Solutions exercices : Ordre dans R Intervalles et Calculs approchés - 2nd
Exercice 1
donc 4√3<5√2 ⇒ 7+4√3<7+5√2.
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Autre méthode :
Autre méthode :
Autre méthode :
On multiplie (40) par (-1) et on passe aux inverses, ce qui donne :
Exercice 6
1.5≤−2a+5≤1.54 ;
2.1316≤b2≤2.25 ;
3.6316≤b2−2a+5≤3.79 ;
0.23≤a−b≤0.29 ;
1.153≤ab≤1.197
5.4095≤a2+2√b≤5.5120
2) 1er cas :
{4≤a≤4.1−0.5≤b≤0
⇒{4≤a≤4.10≤−b≤0.5
On a alors en multipliant membre à membre :
0≤−ab≤2.05 soit :
−2.05≤ab≥0(1)
2ème cas :
{4≤a≤4.10≤b≤0.3
On a alors en multipliant membre à membre :
0≤ab≤1.23(2)
D'après (1) et (2), l'encadrement de ab est : −2.05≤ab≤1.23
Exercice 7
(x−y)2≥0 (un carré est toujours positif), soit : x2−2xy+y2≥0
ou encore : x2+y2≥2xy(1).
Les deux membres de (1) étant non nuls et positifs d'après l'hypothèse
x>0 et y>0
On a en passant aux inverses : 1x2+y2≤12xy(1)
2) a) Multiplions les deux membres de (1) par (x+y) qui est strictement positif par hypothèse, on obtient :
x+yx2+y2≤x+y2xy, ce qui s'écrit :
x+yx2+y2≤x2xy+y2xy⇔x+yx2+y2≤12y+12x
ou encore : x+yx2+y2≤12(1x+1y)(2).
b) En appliquant l'inégalité du (1) à y et z, puis à x et z, on obtient :
y+zy2+z2≤12(1y+1z)(3)
x+zx2+z2≤12(1x+1z)(4)
En ajoutant membre à membre (2), (3) et (4), on a alors :
x+yx2+y2+y+zy2+z2+x+zx2+z2≤12(1x+1y+1y+1z+1x+1z)
soit :
x+yx2+y2+y+zy2+z2+x+zx2+z2≤12(2x+2y+2z),
ou encore :
x+yx2+y2+y+zy2+z2+x+zx2+z2≤1x+1y+1z
Exercice 8
2) (a+b2)3−a3+b32=a3+3a2b+3ab2+b3−4(a3+b3)8=−3a3+3a2b+3ab2−3b38=−38[a2(a−b)−b2(a−b)]=−38[(a−b)(a2−b2)]=−38[(a−b)2(a+b)]≤0
On en conclut que :
(a+b2)3≤a3+b32.
Exercice 9
A=a−b√a+√betB=a−b√a−1+√b−1
On a a>a−1, donc √a>√a−1(1) et b>b−1, donc √b>√b−1(2) (deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées).
En additionnant membre à membre ces deux inégalités, on obtient :
√a+√b>√a−1+√b−1,
d'où en passant aux inverses :
1√a+√b<1√a−1+√b−1.(3)
D'autre part, les inégalités a>b>1 entraînent : a−b>0.
En multipliant les deux membres de (3) par a−b,
on voit facilement que : A<B.
Exercice 10
2) (a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=2(a2+b2+c2−ab−ac−ac).
Le premier membre étant positif, puisqu'il est la somme de trois carrés, il en résulte que le second membre l'est aussi, donc sa moitié, et par suite :
a2+b2+c2−ab−ac−ac≥0(∗).
L'inégalité précédente devient une égalité lorsque le premier membre est nul, c'est-à-dire lorsque chacun des termes (a−b)2, (b−c)2, (c−a)2 est nul (la somme de 3 réels positifs ne peut être nulle que si chacun de ces réels est nul), en d'autres termes lorsque a=b=c.
Ce sont donc les triplets du type (a, a, a).
3) Les réels |a+b+c|√3 et √a2+b2+c2 étant positifs, l'inégalité :
|a+b+c|√3≥√a2+b2+c2(∗∗) est équivalente à : (|a+b+c|√3)2≤(√a2+b2+c2)2, soit à :
a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc3≤a2+b2+c2,
ou encore, en multipliant les 2 membres par 3 et en transposant dans le membre de droite, à :
2(a2+a2+c2−ab−ac−bc)≥0, ce qui est vrai d'après l'inégalité(∗).
Il y a égalité s'il y a égalité dans(∗), c'est-à-dire si a=b=c.
4) Appliquons l'inégalité (∗∗) en remplaçant a, b et c par √a, √b et √c respectivement.
On obtient :
|√a+√b+√c|√3≤√a+b+c⇔√a+√b+√c√3≤√a+b+c
(car √a+√b+√c est positif, donc égal à sa
valeur absolue).
Multiplions alors les 2 membres de cette dernière inégalité par 1√3.
On a ainsi :
Exercice 11
Par multiplication membre à membre des inégalités (1) et (2), (ce qui est permis puisque tous les membres sont positifs ou nuls), on obtient :
0<ab≤1(4).
De même, en multipliant membre à membre (1) et (3), puis (2) et (3), on obtient :
0<ac≤1(5).
0<bc≤1(6).
De (4), (5) et (6), on déduit que : (ab−1)≤0, (ac−1)≤0et(bc−1)≤0.
Le produit de 3 réels négatifs étant négatifs, on en déduit qu'on a bien :
(ab−1)(bc−1)(ca−1)≤0(7)
b) En développant le premier membre de (7), on obtient (après regroupement) :
a2b2c2−a2bc−ab2c−abc2+ab+ac+bc−1≤0(8).
a, b et c étant strictement positifs par hypothèse, on peut diviser les deux membres de (8) par 1abc qui est >0, pour obtenir :
abc−a−b−c+1c+1b+1a−1abc≤0,
soit, en transposant les termes précédés du signe − :
abc+1c+1b+1a≤a+b+c+1abc,
ce qui est équivalent à l'inégalité à démontrer.
2) a) Première méthode : Les inégalités 0<x≤y≤z≤t impliquent que les réels xy, yz, zt et tx, (qui existent, puisque par hypothèse x, y, z et t sont tous strictement positifs), sont tous inférieurs ou égaux à 1.
En effet, x≤y⇒xy≤1 (multiplication des 2 membres par 1y>0).
Et de même : y≤z⇒yz≤1etz≥t⇒zt≥1.
En résumé, on a : 0<xy≤1 ; 0<yz≤1 ; 0<zt≤1.
En posant a=xy, b=yz et c=zt, on peut donc légitimement appliquer à a, b et c l'inégalité du 1) b), ce qui donne (avec abc=xyzyzt=xt) :
xy+yz+zt+tx≥yx+zy+tz+xtC.Q.F.D.
a) Deuxième méthode :
Les inégalités 0<x≤y≤z≤t impliquent en particulier que : z≥x, donc (z−x)≥0, que t≥y, donc que (t−y)≥0, et que : {y≥xt≥0 ce qui entraîne par multiplication membre à membre :
Ainsi, chacun des facteurs du produit (z−x)(t−z)(yt−xz) est positif et, par conséquent, il en est de même de celui-ci.
Développons alors le premier membre de l'inégalité :
(z−x)(t−z)(yt−xz)≥0.
On obtient après regroupement :
tx2z+txy2+xyz2+t2yz−x2yz−t2xy−txz2−ty2z≥0,
soit après transposition des termes précédés du signe − et division par xyzt des deux membres :
xy+yz+zt+tx≥yx+zy+tz+xtC.Q.F.D.
Exercice 12
n+1≤2n ; n+2≤2n ; ............. ; 2n−1≤2n et 2n≤2n, d'où en passant aux inverses dans chacune d'entre elles les n autres inégalités :
1n+1≥12n ; 1n+2≥12n ;......... ; 12n−1≥12n et enfin 12n≥12n
Ces dernières, ajoutées membre à membre, donnent :
1n+1+1n+2+…+12n−1+12n≥12n+12n+…+12n⏟n fois
Soit : 1n+1+1n+2+…+12n−1+12n≥n×12n, autrement dit :
1n+1+1n+2+…+12n−1+12n≥12
Exercice 13
On a alors :
x2+y2−120=x2+(1−2x4)2−120,
soit après réduction au même dénominateur :
x2+y2−120=100x2−20x+180=(10x−1)280.
Cette quantité étant toujours positive, on en conclut que :
x2+y2≥120
Exercice 14
On a :
a−b=2(x+y)−√2(1+x2+y2)2(1+x2+y2)=√2(√2x+√2−1−x2−y2)2(1+x2+y2)
Il s'agit de montrer que le numérateur de cette expression est négatif, car le dénominateur est visiblement positif.
Or, on a :
√2x√2y−1−x2−y2=−(x2+y2−√2x−√2y+1)=−[(x2−√2x)+(y2−√2y)+1]=−[(x−√22)2−12+(y−√22)2−12+1]=−[(x−√22)2+(y−√22)2]
Cette dernière expression est effectivement négative (opposé de la somme de deux carrés).
Il en résulte que a−b est négatif ou nul, d'où finalement a≤b.
Exercice 15
Il s'ensuit que (1+y)(1+x)≥0.
D'autre part, on a :
4+x+y+xy=3+1+x+y+xy=3+(1+y)+x+xy=3+(1+y)+x(1+y)=3+(1+y)(1+x)
Par conséquent : 4+x+y+xy≥3.
On peut alors passer aux inverses (puisqu'on a une inégalité entre deux nombres positifs) pour obtenir : 14+x+y+xy≤13.
Exercice 16
=a(c−b)+d(b−c)=(c−b)(a−d).
Les hypothèses a<b<c<d entraînent que : (c−b)≥0et(a−d)≤0, donc X≤Y(1).
D'autre part, Y−Z=(a+c)(b+d)−(a+d)(b+c)=ad−ac+bc−bd (toujours après développement et simplification), soit Y−Z=(d−c)(a−b), quantité qui est négative d'après les hypothèses faites sur a, b, c et d.
Ainsi, on a : Y≤Z(2).
Des inégalités (1) et (2), on conclut que : X≤Y≤Z.
Exercice 17
2) On a d'après la question 1) : a2+b2≥2ab, d'où en multipliant les 2 membres par c>0 :
(a2+b2)c≥2abc(1)
On obtient en appliquant 2 autres fois 1) (à b et c, puis à a et c) :
(b2+c2)a≥2bca(2)
(c2+a2)b≥2cab(3)
En ajoutant membre à membre les inégalités (1), (2) et (3), on a bien :
(a2+b2)c+(b2+c2)a+(c2+a2)b≥6abc.
3) 1a+1b+1c−9a+b+c=bc+ca+ababc−9a+b+c=(a+b+c)(bc+ca+ab)−9abcabc(a+b+c)=a2b+a2c+ab2+ac2+b2c+bc2−6abcabc(a+b+c)=(a2+b2)c+(b2+c2)a+(c2+a2)b−6abcabc(a+b+c)
Or, le numérateur de cette expression est positif, d'après 2).
D'où le résultat.
Exercice 18
D'où le résultat.
2) On applique 4 fois le résultat du 1) (à a, b, c et d) :
a2+1≥2a(1) ;
b2+1≥2b(2) ;
c2+1≥2c(3) ;
d2+1≥2d(4).
Puis on multiplie membre à membre ces 4 inégalités, ce qui donne :
(a2+1)(b2+1)(c2+1)(d2+1)≥16abcd(5).
Enfin, on divise les 2 membres de (5) par abcd, qui est strictement positif par hypothèse, pour obtenir l'inégalité demandée.
Exercice 19
En développant, on obtient :
E=(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=2(a2+b2+c2−ab−bc−ac)(∗)
et puisque E est positif, on en déduit que a2+b2+c2−ab−bc−ac est aussi positif, ce qui s'écrit :
a2+b2+c2≥ab+bc+ac.
On a l'égalité lorsque E est nul, c'est-à-dire lorsque a=b=c.
2) Si a2+b2+c2=1, l'inégalité du 1) s'écrit : 1≥ab+bc+ac(1).
D'autre part, (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac) est positif (puisque c’est un carré), donc 1+2(ab+bc+ac)≥0, d'où :
ab+bc+ac≥−12(2)
Les inégalités (1) et (2) fournissent la double inégalité :
−−12≤ab+bc+ac≤1.
Exercice 20
2) Multipliant les 2 membres de l’inégalité √2n−1×√2n+1<2n par √2n−1 (qui est positif), on obtient : (2n−1)√2n+1≤2n√2n−1.
Divisant les 2 membres de cette dernière inégalité par 2n√2n+1, on a : 2n−12n≤√2n−1√2n+1
3) Appliquons n fois l’inégalité obtenue au 2) en remplaçant n successivement par 1, 2, 3,….n :
{12≤√1√334≤√3√556≤√5√6………..2n−32n−2≤√2n−3√2n−12n−12n≤√2n−1√2n+1
Par multiplication membre à membre de ces n inégalités entre nombres positifs, on obtient :
\require{cancel} \dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{6}\times…..\times\dfrac{2n-3}{2n-2}\times\dfrac{2n-1}{2n}\leq\dfrac{1}{\cancel{\sqrt{3}}}\times \dfrac{\cancel{\sqrt{3}}}{\cancel{\sqrt{5}}}\times\dfrac{\cancel{\sqrt{5}}}{\cancel{\sqrt{6}}}\times.....\times\dfrac{\cancel{\sqrt{2n-3}}}{\cancel{\sqrt{2n-1}}}\times\dfrac{\cancel{\sqrt{2n-1}}}{\sqrt{2n+1}}
Puis après les simplifications symbolisées par les traits, on a bien :
\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{6}\times…..\times\dfrac{2n-3}{2n-2}\times\dfrac{2n-1}{2n}\leq\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}.
Commentaires
Ablaye fall (non vérifié)
mer, 11/07/2018 - 16:39
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Bon et encouragement
DioKhane (non vérifié)
jeu, 01/02/2020 - 14:44
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Le reste des corrections
Mohamed Sene (non vérifié)
sam, 12/28/2024 - 21:55
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amal khel doyna tamite
Anonyme (non vérifié)
ven, 01/10/2020 - 20:59
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Le reste de la correction svp
Anonyme (non vérifié)
lun, 01/13/2020 - 00:19
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Je veux la correction de l
Ndey Yacine Cissé (non vérifié)
dim, 02/14/2021 - 15:05
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Je suis très contente
Anonyme (non vérifié)
ven, 03/12/2021 - 14:18
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Bonne continuation c’est de
Anonyme (non vérifié)
dim, 10/30/2022 - 06:51
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Bonjour . Je voudrais la
Anonyme (non vérifié)
lun, 11/14/2022 - 21:24
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ah les MATHS
Anonyme (non vérifié)
mar, 11/22/2022 - 19:23
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La correction de l'exercice
Anonyme (non vérifié)
sam, 02/11/2023 - 00:40
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Connaissance
Anonyme (non vérifié)
lun, 01/08/2024 - 15:10
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Pourquoi vous ne donnez pas
Professeur (non vérifié)
jeu, 02/22/2024 - 16:53
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Toujours au service des
Anonyme (non vérifié)
mer, 11/06/2024 - 20:39
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Mais la correction n'est pas
Mohamed Sene (non vérifié)
sam, 12/28/2024 - 21:57
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wa seconde SA bou lycée
Mohamed Sene (non vérifié)
sam, 12/28/2024 - 21:58
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non exercice yi amna solo
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