Polynômes - 2nd
Classe:
Seconde
I. Rappel de quelques égalités remarquables
$\forall\;a,\ b\in\mathbb{R}$, nous avons les expressions suivantes appelées égalités remarquables :
$\centerdot\ \ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
$\centerdot\ \ (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
$\centerdot\ \ (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$
$\centerdot\ \ (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$
$\centerdot\ \ a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
$\centerdot\ \ a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$
Activité :
1) Développer $2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)(x+3)(x-2)$
2) Soit $P(x)=2x^{3}-3x^{2}-11x+6$
a) Calculer $P(-2)$
b) Déterminer $a\;,\ $ $b\ $ et $\ c$ pour que $P(x)=(x+2)(ax^{2}+bx+c)$
c) Résoudre dans $\mathbb{R}\;,\ P(x)=0$
Factoriser $P(x)$
Résoudre $P(x)\leq 0$
3) $Q(x)=x^{4}+2x^{3}-16x^{2}-2x+15$
Calculer $Q(1)$
Résoudre dans $\mathbb{R}\;,\ Q(x)=0$
II. Définitions et propriétés
II.1 Définitions
Soit $a$ un réel ; $n$ un entier naturel.
$\centerdot\ \ $ On appelle monôme l'expression $ax^{n}.$
$\centerdot\ \ \ a$ est appelé le coefficient,
$\centerdot\ \ \ n$ est le degré,
$\centerdot\ \ \ x$ est la variable.
Exemple
$f(x)=3x^{2}$ est un monôme de degré 2 et de coefficient 3.
Remarque
$a\in\mathbb{R}\;;\ a=ax^{0}$
Tout réel $a$ est un monôme de degré 0 et de coefficient $a.$
Soient $a_{0}\;,\ a_{1}\;,\ a_{2}\;,\ \ldots\;,\ a_{n}$ des nombres réels.
$\centerdot\ \ $ On appelle fonction polynôme ou polynôme toute expression de la forme $$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=P(x)$$
$\centerdot\ \ $ Les réels $a_{0}\;,\ a_{1}\;,\ a_{2}\;,\ \ldots\;,\ a_{n}$ sont appelés les coefficients du polynôme.
$\centerdot\ \ $ Le plus grand entier $n$ tel que $a_{n}\neq 0$ est appelé le degré du polynôme $P$ noté $deg\;P=n$
$\centerdot\ \ \ a_{n}$ est le coefficient dominant du polynôme $P(x)\ $ et $\ a_{0}$ est le terme constant du polynôme.
Remarque
Un polynôme est la somme de plusieurs monômes.
Son degré est celui du monôme de plus haut degré.
Exemple
$P(x)=2x^{3}+4x^{2}-3x+1\;;\quad deg\;P=3$
Remarque :
Si tous les coefficients sont nuls, on dit que le polynôme est nul; $P(x)=0$. Par convention on note $deg\;P=-\infty$
Un polynôme du $2^{nd}$ degré est appelé trinôme du $2^{nd}$ degré.
Exercice d'application
Parmi les fonctions suivantes dites celles qui sont des polynômes et dans le cas où la fonction est un polynôme déterminer son degré, son coefficient dominant et son terme constant.
$f(x)=-4x^{2}+2x^{3}+6x-2$
$g(x)=\dfrac{2}{5}x^{2}-\sqrt{3}x+7$
$h(x)=\sqrt{7}x^{6}-4x^{2}+x$
$n(x)=x^{6}+4x^{2}-3\sqrt{x}-2$
$m(x)=x^{6}-2x^{2}+7x+\dfrac{2}{x}$
Résolution
$f(x)$ est un polynôme.
$deg\;f=3\;,\ coef\;f=2\ \text{ et } a_{0}=-2$
$g(x)$ est un polynôme.
$deg\;g=2\;,\ coef\;g=\dfrac{2}{5}\ \text{ et } a_{0}=7$
$h(x)$ est un polynôme.
$deg\;h=6\;,\ coef\;h= a_{6}=\sqrt{7}$ et $ a_{0}=0$
On a par ailleurs, $ a_{5}=0\;,\ a_{4}=0\;,\ a_{3}=0\;,\ a_{2}=-4\;,\ a_{1}=1$
$n(x)$ n'est pas un polynôme car on ne peut pas écrire $\sqrt{x}$ sous la forme $x^{n}$ avec $n$ entier naturel.
$m(x)$ n'est pas un polynôme à cause de la présence de $\dfrac{1}{x}.$
II.2 Égalité de polynômes
Soient $P$ et $Q$ deux polynômes :
$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\ \ ;\ a_{n}\neq 0\text{ et }deg\;P=n$
$Q(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}\ \ ;\ b_{m}\neq 0\text{ et }deg\;Q=m$
$P(x)$ et $Q(x)$ sont égaux si, et seulement si,
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl}
deg\;P(x) &=& deg\;Q(x)\\
\forall i\quad a_{i} &=& b_{i}
\end{array}\right.\ \text{ donc }\ \left\lbrace\begin{array}{lcl}
n &=& m\\
a_{i} &=& b_{i}
\end{array}\right.\quad\forall i$$
deg\;P(x) &=& deg\;Q(x)\\
\forall i\quad a_{i} &=& b_{i}
\end{array}\right.\ \text{ donc }\ \left\lbrace\begin{array}{lcl}
n &=& m\\
a_{i} &=& b_{i}
\end{array}\right.\quad\forall i$$
II.3 Opérations sur les polynômes
Soient $P$ et $Q$ deux polynômes :
$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\ \ ;\ a_{n}\neq 0\text{ et }deg\;P=n$
$Q(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}\ \ ;\ b_{m}\neq 0\text{ et }deg\;Q=m$
$\centerdot\ \ $ La somme des polynômes $P(x)\ $ et $\ Q(x)$ est un polynôme $$h(x)=P(x)+Q(x)$$
$deg\;P=n\;,\quad deg\;Q=m$
$$deg\;(P+Q)\leq sup(deg\;P,\ deg\;Q)$$
$\centerdot\ \ $ On appelle le produit des polynômes $P\ $ et $\ Q$, le polynôme $$g(x)=P(x).Q(x)$$
$deg\;P=n\;,\quad deg\;Q=m$
$$deg\;(P(x).Q(x))=deg\;P(x)+deg\;Q(x)$$
$\centerdot\ \ \ k\in\mathbb{R}\;,\ kP(x)$ est un polynôme qui a même degré que $P(x)$
$$deg\;(P+Q)\leq sup(deg\;P,\ deg\;Q)$$
$\centerdot\ \ $ On appelle le produit des polynômes $P\ $ et $\ Q$, le polynôme $$g(x)=P(x).Q(x)$$
$deg\;P=n\;,\quad deg\;Q=m$
$$deg\;(P(x).Q(x))=deg\;P(x)+deg\;Q(x)$$
$\centerdot\ \ \ k\in\mathbb{R}\;,\ kP(x)$ est un polynôme qui a même degré que $P(x)$
Exercice d'application
On donne trois polynômes $A(x)=3x^{2}+4x-2\;,\ B(x)=x^{3}+x^{2}+1$ et $C(x)=x^{2}+1$
Calculer $A(x)+B(x)\;,\ A(x).C(x)\ $ et $\ 3.C(x)$
Que peut-on dire des degrés des polynômes obtenu ?
Résolution
$\begin{array}{rcl} A(x)+B(x)&=&3x^{2}+4x-2+x^{3}+x^{2}+1\\ \\&=&x^{3}+4x^{2}+4x-1\end{array}$
$\begin{array}{rcl} A(x).B(x)&=&(3x^{2}+4x-2)(x^{2}+1)\\ \\&=&3x^{4}+4x^{3}-2x^{2}+3x^{2}+4x-2\\ \\&=&3x^{4}+4x^{3}+x^{2}+4x-2\end{array}$
$\begin{array}{rcl} 3.C(x)&=&3(x^{2}+1)\\ \\&=&3x^{2}+3\end{array}$
On a : $deg\;A(x)=2\;,\ deg\;B(x)=3\ $ et $\ deg\;C(x)=2$
$deg\;(A(x)+B(x))=3=sup(deg\;A(x),\ deg\;B(x))$
$deg\;(A(x).C(x))=4=deg\;A(x)+deg\;C(x)\ $ et $\ deg\;(3.C(x))=2=deg\;C(x)$
II.4 Racine d'un polynôme
Définition
Soit $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\ \ ;\ a_{n}\neq 0\ \text{ et }\ deg\;P=n$
On dit que $\alpha$ est racine de $P(x)=0$ ou $\alpha$ est un zéro de $P(x)$ si, et seulement si, $$P(\alpha)=0$$
Exemple
Soit le polynôme $P(x)=x^{3}-4x^{2}+4x-1$ ; montrer que $1$ est racine $P.$
Calculons $P(1)$
On a $P(1)=1-4+4-1=0$ donc, $1$ est racine de $P.$
III. Division euclidienne des polynômes
III.1 Définition
Soient $A\ $ et $\ B$ deux polynômes; $deg\;A=n\;,\quad deg\;B=m.$
$\centerdot\ \ $ On dit que $A(x)$ est divisible par $B(x)$ s'il existe un polynôme $Q(x)$ tel que pour tout $x\in\mathbb{R}$
$$A(x)=B(x)\times Q(x)$$
On a alors $deg\;A=deg\;B+deg\;Q$
Remarque
Si $\alpha$ est racine de $A(x)=0$, alors $A(x)$ est divisible par $(x-\alpha)$. C'est-à-dire qu'il existe un polynôme $g(x)$ tel que $$A(x)=(x-\alpha)g(x)$$
$\centerdot\ \ $ Si $A(x)$ n'est pas divisible par $B(x)$, alors il existe deux polynômes $Q(x)$ et $R(x)$ tels que $\forall\;x\in\mathbb{R}$ $$A(x)=B(x)\times Q(x)+R(x)$$
et on a $0<deg\;R<deg\;B$
III.2 Techniques de la division de polynômes
III.2.1 Méthode par l'algorithme de division euclidienne
Exemple
Soient $A(x)$ et $B(x)$ deux polynômes. Dans chacun des cas suivants effectuer la division de $A$ par $B$ puis déduire $Q$ et éventuellement $R$ tels que $A(x)=B(x)\times Q(x)+R(x)$
a) $A(x)=2x^{3}+3x^{2}-4x+5\ $ et $\ B(x)=x^{2}+2x-1$
b) $A(x)=6x^{3}-x^{2}-11x+6\ $ et $\ B(x)=3x-2$
Résolution
a) On a $$\begin{array}{l} \ \ 2x^{3}+3x^{2}-4x+5 \\ -2x^{3}-4x^{2}+2x \\ \hline \qquad 0-x^{2}-2x+5 \\ \qquad\qquad x^{2}+2x-1 \\ \hline\qquad\qquad\ 0+0+4\\ \end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}+2x-1 \\ \hline 2x-1 \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}$$
Donc $A(x)=B(x)\times(2x-1)+4\quad\Rightarrow\quad Q(x)=2x-1\ \text{ et } R(x)=4$
Ainsi, $A(x)$ n'est pas divisible par $B(x)$
b) On a $$\begin{array}{l} \ \ 6x^{3}-x^{2}-11x+6 \\ -6x^{3}+4x^{2} \\ \hline\quad 0+3x^{2}-11x+6 \\ \quad\quad -3x^{2}+2x \\ \hline\qquad\quad 0-9x+6\\ \qquad\ \qquad \ 9x-6\\ \hline\qquad\qquad\qquad\ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} 3x-2 \\ \hline 2x^{2}+x-3 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}$$
Donc $A(x)=B(x)\times(2x^{2}+x-3)\quad\Rightarrow\quad Q(x)=2x^{2}+x-3\ \text{ et } R(x)=0$
Ainsi, $A(x)$ est divisible par $B(x)$
III.2.2 Méthode par identification des coefficients
Exemple
Soient deux polynômes $A(x)=6x^{3}-x^{2}-11x+6\ $ et $\ B(x)=3x-2$ tels que $A(x)$ divisible par $B(x).$
Déterminer le polynôme $Q$ tel que $A(x)=B(x)\times Q(x)$
Résolution
$A(x)$ divisible par $B(x)$ alors il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $A(x)=B(x)\times Q(x).$
Donc, $deg\;A(x)=deg\;B(x)+deg\;Q(x)\quad\Rightarrow\quad deg\;Q(x)=deg\;A(x)-deg\;B(x)=2$
Ainsi, $Q(x)=ax^{2}+bx+c$
On a :
$\begin{array}{rcl} A(x)&=&B(x)\times Q(x)\\ \\&=&(3x-2)(ax^{2}+bx+c)\\ \\&=&3ax^{3}+3bx^{2}+3cx-2ax^{2}-2bx-2c\\ \\&=&3ax^{3}+(3b-2a)x^{2}+(3c-2b)x-2c\\ \\ \Rightarrow 6x^{3}-x^{2}-11x+6&=&3ax^{3}+(3b-2a)x^{2}+(3c-2b)x-2c\end{array}$
D'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes on a :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3a&=&6 \\ 3b-2a&=&-1 \\ 3c-2b&=&-11 \\ -2c&=&6 \end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&2 \\ b&=&1 \\ c&=&-3 \end{array}\right.$$
D'où, $Q(x)=2x^{2}+x-3$
III.2.3 Méthode de Hörner
Exemple
Soit un polynôme $P(x)=x^{3}-4x^{2}+5x-2$ avec $x_{0}=2$ racine de $P.$
Déterminer le polynôme $Q$ tel que $P(x)=(x-2)\times Q(x)$
Résolution
On a $deg\;Q(x)=deg\;P(x)-1=2$ donc $Q(x)=ax^{2}+bx+c$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline\text{Coefficients de }P(x)& & & & \\ \text{dans l'ordre décroissant} &1&-4&5&-2 \\ \text{des puissances}& & & & \\ \hline & & & & \\ x_{0}=2& &2&-4&2 \\ & & & & \\ \hline \text{Coefficients de }Q(x)&1&-2&1&0 \\ \text{ dans l'ordre décroissant}&\uparrow&\uparrow&\uparrow&\uparrow \\ \text{des puissances}&a&b&c&P(x_{0}) \\ \hline\end{array}$$
Donc, $Q(x)=x^{2}-2x+1$
On procède comme suit :
$\centerdot\ \ $ étape 1 : $a=1\;;\ 2\times a=2\times 1=2$ puis $2+(-4)=-2$, donc $b=-2$
$\centerdot\ \ $ étape 2 : $b=-2\;;\ 2\times b=2\times(-2)=-4$ puis $-4+5=1$, donc $c=1$
$\centerdot\ \ $ étape 3 : $c=1\;;\ 2\times c=2\times 1=2$ puis $2+(-2)=0=P(x_{0})=P(2)$
IV. Fractions rationnelles
IV.1 Définition
Soient $f\ $ et $\ g$ deux fonctions polynômes, la fonction $h$ définie par $$h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$$ est appelée une fraction rationnelle.
Donc, une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes.
IV.2 Ensemble de définition
Soit $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ une fonction rationnelle, $S$ l'ensemble des solutions de l'équation $g(x)=0.$
L'ensemble de définition ou domaine de définition de $h$ est l'ensemble $$D_{h}=\{x\in\mathbb{R}\;;\ g(x)\neq 0\}=\mathbb{R}\setminus S$$
Exercice d'application
Soit $f(x)=\dfrac{x^{2}-4x+3}{x+5}$
1) Déterminer le domaine de définition de $f$
2) Déterminer $a\;,\ b$ et $c$ pour que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+5}$
Résolution
1) \begin{eqnarray} f(x)=\dfrac{x^{2}-4x+3}{x+5}\ \text{ existe }&\Leftrightarrow&x+5\neq 0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow&x\neq -5 \nonumber \end{eqnarray}
Donc $D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{-5\}$
2) On a : $$\begin{array}{l} \ \ x^{2}-4x+3 \\ -x^{2}-5x \\ \hline\quad 0-9x+3 \\ \quad\quad\ 9x+45 \\ \hline\qquad\quad 0+48\\ \end{array}\ \begin{array}{|l} x+5 \\ \hline x-9 \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}$$
Donc, $a=1\;,\ b=-9$ et $c=48$
Ainsi, $f(x)=x-9+\dfrac{48}{x+5}$
Auteur:
Diny Faye & Seyni Ndiaye
Commentaires
Issa dia (non vérifié)
jeu, 04/18/2024 - 13:44
Permalien
Compréhension
agou ruth (non vérifié)
sam, 06/08/2024 - 16:31
Permalien
merci beaucoup car ça ma
Ajouter un commentaire