire : $B=\dfrac{2}{2}+\dfrac{7}{2}$
Par suite, $B=\dfrac{2+7}{2}=\dfrac{9}{2}$
Or, $PGCD(9\;;\ 2)=1$ donc, la fraction $\dfrac{9}{2}$ est irréductible.
Ainsi, $\boxed{B=\dfrac{9}{2}}$
On donne : $C=3-\dfrac{4}{3}$
Alors, on a :
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{3}{1}-\dfrac{4}{3}\\ \\&=&\dfrac{3\times 3}{1\times 3}-\dfrac{4\times 1}{3\times 1}\\ \\&=&\dfrac{9}{3}-\dfrac{4}{3}\\ \\&=&\dfrac{9-4}{3}\\ \\&=&\dfrac{5}{3}\end{array}$
Comme $PGCD(5\;;\ 3)=1$ alors, la fraction $\dfrac{5}{3}$ est irréductible.
D'où, $\boxed{C=\dfrac{5}{3}}$
2) $A=3\times\dfrac{7}{4}$
$A$ peut s'écrire aussi : $A=\dfrac{3}{1}\times\dfrac{7}{4}$ ainsi,
$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{3}{1}\times\dfrac{7}{4}\\ \\&=&\dfrac{3\times 7}{1\times 4}\\ \\&=&\dfrac{21}{4}\end{array}$
Or, $PGCD(21\;;\ 4)=1$ donc, la fraction $\dfrac{21}{4}$ est irréductible.
Par suite, $\boxed{A=\dfrac{21}{4}}$
Soit $B=12\times\dfrac{7}{18}$ alors, on a : $B=\dfrac{12}{1}\times\dfrac{7}{18}$
Donc,
$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{12}{1}\times\dfrac{7}{18}\\ \\&=&\dfrac{12\times 7}{18\times 1}\\ \\&=&\dfrac{84}{18}\end{array}$
Or, $PGCD(84\;;\ 18)=6$ donc, on peut rendre irréductible la fraction $\dfrac{84}{18}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre $6.$
Ainsi, $B=\dfrac{84\div 6}{18\div 6}=\dfrac{14}{3}$
D'où, $\boxed{B=\dfrac{14}{3}}$
Soit $C=4\times\dfrac{12}{44}$ alors, $C$ peut s'écrire : $C=\dfrac{4}{1}\times\dfrac{12}{44}$
Donc,
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{4}{1}\times\dfrac{12}{44}\\ \\&=&\dfrac{4\times 12}{1\times 44}\\ \\&=&\dfrac{48}{44}\end{array}$
Comme $PGCD(48\;;\ 44)=4$ alors, on peut rendre irréductible la fraction $\dfrac{48}{44}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre $4.$
Donc, $C=\dfrac{48\div 4}{44\div 4}=\dfrac{12}{11}$
Par suite, $\boxed{C=\dfrac{12}{11}}$
3) $A=\dfrac{7}{3}\div 6$
$A$ peut encore s'écrire : $A=\dfrac{\dfrac{7}{3}}{\dfrac{6}{1}}$
Donc, on aura :
$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{\dfrac{7}{3}}{\dfrac{6}{1}}\\ \\&=&\dfrac{7}{3}\times\dfrac{1}{6}\\ \\&=&\dfrac{7\times 1}{3\times 6}=\dfrac{7}{18}\end{array}$
Comme, $PGCD(7\;;\ 18)=1$ alors, la fraction $\dfrac{7}{18}$ est irréductible.
D'où, $\boxed{A=\dfrac{7}{18}}$
Soit : $B=\dfrac{4}{15}\div 8$
Alors, $B$ peut encore s'écrire : $B=\dfrac{\dfrac{4}{15}}{\dfrac{8}{1}}$
Ainsi,
$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{\dfrac{4}{15}}{\dfrac{8}{1}}\\ \\&=&\dfrac{4}{15}\times\dfrac{1}{8}\\ \\&=&\dfrac{4\times 1}{15\times 8}=\dfrac{4}{120}\end{array}$
Or, $PGCD(4\;;\ 120)=4$ donc, on peut rendre irréductible la fraction $\dfrac{4}{120}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre $4.$
Donc, $B=\dfrac{4\div 4}{120\div 4}=\dfrac{1}{30}$
Par suite, $\boxed{B=\dfrac{1}{30}}$
Soit $C=\dfrac{27}{13}\div 9$ alors, on a :
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{\dfrac{27}{13}}{\dfrac{9}{1}}\\ \\&=&\dfrac{27}{13}\times\dfrac{1}{9}\\ \\&=&\dfrac{27\times 1}{13\times 9}\\ \\&=&\dfrac{27}{117}\end{array}$
Comme $PGCD(27\;;\ 117)=9$ alors, pour rendre irréductible la fraction $\dfrac{27}{117}$ on divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre $9.$
Donc, $C=\dfrac{27\div 9}{117\div 9}=\dfrac{3}{13}$
D'où, $\boxed{C=\dfrac{3}{13}}$
4) Pour cette question, on utilise la propriété suivante : si $a\;;\ b$ sont deux nombres tels que $b\neq 0\ $ et $n$ un entier naturel alors,
$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$$
Soit $A=\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}$, on a :
$\begin{array}{rcl} A&=&\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}\\ \\&=&\dfrac{(4)^{2}}{(3)^{2}} \\ \\&=&\dfrac{4\times 4}{3\times 3}\\ \\&=&\dfrac{16}{9}\end{array}$
Comme $PGCD(16\;;\ 9)=1$ alors, la fraction $\dfrac{16}{9}$ est irréductible.
Par suite, $\boxed{A=\dfrac{16}{9}}$
Soit $B=\left(\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}\right)^{3}$
On calcule d'abord le produit des fractions $\dfrac{1}{4}\ $ et $\ \dfrac{1}{2}$
On obtient : $\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\times 1}{4\times 2}=\dfrac{1}{8}$
Ensuite on calcule $\left(\dfrac{1}{8}\right)^{3}$ en appliquant la propriété.
On obtient alors :
$\begin{array}{rcl} B&=&\left(\dfrac{1}{8}\right)^{3}\\ \\&=&\dfrac{(1)^{3}}{(8)^{3}} \\ \\&=&\dfrac{1\times 1\times 1}{8\times 8\times 8}\\ \\&=&\dfrac{1}{512}\end{array}$
Enfin on trouve $\boxed{B=\dfrac{1}{512}}$
On donne : $C=\left[\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}\right]^{3}$
Calculons d'abord $\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}$ en appliquant la propriété.
On obtient : $\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}=\dfrac{5^{2}}{3^{2}}=\dfrac{25}{9}$
Calculons ensuite $\left(\dfrac{25}{9}\right)^{3}$
On obtient alors :
$\begin{array}{rcl} C&=&\left(\dfrac{25}{9}\right)^{3}\\ \\&=&\dfrac{(25)^{3}}{(9)^{3}} \\ \\&=&\dfrac{25\times 25\times 25}{9\times 9\times 9}\\ \\&=&\dfrac{15625}{729}\end{array}$
Comme $PGCD(15625\;;\ 729)=1$ alors, la fraction $\dfrac{15625}{729}$ est irréductible.
D'où, $\boxed{C=\dfrac{15625}{729}}$
On pouvait aussi utiliser la propriété suivante : si $a\;;\ b$ sont deux nombres tels que $b\neq 0\ $ et $n\;;\ m$ deux entiers naturels alors,
$$\left[\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}\right]^{m}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n\times m}$$
Ainsi,
$\begin{array}{rcl} C&=&\left[\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}\right]^{3}\\ \\&=&\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2\times 3}\\ \\&=&\left(\dfrac{5}{3}\right)^{6}\\ \\&=& \dfrac{(5)^{6}}{(3)^{6}} \\ \\&=&\dfrac{5\times 5\times 5\times 5\times 5\times 5}{3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3}\\ \\&=&\dfrac{15625}{729}\end{array}$
D'où, $\boxed{C\dfrac{15625}{729}}$
Exercice 14
Dans le village de Mbane, $\dfrac{1}{2}$ des terres est cultivé ; $\dfrac{3}{5}$ des terres cultivées le sont en tomates et $\dfrac{1}{3}$ des terres cultivées l'est en arachides.
1) Calculons la fraction des terres non cultivées.
On sait que la fraction des terres cultivées est de $\dfrac{1}{2}.$
Or, la somme des parts est toujours égale à $1$ donc, la fraction des terres non cultivées sera donnée par :
$$\text{Fraction des terres non cultivées}=1-\dfrac{1}{2}$$
Par suite, $1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2}$
D'où, $\dfrac{1}{2}$ des terres du village est non cultivée.
2) Calculons la fraction des terres du village qui sont cultivées en tomates.
On sait que : $\dfrac{1}{2}$ des terres du village est cultivée et dans cette part, les $\dfrac{3}{5}$ sont cultivées en tomates.
Donc, on peut dire : $\dfrac{3}{5}$ de $\dfrac{1}{2}$ des terres du village sont cultivées en tomates. Ce qui se traduit par :
$$\text{Fraction des terres cultivées en tomates}=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{1}{2}$$
On a : $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{3\times 1}{5\times 2}=\dfrac{3}{10}$
Donc, $\dfrac{3}{10}$ des terres du village sont cultivées en tomates.
3) Calculons la fraction des terres du village qui sont cultivées en arachides.
La part des terres cultivées en arachides représente $\dfrac{1}{3}$ des terres cultivées.
Or, les terres cultivées constituent $\dfrac{1}{2}$ des terres du village.
Donc, on peut dire : $\dfrac{1}{3}$ de $\dfrac{1}{2}$ des terres du village sont cultivées en arachides. Ce qui signifie :
$$\text{Fraction des terres cultivées en arachides}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}$$
En calculant, on obtient : $\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\times 1}{3\times 2}=\dfrac{1}{6}$
Ainsi, $\dfrac{1}{6}$ des terres du village sont cultivées en arachides.
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Amy Dia (non vérifié)
dim, 04/04/2021 - 13:34
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Je vous soutient
Anonyme (non vérifié)
mar, 02/21/2023 - 21:22
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y'a pas de correction
Mohamed Ndiaye (non vérifié)
jeu, 12/21/2023 - 18:10
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Quelque contributions
Anonyme (non vérifié)
dim, 01/21/2024 - 22:15
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l'application ma surprri sunu
Anonyme (non vérifié)
dim, 01/21/2024 - 22:15
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l'application ma surprri sunu
Thioro diop (non vérifié)
ven, 01/26/2024 - 20:49
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Je n'ai jamais vu un
Anonyme (non vérifié)
lun, 02/26/2024 - 20:01
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Non vérifié
Anonyme (non vérifié)
mer, 03/06/2024 - 18:52
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Devoirs de maths
Issadiallo (non vérifié)
mer, 03/13/2024 - 00:07
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Correction
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