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Solution des exercices : Force et champ électrostatiques - 1er s

Classe:

Première

Exercice 1 : pendule et force électrostatique

1. Bilan des forces qui s'exercent sur la bille et représentation de ses forces

Les forces qui s'exercent sur la bille sont : Le poids

\vec{P}

$\overrightarrow{P}$ , la force électronique

\vec{F}

$\overrightarrow{F}$ et la tension

\vec{T}

$\overrightarrow{T}$

2. La solution d'équilibre s'écrit :

\vec{P} + \vec{F} + \vec{T} = \vec{0}

$\overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{T}=\overrightarrow{0}$

3. Détermination de l'intensité de la force électronique.

\vec{i}

$\vec{i}$ et

\vec{j}

$\vec{j}$ , la relation vectorielle devient :

\begin{array}{rcl} 0 + F - T \sin α & = & 0 \\ \Rightarrow T \sin α & = & F (1) \end{array}

$\begin{array}{rcl}0+F-T\sin\alpha&=&0\\\Rightarrow\;T\sin\alpha&=&F\quad(1) \end{array}$

\begin{array}{rcl} - m g + 0 + T \cos α & = & 0 \\ \Rightarrow T \cos α & = & m g (2) \end{array}

$\begin{array}{rcl} -mg+0+T\cos\alpha&=&0\\\Rightarrow\;T\cos\alpha&=&mg\quad (2) \end{array}$

\begin{array}{rcl} (1) et (2) \tan α & = & \frac{F}{m g} \\ \Rightarrow F & = & m g \tan α \\ = & 20 \cdot 10^{- 3} \times 10 \times 20^{\circ} \\ \Rightarrow F & = & 7.3 \cdot 10^{- 2} N \end{array}

$\begin{array}{rcl} (1)\text{et}(2)\tan\alpha&=&\dfrac{F}{mg}\\\Rightarrow\;F&=&mg\tan\alpha\\&=&20\cdot10^{-3}\times10\times20^{\circ}\\\Rightarrow\;F&=&7.3\cdot10^{-2}N \end{array}$

4. Détermination de la charge

q

$q$ portée par la bille.

\begin{array}{rcl} F & = & \frac{k | q | q^{'}}{d} \\ \Rightarrow | q | & = & \frac{F d}{K q^{'}} \\ \Rightarrow q & = & \frac{F d}{K q^{'}} \\ = & \frac{7.3 \cdot 10^{- 2} \times 2 \cdot 10^{- 2}}{9 \cdot 10^{9} \times 10^{- 6}} \\ \Rightarrow q & = & - 1.6 \cdot 10^{- 7} C \end{array}

$\begin{array}{rcl} F&=&\dfrac{k|q|q'}{d}\\\Rightarrow\;|q|&=&\dfrac{Fd}{Kq'}\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{Fd}{Kq'}\\&=&\dfrac{7.3\cdot10^{-2}\times2\cdot10^{-2}}{9\cdot10^{9}\times10^{-6}}\\\Rightarrow\;q&=&-1.6\cdot10^{-7}C \end{array}$

Exercice 2

1.1 Définition de la ligne de champ.

Une ligne de champ est une courbe tangente en tout point au vecteur champ électrostatique.

Représentation su spectre électronique des deux deux charges placées en

A

$A$ et

B

$B$ . (Voir figure)

1.2 Représentation des vecteurs champs électriques

{\vec{E}}_{A}

$\overrightarrow{E}_{A}$ et

{\vec{E}}_{B}

$\overrightarrow{E}_{B}$ crées par

B_{1}

$B_{1}$ et

B_{2}

$B_{2}$ au point

M .

$M.$ (Voir figure)

1.3 Expression de la vecteur de

E_{A}

$E_{A}$ et de

E_{B}

$E_{B}$ en fonction de

K

$K$ ,

q

$q$ ,

a

$a$ et

h .

$h.$

Montrons que

E_{A} = E_{B}

$E_{A}=E_{B}$

\begin{array}{rcl} E_{A} & = & K \frac{| - q |}{A M^{2}} \\ = & K \frac{| q |}{A M^{2}} or A M^{2} = A O^{2} + O M^{2} et | - q | = q \\ \Rightarrow A M^{2} & = & a^{2} + h^{2} \\ \Rightarrow E_{A} & = & K \frac{q}{a^{2} + h^{2}} (1) \end{array}

$\begin{array}{rcl} E_{A}&=&K\dfrac{|-q|}{AM^{2}}\\&=&K\dfrac{|q|}{AM^{2}}\text{ or }AM^{2}=AO^{2}+OM^{2}\text{ et }|-q|=q\\\Rightarrow\;AM^{2}&=&a^{2}+h^{2}\\\Rightarrow\;E_{A}&=&K\dfrac{q}{a^{2}+h^{2}}\quad(1) \end{array}$

\begin{array}{rcl} E_{B} & = & K \frac{q}{B M^{2}} \\ = & K \frac{| q |}{B M^{2}} or B M^{2} = B O^{2} + O M^{2} \\ \Rightarrow B M^{2} & = & a^{2} + h^{2} \\ \Rightarrow E_{B} & = & K \frac{q}{a^{2} + h^{2}} (2) \end{array}

$\begin{array}{rcl} E_{B}&=&K\dfrac{q}{BM^{2}}\\&=&K\dfrac{|q|}{BM^{2}}\text{ or }BM^{2}=BO^{2}+OM^{2}\\\Rightarrow\;BM^{2}&=&a^{2}+h^{2}\\\Rightarrow\;E_{B}&=&K\dfrac{q}{a^{2}+h^{2}}\quad(2) \end{array}$

(1)

$(1)$ et

(2) \Rightarrow E_{A} = E_{B}

$(2)\Rightarrow\;E_{A}=E_{B}$

K = 9 \cdot 10^{9} u \cdot s \cdot i

$K=9\cdot10^{9}u\cdot\;s\cdot\;i$

2.1 Détermination des coordonnées

E_{M x}

$E_{Mx}$ et

E_{M y}

$E_{My}$ du vecteur

\vec{E_{M}}

$\overrightarrow{E_{M}}$ en fonction de

K

$K$ ,

q

$q$

a

$a$ et

h

$h$

\begin{array}{rcl} \vec{E_{M}} = \vec{E_{A}} + \vec{E_{B}} & \Rightarrow & {\begin{array}{lcl} E_{M x} & = & E_{A x} + E_{B x} \\ E_{M y} & = & E_{A y} + E_{B y} \end{array} \\ \Rightarrow & {\begin{array}{lcl} E_{M x} & = & - E_{A} \cos α - E_{B} \cos α \\ E_{M y} & = & E_{A} \sin α - E_{B} \sin α \end{array} \\ comme E_{A} = E_{B} & \Rightarrow & {\begin{array}{lcl} E_{M x} & = & - 2 E_{A} \cos α \\ E_{M y} & = & 0 \end{array} \end{array}

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{E_{M}}=\overrightarrow{E_{A}}+\overrightarrow{E_{B}}&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} E_{Mx}&=&E_{Ax}+E_{Bx}\\ E_{My}&=&E_{Ay}+E_{By} \end{array}\right.\\&\Rightarrow&\left \lbrace\begin{array}{lcl} E_{Mx}&=&-E_{A}\cos\alpha-E_{B}\cos\alpha\\ E_{My}&=&E_{A}\sin\alpha-E_{B}\sin\alpha \end{array}\right.\\\text{ comme }E_{A}=E_{B}&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} E_{Mx}&=&-2E_{A}\cos\alpha\\ E_{My}&=&0 \end{array}\right. \end{array}$

2.2 Montrons que

\vec{E_{M}} = - \frac{2 K | q | \cos α}{(a^{2} + h^{2})} \vec{i}

$\overrightarrow{E_{M}}=-\dfrac{2K|q|\cos\alpha}{\left(a^{2}+h^{2}\right)}\vec{i}$ , avec

\cos α = \frac{α}{\sqrt{a^{2} + h^{2}}}

$\cos\alpha=\dfrac{\alpha}{\sqrt{a^{2}+h^{2}}}$

\begin{array}{rcl} E_{M} & = & E_{M x} \vec{i} + E_{M y} \vec{j} \\ \Rightarrow \vec{E_{M}} & = & - 2 E_{A} \cos α \vec{i} + 0 \vec{j} \\ \Rightarrow \vec{E_{M}} & = & - 2 E_{A} \cos \vec{i} or E_{A} = K \frac{| q |}{(a^{2} + h^{2})} \\ \Rightarrow \vec{E_{M}} & = & - \frac{2 K | q |}{(a^{2} - h^{2})} \cos α \vec{i} \end{array}

$\begin{array}{rcl} E_{M}&=&E_{Mx}\vec{i}+E_{My}\vec{j}\\\Rightarrow\overrightarrow{E_{M}}&=&-2E_{A}\cos\alpha\vec{i}+0\vec{j}\\\Rightarrow\overrightarrow{E_{M}}&=&-2E_{A}\cos\vec{i}\text{ or }E_{A}=K\dfrac{|q|}{\left(a^{2}+h^{2}\right)}\\\Rightarrow\overrightarrow{E_{M}}&=&-\dfrac{2K|q|}{\left(a^{2}-h^{2}\right)}\cos\alpha\vec{i} \end{array}$

2.3 Déduction de la valeur de

{\vec{E}}_{M}

$\overrightarrow{E}_{M}$ au point

O

$O$

\begin{array}{rcl} E_{M} & = & \frac{2 K | q |}{(a^{2} + h^{2})} | \cos α | or \cos α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + h^{2}}} \\ \Rightarrow E_{M} & = & \frac{2 K | q |}{(a^{2} + h^{2})} \frac{a}{\sqrt{a^{2} + h^{2}}} \end{array}

$\begin{array}{rcl} E_{M}&=&\dfrac{2K|q|}{\left(a^{2}+h^{2}\right)}|\cos\alpha|\text{ or }\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+h^{2}}}\\\Rightarrow\;E_{M}&=&\dfrac{2K|q|}{\left(a^{2}+h^{2}\right)}\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+h^{2}}} \end{array}$

\begin{array}{rcl} En O, h = 0 \Rightarrow E_{M} & = & \frac{2 K | q |}{(a^{2} + 0^{2})} \frac{a}{\sqrt{a^{2} + 0^{2}}} \\ \Rightarrow E_{M} & = & \frac{2 K | q |}{a^{2}} \\ = & \frac{2 \times 9 \cdot 10^{9} \times 0.3 \cdot 10^{- 6}}{{(10 \cdot 10^{- 2})}^{2}} \\ \Rightarrow E_{M} & = & 5.4 \cdot 10^{5} N \cdot C^{- 1} \end{array}

$\begin{array}{rcl}\text{En }O\;,\ h=0\Rightarrow\;E_{M}&=&\dfrac{2K|q|}{\left(a^{2}+0^{2}\right)}\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+0^{2}}}\\\Rightarrow\;E_{M}&=&\dfrac{2K|q|}{a^{2}}\\&=&\dfrac{2\times9\cdot10^{9}\times0.3\cdot10^{-6}}{\left(10\cdot10^{-2}\right)^{2}}\\\Rightarrow\;E_{M}&=&5.4\cdot10^{5}N\cdot C^{-1} \end{array}$

Exercice 3

1. Énoncé la loi de Coulomb

Deux corps ponctuels

A

$A$ et

B

$B$ , de charges respectives

q_{A}

$q_{A}$ et

q_{B}

$q_{B}$ , exercent l'un sur l'autre des forces d'attraction ou de répulsion directement opposées, dirigées suivant la droite

(A B)

$(AB)$ , de valeur proportionnelles aux deux charges et inversement proportionnelles au carré de la distance qui les sépare

2.1 Détermination des caractéristiques de la force exercée par

A

$A$ sur

B

$B$ et la force exercée par

B

$B$ sur

A .

$A.$

-

$-\$ Point d'application : les charges

-

$-\$ Direction : la droite

A B

$AB$ qui joint les deux charges

-

$-\$ Sens : les charges

q_{A}

$q_{A}$ et

q_{B}

$q_{B}$ sont de signe contraires, le produit

q_{A} \times q_{B}

$q_{A}\times q_{B}$ est négatif et

\vec{F_{A / B}}

$\overrightarrow{F_{A/B}}$ est dirigée suivant

\vec{u_{A B}} (de B vers A)

$\overrightarrow{u_{AB}}(\text{ de }B\text{ vers }A)$

De même

{\vec{u}}_{B / A}

$\overrightarrow{u}_{B/A}$ est dirigée suivant

{\vec{u}}_{A B} (de A vers B) .

$\overrightarrow{u}_{AB} (\text{ de }A \text{ vers }B).$

Les deux charges

s^{'}

$s'$

-

$-\$ Intensité :

\begin{array}{rcl} F_{B / A} & = & F_{A / B} \\ = & k \frac{| q_{A} | | q_{B} |}{A B^{2}} \\ = & 9.0 \cdot 10^{9} \frac{| - 3 \cdot 10^{- 9} | | 4 \cdot 10^{- 9} |}{{(10 \cdot 10^{- 2})}^{2}} \\ \Rightarrow F_{B / A} & = & F_{A / B} \\ = & 1.1 \cdot 10^{- 7} N \end{array}

$\begin{array}{rcl} F_{B/A}&=&F_{A/B}\\&=&k\dfrac{|q_{A}||q_{B}|}{AB^{2}}\\&=&9.0\cdot10^{9}\dfrac{|-3\cdot10^{-9}||4\cdot10^{-9}|}{\left(10\cdot10^{-2}\right)^{2}}\\\Rightarrow \;F_{B/A}&=&F_{A/B}\\&=&1.1\cdot10^{-7}N \end{array}$

2.2 Représentation de

{\vec{F}}_{B / A}

$\overrightarrow{F}_{B/A}$ et

{\vec{F}}_{A / B}

$\overrightarrow{F}_{A/B}$

3. Détermination des caractéristiques du vecteur champ électrostatique

\vec{E}

$\overrightarrow{E}$ crée par ces deux charges électroniques et représentation du vecteur champ électronique

3.1. Au milieu

O

$O$ de segment

A B .

$AB.$

-

$-\$ Point, direction et sens : voir figure

-

$-\$ Intensité :

\begin{array}{rcl} \vec{E_{o}} & = & \vec{E_{A}} + \vec{E_{B}} \\ \Rightarrow E_{0} & = & E_{A} + E_{B} \\ = & k \frac{| q_{A} |}{A O^{2}} + k \frac{q_{B}}{B O^{2}} or A O = B O \\ \Rightarrow E_{o} & = & \frac{k}{O A^{2}} (| q_{A} | + q_{B}) \\ \Rightarrow E_{o} & = & \frac{9.0 \cdot 10^{9}}{{(5 \cdot 10^{- 2})}^{2}} (| - 3 \cdot 10^{- 9} | + 4 \cdot 10^{- 9}) \\ \Rightarrow E_{o} & = & 12.6 \cdot 10^{4} N \cdot C^{- 1} \end{array}

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{E_{o}}&=&\overrightarrow{E_{A}}+\overrightarrow{E_{B}}\\\Rightarrow\;E_{0}&=&E_{A}+E_{B}\\&=&\;k\dfrac{\left|q_{A}\right|}{AO^{2}}+k\dfrac{q_{B}}{BO^{2}}\text{ or }AO=BO\\\Rightarrow\;E_{o}&=&\dfrac{k}{OA^{2}}\left(\left|q_{A}\right|+q_{B}\right)\\\Rightarrow\;E_{o}&=&\dfrac{9.0\cdot10^{9}}{\left(5\cdot10^{-2}\right)^{2}}\left(\left|-3\cdot10^{-9}\right|+4\cdot10^{-9}\right)\\\Rightarrow\;E_{o}&=&12.6\cdot10^{4}N\cdot C^{-1} \end{array}$

3.2 En un point

M

$M$ de la médiatrice de

A B

$AB$ , situé à

5 c m

$5\,cm$ de

O

$O$

-

$-\$ Point, direction et sens : voir figure

-

$-\$ Intensité :

\begin{array}{rcl} {\vec{E}}_{M} & = & {\vec{E}}_{A} + {\vec{E}}_{B} \\ \Rightarrow E_{M} & = & \sqrt{E_{A}^{2} + E_{B}^{2}} \\ = & \sqrt{{(k {\frac{| q_{A} |}{A M}}_{2})}^{2} + {(k {\frac{q_{B}}{B M}}^{2})}^{2}} or A M^{2} = A O^{2} + O M^{2} \\ = & 5^{2} + 5^{2} \\ = & 50 c m^{2} \\ \Rightarrow A M & = & 5 \sqrt{5 c m}; (B M = 5 \sqrt{5 c m} \end{array}

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{E}_{M}&=&\overrightarrow{E}_{A}+\overrightarrow{E}_{B}\\\Rightarrow\;E_{M}&=&\sqrt{E_{A}^{2}+E_{B}^{2}}\\&=&\sqrt{\left(k\dfrac{|q_{A}|}{AM}_{2}\right)^{2}+\left(k\dfrac{q_{B}}{BM}^{2}\right)^{2}}\text{ or }AM^{2}=AO^{2}+OM^{2}\\&=&5^{2}+5^{2}\\&=&50\,cm^{2}\\\Rightarrow\;AM&=&5\sqrt{5\;cm}\ ;\ (BM=5\sqrt{5\,cm} \end{array}$

\begin{array}{rcl} E_{M} & = & \sqrt{{(k \frac{| q_{A} |}{A M^{2}})}^{2} + {(k \frac{q_{B}}{B M^{2}})}^{2}} \\ = & \frac{k}{A M^{2}} \sqrt{{| q_{A} |}^{2} + q_{B}^{2}} \\ \Rightarrow E_{M} & = & \frac{9.0 \cdot 10^{9}}{{(5 \sqrt{5} \cdot 10^{- 2})}^{2}} \sqrt{{| 3 \cdot 10^{- 9} |}^{2} + {(4 \cdot 10^{- 9})}^{2}} \\ \Rightarrow E_{M} & = & 4.02 \cdot 10^{4} N \cdot C^{- 1} \end{array}

$\begin{array}{rcl} E_{M}&=&\sqrt{\left(k\dfrac{\left|q_{A}\right|}{AM^{2}}\right)^{2}+\left(k\dfrac{q_{B}}{BM^{2}}\right)^{2}}\\&=&\dfrac{k}{AM^{2}}\sqrt{\left|q_{A}\right|^{2}+q_{B}^{2}}\\\Rightarrow\;E_{M}&=&\dfrac{9.0\cdot 10^{9}}{\left(5\sqrt{5}\cdot10^{-2}\right)^{2}}\sqrt{\left|3\cdot10^{-9}\right|^{2}+\left(4\cdot10^{-9}\right)^{2}}\\\Rightarrow\;E_{M}&=&4.02\cdot10^{4}N\cdot C^{-1} \end{array}$

4. Les caractéristiques d'un champ électrique uniforme

Un champ électrique uniforme est un champ dont le vecteur champ électrique a même direction, même sens et même intensité en tout point de l'espace champ

Schéma de spectre de champ

Les lignes de champ sont des droites parallèles.

L'ensemble des lignes constitue le spectre électrique

Exercice 4

1. Le signe de

q^{'}

$q'$ est positif car elle attirée par la charge

q

$q$ qui de signe positif

2.1 Bilan des forces qui s'exercent sur

A

$A$

Les forces qui s'exercent sur

A

$A$ sont :

Le poids

\vec{P_{A}}

$\overrightarrow{P_{A}}$ ; la tension

{\vec{T}}_{A}

$\overrightarrow{T}_{A}$ et la force électrostatique

\vec{F_{A}}

$\overrightarrow{F_{A}}$

2.2 Représentation de ces forces (voir figure) sur un schéma,

2.3 Énoncé la condition d'équilibre de

A

$A$

La sphère

A

$A$ est en équilibre sous de ces trois forces ; la somme vectorielle de ces trois forces est nulle

\vec{P_{A}} + {\vec{T}}_{A} + \vec{F_{_{A}}} = \vec{0}

$\overrightarrow{P_{A}}+\overrightarrow{T}_{A}+\overrightarrow{F_{_{A}}}=\overrightarrow{0}$

2.4 Déduction de la valeur de l'angle

α

$\alpha$

\begin{array}{rcl} \vec{P_{A}} + {\vec{T}}_{A} + \vec{F_{A}} = 0 & \Rightarrow & {\begin{array}{lcl} 0 - T_{A} \sin α + F_{A} & = & 0 \\ m g - T_{A} \cos α + 0 & = & 0 \end{array} \\ \Rightarrow & {\begin{array}{lcl} T_{A} \sin α & = & F_{A} (1) \\ T_{A} \cos α & = & m g (2) \end{array} \\ (1) et (2) \Rightarrow \tan α & = & \frac{F_{A}}{m g} \\ = & \frac{k q | q^{'} |}{m g d^{2}} \\ = & \frac{k q | - 2 q |}{m g d^{2}} \\ \Rightarrow \tan α & = & \frac{2 K q^{2}}{m g d^{2}} \\ \Rightarrow α & = & \tan^{- 1} α \\ = & \tan^{- 1} (\frac{2 K q^{2}}{m g d^{2}}) \\ = & \tan^{- 1} (\frac{2 \times 9.00 \cdot 10^{9} \times {(200 \cdot 10^{- 9})}^{2}}{10.0 \cdot 10^{- 3} \times 9.81 \times {(10.0 \cdot 10^{- 2})}^{2}}) \\ \Rightarrow α & = & {36.3}^{\circ} \end{array}

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{P_{A}}+\overrightarrow{T}_{A}+\overrightarrow{F_{A}}=0&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} 0-T_{A}\sin\alpha+F_{A}&=&0\\ mg-T_{A}\cos\alpha+0&=&0 \end{array}\right.\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} T_{A}\sin\alpha&=&F_{A}\quad(1)\\ T_{A}\cos\alpha&=&mg\quad(2) \end{array}\right.\\(1)\text{ et }(2)\Rightarrow\tan\alpha&=&\dfrac{F_{A}}{mg}\\&=&\dfrac{kq\left|q'\right|}{mgd^{2}}\\&=&\dfrac{kq|-2q|}{mgd^{2}}\\\Rightarrow\tan\alpha&=&\dfrac{2Kq^{2}}{mgd^{2}}\\\Rightarrow\alpha&=&\tan^{-1}\alpha\\&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{2Kq^{2}}{mgd^{2}}\right)\\&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{2\times9.00\cdot10^{9}\times\left(200\cdot10^{-9}\right)^{2}}{10.0\cdot10^{-3}\times9.81\times\left(10.0\cdot10^{-2}\right)^{2}}\right)\\\Rightarrow\alpha&=&36.3^{\circ} \end{array}$

2.5 Détermination des valeurs des forces qui s'exercent sur

A .

$A.$

\begin{array}{rcl} P_{A} & = & m g \\ = & 10.0 \cdot 10^{- 3} \times 9.81 \\ \Rightarrow P_{A} & = & 9.81 \cdot 10^{- 3} N \end{array}

$\begin{array}{rcl} P_{A}&=&mg\\&=&10.0\cdot10^{-3}\times9.81\\\Rightarrow\;P_{A}&=&9.81\cdot10^{-3}N \end{array}$

\begin{array}{rcl} m g - T_{A} \cos α + 0 & = & 0 \\ \Rightarrow T_{A} & = & \frac{P_{A}}{\cos α} \\ = & \frac{9.81 \cdot 10^{- 3}}{\cos {36.3}^{\circ}} \\ \Rightarrow T_{A} & = & 12.2 \cdot 10^{- 3} N \end{array}

$\begin{array}{rcl} mg-T_{A}\cos\alpha+0&=&0\\\Rightarrow\;T_{A}&=&\dfrac{P_{A}}{\cos\alpha}\\&=&\dfrac{9.81\cdot10^{-3}}{\cos36.3^{\circ}}\\\Rightarrow\;T_{A}&=&12.2\cdot10^{-3}N \end{array}$

\begin{array}{rcl} F_{A} & = & \frac{2 k q^{2}}{d^{2}} \\ = & \frac{2 \times 9.00 \cdot 10^{9} \times {(200 \cdot 10^{- 9})}^{2}}{{(10.0 \cdot 10^{- 2})}^{2}} \\ \Rightarrow F_{A} & = & 72 \cdot 10^{- 3} N \end{array}

$\begin{array}{rcl} F_{A}&=&\dfrac{2kq^{2}}{d^{2}}\\&=&\dfrac{2\times9.00\cdot10^{9}\times\left(200\cdot 10^{-9}\right)^{2}}{\left(10.0\cdot 10^{-2}\right)^{2}}\\ \Rightarrow\;F_{A}&=&72\cdot 10^{-3}N \end{array}$

3.1 Bilan des forces qui s'exercent sur

B .

$B.$

Les forces sur

B

$B$ sont :

Le Poids

\vec{P_{B}}

$\overrightarrow{P_{B}}$ , la tension du fil

{\vec{T}}_{B}

$\overrightarrow{T}_{B}$ et les forces électrostatiques

{\vec{F}}_{A / B}

$\overrightarrow{F}_{A/B}$ et

{\vec{F}}_{C / B}

$\overrightarrow{F}_{C/B}$ exercées respectivement par les sphères

A

$A$ et

C

$C$ sur la sphère

B

$B$

3.2 Représentation de ces forces (voir figure) sur un schéma, sans souci d'échelle mais en respectant leurs

3.3 Détermination des valeurs des forces qui s'exercent sur

B .

$B.$

\begin{array}{rcl} P_{B} & = & m g \\ = & 10.0 \cdot 10^{- 3} \times 9.81 \\ \Rightarrow P_{B} & = & 9.81 \cdot 10_{- 3} N \end{array}

$\begin{array}{rcl} P_{B}&=&mg\\&=&10.0\cdot10^{-3}\times9.81\\\Rightarrow\;P_{B}&=&9.81\cdot10_{-3}N \end{array}$

T_{B} = P_{B} = 9.81 \cdot 10^{- 3} N

$T_{B}=P_{B}=9.81\cdot10^{-3}N$

\begin{array}{rcl} F_{A ⟶ B} & = & F_{C ⟶ A} \\ = & F_{A} \\ \Rightarrow F_{A ⟶ B} & = & F_{C ⟶ A} \\ = & 72.10 \cdot^{- 3} N \end{array}

$\begin{array}{rcl} F_{A\longrightarrow\;B}&=&F_{C\longrightarrow\;A}\\&=&F_{A}\\\Rightarrow\;F_{A\longrightarrow\;B}&=&F_{C\longrightarrow\;A}\\&=&72.10\cdot^{-3}N \end{array}$

Exercice 5

1. Détermination des caractéristique du vecteur champ électrostatique

du vecteur champ électrostatique au point

C

$C$

-

$-\$ Point, direction et sens : voir figure

-

$-$ Intensité :

\begin{array}{rcl} E_{A} & = & k \frac{| q_{1} |}{A O^{2}} or A O = B O \\ \Rightarrow E_{A} & = & \frac{k}{A C^{2}} (| q_{A} | + q_{B}) \\ \Rightarrow E_{A} & = & \frac{9.0 \cdot 10^{9} | - 10 \cdot 10^{- 9} |}{{(5 \cdot 10^{- 2})}^{2}} \\ \Rightarrow E & = & 3.6 \cdot 10^{4} N \cdot C^{- 1} \end{array}

$\begin{array}{rcl} E_{A}&=&k\dfrac{\left|q_{1}\right|}{AO^{2}}\text{ or }AO=BO\\\Rightarrow\;E_{A}&=&\dfrac{k}{AC^{2}}\left(\left|q_{A}\right|+q_{B}\right)\\\Rightarrow\;E_{A}&=&\dfrac{9.0\cdot10^{9}\left|-10\cdot10^{-9}\right|}{\left(5\cdot10^{-2}\right)^{2}}\\\Rightarrow\;E&=&3.6\cdot10^{4}N\cdot C^{-1} \end{array}$

2.a. Bilan des forces qui s'exercent sur la sphère

(S)

$(S)$ et représentation de ces forces (voir figure).

Les forces qui s'exercent sur la sphère sont :

Le poids,

\vec{P}

$\overrightarrow{P}$ ; la réaction

\vec{R}

$\overrightarrow{R}$ et les forces électrostatiques

\vec{F_{A}}

$\overrightarrow{F_{A}}$ et

\vec{B_{B}}

$\overrightarrow{B_{B}}$

b. Calcul de la masse

m

$m$ et la valeur de la réaction de la tige.

La condition d'équilibre de la sphère s'écrire :

\vec{P} + \vec{R} + \vec{F_{A}} + \vec{F_{B}} = \vec{0}

$\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R}+\overrightarrow{F_{A}}+\overrightarrow{F_{B}}=\overrightarrow{0}$

Suivant le sens de

\vec{F_{A}}

$\overrightarrow{F_{A}}$ :

\begin{array}{rcl} - P \sin α + 0 + F_{A} + F_{B} & = & 0 \\ \Rightarrow P \sin α & = & F_{A} + F_{B} \\ \Rightarrow m g \sin α & = & k \frac{| q_{1} | q}{A C^{2}} + k \frac{q_{2} q}{B C^{2}} \\ \Rightarrow m & = & k \frac{q_{2} q}{g \sin α} (\frac{1}{A C^{2}} + \frac{1}{B C^{2}}) \\ \Rightarrow m & = & 9.0 \cdot 10^{9} \times \frac{10 \cdot 10^{- 9} \times 30 \cdot 10^{- 9}}{10 \times \sin 30^{\circ}} (\frac{1}{{(5 \cdot 10^{- 2})}^{2}} + \frac{1}{{(15 \cdot 10^{- 2})}^{2}}) \\ \Rightarrow m & = & 2.4 \cdot 10^{- 4} k g \end{array}

$\begin{array}{rcl}-P\sin\alpha+0+F_{A}+F_{B}&=&0\\\Rightarrow\;P\sin\alpha&=&F_{A}+F_{B}\\\Rightarrow\;mg\sin\alpha&=&k\dfrac{\left|q_{1}\right|q}{AC^{2}}+k\dfrac{q_{2}q}{BC^{2}}\\\Rightarrow\;m&=&k\dfrac{q_{2}q}{g\sin\alpha}\left(\dfrac{1}{AC^{2}}+\dfrac{1}{BC^{2}}\right)\\\Rightarrow\;m&=&9.0\cdot 10^{9}\times\dfrac{10\cdot 10^{-9}\times30\cdot 10^{-9}}{10\times\sin 30^{\circ}}\left(\dfrac{1}{\left(5\cdot 10^{-2}\right)^{2}}+\dfrac{1}{\left(15\cdot 10^{-2}\right)^{2}}\right)\\\Rightarrow\;m&=&2.4\cdot 10^{-4}kg \end{array}$

Suivant le sens de

\vec{R}

$\overrightarrow{R}$ :

\begin{array}{rcl} - P \cos α + R + 0 + 0 & = & 0 \\ \Rightarrow R & = & P \cos α \\ \Rightarrow R & = & m g \cos α \\ = & 2.4 \cdot 10^{- 4} \times 10 \cos 30^{\circ} \\ \Rightarrow R & = & 2.1 \cdot 10^{- 3} N \end{array}

$\begin{array}{rcl} -P\cos\alpha+R+0+0&=&0\\\Rightarrow\;R&=&P\cos\alpha\\\Rightarrow\;R&=&mg\cos\alpha\\&=&2.4\cdot10^{-4}\times10\cos30^{\circ}\\\Rightarrow\;R&=&2.1\cdot10^{-3}N \end{array}$

3. Lorsque la tige

A B

$AB$ est horizontale, la sphère ne reste plus immobile.

Elle se déplace vers la sphère

A

$A$ à cause de l'action des deux forces électrostatiques

Exercice 6

1. Calcul de la distance

A B

$AB$ à m'équilibre.

\begin{array}{rcl} A B & = & O O^{'} - 2 l \sin α \\ = & 14 - \times 0 \cdot 1 \\ \Rightarrow A B & = & 10 c m \end{array}

$\begin{array}{rcl} AB&=&OO'-2l\sin\alpha\\&=&14-\times0\cdot1\\\Rightarrow\;AB&=&10\;cm \end{array}$

2.1 Représentation de toutes les forces exercées sur les boules

A

$A$ et

B

$B$ (voir figure)

2.2 Détermination de la valeur de la force de l'interaction électrique existant entre es boules

A

$A$ et

B .

$B.$

\begin{array}{rcl} F_{A B} & = & \frac{K q_{A} | q_{B} |}{A B^{2}} \\ = & \frac{9 \cdot 10^{9} \times 2 \cdot 10^{- 6} \times 2 \cdot 10^{- 6}}{{(10 \cdot 10^{- 2})}^{2}} \\ \Rightarrow F_{A B} & = & 3.6 N \end{array}

$\begin{array}{rcl} F_{AB}&=&\dfrac{Kq_{A}|q_{B}|}{AB^{2}}\\&=&\dfrac{9\cdot10^{9}\times2\cdot10^{-6}\times2\cdot10^{-6}}{\left(10\cdot10^{-2}\right)^{2}}\\\Rightarrow\;F_{AB}&=&3.6N \end{array}$

Exercice 7

1. Représentation, des forces électrique

{\vec{F}}_{A / B}

$\overrightarrow{F}_{A/B}$ et

{\vec{F}}_{B / A}

$\overrightarrow{F}_{B/A}$ (Voir figure)

Caractéristique de

{\vec{F}}_{A / B}

$\overrightarrow{F}_{A/B}$

\begin{array}{rcl} F_{A / B} & = & k \frac{q_{A} \times q_{B}}{A B^{2}} \\ = & k \frac{q_{A} \times q_{B}}{{(2 R \sin α)}^{2}} \\ = & 9 \cdot 10^{9} \frac{2 \cdot 10^{- 7} \times 2 \cdot 10^{- 7}}{{(2 \times 6 \cdot 10^{- 2} \sin 30^{\circ})}^{2}} \\ \Rightarrow F_{A / B} & = & 0.10 N \end{array}

$\begin{array}{rcl} F_{A/B}&=&k\dfrac{q_{A}\times q_{B}}{AB^{2}}\\&=&k\dfrac{q_{A}\times q_{B}}{\left(2R\sin\alpha\right)^{2}}\\&=&9\cdot10^{9}\dfrac{2\cdot10^{-7}\times 2\cdot10^{-7}} {\left(2\times6\cdot10^{-2}\sin 30^{\circ}\right)^{2}}\\\Rightarrow\;F_{A/B}&=&0.10N \end{array}$

2.1 Représentation, au point

O

$O$ , des vecteurs champ électrostatiques de

{\vec{E}}_{A}

$\overrightarrow{E}_{A}$ et

{\vec{E}}_{B}

$\overrightarrow{E}_{B}$ ( Voir figure) Calcul de la valeur de

{\vec{E}}_{A}

$\overrightarrow{E}_{A}$

\begin{array}{rcl} E_{A} & = & k \frac{q_{A}}{A O^{2}} \\ = & k \frac{q_{A}}{R^{2}} \\ = & 9 \cdot 10^{9} \frac{2 \cdot^{- 7}}{{(6 \cdot 10^{- 2})}^{2}} \\ \Rightarrow E_{A} & = & 5.0 \cdot 10^{5} N \cdot C^{- 1} \end{array}

$\begin{array}{rcl} E_{A}&=&k\dfrac{q_{A}}{AO^{2}}\\&=&k\dfrac{q_{A}}{R^{2}}\\&=&9\cdot10^{9}\dfrac{2\cdot^{-7}}{\left(6\cdot10^{-2}\right)^{2}}\\\Rightarrow\;E_{A}&=&5.0\cdot10^{5}N\cdot C^{-1} \end{array}$

2.2 Détermination des caractéristiques du vecteur champ électrostatique

{\vec{E}}_{0} = {\vec{E}}_{A} + {\vec{E}}_{B}

$\overrightarrow{E}_{0}=\overrightarrow{E}_{A}+\overrightarrow{E}_{B}$

-

$-\$ Point, direction et sens : voir figure

-

$-\$ Intensité :

\begin{array}{rcl} \frac{E_{0}}{2} & = & E_{A} \\ \Rightarrow E_{o} & = & 2 E_{A} \\ = & 2 \times 5.0 \cdot 10^{5} \\ \Rightarrow E_{o} & = & 10 \cdot 10^{5} N \cdot C^{- 1} \end{array}

$\begin{array}{rcl} \dfrac{E_{0 }}{2}&=&E_{A}\\\Rightarrow\;E_{o}&=&2E_{A}\\&=&2\times5.0\cdot10^{5}\\\Rightarrow\;E_{o}&=&10\cdot10^{5}N\cdot C^{-1} \end{array}$

3.1 Représentation de la force

\vec{F}

$\overrightarrow{F}$ exercée par

q_{A}

$q_{A}$ et

q_{B}

$q_{B}$ sur la charge

Q_{o}

$Q_{o}$ (Voir figure)

Q_{o}

$Q_{o}$ est signe positif, car la force électrostatique

\vec{F} = Q_{0} {\vec{E}}_{o}

$\overrightarrow{F}=Q_{0}\overrightarrow{E}_{o}$ doit être de même sens que le champ

{\vec{E}}_{o}

$\overrightarrow{E}_{o}$ pour que le corps ponctuel

(C)

$(C)$ soit en équilibre

3.2 Écrivons la condition d'équilibre du corps ponctuel

(C)

$(C)$

Calcul de la masse

m

$m$ du corps

\begin{array}{rcl} \vec{P} + \vec{F} & = & \vec{0} \\ \Rightarrow P - F & = & 0 \\ \Rightarrow m g - Q_{0} E_{o} & = & 0 \\ \Rightarrow m & = & \frac{Q_{0} E_{o}}{g} \\ \Rightarrow \frac{2 \cdot 10^{- 8} \times 10 \cdot 10^{5}}{10} \\ \Rightarrow m & = & 2 \cdot^{- 3} k g \end{array}

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}&=&\overrightarrow{0}\\\Rightarrow\;P-F&=&0\\\Rightarrow\;mg-Q_{0}E_{o}&=&0\\\Rightarrow\;m&=&\dfrac{Q_{0}E_{o}}{g}\\\Rightarrow\dfrac{2\cdot10^{-8}\times10\cdot10^{5}}{10}\\\Rightarrow\;m&=&2\cdot^{-3}kg \end{array}$

Exercice 8

1. Déduction de la valeur de la charge

q .

$q.$

La condition d'équilibre, appliquée à la sphère, s'écrit :

\begin{array}{rcl} \vec{P} + \vec{F} + \vec{T} & = & \vec{0} \\ \Rightarrow & {\begin{array}{lcl} 0 + F - T \sin α & = & 0 \\ m g + 0 - T \cos α & = & 0 \end{array} \\ \Rightarrow & {\begin{array}{lcl} T \sin α & = & F (1) \\ T \cos α & = & m g (2) \end{array} \\ \Rightarrow \tan α & = & \frac{q E}{m g} \\ \Rightarrow q & = & \frac{m \times g \times \tan α}{E} \\ = & \frac{2 \cdot 10^{- 2} \times 10 \times \tan 10^{\circ}}{10^{3}} \\ \Rightarrow q & = & 3.5 \cdot 10^{- 5} C \end{array}

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{T}&=&\overrightarrow{0} \\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} 0+F-T\sin\alpha&=&0\\ mg+0-T\cos\alpha&=&0 \end{array}\right.\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} T\sin\alpha&=&F\quad(1)\\ T\cos\alpha&=&mg\quad(2) \end{array}\right.\\\Rightarrow\tan\alpha&=&\dfrac{qE}{mg}\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{m\times g\times\tan\alpha}{E}\\&=&\dfrac{2\cdot10^{-2}\times10\times\tan 10^{\circ}}{10^{3}}\\\Rightarrow\;q&=&3.5\cdot10^{-5}C \end{array}$

2. Sens et intensité du champ

E^{'}

$E'$ pour que le fil s'incline sur la verticale d'un angle

Pour que l'angle soit plus grand, il faut que le champ

\vec{E^{'}}

$\overrightarrow{E'}$ soit dirigé vers le haut (voir figure)

\begin{array}{rcl} \vec{P} + \vec{F} + \vec{T} & = & \vec{0} \\ \Rightarrow & {\begin{array}{lcl} 0 + q E - T \sin α & = & 0 \\ m g - q E^{'} + T \cos α & = & 0 \end{array} \\ \Rightarrow & {\begin{array}{lcl} T \sin α & = & q E (1) \\ T \cos α & = & q E^{'} - m g (2) \end{array} \\ \Rightarrow \tan α & = & \frac{q E}{q E^{'} - m g} \\ \Rightarrow q E^{'} - m g & = & \frac{q E}{\tan α} \\ \Rightarrow E^{'} & = & \frac{E}{\tan α} + \frac{m g}{q} \\ = & \frac{10^{3}}{\tan 20^{\circ}} + \frac{2 \cdot 10^{- 2} \times 10}{3.5 \cdot 10^{- 5}} \\ \Rightarrow E^{'} & = & 8.5 \cdot 10^{3} N \cdot C^{- 1} \end{array}

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{T}&=&\overrightarrow{0}\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} 0+qE-T\sin\alpha&=&0\\ mg-qE'+T\cos\alpha&=&0 \end{array}\right.\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} T\sin\alpha&=&qE\quad(1)\\ T\cos\alpha&=&qE'-mg\quad(2) \end{array}\right.\\\Rightarrow\tan\alpha&=&\dfrac{qE}{qE'-mg}\\\Rightarrow\;qE'-mg&=&\dfrac{qE}{\tan\alpha}\\\Rightarrow\;E'&=&\dfrac{E}{\tan\alpha}+\dfrac{mg}{q}\\&=&\dfrac{10^{3}}{\tan 20^{\circ}}+\dfrac{2\cdot10^{-2}\times 10}{3.5\cdot10^{-5}}\\\Rightarrow\;E'&=&8.5\cdot10^{3}N\cdot C^{-1} \end{array}$

3. Inclinaison

α^{'}

$\alpha'$ si l'on changeait le sens de

E^{'}

$E'$ sans modifier,son intensité

\begin{array}{rcl} M_{Δ} (\vec{F}) + M_{Δ} (\vec{P}) + M_{Δ} & = & 0 \\ \Rightarrow 2 q E l \cos α + 0 - C α \\ = & 0 \\ \Rightarrow 2 q E l \cos α \\ \Rightarrow C α \\ \Rightarrow q & = & \frac{C α}{2 E l \cos α} \\ \Rightarrow q & = & \frac{13.5 \cdot 10^{- 7} \times \frac{p i}{6}}{2 \times 272 \times 15 \cdot 10^{- 2} \cos 30^{\circ}} \\ \Rightarrow q & = & 4.7 \cdot 10^{- 9} C \end{array}

$\begin{array}{rcl} M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}\right)+M_{\Delta}\left(\overrightarrow{P}\right)+M_{\Delta}&=&0\\\Rightarrow\;2qEl\cos\alpha+0-C\alpha\\&=&0\\\Rightarrow\;2qEl\cos\alpha\\\Rightarrow\;C\alpha\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{C\alpha}{2El\cos\alpha}\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{13.5\cdot10^{-7}\times\dfrac{pi}{6}}{2\times272\times15\cdot10^{-2}\cos30^{\circ}}\\\Rightarrow\;q&=&4.7\cdot10^{-9}C \end{array}$

\begin{array}{rcl} M_{Δ} (\vec{F}) + M_{Δ} (\vec{P}) + M_{Δ} & = & 0 \\ \Rightarrow 2 q E l \cos α + 0 - C α \\ = & 0 \\ \Rightarrow 2 q E l \cos α \\ \Rightarrow C α \\ \Rightarrow q & = & \frac{C α}{2 E l \cos α} \\ \Rightarrow q & = & \frac{13.5 \cdot 10^{- 7} \times \frac{p i}{6}}{2 \times 272 \times 15 \cdot 10^{- 2} \cos 30^{\circ}} \\ \Rightarrow q & = & 4.7 \cdot 10^{- 9} C \end{array}

Exercice 9

1. Calcul, en fonction de

1

$1$ ,

α

$\alpha$ ,

q

$q$ et

E

$E$ le moment des forces électrostatiques par rapport à l'axe de rotation du dispositif.

\begin{array}{rcl} M_{Δ} (\vec{F}) & = & M_{Δ} ({\vec{F}}_{A}) + M_{Δ} ({\vec{F}}_{B}) \\ or M_{Δ} ({\vec{F}}_{A}) & = & F_{A} l \cos α \\ = & q E l \cos α \\ et M_{Δ} ({\vec{F}}_{B}) & = & F_{B} l \cos α \\ = & q E l \cos α \\ \Rightarrow M_{Δ} (\vec{F}) & = & 3 q E l \cos α \end{array}

$\begin{array}{rcl} M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}_{A}\right)+M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}_{B}\right)\\\text{ or }M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}_{A}\right)&=&F_{A}l\cos\alpha\\&=&qEl\cos\alpha\\\text{ et}M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}_{B}\right)&=&F_{B}l\cos\alpha\\&=&qEl\cos\alpha\\\Rightarrow\;M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&3qEl\cos\alpha \end{array}$

2. Calcul du moment du poids du système par rapport à l'axe de rotation.

\Rightarrow M_{Δ} (\vec{P}) = 2 q E 1 \cos α

$\Rightarrow\;M_{\Delta}\left(\overrightarrow{P}\right)=2qE1\cos\alpha$

3. Calcul de

q

$q$

\begin{array}{rcl} M_{Δ} (\vec{F}) + M_{Δ} (\vec{P}) + M_{Δ} & = & 0 \\ \Rightarrow 2 q E l \cos α + 0 - C α & = & 0 \\ \Rightarrow 2 q E l \cos α & = & C α \\ \Rightarrow q & = & \frac{C α}{2 E l \cos α} \\ \Rightarrow q & = & \frac{13.5 \cdot 10^{- 7} \times \frac{π}{6}}{2 \times 272 \times 15 \cdot 10^{- 2} \cos 30^{\circ}} \\ \Rightarrow q & = & 4.7 \cdot 10^{- 9} C \end{array}

$\begin{array}{rcl} M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}\right)+M_{\Delta}\left(\overrightarrow{P}\right)+M_{\Delta}&=&0\\\Rightarrow\;2qEl\cos\alpha+0-C\alpha&=&0\\\Rightarrow\;2qEl\cos\alpha&=&C\alpha\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{C\alpha}{2El\cos\alpha}\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{13.5\cdot10^{-7} \times\dfrac{\pi}{6}}{2\times272\times15\cdot10^{-2}\cos30^{\circ}}\\\Rightarrow\;q&=&4.7\cdot10^{-9}C \end{array}$

Exercice 10

1. Cas où le point

M

$M$ se trouve sur le segment

[A B]

$[AB]$ entre les points

O

$O$ et

B

$B$ :

\begin{array}{rcl} {\vec{E}}_{A} & = & - k \frac{q}{A M^{2}} \vec{i} \\ = & - k \frac{q}{(d + x)^{2}} \vec{i} \end{array}

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{E}_{A}&=&-k\dfrac{q}{AM^{2}}\vec{i}\\&=&-k\dfrac{q}{(d+x)^{2}}\vec{i} \end{array}$ ;

\begin{array}{rcl} {\vec{E}}_{B} & = & k \frac{q}{B M^{2}} \vec{i} \\ = & k \frac{q}{(d - x)^{2}} \vec{i} \end{array}

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{E}_{B}&=&k\dfrac{q}{BM^{2}}\vec{i}\\&=&k\dfrac{q}{(d-x)^{2}}\vec{i} \end{array}$

\begin{array}{rcl} {\vec{E}}_{M} & = & {\vec{E}}_{A} + {\vec{E}}_{B} \\ = & - k \frac{q}{(d + x)^{2}} \vec{i} + k \frac{q}{(d - x)^{2}} \vec{i} \\ \Rightarrow {\vec{E}}_{M} & = & k q (\frac{1}{(d - x)^{2}} - \frac{1}{(d + x)^{2}}) \vec{i} \\ En module : E_{M} & = & k q (\frac{1}{(d - x)^{2}} - \frac{1}{(d + x)^{2}}) \end{array}

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{E}_{M}&=&\overrightarrow{E}_{A}+\overrightarrow{E}_{B}\\&=&-k\dfrac{q}{(d+x)^{2}}\vec{i}+k\dfrac{q}{(d-x)^{2}}\vec{i}\\\Rightarrow\overrightarrow{E}_{M}&=&kq\left(\dfrac{1}{(d-x)^{2}}-\dfrac{1}{(d+x)^{2}}\right)\vec{i}\\\text{En module : }E_{M}&=&kq\left(\dfrac{1}{(d-x)^{2}}-\dfrac{1}{(d+x)^{2}}\right) \end{array}$

2. Cas où le point

M

$M$ se trouve dans l'alignement de

A B

$AB$ à l'extérieur du segment

[A B]

$[AB]$ du côté du point

B

$B$

\begin{array}{rcl} {\vec{E}}_{A} & = & \frac{q}{A M^{2}} \vec{i} \\ = & k \frac{q}{(d + x)^{2}} \vec{i} \end{array}

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{E}_{A}&=&\dfrac{q}{AM^{2}}\vec{i}\\&=&k\dfrac{q}{(d+x)^{2}}\vec{i} \end{array}$

\begin{array}{rcl} {\vec{E}}_{B} & = & k \frac{q}{B M^{2}} \vec{i} \\ = & k \frac{q}{(x - d)^{2}} \vec{i} \end{array}

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{E}_{B}&=&k\dfrac{q}{BM^{2}}\vec{i}\\&=&k\dfrac{q}{(x-d)^{2}}\vec{i} \end{array}$

\begin{array}{rcl} {\vec{E}}_{M} & = & {\vec{E}}_{A} + {\vec{E}}_{B} \\ = & k \frac{q}{(d + x)^{2}} \vec{i} + k \frac{q}{(x - d)^{2}} \vec{i} \\ \Rightarrow {\vec{E}}_{M} & = & k q (\frac{1}{(d + x)^{2} + \frac{1}{(x - d)^{2}}}) \vec{i} \\ En module : E_{M} & = & k q (\frac{1}{(d + x)^{2}} + \frac{1}{(x - d)^{2}}) \end{array}

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{E}_{M}&=&\overrightarrow{E}_{A}+\overrightarrow{E}_{B}\\&=&k\dfrac{q}{(d+x)^{2}}\vec{i}+k\dfrac{q}{(x-d)^{2}}\vec{i}\\\Rightarrow\overrightarrow{E}_{M}&=&kq\left(\dfrac{1}{(d+x)^{2}+\dfrac{1}{(x-d)^{2}}}\right)\vec{i}\\\text{En module : }E_{M}&=&kq\left(\dfrac{1}{(d+x)^{2}}+\dfrac{1}{(x-d)^{2}}\right) \end{array}$

3. Cas où le point

M

$M$ est situé sur la médiatrice du segment

[A B]

$[AB]$

\begin{array}{rcl} E_{M} & = & 2 E_{A} \cos α \\ = & 2 k \frac{q}{A M^{2}} \cos α avec A M^{2} \\ = & d^{2} + x^{2} \cos α \\ = & \frac{d}{A M} \\ = & \frac{d}{\sqrt{d^{2} + x^{2}}} \vec{j} \end{array}

$\begin{array}{rcl} E_{M}&=&2E_{A}\cos\alpha\\&=&2k\dfrac{q}{AM^{2}}\cos\alpha\text{ avec }AM^{2}\\&=&d^{2}+x^{2}\cos\alpha\\&=&\dfrac{d}{AM}\\&=&\dfrac{d}{\sqrt{d^{2}+x^{2}}}\vec{j} \end{array}$

Exercice 11

1. Détermination des caractéristiques (valeur,) des champs électriques

{\vec{E}}_{B}

$\overrightarrow{E}_{B}$ et

{\vec{E}}_{C}

$\overrightarrow{E}_{C}$ crées par cette charge aux point

B

$B$ et

C .

$C.$

-

$-\$ Point d'application, direction et sens (voir figure)

-

$-\$ Intensité :

\begin{array}{rcl} E_{C} & = & E_{B} \\ = & k \frac{| Q |}{A C^{2}} \\ = & 9.0 \cdot 10^{9} \frac{| 40 \cdot 10^{- 9} |}{{({(2.0 \cdot 10^{- 2})}^{2} {(2.0 \cdot 10^{- 2})}^{2})}^{2}} \\ \Rightarrow E_{C} & = & E_{B} \\ = & 12.7 \cdot 10^{3} N \cdot C^{- 1} \end{array}

$\begin{array}{rcl} E_{C}&=&E_{B}\\&=&k\dfrac{|Q|}{AC^{2}}\\&=&9.0\cdot10^{9}\dfrac{\left|40\cdot10^{-9}\right|}{\left(\left(2.0\cdot10^{-2}\right)^{2} \left(2.0\cdot10^{-2}\right)^{2}\right)^{2}}\\\Rightarrow\;E_{C}&=&E_{B}\\&=&12.7\cdot10^{3}N\cdot C^{-1} \end{array}$

2. Représentation de ces champs (voir figure)

3. Représentation quelques lignes de champs autour du point

A

$A$

4.1 Détermination des caractéristique de la force électrique s'exerçant sur la charge.

-

$-\$ Point d'application, direction et sens (voir figure)

-

$-\$ Intensité :

\begin{array}{rcl} F_{A / C} & = & k \frac{| Q | | q |}{A C^{2}} \\ = & 9.0 \cdot 10^{9} \frac{| - 40 \cdot 10^{- 9} | | - 10 \cdot 10^{- 9} |}{{({(2.0 \cdot 10^{- 2})}^{2} + {(2.0 \cdot 10^{- 2})}^{2})}^{2}} \\ \Rightarrow F_{A / C} & = & 12.7 \cdot 10^{- 5} N \end{array}

$\begin{array}{rcl} F_{A/C}&=&k\dfrac{|Q||q|}{AC^{2}}\\&=&9.0\cdot10^{9}\dfrac{\left|-40\cdot10^{-9}\right|\left|-10\cdot10^{-9}\right|}{\left(\left(2.0\cdot10^{-2}\right)^{2}+\left(2.0\cdot10^{-2}\right)^{2}\right)^{2}}\\\Rightarrow\;F_{A/C}&=&12.7\cdot10^{-5}N \end{array}$

4.2 Représentation de cette force (voir figure)

4.3 Représentation de la force électrique qui s'exerce sur la charge