Solution des exercices : Force et champ électrostatiques - 1er s

3.1 Représentation de la force $\overrightarrow{F}$ exercée par $q_{A}$ et $q_{B}$ sur la charge $Q_{o}$ (Voir figure)

 

$Q_{o}$ est signe positif, car la force électrostatique $\overrightarrow{F}=Q_{0}\overrightarrow{E}_{o}$ doit être de même sens que le champ $\overrightarrow{E}_{o}$ pour que le corps ponctuel $(C)$ soit en équilibre 

 

3.2 Écrivons la condition d'équilibre du corps ponctuel $(C)$

 

Calcul de la masse $m$ du corps

 

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}&=&\overrightarrow{0}\\\Rightarrow\;P-F&=&0\\\Rightarrow\;mg-Q_{0}E_{o}&=&0\\\Rightarrow\;m&=&\dfrac{Q_{0}E_{o}}{g}\\\Rightarrow\dfrac{2\cdot10^{-8}\times10\cdot10^{5}}{10}\\\Rightarrow\;m&=&2\cdot^{-3}kg \end{array}$

 

 

1. Déduction de la valeur de la charge $q.$

 

La condition d'équilibre, appliquée à la sphère, s'écrit :

 

2. Sens et intensité du champ $E'$ pour que le fil s'incline sur la verticale d'un angle

 

Pour que l'angle soit plus grand, il faut que le champ $\overrightarrow{E'}$ soit dirigé vers le haut (voir figure)

 

 

3. Inclinaison $\alpha'$ si l'on changeait le sens de $E'$ sans modifier,son intensité

 

$\begin{array}{rcl} M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}\right)+M_{\Delta}\left(\overrightarrow{P}\right)+M_{\Delta}&=&0\\\Rightarrow\;2qEl\cos\alpha+0-C\alpha\\&=&0\\\Rightarrow\;2qEl\cos\alpha\\\Rightarrow\;C\alpha\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{C\alpha}{2El\cos\alpha}\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{13.5\cdot10^{-7}\times\dfrac{pi}{6}}{2\times272\times15\cdot10^{-2}\cos30^{\circ}}\\\Rightarrow\;q&=&4.7\cdot10^{-9}C \end{array}$$\begin{array}{rcl} M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}\right)+M_{\Delta}\left(\overrightarrow{P}\right)+M_{\Delta}&=&0\\\Rightarrow\;2qEl\cos\alpha+0-C\alpha\\&=&0\\\Rightarrow\;2qEl\cos\alpha\\\Rightarrow\;C\alpha\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{C\alpha}{2El\cos\alpha}\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{13.5\cdot10^{-7}\times\dfrac{pi}{6}}{2\times272\times15\cdot10^{-2}\cos30^{\circ}}\\\Rightarrow\;q&=&4.7\cdot10^{-9}C \end{array}$

 

1. Calcul, en fonction de $1$, $\alpha$, $q$ et $E$ le moment des forces électrostatiques par rapport à l'axe de rotation du dispositif.

 

$\begin{array}{rcl} M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}_{A}\right)+M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}_{B}\right)\\\text{ or }M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}_{A}\right)&=&F_{A}l\cos\alpha\\&=&qEl\cos\alpha\\\text{ et}M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}_{B}\right)&=&F_{B}l\cos\alpha\\&=&qEl\cos\alpha\\\Rightarrow\;M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&3qEl\cos\alpha \end{array}$

 

2. Calcul du moment du poids du système par rapport à l'axe de rotation.

 

$\Rightarrow\;M_{\Delta}\left(\overrightarrow{P}\right)=2qE1\cos\alpha$

 

3. Calcul de $q$

 

$\begin{array}{rcl} M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}\right)+M_{\Delta}\left(\overrightarrow{P}\right)+M_{\Delta}&=&0\\\Rightarrow\;2qEl\cos\alpha+0-C\alpha&=&0\\\Rightarrow\;2qEl\cos\alpha&=&C\alpha\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{C\alpha}{2El\cos\alpha}\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{13.5\cdot10^{-7} \times\dfrac{\pi}{6}}{2\times272\times15\cdot10^{-2}\cos30^{\circ}}\\\Rightarrow\;q&=&4.7\cdot10^{-9}C \end{array}$

1. Cas où le point $M$ se trouve sur le segment $[AB]$ entre les points $O$ et $B$ :

 

 

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{E}_{A}&=&-k\dfrac{q}{AM^{2}}\vec{i}\\&=&-k\dfrac{q}{(d+x)^{2}}\vec{i} \end{array}$ ;

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{E}_{B}&=&k\dfrac{q}{BM^{2}}\vec{i}\\&=&k\dfrac{q}{(d-x)^{2}}\vec{i} \end{array}$

 

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{E}_{M}&=&\overrightarrow{E}_{A}+\overrightarrow{E}_{B}\\&=&-k\dfrac{q}{(d+x)^{2}}\vec{i}+k\dfrac{q}{(d-x)^{2}}\vec{i}\\\Rightarrow\overrightarrow{E}_{M}&=&kq\left(\dfrac{1}{(d-x)^{2}}-\dfrac{1}{(d+x)^{2}}\right)\vec{i}\\\text{En module : }E_{M}&=&kq\left(\dfrac{1}{(d-x)^{2}}-\dfrac{1}{(d+x)^{2}}\right) \end{array}$

 

2. Cas où le point $M$ se trouve dans l'alignement de $AB$ à l'extérieur du segment $[AB]$ du côté du point $B$

 

 

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{E}_{A}&=&\dfrac{q}{AM^{2}}\vec{i}\\&=&k\dfrac{q}{(d+x)^{2}}\vec{i} \end{array}$

 

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{E}_{B}&=&k\dfrac{q}{BM^{2}}\vec{i}\\&=&k\dfrac{q}{(x-d)^{2}}\vec{i} \end{array}$

 

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{E}_{M}&=&\overrightarrow{E}_{A}+\overrightarrow{E}_{B}\\&=&k\dfrac{q}{(d+x)^{2}}\vec{i}+k\dfrac{q}{(x-d)^{2}}\vec{i}\\\Rightarrow\overrightarrow{E}_{M}&=&kq\left(\dfrac{1}{(d+x)^{2}+\dfrac{1}{(x-d)^{2}}}\right)\vec{i}\\\text{En module : }E_{M}&=&kq\left(\dfrac{1}{(d+x)^{2}}+\dfrac{1}{(x-d)^{2}}\right) \end{array}$

 

3. Cas où le point $M$ est situé sur la médiatrice du segment $[AB]$

 

 

$\begin{array}{rcl} E_{M}&=&2E_{A}\cos\alpha\\&=&2k\dfrac{q}{AM^{2}}\cos\alpha\text{ avec }AM^{2}\\&=&d^{2}+x^{2}\cos\alpha\\&=&\dfrac{d}{AM}\\&=&\dfrac{d}{\sqrt{d^{2}+x^{2}}}\vec{j} \end{array}$

 

1. Détermination des caractéristiques (valeur,) des champs électriques $\overrightarrow{E}_{B}$ et $\overrightarrow{E}_{C}$ crées par cette charge aux point $B$ et $C.$

 

$-\ $Point d'application, direction et sens (voir figure)

 

$-\ $Intensité : 

$\begin{array}{rcl} E_{C}&=&E_{B}\\&=&k\dfrac{|Q|}{AC^{2}}\\&=&9.0\cdot10^{9}\dfrac{\left|40\cdot10^{-9}\right|}{\left(\left(2.0\cdot10^{-2}\right)^{2} \left(2.0\cdot10^{-2}\right)^{2}\right)^{2}}\\\Rightarrow\;E_{C}&=&E_{B}\\&=&12.7\cdot10^{3}N\cdot C^{-1} \end{array}$

 

2. Représentation de ces champs (voir figure)

 

3. Représentation quelques lignes de champs autour du point $A$

 

 

4.1 Détermination des caractéristique de la force électrique s'exerçant sur la charge.

 

$-\ $Point d'application, direction et sens (voir figure)

 

$-\ $Intensité :

 

$\begin{array}{rcl} F_{A/C}&=&k\dfrac{|Q||q|}{AC^{2}}\\&=&9.0\cdot10^{9}\dfrac{\left|-40\cdot10^{-9}\right|\left|-10\cdot10^{-9}\right|}{\left(\left(2.0\cdot10^{-2}\right)^{2}+\left(2.0\cdot10^{-2}\right)^{2}\right)^{2}}\\\Rightarrow\;F_{A/C}&=&12.7\cdot10^{-5}N \end{array}$

 

4.2 Représentation de cette force (voir figure)

 

4.3 Représentation de la force électrique qui s'exerce sur la charge $Q.$

(Voir figure)