Solution série d'exercices : Les fractions - 5e

Classe: 
Cinquième
 

Exercice 1

1) Définition d'une fraction décimale.
 
On sait qu'en divisant une ou plusieurs parties de l'unité par $10$, $100$ ou $1000$ on obtient une fraction décimale.
 
Donc, une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est $10\;;\ 100\;;\ 1000\; \text{etc.}$

Exemple

$\dfrac{4}{10}\;;\ \dfrac{35}{100}\;\text{ et }\dfrac{25}{1000}$ sont des fractions décimales.
 
2) Donnons une écriture fractionnaire de chacun des nombres décimaux suivant :
$$2.8\ ;\ 0.75\ \text{ et }\ 1.534$$
On sait que si on a trois nombres $a\;;\ b\ $ et $\ c$ tels que $\dfrac{a}{b}=c$ alors, l'écriture $\dfrac{a}{b}$ qui représente le résultat exact de la division de $a$ par $b$ est appelée écriture fractionnaire de $c.$
 
On a : $\dfrac{14}{5}=2.8$
 
Donc, une écriture fractionnaire de $2.8$ est $\dfrac{14}{5}$
 
De même, $\dfrac{3}{4}=0.75$
 
Ainsi, une écriture fractionnaire de $0.75$ est $\dfrac{3}{4}$
 
$1.534$ est le résultat exact de la division de $7.67$ par $5$
 
Par suite, une écriture fractionnaire de $1.534$ est $\dfrac{7.67}{5}$
 
Remarque : Toute fraction est une écriture fractionnaire d'un nombre mais, toute écriture fractionnaire n'est pas forcément une fraction.

Exemple

$\dfrac{1}{10}$ est une fraction mais également une écriture fractionnaire de $0.1$
 
Par contre, $\dfrac{9}{1.2}$ est une écriture fractionnaire de $7.5$ mais n'est pas une fraction car le dénominateur n'est pas un nombre entier.

Exercice 2

1) Rendons irréductible les fractions ci-dessous en utilisant les caractères de divisibilités
 
Soit la fraction suivante : $\dfrac{450}{375}$
 
On voit que le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont divisibles par 3 donc,
 
$\begin{array}{lcl}\dfrac{450}{375}&=&\dfrac{450\div 3}{375\div 3}\\ \\&=&\dfrac{150}{125}\end{array}$
 
Aussi, le numérateur et le dénominateur de la fraction $\dfrac{150}{125}$ sont divisibles par 5.
 
Par suite,
 
$\begin{array}{lcl}\dfrac{150}{125}&=&\dfrac{150\div 5}{125\div 5}\\ \\&=&\dfrac{30}{25}\end{array}$
 
De plus, le numérateur et le dénominateur de la fraction $\dfrac{150}{125}$ étant divisibles par 5 alors,
 
$\begin{array}{lcl}\dfrac{30}{25}&=&\dfrac{30\div 5}{25\div 5}\\ \\&=&\dfrac{6}{5}\end{array}$
 
Par conséquent, $\boxed{\dfrac{450}{375}=\dfrac{6}{5}}$
 
On donne la fraction suivante : $\dfrac{256}{224}$
 
On constate que le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont divisibles par 32 donc,
 
$\begin{array}{lcl}\dfrac{256}{224}&=&\dfrac{256\div 32}{224\div 32}\\ \\&=&\dfrac{8}{7}\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{\dfrac{256}{224}=\dfrac{8}{7}}$
 
Soit la fraction suivante : $\dfrac{700}{250}$
 
Comme le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont divisibles par 50 alors,
 
$\begin{array}{lcl}\dfrac{700}{250}&=&\dfrac{700\div 50}{250\div 50}\\ \\&=&\dfrac{14}{5}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{\dfrac{700}{250}=\dfrac{14}{5}}$
 
2) Rendons irréductible les fractions ci-dessous en utilisant la décomposition en produit de facteurs
 
Soit la fraction suivante : $\dfrac{450}{375}$
 
Décomposons en produits de facteurs premiers le numérateur et le dénominateur de cette fraction.
 
On a :
$$\begin{array}{c|c} 450&3\\ 150&3\\ 50&2\\ 25&5\\ 5&5\\ 1&\\ \end{array}\qquad\begin{array}{c|c} 375&3\\ 125&5\\ 25&5\\ 5&5\\ 1&\\ \end{array}$$
Donc,
 
$450=3^{2}\times 2\times 5^{2}\times 1\ $ et $\ 375=3\times 5^{3}\times 1$
 
Ainsi, la fraction $\dfrac{450}{375}$ peut s'écrire :
 
$\begin{array}{rcl}\dfrac{450}{375}&=&\dfrac{3^{2}\times 2\times 5^{2}\times 1}{3\times 5^{3}\times 1}\\ \\&=&\dfrac{3^{2-1}\times 2}{5^{3-2}}\\ \\&=&\dfrac{3\times 2}{5}\\ \\&=&\dfrac{6}{5}\end{array}$
 
Par suite, $\boxed{\dfrac{450}{375}=\dfrac{6}{5}}$
 
Considérons la fraction suivante : $\dfrac{256}{224}$
 
En décomposant en produits de facteurs premiers le numérateur et le dénominateur de cette fraction, on obtient :
$$\begin{array}{c|c} 256&2\\ 128&2\\ 64&2\\ 32&2\\ 16&2\\ 8&2\\ 4&2\\ 2&2\\ 1&\\ \end{array}\qquad\begin{array}{c|c} 224&2\\ 112&2\\ 56&2\\ 28&2\\ 14&2\\ 7&7\\ 1&\\ \end{array}$$
Ainsi, $256=2^{8}\times 1\ $ et $\ 224=2^{5}\times 7\times 1$
 
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl}\dfrac{256}{224}&=&\dfrac{2^{8}\times 1}{2^{5}\times 7\times 1}\\ \\&=&\dfrac{2^{8-5}}{7}\\ \\&=&\dfrac{2^{3}}{7}\\ \\&=&\dfrac{8}{7}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{\dfrac{256}{224}=\dfrac{8}{7}}$
3) Rendons irréductible les fractions ci-dessous en utilisant le $PGCD.$
 
En effet, pour rendre irréductible une fraction, on peut diviser le numérateur et le dénominateur par leur $PGCD.$
 
Donc, pour la fraction $\dfrac{360}{200}$, on a :
 
$\left.\begin{array}{rcl} 360&=&2^{3}\times 3^{2}\times 5\\200&=&2^{3}\times 5^{2}\end{array}\right\rbrace\ \text{ alors, }\ PGCD(360\;;\ 200)=2^{3}\times 5=40$
 
Ainsi, $\dfrac{360}{200}=\dfrac{360\div 40}{200\div 40}=\dfrac{9}{5}$
 
D'où, $\boxed{\dfrac{360}{200}=\dfrac{9}{5}}$
 
Pour la fraction $\dfrac{450}{72}$, on obtient :
 
$\left.\begin{array}{rcl} 450&=&2\times 3^{2}\times 5^{2}\\72&=&2^{3}\times 3^{2}\end{array}\right\rbrace\ \text{ donc, }\ PGCD(450\;;\ 72)=2\times 3^{2}=18$
 
Par suite, $\dfrac{450}{72}=\dfrac{450\div 18}{72\div 18}=\dfrac{25}{4}$
 
D'où, $\boxed{\dfrac{450}{72}=\dfrac{25}{4}}$
 
De même pour la fraction $\dfrac{735}{225}$, on trouve :
 
$\left.\begin{array}{rcl} 735&=&3\times 5\times 7^{2}\\225&=&3^{2}\times 5^{2}\end{array}\right\rbrace\ \text{ donc, }\ PGCD(735\;;\ 225)=3\times 5=15$
 
Par suite, $\dfrac{735}{225}=\dfrac{735\div 15}{225\div 15}=\dfrac{49}{15}$
 
D'où, $\boxed{\dfrac{735}{225}=\dfrac{49}{15}}$

Exercice 3

Comparons en remplaçant les pointillés par : $<\ $ ou $\ >.$
 
On sait que : pour une fraction si le numérateur est plus petit que le dénominateur alors, la fraction est plus petite que 1 et si le numérateur est égal au dénominateur alors, la fraction est égale à 1. Donc,
 
$\dfrac{35}{7}>1\ $ et $\ \dfrac{7}{35}<1\ $ car $\ 35>7$
 
$\dfrac{13}{23}<1\ $ car $\ 13<23$
 
$\dfrac{3.5}{6}<1\ $ du fait que $\ 3.5<6$
 
$\dfrac{19}{29}<1\ $ parce que $\ 19<29$
 
$\dfrac{34}{19}>1\ $ car $\ 34>19$

Exercice 4

Comparons en remplaçant les pointillés par :  $<\ $ ou $\ >.$
 
a) On sait que : pour deux fractions ayant le même numérateur, la plus grande est celle avec le plus petit dénominateur. Donc,
 
$\dfrac{6}{7}>\dfrac{6}{13}\ $ car $\ 7<13$
 
$\dfrac{14}{19}<\dfrac{14}{9}\ $ car $\ 19>9$
 
$\dfrac{11}{3.5}>\dfrac{11}{3.11}\ $ car $\ 3.5<3.11$ 
 
b) De même, on sait que : pour deux fractions ayant le même dénominateur, la plus grande est celle avec le plus grand numérateur. Donc,
 
$\dfrac{7}{6}<\dfrac{13}{6}\ $ parce que $7<13$
 
$\dfrac{11}{16}>\dfrac{3}{16}\ $ car $\ 11>3$
 
$\dfrac{17}{70}<\dfrac{47}{70}\ $ du fait que $\ 17<47$

Exercice 5

L'âge de Anna représente $\dfrac{7}{9}$ de celui de Thierno et l'âge de Jacques représente $\dfrac{5}{9}$ de celui de Thierno. Comparons l'âge de Anna et de Jacques.
 
Soit $x$ l'âge de Thierno.
 
Comme l'âge de Anna représente $\dfrac{7}{9}$ de celui de Thierno alors, on peut écrire :
$$\text{âge de Anna}=\dfrac{7}{9}x=\dfrac{7x}{9}$$
De même, Comme l'âge de Jacques représente $\dfrac{5}{9}$ de celui de Thierno alors, on peut écrire :
$$\text{âge de Jacques}=\dfrac{5}{9}x=\dfrac{5x}{9}$$
Donc, pour comparer l'âge de Anna et l'âge de Jacques, on compare les fractions $\dfrac{7x}{9}\ $ et $\ \dfrac{5x}{9}$
 
Or, on sait que : $7x>5x$, donc : $\dfrac{7x}{9}>\dfrac{5x}{9}\ $ car les deux fractions ont même dénominateur.
 
Par conséquent, on conclut que Anna est plus âgée que Jacques ou tout simplement, l'âge de Anna est supérieur à celui de Jacques.

Exercice 6

Comparons chacune des fractions suivantes en utilisant l'unité
 
a) $\dfrac{7}{11}\ $ et $\ \dfrac{13}{4}$
 
On a : $\dfrac{7}{11}<1\ $ et $\ \dfrac{13}{4}>1$
 
Ainsi, $\dfrac{7}{11}<1<\dfrac{13}{4}$
 
D'où, $\boxed{\dfrac{7}{11}<\dfrac{13}{4}}$
 
b) $\dfrac{11}{8}\ $ et $\ \dfrac{8}{11}$
 
On sait que : $\dfrac{11}{8}>1\ $ et $\ \dfrac{8}{11}<1$
 
Donc, $\dfrac{8}{11}<1<\dfrac{11}{8}$
 
Par suite, $\boxed{\dfrac{11}{8}>\dfrac{8}{11}}$
 
c) $\dfrac{134}{25}\ $ et $\ \dfrac{1}{3}$
 
On a : $\dfrac{134}{25}>1\ $ et $\ \dfrac{1}{3}<1$
 
alors, $\dfrac{1}{3}<1<\dfrac{134}{25}$
 
D'où, $\boxed{\dfrac{134}{25}>\dfrac{1}{3}}$

Exercice 7

1) Montrons que $1029$ est un multiple de $147$
 
On a : $1029\div 147=7\text{ reste }0$
 
Alors, $1029=147\times 7+0=147\times 7$
 
Donc, $1029$ est un multiple de $147$
 
2) Calculons $PGDC(1029\;,\ 147)\ $ et $\ PPCM(1029\;;\ 147)$
 
$-\ $ Calcul de $PGDC(1029\;,\ 147)$
 
En décomposant $1029\ $ et $\ 147$ en produit de facteurs premiers, on obtient :
$$\begin{array}{c|c} 1029&3\\ 343&7\\ 49&7\\ 7&7\\ 1&\\ \end{array}\qquad\begin{array}{c|c} 147&3\\ 49&7\\ 7&7\\ 1&\\ \end{array}$$
Donc, $1029=7^{3}\times 3\ $ et $\ 147=7^{2}\times 3$
 
Par suite, $PGDC(1029\;,\ 147)=7^{2}\times 3=147$
 
D'où, $\boxed{PGDC(1029\;,\ 147)=147}$
 
$-\ $ Calcul de $PPMC(1029\;,\ 147)$
 
En utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers de $1029\ $ et $\ 147$, on obtient : $PPCM(1029\;,\ 147)=7^{3}\times 3=1029$
 
Donc, $\boxed{PPCM(1029\;,\ 147)=1029}$
 
On remarque que le plus grand diviseur commun de $1029$ et $147$ est $147$ et le plus petit commun multiple de ces deux nombre cités ci-haut est $1029$

Exercice 8

1) Rangeons les fractions suivantes dans l'ordre croisant
 
$\dfrac{3}{7}\;;\ \dfrac{1}{7}\;;\ \dfrac{8}{7}\;;\ \dfrac{13.5}{7}\;;\ \dfrac{24}{7}$ et $\dfrac{1.1}{7}$
 
En appliquant la règle de comparaison de fractions de même dénominateur, on obtient :
$$\dfrac{1}{7}<\dfrac{1.1}{7}<\dfrac{3}{7}<\dfrac{8}{7}<\dfrac{13.5}{7}<\dfrac{24}{7}$$
D'où, le rangement suivant :
$$\dfrac{1}{7}\;;\ \dfrac{1.1}{7}\;;\ \dfrac{3}{7}\;;\ \dfrac{8}{7}\;;\ \dfrac{13.5}{7}\;;\ \dfrac{24}{7}$$
2) Rangeons les fractions suivantes dans l'ordre décroissant
 
$\dfrac{15}{1}\;;\ \dfrac{15}{7.4}\;;\ \dfrac{15}{3}\;;\ \dfrac{15}{2}\;;\ \dfrac{15}{20}$ et $\dfrac{15}{7.14}$
 
En appliquant la règle de comparaison de fractions de même numérateur, on obtient :
$$\dfrac{15}{20}<\dfrac{15}{7.4}<\dfrac{15}{7.14}<\dfrac{15}{3}<\dfrac{15}{2}<\dfrac{15}{1}$$
D'où, le rangement suivant, dans l'ordre décroissant
$$\dfrac{15}{1}\;;\ \dfrac{15}{2}\;;\ \dfrac{15}{3}\;;\ \dfrac{15}{7.14}\;;\ \dfrac{15}{7.4}\;;\ \dfrac{15}{20}$$

Exercice 9

1) Mettons chacune des fractions suivantes sous la forme de $q+\dfrac{r}{b}$
 
$\ast\ \dfrac{85}{7}$
 
On a : $85\div 7=12\text{ reste }1$ alors, $85=12\times 7+1$
 
Donc,
 
$\begin{array}{rcl}\dfrac{85}{7}&=&\dfrac{12\times 7+1}{7}\\ \\&=&\dfrac{12\times 7}{7}+\dfrac{1}{7}\\ \\&=&12+\dfrac{1}{7}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{\dfrac{85}{7}=12+\dfrac{1}{7}}$
 
$\ast\ \dfrac{13}{17}$
 
Soit : $13\div 17=0\text{ reste }13$ alors, $\dfrac{13}{17}=0+\dfrac{13}{17}$
 
Donc, $\boxed{\dfrac{13}{17}=0+\dfrac{13}{17}}$
 
$\ast\ \dfrac{65}{25}$
 
On a : $65\div 25=2\text{ reste }15$ donc, $65=2\times 25+15$
 
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl}\dfrac{65}{25}&=&\dfrac{2\times 25+15}{25}\\ \\&=&\dfrac{2\times 25}{25}+\dfrac{15}{25}\\ \\&=&2+\dfrac{3\times 5}{5\times 5}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{\dfrac{65}{25}=2+\dfrac{3}{5}}$
 
$\ast\ \dfrac{20}{3}$
 
On sait que : $20\div 3=6\text{ reste }2$ alors, $20=6\times 3+2$
 
Donc,
 
$\begin{array}{rcl}\dfrac{20}{3}&=&\dfrac{6\times 3+2}{3}\\ \\&=&\dfrac{6\times 3}{3}+\dfrac{2}{3}\\ \\&=&6+\dfrac{2}{3}\end{array}$
 
Par suite, $\boxed{\dfrac{20}{3}=6+\dfrac{2}{3}}$
 
$\ast\ \dfrac{38}{3}$
 
On a : $38\div 3=12\text{ reste }2$ donc, $38=12\times 3+2$
 
Ainsi,
 
$\begin{array}{rcl}\dfrac{38}{3}&=&\dfrac{12\times 3+2}{3}\\ \\&=&\dfrac{12\times 3}{3}+\dfrac{2}{3}\\ \\&=&12+\dfrac{2}{3}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{\dfrac{38}{3}=12+\dfrac{2}{3}}$
 
2) Rangeons ces fractions dans l'ordre décroissant
 
En utilisant les résultats précédents tout en appliquant les règles de comparaison de fractions, on obtient :
$$\dfrac{38}{3}>\dfrac{85}{7}>\dfrac{20}{3}>\dfrac{65}{25}>\dfrac{13}{17}$$
D'où, le rangement suivant :
$$\dfrac{38}{3}\;;\ \dfrac{85}{7}\;;\ \dfrac{20}{3}\;;\ \dfrac{65}{25}\;;\ \dfrac{13}{17}$$

Exercice 10

1) Donnons un encadrement de $\dfrac{22}{7}$ par deux entiers consécutifs
 
On a : $\dfrac{22}{7}\simeq 3.142857$ or, $3<3.142857<4$
 
Donc, $\boxed{3<\dfrac{22}{7}<4}$
 
2) Donnons un encadrement de $\dfrac{20}{3}$ à $0.1$ prés
 
Rappel : $\dfrac{20}{3}\simeq 6.6666666...6$
 
Comme $6.6<6.66666666<6.7$ alors, $6.6<\dfrac{20}{3}<6.7$
 
D'où, l'encadrement suivant : $\boxed{6.6<\dfrac{20}{3}<6.7}$
 
3) Donnons un encadrement de $\dfrac{99}{13}$ par deux décimaux consécutifs ayant deux chiffres après la virgule
 
Soit : $\dfrac{99}{13}\simeq 7.615384\ldots$ or, $7.61<7.615384<7.62$
 
Donc, $\boxed{7.61<\dfrac{99}{13}<7.62}$

Exercice 11

1) Trouvons une fraction égale à $\dfrac{5}{7}$ ayant pour dénominateur : $49\ $ ; $77$
 
On a : $49\div 7=7$ donc, pour trouver une fraction égale à $\dfrac{5}{7}$ et ayant pour dénominateur $49$ il suffit de multiplier par $7$ le numérateur et le dénominateur de la fraction $\dfrac{5}{7}$
 
On obtient alors : $\dfrac{5}{7}\times\dfrac{7}{7}=\dfrac{35}{49}$
 
D'où, $\boxed{\dfrac{35}{49}=\dfrac{5}{7}}$
 
De la même manière, on voit que : $77\div 7=11$ donc, en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction $\dfrac{5}{7}$ par $11$ on obtient une fraction égale à $\dfrac{5}{7}$ et ayant pour dénominateur $77$
 
Ainsi, $\dfrac{5}{7}\times\dfrac{11}{11}=\dfrac{55}{77}$
 
D'où, $\boxed{\dfrac{55}{77}=\dfrac{5}{7}}$
 
2) On constate que $88$ n'est pas divisible par $7$ donc, on ne peut pas trouver une fraction égale à $\dfrac{5}{7}$ ayant pour dénominateur $88.$

Exercice 12

Calculons puis rendons irréductible 
 
1) $A=\dfrac{14}{15}+\dfrac{4}{15}$
 
On voit que $A$ est l'addition de deux fractions de même dénominateur donc, le résultat sera une fraction de même dénominateur et de numérateur la somme des numérateurs des fractions considérées.
 
Ainsi, $A=\dfrac{14}{15}+\dfrac{4}{15}=\dfrac{18}{15}$
 
Or, $PGCD(18\;;\ 15)=3$ donc, on peut rendre irréductible $A$ en divisant le numérateur et le dénominateur par $3.$
 
Par suite, $A=\dfrac{18\div 3}{15\div 3}=\dfrac{6}{5}$
 
D'où, $\boxed{A=\dfrac{6}{5}}$
 
De la même manière, on obtient :
 
$B=\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{2+4+8}{3}=\dfrac{14}{3}$
 
Comme $PGCD(14\;;\ 3)=1$ alors, la fraction $\dfrac{14}{3}$ est irréductible.
 
D'où, $\boxed{B=\dfrac{14}{3}}$
 
Soit : $C=\dfrac{4}{5}+\dfrac{4}{7}$
 
On remarque $C$ est l'addition de deux fractions de même numérateur mais de dénominateur différent.
 
Donc, pour calculer $C$ on réduit au même dénominateur. Le dénominateur commun sera le $PPCM(5\;;\ 7)=35$
 
Ainsi, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{4\times 7}{5\times 7}+\dfrac{4\times 5}{7\times 5}\\ \\&=&\dfrac{28}{35}+\dfrac{20}{35}\\ \\&=&\dfrac{48}{35}\end{array}$
 
Or, $PGCD(48\;;\ 35)=1$ donc, la fraction $\dfrac{48}{35}$ est irréductible.
 
D'où, $\boxed{C=\dfrac{48}{35}}$
 
2) $A=\dfrac{14}{15}-\dfrac{4}{15}$
 
$A$ est la différence de deux fractions de même dénominateur donc, pour calculer $A$ on fait la différence des numérateurs et on conserve le dénominateur.
 
Ainsi, $A=\dfrac{14-4}{15}=\dfrac{10}{15}$
 
Or, $PGCD(10\;;\ 15)=5$ donc, on peut rendre irréductible la fraction $\dfrac{10}{15}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par $5.$
 
Par suite, $A=\dfrac{10\div 5}{15\div 5}=\dfrac{2}{3}$
 
D'où, $\boxed{A=\dfrac{2}{3}}$
 
Soit : $B=\dfrac{7}{5}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}$
 
Dans l'expression de $B$, on remarque que les fractions ont tous le même dénominateur donc, on effectue les opérations sur les numérateurs et on conserve le dénominateur.
 
Ainsi,
 
$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{7}{5}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}\\ \\&=&\dfrac{7+3-2}{5}\\ \\&=&\dfrac{8}{5}\end{array}$
 
Comme, $PGCD(8\;;\ 5)=1$ alors, la fraction $\dfrac{8}{5}$ est irréductible.
 
D'où, $\boxed{B=\dfrac{8}{5}}$
 
On donne : $C=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}$
 
Comme les fractions de $C$ ont même dénominateur alors, $C=\dfrac{3-1}{2}=\dfrac{2}{2}=1$
 
Par suite, $\boxed{C=1}$
 
3) Soit : $A=\dfrac{7}{4}\times\dfrac{2}{21}$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{7}{4}\times\dfrac{2}{21}\\ \\&=&\dfrac{7\times 2}{4\times 21}\\ \\&=&\dfrac{14}{84}\end{array}$
 
Or, $PGCD(14\;;\ 84)=14$ donc, on peut rendre irréductible la fraction $\dfrac{14}{84}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par $14.$
 
Ainsi, $A=\dfrac{14\div 14}{84\div 14}=\dfrac{1}{6}$
 
Par suite, $\boxed{A=\dfrac{1}{6}}$
 
Soit : $B=20\times\dfrac{7}{5}\times\dfrac{3}{4}$
 
Alors :
 
$\begin{array}{rcl} B&=&20\times\dfrac{7}{5}\times\dfrac{3}{4}\\ \\&=&\dfrac{20\times 7\times 3}{5\times 4}\\ \\&=&\dfrac{420}{20}\end{array}$
 
Comme $PGCD(420\;;\ 20)=20$ alors, on peut rendre irréductible la fraction $\dfrac{420}{20}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par $20.$
 
Donc, $B=\dfrac{420\div 20}{20\div 20}=\dfrac{21}{1}$
 
D'où, $\boxed{B=\dfrac{21}{1}=21}$
 
Soit : $C=\dfrac{7}{5}\times\dfrac{3}{14}\times\dfrac{25}{9}$
 
Alors,
 
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{7}{5}\times\dfrac{3}{14}\times\dfrac{25}{9}\\ \\&=&\dfrac{7\times 3\times 25}{5\times 14\times 9}\\ \\&=&\dfrac{525}{630}\end{array}$
 
Or, $PGCD(525\;;\ 630)=105$ donc, on peut rendre irréductible la fraction $\dfrac{525}{630}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre $105.$
 
Ce qui donne alors, $C=\dfrac{525\div 105}{630\div 105}=\dfrac{5}{6}$
 
Ainsi, $\boxed{C=\dfrac{5}{6}}$

Exercice 13

Calculons puis rendons irréductible
 
1) $A=4+\dfrac{3}{5}$
 
$A$ peut s'écrire sous la forme : $A=\dfrac{4}{1}+\dfrac{3}{5}$
 
On obtient alors,
 
$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{4}{1}+\dfrac{3}{5}\\ \\&=&\dfrac{4\times 5}{1\times 5}+\dfrac{3\times 1}{5\times 1}\\ \\&=&\dfrac{20}{5}+\dfrac{3}{5}\\ \\&=&\dfrac{20+3}{5}\\ \\&=&\dfrac{23}{5}\end{array}$
 
Comme $PGCD(23\;;\ 5)=1$ alors, la fraction $\dfrac{23}{5}$ est irréductible.
 
D'où, $\boxed{A=\dfrac{23}{5}}$
 
Soit $B=1+\dfrac{7}{2}$ alors, $B$ peut s'écrire : $B=\dfrac{2}{2}+\dfrac{7}{2}$
 
Par suite, $B=\dfrac{2+7}{2}=\dfrac{9}{2}$
 
Or, $PGCD(9\;;\ 2)=1$ donc, la fraction $\dfrac{9}{2}$ est irréductible.
 
Ainsi, $\boxed{B=\dfrac{9}{2}}$
 
On donne : $C=3-\dfrac{4}{3}$
 
Alors, on a :
 
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{3}{1}-\dfrac{4}{3}\\ \\&=&\dfrac{3\times 3}{1\times 3}-\dfrac{4\times 1}{3\times 1}\\ \\&=&\dfrac{9}{3}-\dfrac{4}{3}\\ \\&=&\dfrac{9-4}{3}\\ \\&=&\dfrac{5}{3}\end{array}$
 
Comme $PGCD(5\;;\ 3)=1$ alors, la fraction $\dfrac{5}{3}$ est irréductible.
 
D'où, $\boxed{C=\dfrac{5}{3}}$
 
2) $A=3\times\dfrac{7}{4}$
 
$A$ peut s'écrire aussi : $A=\dfrac{3}{1}\times\dfrac{7}{4}$ ainsi,
 
$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{3}{1}\times\dfrac{7}{4}\\ \\&=&\dfrac{3\times 7}{1\times 4}\\ \\&=&\dfrac{21}{4}\end{array}$
 
Or, $PGCD(21\;;\ 4)=1$ donc, la fraction $\dfrac{21}{4}$ est irréductible.
 
Par suite, $\boxed{A=\dfrac{21}{4}}$
 
Soit $B=12\times\dfrac{7}{18}$ alors, on a : $B=\dfrac{12}{1}\times\dfrac{7}{18}$
 
Donc,
 
$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{12}{1}\times\dfrac{7}{18}\\ \\&=&\dfrac{12\times 7}{18\times 1}\\ \\&=&\dfrac{84}{18}\end{array}$
 
Or, $PGCD(84\;;\ 18)=6$ donc, on peut rendre irréductible la fraction $\dfrac{84}{18}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre $6.$
 
Ainsi, $B=\dfrac{84\div 6}{18\div 6}=\dfrac{14}{3}$
 
D'où, $\boxed{B=\dfrac{14}{3}}$
 
Soit $C=4\times\dfrac{12}{44}$ alors, $C$ peut s'écrire : $C=\dfrac{4}{1}\times\dfrac{12}{44}$
 
Donc,
 
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{4}{1}\times\dfrac{12}{44}\\ \\&=&\dfrac{4\times 12}{1\times 44}\\ \\&=&\dfrac{48}{44}\end{array}$
 
Comme $PGCD(48\;;\ 44)=4$ alors, on peut rendre irréductible la fraction $\dfrac{48}{44}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre $4.$
 
Donc, $C=\dfrac{48\div 4}{44\div 4}=\dfrac{12}{11}$
 
Par suite, $\boxed{C=\dfrac{12}{11}}$
 
3) $A=\dfrac{7}{3}\div 6$
 
$A$ peut encore s'écrire : $A=\dfrac{\dfrac{7}{3}}{\dfrac{6}{1}}$
 
Donc, on aura :
 
$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{\dfrac{7}{3}}{\dfrac{6}{1}}\\ \\&=&\dfrac{7}{3}\times\dfrac{1}{6}\\ \\&=&\dfrac{7\times 1}{3\times 6}=\dfrac{7}{18}\end{array}$
 
Comme, $PGCD(7\;;\ 18)=1$ alors, la fraction $\dfrac{7}{18}$ est irréductible.
 
D'où, $\boxed{A=\dfrac{7}{18}}$
 
Soit : $B=\dfrac{4}{15}\div 8$
 
Alors, $B$ peut encore s'écrire : $B=\dfrac{\dfrac{4}{15}}{\dfrac{8}{1}}$
 
Ainsi,
 
$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{\dfrac{4}{15}}{\dfrac{8}{1}}\\ \\&=&\dfrac{4}{15}\times\dfrac{1}{8}\\ \\&=&\dfrac{4\times 1}{15\times 8}=\dfrac{4}{120}\end{array}$
 
Or, $PGCD(4\;;\ 120)=4$ donc, on peut rendre irréductible la fraction $\dfrac{4}{120}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre $4.$
 
Donc, $B=\dfrac{4\div 4}{120\div 4}=\dfrac{1}{30}$
 
Par suite, $\boxed{B=\dfrac{1}{30}}$
Soit $C=\dfrac{27}{13}\div 9$ alors, on a :
 
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{\dfrac{27}{13}}{\dfrac{9}{1}}\\ \\&=&\dfrac{27}{13}\times\dfrac{1}{9}\\ \\&=&\dfrac{27\times 1}{13\times 9}\\ \\&=&\dfrac{27}{117}\end{array}$
 
Comme $PGCD(27\;;\ 117)=9$ alors, pour rendre irréductible la fraction $\dfrac{27}{117}$ on divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre $9.$
 
Donc, $C=\dfrac{27\div 9}{117\div 9}=\dfrac{3}{13}$
 
D'où, $\boxed{C=\dfrac{3}{13}}$
 
4) Pour cette question, on utilise la propriété suivante : si $a\;;\ b$ sont deux nombres tels que $b\neq 0\ $ et $n$ un entier naturel alors,
$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$$
Soit $A=\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}$, on a :
 
$\begin{array}{rcl} A&=&\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}\\ \\&=&\dfrac{(4)^{2}}{(3)^{2}} \\ \\&=&\dfrac{4\times 4}{3\times 3}\\ \\&=&\dfrac{16}{9}\end{array}$
 
Comme $PGCD(16\;;\ 9)=1$ alors, la fraction $\dfrac{16}{9}$ est irréductible.
 
Par suite, $\boxed{A=\dfrac{16}{9}}$
 
Soit $B=\left(\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}\right)^{3}$
 
On calcule d'abord le produit des fractions $\dfrac{1}{4}\ $ et $\ \dfrac{1}{2}$
 
On obtient : $\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\times 1}{4\times 2}=\dfrac{1}{8}$
 
Ensuite on calcule $\left(\dfrac{1}{8}\right)^{3}$ en appliquant la propriété.
 
On obtient alors :
 
$\begin{array}{rcl} B&=&\left(\dfrac{1}{8}\right)^{3}\\ \\&=&\dfrac{(1)^{3}}{(8)^{3}} \\ \\&=&\dfrac{1\times 1\times 1}{8\times 8\times 8}\\ \\&=&\dfrac{1}{512}\end{array}$
 
Enfin on trouve $\boxed{B=\dfrac{1}{512}}$
 
On donne : $C=\left[\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}\right]^{3}$
 
Calculons d'abord $\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}$ en appliquant la propriété.
 
On obtient : $\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}=\dfrac{5^{2}}{3^{2}}=\dfrac{25}{9}$
 
Calculons ensuite $\left(\dfrac{25}{9}\right)^{3}$
 
On obtient alors :
 
$\begin{array}{rcl} C&=&\left(\dfrac{25}{9}\right)^{3}\\ \\&=&\dfrac{(25)^{3}}{(9)^{3}} \\ \\&=&\dfrac{25\times 25\times 25}{9\times 9\times 9}\\ \\&=&\dfrac{15625}{729}\end{array}$
 
Comme $PGCD(15625\;;\ 729)=1$ alors, la fraction $\dfrac{15625}{729}$ est irréductible.
 
D'où, $\boxed{C=\dfrac{15625}{729}}$
 
On pouvait aussi utiliser la propriété suivante : si $a\;;\ b$ sont deux nombres tels que $b\neq 0\ $ et $n\;;\ m$ deux entiers naturels alors,
$$\left[\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}\right]^{m}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n\times m}$$
Ainsi,
 
$\begin{array}{rcl} C&=&\left[\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}\right]^{3}\\ \\&=&\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2\times 3}\\ \\&=&\left(\dfrac{5}{3}\right)^{6}\\ \\&=& \dfrac{(5)^{6}}{(3)^{6}} \\ \\&=&\dfrac{5\times 5\times 5\times 5\times 5\times 5}{3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3}\\ \\&=&\dfrac{15625}{729}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{C\dfrac{15625}{729}}$

Exercice 14

Dans le village de Mbane, $\dfrac{1}{2}$ des terres est cultivé ; $\dfrac{3}{5}$ des terres cultivées le sont en tomates et $\dfrac{1}{3}$ des terres cultivées l'est en arachides.
 
1) Calculons la fraction des terres non cultivées.
 
On sait que la fraction des terres cultivées est de $\dfrac{1}{2}.$
 
Or, la somme des parts est toujours égale à $1$ donc, la fraction des terres non cultivées sera donnée par :
$$\text{Fraction des terres non cultivées}=1-\dfrac{1}{2}$$
Par suite, $1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2}$
 
D'où, $\dfrac{1}{2}$ des terres du village est non cultivée.
 
2) Calculons la fraction des terres du village qui sont cultivées en tomates.
 
On sait que : $\dfrac{1}{2}$ des terres du village est cultivée et dans cette part, les $\dfrac{3}{5}$ sont cultivées en tomates.
 
Donc, on peut dire : $\dfrac{3}{5}$ de $\dfrac{1}{2}$ des terres du village sont cultivées en tomates. Ce qui se traduit par :
$$\text{Fraction des terres cultivées en tomates}=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{1}{2}$$
On a : $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{3\times 1}{5\times 2}=\dfrac{3}{10}$
 
Donc, $\dfrac{3}{10}$ des terres du village sont cultivées en tomates.
 
3) Calculons la fraction des terres du village qui sont cultivées en arachides.
 
La part des terres cultivées en arachides représente $\dfrac{1}{3}$ des terres cultivées.
 
Or, les terres cultivées constituent $\dfrac{1}{2}$ des terres du village.
 
Donc, on peut dire : $\dfrac{1}{3}$ de $\dfrac{1}{2}$ des terres du village sont cultivées en arachides. Ce qui signifie :
$$\text{Fraction des terres cultivées en arachides}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}$$
En calculant, on obtient : $\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\times 1}{3\times 2}=\dfrac{1}{6}$
 
Ainsi, $\dfrac{1}{6}$ des terres du village sont cultivées en arachides.
 

Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

Je vous soutient

y'a pas de correction

Je voulais juste dire on a pas le droit d'utiliser la formule a^n/a^=a^n-m c'est 5 ème et c'est pas dans le programme

l'application ma surprri sunu daara est la meilleure oh je suis très content merci à vous est du corage

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Je n'ai jamais vu un application si merveilleux cette application est la solution de mes exercices

Non vérifié

Devoirs de maths

Parce que je ne comprends pas pourquoi je ne comprends pas pourquoi je vous remercie de votre réponse rapide et efficace si vous avez reçu ce message p ar erreur merci de me confirmer que vous allez bien merci beaucoup

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