Solutions des exercices : Oscillations électriques libres et forcées - Ts

Classe: 
Terminale
 

Exercice 1

1) a) Expression de $Q_{0}$ en fonction de $U_{0}$ et $C.$
 
$Q_{0}=CU_{0}$
 
b) Expression de $E_{0}$ en fonction de $Q_{0}$ et $C.$
 
$E_{0}=\dfrac{1}{2}CU_{0}$
 
2) a) Expression de l'énergie électromagnétique $E$ en fonction de $L$, $C$, $q$ et $i.$
 
$E=\dfrac{1}{2}\dfrac{q^{2}}{C}+\dfrac{1}{2}Li^{2}$
 
b) Montrons que l'énergie électromagnétique se conserve et elle est égale à $\dfrac{Q_{0}^{2}}{2C}$
 
Le circuit électrique ne comporte que des dipôles non dissipatifs (condensateur et bobine) ; donc l'énergie électromagnétique se conserve et est égale à l'énergie initialement emmagasinée par le condensateur : $E_{0}=\dfrac{1}{2}\dfrac{Q_{0}^{2}}{C}$
 
Équation différentielle des oscillations électriques.
 
$E0=E=12q2C+12Li2dE0dt=ddt(12+12Li2)=012C×2qdqdt+12L×2ididt=0or dqdt=i=q˙et didt=q¨q˙(qC+Lq¨)=0comme q˙ n'est pas toujours nulqC+Lq¨=0$
 
c) Détermination de l'expression de la période propre $T_{0}$ en fonction de $L$ et $C.$
 
$T_{0}=2\pi\sqrt{LC}$
 
d) Expression de la charge $q$ en fonction du temps.
 
$q=qmcos(ω0t+φ)=qmcos(2πT0t+φ)$
 
$q=qmcosφ=qm=Q0cosφ=1φ=0q=Q0cos2πT0t$
 
3. Montrons que l'expression l'énergie $E_{L}$ en fonction du temps s'écrit : 
 
$EL=E02[1+cos(4πT0t+π)]EL=12Li2=12Lq¨2=12L(2πT0Q0sin2πT0t)2=12L4π2T02Q02sin22πT0tsin2α=1cos2α2EL=12L4π2T02Q02$
 
4) a) Valeurs de $L$ et de $_{E0}.$
 
$E0=2103JE80=2103JE0=12Li2L=2E0i2=2×2103(0.2)2L=101H$
 
b) Valeur de $T_{0}.$
 
$T_{0}=2\pi\cdot 10^{-4}s$
 
5) Détermination de $C$, $Q_{0}$ et $U_{0}.$
 
$T0=2πLCLC=T024π2C=T024π2L=(2π104)24π2×2102C=5105F$
 
$E0=12L4π2T02Q02Q0=2E0T024π2L=2×2103×(2π104)24π2×2102Q0=4.47105C$
 
$U0=Q0C=4.471055107U0=89.4V$

Exercice 2

A. L'interrupteur $K$ est dans la position (1) 
 
1) Le phénomène observé est la charge du condensateur
 
2) Allure de la courbe de variation de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps.
 
 
B. L'interrupteur $K$ est basculé dans la position (2) 
 
 
1) a) Établissement de l'équation différentielle qui régit les oscillations de la charge $q(t).$
 
La loi d'additivité des tensions s'écrit : $U_{C}+U_{L}=0$ 
 
$UC=qC ;UL=Ldidt ;i=dqdt=q˙ ;didt=q¨qC+Lq¨=0q¨+qLC=0$
 
b) Montrons que $q(t)=Q_{m}\sin\left(\omega_{0}t+\varphi_{q}\right)$ peut être une solution de l'équation différentielle
 
$q(t)=Qmsin(ω0t+φq)q(t)=ω0Qmcos(ω0t+φq)q¨t=ω02Qmsin(ω0t+φq)q¨+qLC=0ω02Qmsin(ω0t+φq)+1LCQmsin(ω0t+φq)=0(ω02+1LC)Qmsin(ω0t+φq)=0ω02+1LC=0ω02Qmsin(ω0t+φq)=0ω02+1LC=0ω02=1LCω0=1LC$
   
2) a) Montrons que le circuit $(L\;,\ C)$ est conservatif  
 
$EC+EL=12q2C+12Li2=12q2C+12Lq2˙=12(Qmsin(ω0t+φq))2C+12L(ω0Qmcos(ω0t+φq))2E=12Qm2Csin2(ω0t+φq)+12Lω02Qm2cos2(ω0t+φq)orω02=1LCE=12Qm2Csin2(ω0t+φq)+12Qm2Ccos2(ω0t+φq)=12Qm2C(sin2(ω0t+φq)+cos2(ω0t+φq))E=12Qm2C$
 
Et l'énergie totale est constante ; le circuit $(L\;,\ C)$ est donc conservatif  
 
b) Montrons que l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur en fonction de $i^{2}$ est de la forme $E_{e}= Q_{m}^{2}-\dfrac{1}{2} L\cdot i^{2}$
 
$E=12Qm2C=Ee+ELEe=12Qm2CELEe=12Qm2C12Li2$
 
c) Justifions théoriquement l'allure de la courbe  
 
D'après la loi d'additivité des tensions : $U_{C}+U_{L}=0$
 
$\Rightarrow\,U_{L}=-U_{C}\Rightarrow\,U_{L}=-\dfrac{q}{C}$
 
La courbe représentant la tension $U_{L}$ aux bornes de la bobine en fonction de la charge $q$  une droite passant par l'origine de pente négative. Ce que l'allure de la courbe confirme
 
3) Détermination :
 
a) L'inductance $L$ de la bobine.
 
$Ee=12Qm2C12Li2ΔEeΔi2=12LL=2ΔEeΔi2=2(05104)(100)104L=1H$
 
b) La capacité C du condensateur.

 

 

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