Solutions exercices : Ordre dans R Intervalles et Calculs approchés - 2nd

a) $x^{2}=45\ $ et $\ y^{2}=442\ $ donc $x>y$ (puisque $x$ et $y$ sont positifs)

 

b) $x^{2}-y^{2}=12\sqrt{2}-4\sqrt{13}$. Posons $a=12\sqrt{2}$ et $b=4\sqrt{13}$, 

 

on a $a^{2}=288$ et $b^{2}=208$, d'où $a^{2}>b^{2}$ et par suite $a>b$ et $x^{2}>y^{2}$,

 

enfin $x>y$ (car $x$ et $y$ sont tous positifs)

 

c) $x^{2}-y^{2}=(13+2\sqrt{40})-(13+2\sqrt{42})=2(sqrt{40}-\sqrt{42})<0$

 

Par conséquent $x<y$

 

d) $\sqrt{7}<\sqrt{11}$, donc (en ajoutant $2\sqrt{3}$ aux deux membres),

 

$\sqrt{7}+2\sqrt{3}<\sqrt{11}+2\sqrt{3}$

 

Par conséquent $x<y$

 

e) On a $$\begin{array}{rcl}x-y=1+2(\sqrt{3}-\sqrt{5})& =& x-y=1-2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\\ & =& 1-2{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}\\ & =& 1-{\displaystyle \frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}\end{array}$$

Posons alors $a=4$ et $b=\sqrt{5}+\sqrt{3}\;,\ a^{2}-b^{2}=8-2\sqrt{15}$

 

Posons enfin $a'=8$ et $b'=2\sqrt{15}$. On a $a'^{2}-b'^{2}=64-60=4>0.$ 

 

Puisque $a\;,\ b\;,\ a'$ et $b'$ sont tous positifs, il en résulte successivement : $$\begin{array}{rcl}{a}^{\prime }>b^{\prime }& \Rightarrow & a^2-b^2>0\\ & \Rightarrow & a>b\\ & \Rightarrow & {\displaystyle \frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}>1\\ & \Rightarrow & (x-y)<0\end{array}$$

Finalement, on a $x<y.$

 

f) On a $x^{2}=12+2\sqrt{35}\ $ et $\ y^{2}=12+2\sqrt{35}$

 

Donc, $x^{2}=y^{2}$ et comme $x$ et $y$ sont tous deux positifs, il en résulte que $x=y.$

 

g) On a $\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{7+4\sqrt{3}}7$ et $\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{7+5\sqrt{2}}.$ Or, $(4\sqrt{3})^{2}=49$ et $(5\sqrt{2})^{2}=50$, 

donc $4\sqrt{3}<5\sqrt{2}\ \Rightarrow\ 7+4\sqrt{3}<7+5\sqrt{2}.$

 

Puisque deux nombres positifs sont rangés dans l'ordre contraire de leurs inverses, il en résulte que : $\dfrac{1}{7+4\sqrt{3}}7>\dfrac{1}{7+5\sqrt{2}}$, c'est-à-dire que $\dfrac{1}{x}>\dfrac{1}{y}$ et par une nouvelle application de la règle de rangement des inverses de nombres positifs, on conclut que : $x<y.$

 

h) On a $x^{2}-y^{2}=49(5+2\sqrt{6})-484=98\sqrt{6}-239$

 

On a $(98\sqrt{6})^{2}=57624\ $ et $\ (239)^{2}=57121.$ 

 

Donc $x^{2}>y^{2}$, car $x$ et $y$ sont positifs. 

 

i) On a $x^{2}=y^{2}=8-2\sqrt{15}$, d'où : $x=y$ (car $x$ et $y$ sont évidemment positifs).

 

j) On a $x^{2}=\dfrac{2}{9}+3+\dfrac{2\sqrt{6}}{3}=\dfrac{29}{9}+\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\ $ et $\ y^{2}=\dfrac{6}{4}+1+\sqrt{6}=\dfrac{5}{2}+\sqrt{6}$

 

Par conséquent : $x^{2}-y^{2}=\dfrac{13}{18}-\dfrac{\sqrt{6}}{3}=\dfrac{13-6\sqrt{6}}{18}$

 

Or $13^{2}=169\ $ et $\ (\sqrt{6})^{2}=216$,

 

donc $13<6\sqrt{6}$, d'où $x^{2}<y^{2}$ et par suite $x<y$, car $x$ et $y$ sont positifs.

 

k) En utilisant les expressions conjuguées des dénominateurs, on trouve que : $x=\sqrt{6}+\sqrt{5}\ $ et $\ y=\sqrt{5}+\sqrt{6}$, d'où $x=y$

a) $x^{2}=4\;;\ x=2\ $ car $x$ est positif. 

 

b) $x^{2}=4\;;\ x=-2\ $ car $x$ est négatif. 

 

c) $x^{2}=4\;;\ x=2\ $ car $x$ est positif. 

 

d) $x^{2}=8\;;\ x=2\sqrt{2}\ $ car $x$ est positif.

 

d) $x^{2}=12\;;\ x=-2\sqrt{3}\ $ car $x$ est négatif.

1) Si $x\leq 1\;$, alors $2x\leq 2$ 

 

si $x\geq -1\;,$ alors $2x\geq -2$

 

2) Si $x\leq 4\;$, alors $-\dfrac{x}{2}\geq -2$

 

si $x\geq -4\;,$ alors $-\dfrac{x}{2}\leq 2$

 

3) Si $x\leq \sqrt{2}\;$, alors $x+1\leq 1+\sqrt{2}$

 

si $x\geq -\sqrt{2}\;,$ alors $x-1\geq -\sqrt{2}-1$

 

4) Si $-1\leq x\leq 2\;$, alors $-3\leq 3x\leq 6$

 

si $\sqrt{2}\leq x\geq 1\;,$ alors $1+\sqrt{2}\leq x-1\leq 0$

 

5) Si $-1\leq x\leq 0\;$, alors $0\leq x+1\leq 1$

 

si $-\sqrt{2}\leq x\geq 1\;,$ alors $-1-\sqrt{2}\leq x-1\leq 0$

 

6) Si $x\leq 1\;$, alors $-2x+1\geq 0$

 

si $x\geq -1\;,$ alors $-\dfrac{x}{2}+3\leq\dfrac{7}{2}$

 

7) Si $-1\leq x$ et $2\leq y\;$, alors $x+y\geq 1$

 

si $1\geq x$ et $-1\leq y\;,$ alors $x-y\leq 2$

 

8) Si $x\geq 1\;$, alors $\dfrac{1}{x}\leq 1$

 

si $x\leq -2\;,$ alors $\dfrac{3}{x}\geq -\dfrac{3}{2}$

 

9) Si $x\geq\sqrt{2}\;$, alors $-\dfrac{\sqrt{2}}{x}\geq -1$

 

si $x\leq -1\;,$ alors $-\dfrac{\sqrt{3}}{x}\leq\sqrt{3}$

 

10) Si $x\geq 1$ et $y\geq 2\;$, alors $\dfrac{1}{3}\geq\dfrac{1}{x+y}$

 

si $x\leq -1$ et $y\leq -\sqrt{2}\;,$ alors $\dfrac{-2}{x+y}\leq 2(\sqrt{2}-1)$

 

11) Si $x\geq 4$ et $y\geq\sqrt{2}\;$, alors $xy\geq 4\sqrt{2}$

 

si $x\leq -2$ et $y\leq -3\;,$ alors $xy\geq 6$

 

12) Si $x>1\;$, alors $x^{2}>x.$ (Multiplier les 2 membres par $x>0).$

 

13) Si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $-1\leq a\leq 1$ et $-1\leq b\leq 1\;,$ on a $|a|\leq 1\ $ et $\ |b|\leq 1$, d'où $|ab|\leq 1$ c'est-à-dire $-1\leq ab\leq 1.$

 

14) $$\begin{array}{rcl}-1\le a\le 1& \iff & |a|\le 1\\ & \iff & |a{|}^2\le 1(\text{inégalité entre deux nombres positifs})\\ & \iff & a^2\le 1\end{array}$$ 

1) En multipliant les 3 membres de la double inégalité $0<a<1$ par $a$, on obtient : $0<a^{2}<a<1.$

 

Deux nombres positifs étant rangés dans le même ordre que leurs racines carrées, on a, toujours d'après cette double inégalité, $\sqrt{a}<1$, d'où en multipliant les 2 membres de cette inégalité par $\sqrt{a}>0\;,\ a<\sqrt{a}.$

 

Enfin, on a : $a<1$, d'où (2 nombres positifs étant dans l'ordre contraire de leurs inverses) $\dfrac{1}{a}>1$, donc évidemment $a<\dfrac{1}{a}.$

 

En résumé, on a dans ce cas : $0<a^{2}<a<\sqrt{a}<1<\dfrac{1}{a}.$

 

2) Dans le cas où $a>1$, on obtient en raisonnant de façon analogue : $0<\dfrac{1}{a}<1<\sqrt{a}<a<a^{2}$

1) $17.3\leq a\leq 17.4\quad(1)\quad$ et $\quad 21.9\leq b\leq 22\quad(2)$

 

$\star\ $ Encadrement de $a+b$

 

Ajoutons membre à membre (ce qu'on a toujours le droit de faire) (1) et (2) pour obtenir : $$39.2\le a+b\le 39.4(3)$$

$\star\ $ Encadrement de $a-b$

 

Multipliant (2) par (-1), on obtient : $-22\leq -b\leq -21.9\quad(4).$

 

Ajoutons membre à membre (1) et (4) : $17.3-22\leq a-b\leq 17.4-21.9$ Soit : $$-4.7\le a-b\le 4.5(5)$$

N.B. Ici, il ne faut surtout pas soustraire membre à membre (1) et (2) !

 

$\star\ $ Encadrement de $ab$

 

Multiplions membre à membre (1) et (2) (on en a le droit car $a$ et $b$ sont tous deux encadrés par des nombres positifs) : $17.3\times 21.9\leq ab\leq 17.4\times 22$ soit : $$378.87\le ab\le 382.8(6)$$

$\star\ $ Encadrement de $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$.

 

Encadrons $\dfrac{1}{a}$ et $\dfrac{1}{b}$ à l'aide de (1) et (2) respectivement. Deux nombres positifs étant rangés dans l'ordre contraire de leurs inverses, ces inégalités entraînent : $\dfrac{1}{17.4}\leq\dfrac{1}{a}\leq\dfrac{1}{17.3}\quad(7)$ et $\dfrac{1}{22}\leq\dfrac{1}{b}\leq\dfrac{1}{21.9}\quad(8).$ 

 

Multiplions la relation (8) par -1 : $-\dfrac{1}{22}\geq -\dfrac{1}{b}\geq -\dfrac{1}{21.9}$, soit en réécrivant dans l'ordre habituel : $-\dfrac{1}{21.9}\leq -\dfrac{1}{b}\leq -\dfrac{1}{22}\quad(9).$

 

Ajoutons membre à membre (7) et (9). Il vient : 

 

$\dfrac{1}{17.4}-\dfrac{1}{21.9}\leq\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\leq\dfrac{1}{17.3}-\dfrac{1}{22}$, soit approximativement : $$0.0118\le {\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}}\le 0.0123(10)$$ 

Encadrons $\dfrac{1}{ab}$ à l'aide de (6). Deux nombres positifs étant rangés dans l'ordre contraire de leurs inverses, cette double inégalité entraîne : $\dfrac{1}{17.4\times 22}\leq\dfrac{1}{ab}\leq\dfrac{1}{17.3}\times 21.9$, soit $0.00261\leq\dfrac{1}{ab}\leq 0.00263\quad(11).$

 

Multiplions la relation (5) par -1 : $4.5\leq b-a\leq 4.7\quad(12).$

 

Multiplions alors membre à membre (11) et (12) pour obtenir : 

 

$4.5\times 0.00261\leq\dfrac{b-a}{ab}\leq 4.7\times 0.00263$, soit encore : $$0.0117\le {\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}}\le 0.0123(10)$$ 

 

2) $-3.4\leq a\leq -3.3\quad(13)\quad$ et $\quad 37.5\leq b\leq 37.6\quad(14)$

 

$\star\ $ Encadrement de $a+b$ 

 

Ajoutons membre à membre (13) et (14) pour obtenir : 

 

$37.5-3.4\leq a+b\leq 37.6-3.3$

 

Soit : $$34.1\le a+b\le 34.3(15)$$

 

$\star\ $ Encadrement de $a-b$ 

 

Multipliant (14) par (-1), on obtient : $-37.6\leq -b\leq -37.5\quad(16).$

 

Ajoutons membre à membre (13) et (16) : $-3.4-37.6\leq a-b\leq -3.3-37.5$

 

Soit : $$-41\le a-b\le -40.8(17)$$

 

N.B. Ici encore, il ne faut surtout pas soustraire membre à membre (13) et (14) !

 

$\star\ $ Encadrement de $ab$ 

 

Attention : On n'a pas le droit de multiplier membre à membre (13) et (14) (car $a$ et $b$ ne sont pas tous deux encadrés par des nombres positifs) :

 

Encadrons $(-a)$ à l'aide de (13) : $3.3\leq(-a)\leq 3.4\quad(18).$

 

Multiplions membre à membre (18) et (14) : 

 

$3.3\times 37.5\leq (-ab)\leq 3.4\times 37.6\ \Leftrightarrow\ 123.75\leq -ab\leq 127.84$

 

D'où par une nouvelle multiplication par (-1) : $$-127.84\le ab\le -123.75(19)$$

 

$\star\ $ Encadrement de $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}.$

 

Encadrons $\dfrac{1}{a}$ et $\dfrac{1}{b}$ à l'aide de (18) et (14) respectivement. Deux nombres positifs étant rangés dans l'ordre contraire de leurs inverses, ces inégalités entraînent : $\dfrac{1}{3.4}\leq\dfrac{1}{-a}\leq\dfrac{1}{3.3}\quad(20)$ et $\dfrac{1}{37.6}\leq\dfrac{1}{b}\leq\dfrac{1}{37.5}\quad(21).$

 

Multiplions les relations (20) et (21) par -1 :

 

$-\dfrac{1}{3.4}\geq\dfrac{1}{a}\geq -\dfrac{1}{3.3}$ soit $-\dfrac{1}{3.3}\leq\dfrac{1}{a}\leq -\dfrac{1}{3.4}\quad(22).$

 

Et : $-\dfrac{1}{37.6}\geq -\dfrac{1}{b}\geq -\dfrac{1}{37.5}$ soit $-\dfrac{1}{37.5}\leq -\dfrac{1}{b}\leq -\dfrac{1}{37.6}\quad(23).$ 

 

Ajoutons membre à membre (22) et (23). Il vient : 

 

$-\dfrac{1}{3.3}-\dfrac{1}{37.5}\leq\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\leq -\dfrac{1}{3.4}-\dfrac{1}{37.6}\quad(23)$, soit approximativement : $$0.33\le {\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}}\le -0.32(24)$$

Encadrons $(-ab)$ à l'aide de (19) : $123.75\leq -ab\leq 127.84.$

 

Deux nombres positifs étant rangés dans l'ordre contraire de leurs inverses, cette double inégalité entraîne : $${\displaystyle \frac{1}{123.75}}\le -{\displaystyle \frac{1}{ab}}\le {\displaystyle \frac{1}{127.84}}(25)$$

D'autre part, multiplions la relation (17) par -1 : $40.8\leq b-a\leq 41\quad(26).$

 

Multiplions alors membre à membre (25) et (26) pour obtenir : 

 

$\dfrac{40.8}{123.75}\leq\dfrac{a-b}{ab}\leq\dfrac{41}{127.84}$, soit par une nouvelle multiplication par (-1) :

 

$-\dfrac{41}{127.84}\leq\dfrac{b-a}{ab}\leq -\dfrac{40.8}{123.75}$ c'est-à-dire encore : $$-0.33\le {\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}}\le -0.32(24)$$

 

3) $-0.6\leq a\leq -0.5\quad(27)\quad$ et $\quad -39.4\leq b\leq -39.3\quad(28)$

 

$\star\ $ Encadrement de $a+b$

 

Ajoutons membre à membre (27) et (28) pour obtenir : 

 

$-0.6-39.4\leq a+b\leq -0.5-39.3$ Soit : $$-40\le a+b\le -39.8(29)$$

 

$\star\ $ Encadrement de $a-b$

 

Multipliant (28) par (-1), on obtient : $39.3\leq -b\leq 39.4\quad(30).$

 

Ajoutons membre à membre (27) et (30) : 

 

$-0.6+39.3\leq a-b\leq -0.5+39.4$ Soit : $$38.7\le a-b\le 38.9(31)$$

 

N.B. Ici, on n'a évidemment pas le droit de soustraire membre à membre (27) et (28) !

 

$\star\ $ Encadrement de $ab$

 

On n'a pas le droit de multiplier membre à membre (27) et (14) (car a et b sont tous deux encadrés par des nombres négatifs) :

 

On multiplie d'abord (27) et (28) par (-1) pour obtenir :

 

$0.5\leq -a\leq 0.6\quad(32)$ et $39.3\leq -b\leq 39.4\quad(33).$

 

Multiplions membre à membre (32) et (33) : $$19.65\le ab\le 23.64(34)$$

$\star\ $ Encadrement de $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}.$

 

Encadrons $-\dfrac{1}{a}$ et $-\dfrac{1}{b}$ à l'aide de (32) et (33) respectivement. Deux nombres positifs étant rangés dans l'ordre contraire de leurs inverses, ces inégalités entraînent : 

 

$\dfrac{1}{0.6}\leq\dfrac{1}{-a}\leq\dfrac{1}{0.5}\quad(35)$ et $\dfrac{1}{39.4}\leq -\dfrac{1}{b}\leq\dfrac{1}{39.3}\quad(36).$

 

Multiplions la relation (35) par -1 :

 

$-\dfrac{1}{0.6}\geq\dfrac{1}{a}\geq -\dfrac{1}{0.5}$ soit $-\dfrac{1}{0.5}\leq\dfrac{1}{a}\leq -\dfrac{1}{0.6}\quad(37).$

 

Ajoutons membre à membre (36) et (37). Il vient : 

 

$-\dfrac{1}{0.5}+\dfrac{1}{39.4}\leq\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\leq -\dfrac{1}{0.6}+\dfrac{1}{39.3}$, soit approximativement : $$-1.97\le {\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}}\le -1.64(38)$$

On avait déjà un encadrement de $ab$ grâce à (34). On en déduit en passant aux inverses : $${\displaystyle \frac{1}{23.64}}\le {\displaystyle \frac{1}{ab}}\le {\displaystyle \frac{1}{19.65}}(39)$$ 

Multiplions membre à membre (31) et (39) : 

 

$\dfrac{38.7}{23.64}\leq\dfrac{a-b}{ab}\leq\dfrac{38.9}{19.65}$ soit approximativement : 

 

$1.637\leq\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}\leq 1.979$, puis par une nouvelle multiplication par (-1): 

 

$-1.979\leq\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\leq -1.637$ (encadrement très voisin de (38).

 

4) $-6\;10^{-5}\leq a\leq -5\;10^{-5}\quad(40)\quad$ et $\quad 3\;10^{-3}\leq b\leq 4\;10^{-3}\quad(41)$

 

$\star\ $ Encadrement de $a+b$

 

Ajoutons membre à membre (40) et (41) pour obtenir : 

 

$-6\;10^{-5}+3\;10^{-3}\leq a+b\leq -5\;10^{-5}+4\;10^{-3}$ Soit : $$0.00294\le a+b\le 0.007(42)$$

$\star\ $ Encadrement de $a-b$ On multiplie (41) par (-1) et on ajoute l'encadrement obtenu à (40).

 

On trouve : $$-0.00406\le a-b\le -0.00305(43)$$

$\star\ $ Encadrement de $ab$

 

On multiplie (40) par (-1) et on multiplie l'encadrement obtenu avec (41) membre à membre. On trouve alors : 

 

$15\;10^{-8}\leq -ab\leq 24\;10^{-8}$, soit par une nouvelle multiplication par (-1) : $$-24{10}^{-8}\le ab\le -15{10}^{-8}(44)$$

$\star\ $ Encadrement de $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}.$

On multiplie (40) par (-1) et on passe aux inverses, ce qui donne :

 

$\dfrac{1}{6}\;10^{5}\leq -\dfrac{1}{a}\leq\dfrac{1}{5}\;10^{5}\quad(45)$

 

Ensuite, on passe aux inverses dans (41) : $\dfrac{1}{4}\;10^{3}\leq \dfrac{1}{b}\leq\dfrac{1}{3}\;10^{3}\quad(46)$ 

 

Puis on multiplie chacun des encadrements (45) et (46) par (-1) et on additionne membre à membre les encadrements obtenus pour obtenir finalement : $-\dfrac{61}{3}\;10^{3}\leq\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\leq -\dfrac{50.75}{3}\;10^{3}$

 

Ou encore $$-2033.33\le {\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}}\le -1691.67(47)$$

1) On trouve :

$1.5\leq-2a+5\leq 1.54$ ;    
$\quad$
$2.1316\leq b^{2}\leq 2.25$ ;
$\quad$
$3.6316\leq b^{2}-2a+5\leq 3.79$ ;
$\quad$ 
$0.23\leq a-b\leq 0.29$ ;  
$\quad$
$1.153\leq\dfrac{a}{b}\leq 1.197$
$\quad$
$5.4095\leq a^{2}+2\sqrt{b}\leq 5.5120$
$\quad$ 
2) $1^{er}$ cas :
$$\{\begin{array}{lllll}4& \le & a& \le & 4.1\\ -0.5& \le & b& \le & 0\end{array}$$
$$\Rightarrow \{\begin{array}{lllll}4& \le & a& \le & 4.1\\ 0& \le & -b& \le & 0.5\end{array}$$
 
On a alors en multipliant membre à membre :

$0\leq-ab\leq 2.05$ soit :
$$-2.05\le ab\ge 0(1)$$
 
$2^{ème}$ cas :
$$\{\begin{array}{lllll}4& \le & a& \le & 4.1\\ 0& \le & b& \le & 0.3\end{array}$$

On a alors en multipliant membre à membre :

$0\leq ab\leq 1.23\quad(2)$

D'après $(1)$  et  $(2)$, l'encadrement de $ab$ est : $$-2.05\le ab\le 1.23$$

1) Pour tous réels $x$ et $y$, on a :

$(x-y)^{2}\geq 0$ (un carré est toujours positif), soit : $$x^2-2xy+y^2\ge 0$$
ou encore : $$x^2+y^2\ge 2xy(1).$$

Les deux membres de $(1)$ étant non nuls et positifs d'après l'hypothèse
$x>0$ et $y>0$
 
On a en passant aux inverses : $${\displaystyle \frac{1}{x^2+y^2}}\le {\displaystyle \frac{1}{2xy}}(1)$$

2) a) Multiplions les deux membres de $(1)$ par $(x+y)$ qui est strictement positif par hypothèse, on obtient :
$${\displaystyle \frac{x+y}{x^2+y^2}}\le {\displaystyle \frac{x+y}{2xy}}$$, ce qui s'écrit :  
$${\displaystyle \frac{x+y}{x^2+y^2}}\le {\displaystyle \frac{x}{2xy}}+{\displaystyle \frac{y}{2xy}}\iff {\displaystyle \frac{x+y}{x^2+y^2}}\le {\displaystyle \frac{1}{2y}}+{\displaystyle \frac{1}{2x}}$$

ou encore : $${\displaystyle \frac{x+y}{x^2+y^2}}\le {\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}})(2).$$
 
b) En appliquant l'inégalité du $(1)$ à $y$ et $z$, puis à $x$ et $z$, on obtient :
$${\displaystyle \frac{y+z}{y^2+z^2}}\le {\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}})(3)$$
$${\displaystyle \frac{x+z}{x^2+z^2}}\le {\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{z}})(4)$$

En ajoutant membre à membre $(2)$, $(3)$ et $(4)$, on a alors :
$${\displaystyle \frac{x+y}{x^2+y^2}}+{\displaystyle \frac{y+z}{y^2+z^2}}+{\displaystyle \frac{x+z}{x^2+z^2}}\le {\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{z}})$$

soit :
$${\displaystyle \frac{x+y}{x^2+y^2}}+{\displaystyle \frac{y+z}{y^2+z^2}}+{\displaystyle \frac{x+z}{x^2+z^2}}\le {\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{y}}+{\displaystyle \frac{2}{z}})$$,

ou encore :   
$${\displaystyle \frac{x+y}{x^2+y^2}}+{\displaystyle \frac{y+z}{y^2+z^2}}+{\displaystyle \frac{x+z}{x^2+z^2}}\le {\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}$$

1) $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$  

2) $$\begin{array}{rcl}{\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)}^3-{\displaystyle \frac{a^3+b^3}{2}}& =& {\displaystyle \frac{a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3-4(a^3+b^3)}{8}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-3a^3+3a^{2}b+3a{b}^2-3b^3}{8}}\\ & =& -{\displaystyle \frac{3}{8}}[a^2(a-b)-b^2(a-b)]\\ & =& -{\displaystyle \frac{3}{8}}[(a-b)(a^2-b^2)]\\ & =& -{\displaystyle \frac{3}{8}}[(a-b{)}^2(a+b)]\le 0\end{array}$$

On en conclut que :
$${\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)}^3\le {\displaystyle \frac{a^3+b^3}{2}}.$$

On a en utilisant les expressions conjuguées :

$$A={\displaystyle \frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}\text{et}B={\displaystyle \frac{a-b}{\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}}}$$
 
On a $a>a-1$, donc $\sqrt{a}>\sqrt{a-1}\quad (1)$  et  $b>b-1$, donc $\sqrt{b}>\sqrt{b-1}\quad (2)$ (deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées).

En additionnant membre à membre ces deux inégalités, on obtient :
$$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1},$$
d'où en passant aux inverses :  
$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}}}.(3)$$
 
D'autre part,  les inégalités $a>b>1$ entraînent :  $a-b>0.$
 
En multipliant les deux membres de $(3)$ par $a-b$,
 
on voit facilement que : $A<B.$

1) Facile, développer $(a+b+c)(a+b+c)$ en regroupant les termes de même nature.
 
2) $(a-b)^{2}+( b-c)^{2}+(c-a)^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-ac).$

Le premier membre étant positif, puisqu'il est la somme de trois carrés, il en résulte que le second membre l'est aussi, donc sa moitié,  et par suite : 
$$a^2+b^2+c^2-ab-ac-ac\ge 0{(}^{\ast }).$$

L'inégalité précédente devient une égalité lorsque le premier membre est nul, c'est-à-dire lorsque chacun des termes $(a-b)^{2}\;,\ (b-c)^{2}\;,\ (c-a)^{2}$ est nul $($la somme de $3$ réels positifs ne peut être nulle que si chacun de ces réels est nul$)$, en d'autres termes lorsque $a=b=c.$

Ce sont donc les triplets du type $(a\;,\ a\;,\ a).$
 
3) Les réels $\dfrac{|a+b+c|}{\sqrt{3}}$ et $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ étant positifs, l'inégalité :  
$${\displaystyle \frac{|a+b+c|}{\sqrt{3}}}\ge \sqrt{a^2+b^2+c^2}{(}^{\ast \ast })$$ est équivalente à : $${\left({\displaystyle \frac{|a+b+c|}{\sqrt{3}}}\right)}^2\le {\left(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\right)}^2,$$ soit à :
$${\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}{3}}\le a^2+b^2+c^2,$$
 
ou encore, en multipliant les $2$ membres par $3$ et en transposant dans le membre de droite, à :  
$$2(a^2+a^2+c^2-ab-ac-bc)\ge 0$$, ce qui est vrai d'après l'inégalité$\quad(^{\ast}).$
 
Il y a égalité s'il y a égalité dans$\quad (^{\ast})$, c'est-à-dire si $a=b=c.$
 
4) Appliquons l'inégalité $({^\ast\ast})$ en remplaçant $a\;,\ b$ et $c$ par $\sqrt{a}\;,\ \sqrt{b}$ et $\sqrt{c}$ respectivement.

On obtient :  
$${\displaystyle \frac{|\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}|}{\sqrt{3}}}\le \sqrt{a+b+c}\iff {\displaystyle \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{3}}}\le \sqrt{a+b+c}$$
 
$($car $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ est positif, donc égal à sa
valeur absolue$).$

Multiplions alors les $2$ membres de cette dernière inégalité par $\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$

On a ainsi :

1) a) On a par hypothèse : $0<a\leq 1\quad  (1)\;,\ 0< b\leq 1\quad  (2)\quad\text{et}\quad 0<c\leq 1\quad  (3).$

Par multiplication membre à membre des inégalités $(1)$ et $(2)$, (ce qui est permis puisque tous les membres sont positifs ou nuls), on obtient :
$$0<ab\le 1(4).$$

De même, en multipliant membre à membre $(1)$ et $(3)$, puis $(2)$ et $(3)$, on obtient :  
$$0<ac\le 1(5).$$

et :

$$0<bc\le 1(6).$$

De $(4)$, $(5)$ et $(6)$, on déduit que : $$(ab-1)\le 0,(ac-1)\le 0\text{et}(bc-1)\le 0.$$

Le produit de $3$ réels négatifs étant négatifs, on en déduit qu'on a bien :
$$(ab-1)(bc-1)(ca-1)\le 0(7)$$

b) En développant le premier membre de $(7)$, on obtient (après regroupement) :
$$a^2{b}^2{c}^2-a^{2}bc-a{b}^{2}c-ab{c}^2+ab+ac+bc-1\le 0(8).$$

$a\;,\ b$ et $c$ étant strictement positifs par hypothèse, on peut diviser les deux membres de $(8)$ par $\dfrac{1}{abc}$ qui est $>0$, pour obtenir :  
$$abc-a-b-c+{\displaystyle \frac{1}{c}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{abc}}\le 0,$$

soit, en transposant les termes précédés du signe $-$ :     
$$abc+{\displaystyle \frac{1}{c}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{a}}\le a+b+c+{\displaystyle \frac{1}{abc}},$$

ce qui est équivalent à l'inégalité à démontrer.

2) a) Première méthode : Les inégalités $0<x\leq y\leq z\leq t$ impliquent que les réels $\dfrac{x}{y}\;,\ \dfrac{y}{z}\;,\ \dfrac{z}{t}$ et $\dfrac{t}{x}$, $($qui existent, puisque par hypothèse $x\;,\ y\;,\ z$ et $t$ sont tous strictement positifs$)$, sont tous inférieurs ou égaux à $1.$

En effet, $x\leq y\Rightarrow\dfrac{x}{y}\leq 1$ $\left(\text{multiplication des }2\text{ membres par }\dfrac{1}{y}>0\right).$

Et de même : $$y\le z\Rightarrow {\displaystyle \frac{y}{z}}\le 1\text{et}z\ge t\Rightarrow {\displaystyle \frac{z}{t}}\ge 1.$$

En résumé, on a : $$0<{\displaystyle \frac{x}{y}}\le 1;0<{\displaystyle \frac{y}{z}}\le 1;0<{\displaystyle \frac{z}{t}}\le 1.$$

En posant $a=\dfrac{x}{y}\;,\ b=\dfrac{y}{z}\text{ et }c=\dfrac{z}{t}$, on peut donc légitimement appliquer à $a\;,\ b$ et $c$ l'inégalité du 1) b), ce qui donne $\left(\text{avec }abc=\dfrac{xyz}{yzt}=\dfrac{x}{t}\right)$ :
$${\displaystyle \frac{x}{y}}+{\displaystyle \frac{y}{z}}+{\displaystyle \frac{z}{t}}+{\displaystyle \frac{t}{x}}\ge {\displaystyle \frac{y}{x}}+{\displaystyle \frac{z}{y}}+{\displaystyle \frac{t}{z}}+{\displaystyle \frac{x}{t}}C.Q.F.D.$$

a) Deuxième méthode :

Les inégalités $0<x\leq y\leq z\leq t$  impliquent en particulier que : $z\geq x$, donc $(z-x)\geq 0$, que $t\geq  y$, donc que $(t-y) \geq 0$, et que : $$\{\begin{array}{lcl}y& \ge & x\\ t& \ge & 0\end{array}$$ ce qui entraîne par multiplication membre à membre :

$$yt-xz\ge 0.$$
    
Ainsi, chacun des facteurs du produit $(z-x)(t-z)(yt-xz)$ est positif et, par conséquent, il en est de même de celui-ci.
    
Développons alors le premier membre de l'inégalité :  
$$(z-x)(t-z)(yt-xz)\ge 0.$$
    
On obtient après regroupement :
$$t{x}^{2}z+tx{y}^2+xy{z}^2+t^{2}yz-x^{2}yz-t^{2}xy-tx{z}^2-t{y}^{2}z\ge 0,$$
    
soit après transposition des termes précédés du signe $-$ et division par $xyzt$ des deux membres :
$${\displaystyle \frac{x}{y}}+{\displaystyle \frac{y}{z}}+{\displaystyle \frac{z}{t}}+{\displaystyle \frac{t}{x}}\ge {\displaystyle \frac{y}{x}}+{\displaystyle \frac{z}{y}}+{\displaystyle \frac{t}{z}}+{\displaystyle \frac{x}{t}}C.Q.F.D.$$  

On a les $n$ inégalités :
    
$n+1\leq 2n\ ;\ n+2\leq 2n\ ;\ .............\ ;\ 2n-1\leq 2n$  et  $2n\leq 2n$, d'où  en passant aux inverses dans chacune d'entre elles les $n$ autres inégalités :
$${\displaystyle \frac{1}{n+1}}\ge {\displaystyle \frac{1}{2n}};{\displaystyle \frac{1}{n+2}}\ge {\displaystyle \frac{1}{2n}};.........;{\displaystyle \frac{1}{2n-1}}\ge {\displaystyle \frac{1}{2n}}$$ et enfin $\dfrac{1}{2n}\geq\dfrac{1}{2n}$ 
    
Ces dernières, ajoutées membre à membre, donnent :
$${\displaystyle \frac{1}{n+1}}+{\displaystyle \frac{1}{n+2}}+\dots +{\displaystyle \frac{1}{2n-1}}+{\displaystyle \frac{1}{2n}}\ge \underset{n\text{ fois}}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{2n}}+{\displaystyle \frac{1}{2n}}+\dots +{\displaystyle \frac{1}{2n}}}}$$ 
    
Soit : $\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{2n-1}+\dfrac{1}{2n}\geq n\times\dfrac{1}{2n}$, autrement dit :
    
$${\displaystyle \frac{1}{n+1}}+{\displaystyle \frac{1}{n+2}}+\dots +{\displaystyle \frac{1}{2n-1}}+{\displaystyle \frac{1}{2n}}\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}$$

On a : $X-Y=(a+b)(c+d)-(a+c)(b+d)=ac-ab+bd-cd$ (après développement et simplification)

$=a(c-b)+d(b-c)=(c-b)(a-d).$

Les hypothèses  $a<b<c<d$ entraînent que : $(c-b)\geq 0\quad\text{et}\quad(a-d)\leq 0$, donc $X\leq Y\quad (1).$

D'autre part, $Y-Z=(a+c)(b+d)-(a+d)(b+c)=ad-ac+bc-bd$ (toujours après développement et simplification), soit $Y-Z=(d-c)(a-b)$, quantité qui est négative d'après les hypothèses faites sur $a\;,\ b\;,\ c$ et $d.$

Ainsi, on a : $Y\leq Z\quad (2).$

Des inégalités $(1)$ et $(2)$, on conclut que : $X\leq Y\leq Z.$

1) On a : $a^{2}+b^{2}-2ab=(a-b)^{2}\geq 0$, donc $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$ pour tous réels $a$ et $b.$
    
2) On a d'après la question 1) :  $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$, d'où en multipliant les $2$ membres par $c>0$ :
$$(a^2+b^2)c\ge 2abc(1)$$

On obtient en appliquant $2$ autres fois 1) $($à $b$ et $c$, puis à $a$ et $c)$ :
$$(b^2+c^2)a\ge 2bca(2)$$
$$(c^2+a^2)b\ge 2cab(3)$$

En ajoutant membre à membre les inégalités $(1)$, $(2)$ et $(3)$, on a bien :
$$(a^2+b^2)c+(b^2+c^2)a+(c^2+a^2)b\ge 6abc.$$
    
3) $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}-{\displaystyle \frac{9}{a+b+c}}& =& {\displaystyle \frac{bc+ca+ab}{abc}}-{\displaystyle \frac{9}{a+b+c}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{(a+b+c)(bc+ca+ab)-9abc}{abc(a+b+c)}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{a^{2}b+a^{2}c+a{b}^2+a{c}^2+b^{2}c+b{c}^2-6abc}{abc(a+b+c)}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{(a^2+b^2)c+(b^2+c^2)a+(c^2+a^2)b-6abc}{abc(a+b+c)}}\end{array}$$

Or, le numérateur de cette expression est positif, d'après 2).

D'où le résultat.

1) On a : $x^{2}+1-2x=x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}\geq 0.$

D'où le résultat.

2) On applique $4$ fois le résultat du 1) $($à $a$, $b$, $c$ et $d)$ :
$$a^2+1\ge 2a(1);$$
$$b^2+1\ge 2b(2);$$
$$c^2+1\ge 2c(3);$$
$$d^2+1\ge 2d(4).$$

Puis on multiplie membre à membre ces $4$ inégalités, ce qui donne :
$$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)\ge 16abcd(5).$$

Enfin, on divise les $2$ membres de $(5)$ par $abcd$, qui est strictement positif par hypothèse, pour obtenir l'inégalité demandée.

1) Tout d'abord, on remarque que l'expression $E=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}$ est positive puisqu'elle est la somme de trois carrés.

En développant, on obtient :
$$E=(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2=2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac){(}^{\ast })$$

et puisque $E$ est positif, on en déduit que $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac$ est aussi positif, ce qui s'écrit :
$$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac.$$

On a l'égalité lorsque $E$ est nul, c'est-à-dire lorsque $a=b=c.$

2) Si $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$, l'inégalité du 1) s'écrit : $1\geq ab+bc+ac\quad (1).$

D'autre part, $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ac)$ est positif (puisque c’est un carré), donc $1+2(ab+bc+ac)\geq 0$, d'où :       
$$ab+bc+ac\ge -{\displaystyle \frac{1}{2}}(2)$$

Les inégalités $(1)$ et $(2)$ fournissent la double inégalité :   
$$-{\displaystyle \frac{-1}{2}}\le ab+bc+ac\le 1.$$

1) Le carré de $a=\sqrt{2n-1}\times \sqrt{2n+1}$ est $(2n-1)(2n+1)=4n^{2}-1$ et celui de $b=2n$ est $4n^{2}$, donc on a $a^{2}<b^{2}$ et puisque $a$ et $b$ sont évidemment positifs, on en déduit que : $a<b$

2) Multipliant les $2$ membres de l’inégalité $\sqrt{2n-1}\times\sqrt{2n+1}<2n$ par $\sqrt{2n-1}$ (qui est positif), on obtient : $$(2n-1)\sqrt{2n+1}\le 2n\sqrt{2n-1}.$$

Divisant les $2$ membres de cette dernière inégalité par $2n\sqrt{2n+1}$, on a : $${\displaystyle \frac{2n-1}{2n}}\le {\displaystyle \frac{\sqrt{2n-1}}{\sqrt{2n+1}}}$$

3) Appliquons $n$ fois l’inégalité obtenue au 2) en remplaçant $n$ successivement par $1\;,\ 2\;,\ 3\;,….n$ :  

$$\{\begin{array}{clr}{\displaystyle \frac{1}{2}}& \le & {\displaystyle \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}}\\ {\displaystyle \frac{3}{4}}& \le & {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}}\\ {\displaystyle \frac{5}{6}}& \le & {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}}\\ & \dots & \dots \\ & \dots & ..\\ {\displaystyle \frac{2n-3}{2n-2}}& \le & {\displaystyle \frac{\sqrt{2n-3}}{\sqrt{2n-1}}}\\ {\displaystyle \frac{2n-1}{2n}}& \le & {\displaystyle \frac{\sqrt{2n-1}}{\sqrt{2n+1}}}\end{array}$$
              
Par multiplication membre à membre de ces $n$ inégalités entre nombres positifs, on obtient :
$${\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{5}{6}}\times \dots ..\times {\displaystyle \frac{2n-3}{2n-2}}\times {\displaystyle \frac{2n-1}{2n}}\le {\displaystyle \frac{1}{\text{cancel}\sqrt{3}}}\times {\displaystyle \frac{\text{cancel}\sqrt{3}}{\text{cancel}\sqrt{5}}}\times {\displaystyle \frac{\text{cancel}\sqrt{5}}{\text{cancel}\sqrt{6}}}\times .....\times {\displaystyle \frac{\text{cancel}\sqrt{2n-3}}{\text{cancel}\sqrt{2n-1}}}\times {\displaystyle \frac{\text{cancel}\sqrt{2n-1}}{\sqrt{2n+1}}}$$
      
Puis après les simplifications symbolisées par les traits, on a bien :        
$${\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{5}{6}}\times \dots ..\times {\displaystyle \frac{2n-3}{2n-2}}\times {\displaystyle \frac{2n-1}{2n}}\le {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2n+1}}}.$$