Bac Maths C et E, Burkina Fasso 2013

 

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x}{\mathrm{e^{x-1}}}$

 

On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ du plan d'unité graphique $2\,cm.$

 

1) a) Calculer les limites de $t$ en $+\infty$ et en $-\infty$

 

b) Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations

 

c) Tracer $(\mathcal{C}).$

 

2) Soit $n$ un entier naturel non nul. 

 

Pour tout réel $x$, on pose :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} g_{n}(x)&=&1+x+x^{2}+\ldots+x^{n}\\ S_{n}(x)&=&1+2x+\ldots+nx^{n-1} \end{array}\right.$$

 

a) Exprimer pour tout $x\neq 1$, $g_{n}(x)$ en fonction de $n$ et $x$, sous forme d'une fonction rationnelle.

 

b) En déduire une expression de $S_{n}(x)$ en fonction de $n$ et $x$

 

3) Pour tout $n\in\mathbb{N^{\ast}}$, on pose $U_{n}=f(1)+f(2)+\ldots+f(n)=\sum_{k=1}^{n}f(k)$

 

a) Donner une expression de $U_{n}$ en fonction de $n.$

 

b) Quelle est la limite de $U_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?

On considère la transformation du plan qui à tout oint $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $f(z)=\left(\dfrac{1-\mathrm{i}}{2}\right)z-2+2\mathrm{i}$

 

1) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $f(z)=z$

 

2) Donner la nature et préciser ses éléments caractéristiques

 

3) En posant $z=x+\mathrm{i}y$ et $f(z)=X+\mathrm{i}Y$, montrer que

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&X-Y+4\\ z&=&X+Y \end{array}\right.$$

 

4) On considère la courbe $(\mathcal{C})$ d'équation $xy-2x-3y-1=0.$

 

Montrer que l'image de $(\mathcal{C})$ par $f$ est la courbe $(\mathcal{C'})$ d'équation $\left(X-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\left(Y-\dfrac{3}{2}\right)^{2}=7$

 

5) Quelle est la nature de $(\mathcal{C'})$ ?

 

Préciser l'excentricité $\mathrm{e}$