Polynômes - 2nd

Classe: 
Seconde

I. Rappel de quelques égalités remarquables

a, bR, nous avons les expressions suivantes appelées égalités remarquables :
 
  (a+b)2=a2+2ab+b2
 
  (ab)2=a22ab+b2
 
  (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
 
  (ab)3=a33a2b+3ab2b3
 
  a3b3=(ab)(a2+ab+b2)
 
  a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)

Activité :

1) Développer 2(x12)(x+3)(x2)
 
2) Soit P(x)=2x33x211x+6
 
a) Calculer P(2)
 
b) Déterminer a,  b  et  c pour que P(x)=(x+2)(ax2+bx+c)
 
c) Résoudre dans R, P(x)=0
 
Factoriser P(x)
 
Résoudre P(x)0
 
3) Q(x)=x4+2x316x22x+15
 
Calculer Q(1)
 
Résoudre dans R, Q(x)=0

II. Définitions et propriétés

II.1 Définitions

Soit a un réel ; n un entier naturel. 
 
   On appelle monôme l'expression axn.
 
   a est appelé le coefficient, 
 
   n est le degré, 
 
   x est la variable.

Exemple 

f(x)=3x2 est un monôme de degré 2 et de coefficient 3.

Remarque 

aR; a=ax0
 
Tout réel a est un monôme de degré 0 et de coefficient a.
 
Soient a0, a1, a2, , an des nombres réels.
 
   On appelle fonction polynôme ou polynôme toute expression de la forme anxn+an1xn1++a2x2+a1x+a0=P(x)
   Les réels a0, a1, a2, , an sont appelés les coefficients du polynôme.
 
   Le plus grand entier n tel que an0 est appelé le degré du polynôme P noté degP=n
 
   an est le coefficient dominant du polynôme P(x)  et  a0 est le terme constant du polynôme.

Remarque 

Un polynôme est la somme de plusieurs monômes.
 
Son degré est celui du monôme de plus haut degré.

Exemple 

P(x)=2x3+4x23x+1;degP=3

Remarque :

Si tous les coefficients sont nuls, on dit que le polynôme est nul; P(x)=0. Par convention on note degP=
 
Un polynôme du 2nd degré est appelé trinôme du 2nd degré.

Exercice d'application 

Parmi les fonctions suivantes dites celles qui sont des polynômes et dans le cas où la fonction est un polynôme déterminer son degré, son coefficient dominant et son terme constant.
 
f(x)=4x2+2x3+6x2
 
g(x)=25x23x+7
 
h(x)=7x64x2+x
 
n(x)=x6+4x23x2
 
m(x)=x62x2+7x+2x

Résolution 

f(x) est un polynôme. 
 
degf=3, coeff=2  et a0=2
 
g(x) est un polynôme. 
 
degg=2, coefg=25  et a0=7
 
h(x) est un polynôme. 
 
degh=6, coefh=a6=7 et a0=0
 
On a par ailleurs, a5=0, a4=0, a3=0, a2=4, a1=1
 
n(x) n'est pas un polynôme car on ne peut pas écrire x sous la forme xn avec n entier naturel.
 
m(x) n'est pas un polynôme à cause de la présence de 1x.

II.2 Égalité de polynômes

Soient P et Q deux polynômes :
 
P(x)=anxn+an1xn1++a2x2+a1x+a0  ; an0 et degP=n
 
Q(x)=bmxm+bm1xm1++b2x2+b1x+b0  ; bm0 et degQ=m
 
P(x) et Q(x) sont égaux si, et seulement si,
{degP(x)=degQ(x)iai=bi  donc  {n=mai=bii

II.3 Opérations sur les polynômes

Soient P et Q deux polynômes :
 
P(x)=anxn+an1xn1++a2x2+a1x+a0  ; an0 et degP=n
 
Q(x)=bmxm+bm1xm1++b2x2+b1x+b0  ; bm0 et degQ=m
 
   La somme des polynômes P(x)  et  Q(x) est un polynôme h(x)=P(x)+Q(x)
degP=n,degQ=m
deg(P+Q)sup(degP, degQ)
   On appelle le produit des polynômes P  et  Q, le polynôme g(x)=P(x).Q(x)
degP=n,degQ=m
deg(P(x).Q(x))=degP(x)+degQ(x)
   kR, kP(x) est un polynôme qui a même degré que P(x)

Exercice d'application 

On donne trois polynômes A(x)=3x2+4x2, B(x)=x3+x2+1 et C(x)=x2+1
 
Calculer A(x)+B(x), A(x).C(x)  et  3.C(x)
 
Que peut-on dire des degrés des polynômes obtenu ?

Résolution 

A(x)+B(x)=3x2+4x2+x3+x2+1=x3+4x2+4x1
 
A(x).B(x)=(3x2+4x2)(x2+1)=3x4+4x32x2+3x2+4x2=3x4+4x3+x2+4x2
 
3.C(x)=3(x2+1)=3x2+3
 
On a : degA(x)=2, degB(x)=3  et  degC(x)=2
 
deg(A(x)+B(x))=3=sup(degA(x), degB(x))
 
deg(A(x).C(x))=4=degA(x)+degC(x)  et  deg(3.C(x))=2=degC(x)

II.4 Racine d'un polynôme

Définition 

Soit P(x)=anxn+an1xn1++a2x2+a1x+a0  ; an0  et  degP=n
 
On dit que α est racine de P(x)=0 ou α est un zéro de P(x) si, et seulement si, P(α)=0

Exemple 

Soit le polynôme P(x)=x34x2+4x1 ; montrer que 1 est racine P.
 
Calculons P(1)
 
On a P(1)=14+41=0 donc, 1 est racine de P.

III. Division euclidienne des polynômes 

III.1 Définition

Soient A  et  B deux polynômes; degA=n,degB=m.
 
   On dit que A(x) est divisible par B(x) s'il existe un polynôme Q(x) tel que pour tout xR 
A(x)=B(x)×Q(x)
On a alors degA=degB+degQ

Remarque

Si α est racine de A(x)=0, alors A(x) est divisible par (xα). C'est-à-dire qu'il existe un polynôme g(x) tel que A(x)=(xα)g(x)
   Si A(x) n'est pas divisible par B(x), alors il existe deux polynômes Q(x) et R(x) tels que xR A(x)=B(x)×Q(x)+R(x)
et on a 0<degR<degB

III.2 Techniques de la division de polynômes

III.2.1 Méthode par l'algorithme de division euclidienne

Exemple 

Soient A(x) et B(x) deux polynômes. Dans chacun des cas suivants effectuer la division de A par B puis déduire Q et éventuellement R tels que A(x)=B(x)×Q(x)+R(x)
 
a) A(x)=2x3+3x24x+5  et  B(x)=x2+2x1
 
b) A(x)=6x3x211x+6  et  B(x)=3x2

Résolution

a) On a   2x3+3x24x+52x34x2+2x0x22x+5x2+2x1 0+0+4 x2+2x12x1
Donc A(x)=B(x)×(2x1)+4Q(x)=2x1  et R(x)=4
 
Ainsi, A(x) n'est pas divisible par B(x)
 
b) On a   6x3x211x+66x3+4x20+3x211x+63x2+2x09x+6  9x6 0 3x22x2+x3
Donc A(x)=B(x)×(2x2+x3)Q(x)=2x2+x3  et R(x)=0
 
Ainsi, A(x) est divisible par B(x)

III.2.2 Méthode par identification des coefficients

Exemple 

Soient deux polynômes A(x)=6x3x211x+6  et  B(x)=3x2 tels que A(x) divisible par B(x).
 
Déterminer le polynôme Q tel que A(x)=B(x)×Q(x)

Résolution

A(x) divisible par B(x) alors il existe un polynôme Q(x) tel que A(x)=B(x)×Q(x).
 
Donc, degA(x)=degB(x)+degQ(x)degQ(x)=degA(x)degB(x)=2
 
Ainsi, Q(x)=ax2+bx+c
 
On a :
 
A(x)=B(x)×Q(x)=(3x2)(ax2+bx+c)=3ax3+3bx2+3cx2ax22bx2c=3ax3+(3b2a)x2+(3c2b)x2c6x3x211x+6=3ax3+(3b2a)x2+(3c2b)x2c
 
D'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes on a :
{3a=63b2a=13c2b=112c=6{a=2b=1c=3
D'où, Q(x)=2x2+x3

III.2.3 Méthode de Hörner 

Exemple

Soit un polynôme P(x)=x34x2+5x2 avec x0=2 racine de P.
 
Déterminer le polynôme Q tel que P(x)=(x2)×Q(x)

Résolution 

On a degQ(x)=degP(x)1=2 donc Q(x)=ax2+bx+c
Coefficients de P(x)dans l'ordre décroissant1452des puissancesx0=2242Coefficients de Q(x)1210 dans l'ordre décroissantdes puissancesabcP(x0)
Donc, Q(x)=x22x+1
 
On procède comme suit :
 
   étape 1 : a=1; 2×a=2×1=2 puis 2+(4)=2, donc b=2
 
   étape 2 : b=2; 2×b=2×(2)=4 puis 4+5=1, donc c=1
 
   étape 3 : c=1; 2×c=2×1=2 puis 2+(2)=0=P(x0)=P(2)

IV. Fractions rationnelles

IV.1 Définition

Soient f  et  g deux fonctions polynômes, la fonction h définie par h(x)=f(x)g(x) est appelée une fraction rationnelle.
 
Donc, une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes.

IV.2 Ensemble de définition

Soit h(x)=f(x)g(x) une fonction rationnelle, S l'ensemble des solutions de l'équation g(x)=0.
 
L'ensemble de définition ou domaine de définition de h est l'ensemble  Dh={xR; g(x)0}=RS

Exercice d'application

Soit f(x)=x24x+3x+5
 
1) Déterminer le domaine de définition de f
 
2) Déterminer a, b et c pour que f(x)=ax+b+cx+5

Résolution 

1) f(x)=x24x+3x+5  existe x+50x5 

Donc Df=R{5}
 
2) On a :   x24x+3x25x09x+3 9x+450+48 x+5x9
Donc, a=1, b=9 et c=48 
 
Ainsi, f(x)=x9+48x+5
 
 
Auteur: 
Diny Faye & Seyni Ndiaye

Commentaires

merci beaucoup car ça ma vraiment aider

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