Solutions exercices : Ordre dans R Intervalles et Calculs approchés - 2nd

Classe: 
Seconde

Exercice 1

a) x2=45  et  y2=442  donc x>y (puisque x et y sont positifs)
 
b) x2y2=122413. Posons a=122 et b=413
 
on a a2=288 et b2=208, d'où a2>b2 et par suite a>b et x2>y2,
 
enfin x>y (car x et y sont tous positifs)
 
c) x2y2=(13+240)(13+242)=2(sqrt4042)<0
 
Par conséquent x<y
 
d) 7<11, donc (en ajoutant 23 aux deux membres),
 
7+23<11+23
 
Par conséquent x<y
 
e) On a xy=1+2(35)=xy=12(53)=1225+3=145+3
Posons alors a=4 et b=5+3, a2b2=8215
 
Posons enfin a=8 et b=215. On a a2b2=6460=4>0. 
 
Puisque a, b, a et b sont tous positifs, il en résulte successivement : a>ba2b2>0a>b45+3>1(xy)<0
Finalement, on a x<y.
 
f) On a x2=12+235  et  y2=12+235
 
Donc, x2=y2 et comme x et y sont tous deux positifs, il en résulte que x=y.
 
g) On a 1x=17+437 et 1y=17+52. Or, (43)2=49 et (52)2=50

donc 43<52  7+43<7+52.
 
Puisque deux nombres positifs sont rangés dans l'ordre contraire de leurs inverses, il en résulte que : 17+437>17+52, c'est-à-dire que 1x>1y et par une nouvelle application de la règle de rangement des inverses de nombres positifs, on conclut que : x<y.
 
h) On a x2y2=49(5+26)484=986239
 
On a (986)2=57624  et  (239)2=57121. 
 
Donc x2>y2, car x et y sont positifs. 
 
i) On a x2=y2=8215, d'où : x=y (car x et y sont évidemment positifs).
 
j) On a x2=29+3+263=299+263  et  y2=64+1+6=52+6
 
Par conséquent : x2y2=131863=136618
 
Or 132=169  et  (6)2=216,
 
donc 13<66, d'où x2<y2 et par suite x<y, car x et y sont positifs.
 
k) En utilisant les expressions conjuguées des dénominateurs, on trouve que : x=6+5  et  y=5+6, d'où x=y

Exercice 2

a) x2=4; x=2  car x est positif. 
 
b) x2=4; x=2  car x est négatif. 
 
c) x2=4; x=2  car x est positif. 
 
d) x2=8; x=22  car x est positif.
 
d) x2=12; x=23  car x est négatif.

Exercice 3

1) Si x1, alors 2x2 
 
si x1, alors 2x2
 
2) Si x4, alors x22
 
si x4, alors x22
 
3) Si x2, alors x+11+2
 
si x2, alors x121
 
4) Si 1x2, alors 33x6
 
si 2x1, alors 1+2x10
 
5) Si 1x0, alors 0x+11
 
si 2x1, alors 12x10
 
6) Si x1, alors 2x+10
 
si x1, alors x2+372
 
7) Si 1x et 2y, alors x+y1
 
si 1x et 1y, alors xy2
 
8) Si x1, alors 1x1
 
si x2, alors 3x32
 
9) Si x2, alors 2x1
 
si x1, alors 3x3
 
10) Si x1 et y2, alors 131x+y
 
si x1 et y2, alors 2x+y2(21)
 
11) Si x4 et y2, alors xy42
 
si x2 et y3, alors xy6
 
12) Si x>1, alors x2>x. (Multiplier les 2 membres par x>0).
 
13) Si a et b sont deux réels tels que 1a1 et 1b1, on a |a|1  et  |b|1, d'où |ab|1 c'est-à-dire 1ab1.
 
14) 1a1|a|1|a|21(inégalité entre deux nombres positifs)a21 

Exercice 4

1) En multipliant les 3 membres de la double inégalité 0<a<1 par a, on obtient : 0<a2<a<1.
 
Deux nombres positifs étant rangés dans le même ordre que leurs racines carrées, on a, toujours d'après cette double inégalité, a<1, d'où en multipliant les 2 membres de cette inégalité par a>0, a<a.
 
Enfin, on a : a<1, d'où (2 nombres positifs étant dans l'ordre contraire de leurs inverses) 1a>1, donc évidemment a<1a.
 
En résumé, on a dans ce cas : 0<a2<a<a<1<1a.
 
2) Dans le cas où a>1, on obtient en raisonnant de façon analogue : 0<1a<1<a<a<a2

Exercice 5

1) 17.3a17.4(1) et 21.9b22(2)
 
  Encadrement de a+b
 
Ajoutons membre à membre (ce qu'on a toujours le droit de faire) (1) et (2) pour obtenir : 39.2a+b39.4(3)
  Encadrement de ab
 
Multipliant (2) par (-1), on obtient : 22b21.9(4).
 
Ajoutons membre à membre (1) et (4) : 17.322ab17.421.9 Soit : 4.7ab4.5(5)
N.B. Ici, il ne faut surtout pas soustraire membre à membre (1) et (2) !
 
  Encadrement de ab
 
Multiplions membre à membre (1) et (2) (on en a le droit car a et b sont tous deux encadrés par des nombres positifs) : 17.3×21.9ab17.4×22 soit : 378.87ab382.8(6)
  Encadrement de 1a1b.
 
Encadrons 1a et 1b à l'aide de (1) et (2) respectivement. Deux nombres positifs étant rangés dans l'ordre contraire de leurs inverses, ces inégalités entraînent : 117.41a117.3(7) et 1221b121.9(8). 
 
Multiplions la relation (8) par -1 : 1221b121.9, soit en réécrivant dans l'ordre habituel : 121.91b122(9).
 
Ajoutons membre à membre (7) et (9). Il vient : 
 
117.4121.91a1b117.3122, soit approximativement : 0.01181a1b0.0123(10) 

Autre méthode :

Encadrons 1ab à l'aide de (6). Deux nombres positifs étant rangés dans l'ordre contraire de leurs inverses, cette double inégalité entraîne : 117.4×221ab117.3×21.9, soit 0.002611ab0.00263(11).
 
Multiplions la relation (5) par -1 : 4.5ba4.7(12).
 
Multiplions alors membre à membre (11) et (12) pour obtenir : 
 
4.5×0.00261baab4.7×0.00263, soit encore : 0.01171a1b0.0123(10) 
 
2) 3.4a3.3(13) et 37.5b37.6(14)
 
  Encadrement de a+b 
 
Ajoutons membre à membre (13) et (14) pour obtenir : 
 
37.53.4a+b37.63.3
 
Soit : 34.1a+b34.3(15)
 
  Encadrement de ab 
 
Multipliant (14) par (-1), on obtient : 37.6b37.5(16).
 
Ajoutons membre à membre (13) et (16) : 3.437.6ab3.337.5
 
Soit : 41ab40.8(17)
 
N.B. Ici encore, il ne faut surtout pas soustraire membre à membre (13) et (14) !
 
  Encadrement de ab 
 
Attention : On n'a pas le droit de multiplier membre à membre (13) et (14) (car a et b ne sont pas tous deux encadrés par des nombres positifs) :
 
Encadrons (a) à l'aide de (13) : 3.3(a)3.4(18).
 
Multiplions membre à membre (18) et (14) : 
 
3.3×37.5(ab)3.4×37.6  123.75ab127.84
 
D'où par une nouvelle multiplication par (-1) : 127.84ab123.75(19)
 
  Encadrement de 1a1b.
 
Encadrons 1a et 1b à l'aide de (18) et (14) respectivement. Deux nombres positifs étant rangés dans l'ordre contraire de leurs inverses, ces inégalités entraînent : 13.41a13.3(20) et 137.61b137.5(21).
 
Multiplions les relations (20) et (21) par -1 :
 
13.41a13.3 soit 13.31a13.4(22).
 
Et : 137.61b137.5 soit 137.51b137.6(23). 
 
Ajoutons membre à membre (22) et (23). Il vient : 
 
13.3137.51a1b13.4137.6(23), soit approximativement : 0.331a1b0.32(24)

Autre méthode :

Encadrons (ab) à l'aide de (19) : 123.75ab127.84.
 
Deux nombres positifs étant rangés dans l'ordre contraire de leurs inverses, cette double inégalité entraîne : 1123.751ab1127.84(25)
D'autre part, multiplions la relation (17) par -1 : 40.8ba41(26).
 
Multiplions alors membre à membre (25) et (26) pour obtenir : 
 
40.8123.75abab41127.84, soit par une nouvelle multiplication par (-1) :
 
41127.84baab40.8123.75 c'est-à-dire encore : 0.331a1b0.32(24)
 
3) 0.6a0.5(27) et 39.4b39.3(28)
 
  Encadrement de a+b
 
Ajoutons membre à membre (27) et (28) pour obtenir : 
 
0.639.4a+b0.539.3 Soit : 40a+b39.8(29)
 
  Encadrement de ab
 
Multipliant (28) par (-1), on obtient : 39.3b39.4(30).
 
Ajoutons membre à membre (27) et (30) : 
 
0.6+39.3ab0.5+39.4 Soit : 38.7ab38.9(31)
 
N.B. Ici, on n'a évidemment pas le droit de soustraire membre à membre (27) et (28) !
 
  Encadrement de ab
 
On n'a pas le droit de multiplier membre à membre (27) et (14) (car a et b sont tous deux encadrés par des nombres négatifs) :
 
On multiplie d'abord (27) et (28) par (-1) pour obtenir :
 
0.5a0.6(32) et 39.3b39.4(33).
 
Multiplions membre à membre (32) et (33) : 19.65ab23.64(34)
  Encadrement de 1a1b.
 
Encadrons 1a et 1b à l'aide de (32) et (33) respectivement. Deux nombres positifs étant rangés dans l'ordre contraire de leurs inverses, ces inégalités entraînent : 
 
10.61a10.5(35) et 139.41b139.3(36).
 
Multiplions la relation (35) par -1 :
 
10.61a10.5 soit 10.51a10.6(37).
 
Ajoutons membre à membre (36) et (37). Il vient : 
 
10.5+139.41a1b10.6+139.3, soit approximativement : 1.971a1b1.64(38)

Autre méthode : 

On avait déjà un encadrement de ab grâce à (34). On en déduit en passant aux inverses : 123.641ab119.65(39) 
Multiplions membre à membre (31) et (39) : 
 
38.723.64abab38.919.65 soit approximativement : 
 
1.6371b1a1.979, puis par une nouvelle multiplication par (-1): 
 
1.9791a1b1.637 (encadrement très voisin de (38).
 
4) 6105a5105(40) et 3103b4103(41)
 
  Encadrement de a+b
 
Ajoutons membre à membre (40) et (41) pour obtenir : 
 
6105+3103a+b5105+4103 Soit : 0.00294a+b0.007(42)
  Encadrement de ab On multiplie (41) par (-1) et on ajoute l'encadrement obtenu à (40).
 
On trouve : 0.00406ab0.00305(43)
  Encadrement de ab
 
On multiplie (40) par (-1) et on multiplie l'encadrement obtenu avec (41) membre à membre. On trouve alors : 
 
15108ab24108, soit par une nouvelle multiplication par (-1) : 24108ab15108(44)
  Encadrement de 1a1b.

On multiplie (40) par (-1) et on passe aux inverses, ce qui donne :
 
161051a15105(45)
 
Ensuite, on passe aux inverses dans (41) : 141031b13103(46) 
 
Puis on multiplie chacun des encadrements (45) et (46) par (-1) et on additionne membre à membre les encadrements obtenus pour obtenir finalement : 6131031a1b50.753103
 
Ou encore 2033.331a1b1691.67(47)

Exercice 6

1) On trouve :

1.52a+51.54 ;    

2.1316b22.25 ;

3.6316b22a+53.79 ;
 
0.23ab0.29 ;  

1.153ab1.197

5.4095a2+2b5.5120
 
2) 1er cas :
{4a4.10.5b0
{4a4.10b0.5
 
On a alors en multipliant membre à membre :

0ab2.05 soit :
2.05ab0(1)
 
2ème cas :
{4a4.10b0.3

On a alors en multipliant membre à membre :

0ab1.23(2)

D'après (1)  et  (2), l'encadrement de ab est : 2.05ab1.23

Exercice 7

1) Pour tous réels x et y, on a :

(xy)20 (un carré est toujours positif), soit : x22xy+y20
ou encore : x2+y22xy(1).

Les deux membres de (1) étant non nuls et positifs d'après l'hypothèse
x>0 et y>0
 
On a en passant aux inverses : 1x2+y212xy(1)

2) a) Multiplions les deux membres de (1) par (x+y) qui est strictement positif par hypothèse, on obtient :
x+yx2+y2x+y2xy, ce qui s'écrit :  
x+yx2+y2x2xy+y2xyx+yx2+y212y+12x

ou encore : x+yx2+y212(1x+1y)(2).
 
b) En appliquant l'inégalité du (1) à y et z, puis à x et z, on obtient :
y+zy2+z212(1y+1z)(3)
x+zx2+z212(1x+1z)(4)

En ajoutant membre à membre (2), (3) et (4), on a alors :
x+yx2+y2+y+zy2+z2+x+zx2+z212(1x+1y+1y+1z+1x+1z)

soit :
x+yx2+y2+y+zy2+z2+x+zx2+z212(2x+2y+2z),

ou encore :   
x+yx2+y2+y+zy2+z2+x+zx2+z21x+1y+1z

Exercice 8

1) (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3  

2) (a+b2)3a3+b32=a3+3a2b+3ab2+b34(a3+b3)8=3a3+3a2b+3ab23b38=38[a2(ab)b2(ab)]=38[(ab)(a2b2)]=38[(ab)2(a+b)]0

On en conclut que :
(a+b2)3a3+b32.

Exercice 9

On a en utilisant les expressions conjuguées :

A=aba+betB=aba1+b1
 
On a a>a1, donc a>a1(1)  et  b>b1, donc b>b1(2) (deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées).

En additionnant membre à membre ces deux inégalités, on obtient :
a+b>a1+b1,
d'où en passant aux inverses :  
1a+b<1a1+b1.(3)
 
D'autre part,  les inégalités a>b>1 entraînent :  ab>0.
 
En multipliant les deux membres de (3) par ab,
 
on voit facilement que : A<B.

Exercice 10

1) Facile, développer (a+b+c)(a+b+c) en regroupant les termes de même nature.
 
2) (ab)2+(bc)2+(ca)2=2(a2+b2+c2abacac).

Le premier membre étant positif, puisqu'il est la somme de trois carrés, il en résulte que le second membre l'est aussi, donc sa moitié,  et par suite : 
a2+b2+c2abacac0().

L'inégalité précédente devient une égalité lorsque le premier membre est nul, c'est-à-dire lorsque chacun des termes (ab)2, (bc)2, (ca)2 est nul (la somme de 3 réels positifs ne peut être nulle que si chacun de ces réels est nul), en d'autres termes lorsque a=b=c.

Ce sont donc les triplets du type (a, a, a).
 
3) Les réels |a+b+c|3 et a2+b2+c2 étant positifs, l'inégalité :  
|a+b+c|3a2+b2+c2() est équivalente à : (|a+b+c|3)2(a2+b2+c2)2, soit à :
a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc3a2+b2+c2,
 
ou encore, en multipliant les 2 membres par 3 et en transposant dans le membre de droite, à :  
2(a2+a2+c2abacbc)0, ce qui est vrai d'après l'inégalité().
 
Il y a égalité s'il y a égalité dans(), c'est-à-dire si a=b=c.
 
4) Appliquons l'inégalité () en remplaçant a, b et c par a, b et c respectivement.

On obtient :  
|a+b+c|3a+b+ca+b+c3a+b+c
 
(car a+b+c est positif, donc égal à sa
valeur absolue).

Multiplions alors les 2 membres de cette dernière inégalité par 13.

On a ainsi :

Exercice 11

1) a) On a par hypothèse : 0<a1(1), 0<b1(2)et0<c1(3).

Par multiplication membre à membre des inégalités (1) et (2), (ce qui est permis puisque tous les membres sont positifs ou nuls), on obtient :
0<ab1(4).

De même, en multipliant membre à membre (1) et (3), puis (2) et (3), on obtient :  
0<ac1(5).

et :

0<bc1(6).

De (4), (5) et (6), on déduit que : (ab1)0, (ac1)0et(bc1)0.

Le produit de 3 réels négatifs étant négatifs, on en déduit qu'on a bien :
(ab1)(bc1)(ca1)0(7)

b) En développant le premier membre de (7), on obtient (après regroupement) :
a2b2c2a2bcab2cabc2+ab+ac+bc10(8).

a, b et c étant strictement positifs par hypothèse, on peut diviser les deux membres de (8) par 1abc qui est >0, pour obtenir :  
abcabc+1c+1b+1a1abc0,

soit, en transposant les termes précédés du signe :     
abc+1c+1b+1aa+b+c+1abc,

ce qui est équivalent à l'inégalité à démontrer.

2) a) Première méthode : Les inégalités 0<xyzt impliquent que les réels xy, yz, zt et tx, (qui existent, puisque par hypothèse x, y, z et t sont tous strictement positifs), sont tous inférieurs ou égaux à 1.

En effet, xyxy1 (multiplication des 2 membres par 1y>0).

Et de même : yzyz1etztzt1.

En résumé, on a : 0<xy1 ; 0<yz1 ; 0<zt1.

En posant a=xy, b=yz et c=zt, on peut donc légitimement appliquer à a, b et c l'inégalité du 1) b), ce qui donne (avec abc=xyzyzt=xt) :
xy+yz+zt+txyx+zy+tz+xtC.Q.F.D.

a) Deuxième méthode :

Les inégalités 0<xyzt  impliquent en particulier que : zx, donc (zx)0, que ty, donc que (ty)0, et que : {yxt0 ce qui entraîne par multiplication membre à membre :

ytxz0.
    
Ainsi, chacun des facteurs du produit (zx)(tz)(ytxz) est positif et, par conséquent, il en est de même de celui-ci.
    
Développons alors le premier membre de l'inégalité :  
(zx)(tz)(ytxz)0.
    
On obtient après regroupement :
tx2z+txy2+xyz2+t2yzx2yzt2xytxz2ty2z0,
    
soit après transposition des termes précédés du signe et division par xyzt des deux membres :
xy+yz+zt+txyx+zy+tz+xtC.Q.F.D.  

Exercice 12

On a les n inégalités :
    
n+12n ; n+22n ; ............. ; 2n12n  et  2n2n, d'où  en passant aux inverses dans chacune d'entre elles les n autres inégalités :
1n+112n ; 1n+212n ;......... ; 12n112n et enfin 12n12n 
    
Ces dernières, ajoutées membre à membre, donnent :
1n+1+1n+2++12n1+12n12n+12n++12nn fois 
    
Soit : 1n+1+1n+2++12n1+12nn×12n, autrement dit :
    
1n+1+1n+2++12n1+12n12

Exercice 13

L'hypothèse 2x+4y=1 entraîne que : y=12x4.
    
On a alors :
x2+y2120=x2+(12x4)2120,  
    
soit après réduction au même dénominateur :
x2+y2120=100x220x+180=(10x1)280.

Cette quantité étant toujours positive, on en conclut que :  
x2+y2120

Exercice 14

Posons a=x+y1+x2+y2 et b=22.

On a :

ab=2(x+y)2(1+x2+y2)2(1+x2+y2)=2(2x+21x2y2)2(1+x2+y2)

Il s'agit de montrer que le numérateur de cette expression est négatif, car le dénominateur est visiblement positif.

Or, on a :

2x2y1x2y2=(x2+y22x2y+1)=[(x22x)+(y22y)+1]=[(x22)212+(y22)212+1]=[(x22)2+(y22)2]

Cette dernière expression est effectivement négative (opposé de la somme de deux carrés).

Il en résulte que ab est négatif ou nul, d'où finalement ab.

Exercice 15

Les inégalités  1x1(1)  et  1y1(2) entraînent que 1+x0 et 1+y0.

Il s'ensuit que (1+y)(1+x)0.

D'autre part, on a :
4+x+y+xy=3+1+x+y+xy=3+(1+y)+x+xy=3+(1+y)+x(1+y)=3+(1+y)(1+x)

Par conséquent : 4+x+y+xy3.

On peut alors passer aux inverses (puisqu'on a une inégalité entre deux nombres positifs) pour obtenir : 14+x+y+xy13.

Exercice 16

On a : XY=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=acab+bdcd (après développement et simplification)

=a(cb)+d(bc)=(cb)(ad).

Les hypothèses  a<b<c<d entraînent que : (cb)0et(ad)0, donc XY(1).

D'autre part, YZ=(a+c)(b+d)(a+d)(b+c)=adac+bcbd (toujours après développement et simplification), soit YZ=(dc)(ab), quantité qui est négative d'après les hypothèses faites sur a, b, c et d.

Ainsi, on a : YZ(2).

Des inégalités (1) et (2), on conclut que : XYZ.

Exercice 17

1) On a : a2+b22ab=(ab)20, donc a2+b22ab pour tous réels a et b.
    
2) On a d'après la question 1) :  a2+b22ab, d'où en multipliant les 2 membres par c>0 :
(a2+b2)c2abc(1)

On obtient en appliquant 2 autres fois 1) (à b et c, puis à a et c) :
(b2+c2)a2bca(2)
(c2+a2)b2cab(3)

En ajoutant membre à membre les inégalités (1), (2) et (3), on a bien :
(a2+b2)c+(b2+c2)a+(c2+a2)b6abc.
    
3) 1a+1b+1c9a+b+c=bc+ca+ababc9a+b+c=(a+b+c)(bc+ca+ab)9abcabc(a+b+c)=a2b+a2c+ab2+ac2+b2c+bc26abcabc(a+b+c)=(a2+b2)c+(b2+c2)a+(c2+a2)b6abcabc(a+b+c)

Or, le numérateur de cette expression est positif, d'après 2).

D'où le résultat.

Exercice 18

1) On a : x2+12x=x22x+1=(x1)20.

D'où le résultat.

2) On applique 4 fois le résultat du 1) (à a, b, c et d) :
a2+12a(1) ; 
b2+12b(2) ; 
c2+12c(3) ; 
d2+12d(4).

Puis on multiplie membre à membre ces 4 inégalités, ce qui donne :
(a2+1)(b2+1)(c2+1)(d2+1)16abcd(5).

Enfin, on divise les 2 membres de (5) par abcd, qui est strictement positif par hypothèse, pour obtenir l'inégalité demandée.

Exercice 19

1) Tout d'abord, on remarque que l'expression E=(ab)2+(bc)2+(ca)2 est positive puisqu'elle est la somme de trois carrés.

En développant, on obtient :
E=(ab)2+(bc)2+(ca)2=2(a2+b2+c2abbcac)()

et puisque E est positif, on en déduit que a2+b2+c2abbcac est aussi positif, ce qui s'écrit :
a2+b2+c2ab+bc+ac.

On a l'égalité lorsque E est nul, c'est-à-dire lorsque a=b=c.

2) Si a2+b2+c2=1, l'inégalité du 1) s'écrit : 1ab+bc+ac(1).

D'autre part, (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac) est positif (puisque c’est un carré), donc 1+2(ab+bc+ac)0, d'où :       
ab+bc+ac12(2)

Les inégalités (1) et (2) fournissent la double inégalité :   
12ab+bc+ac1.

Exercice 20

1) Le carré de a=2n1×2n+1 est (2n1)(2n+1)=4n21 et celui de b=2n est 4n2, donc on a a2<b2 et puisque a et b sont évidemment positifs, on en déduit que : a<b

2) Multipliant les 2 membres de l’inégalité 2n1×2n+1<2n par 2n1 (qui est positif), on obtient : (2n1)2n+12n2n1.

Divisant les 2 membres de cette dernière inégalité par 2n2n+1, on a : 2n12n2n12n+1

3) Appliquons n fois l’inégalité obtenue au 2) en remplaçant n successivement par 1, 2, 3,.n :  

{121334355656..2n32n22n32n12n12n2n12n+1
              
Par multiplication membre à membre de ces n inégalités entre nombres positifs, on obtient :
\require{cancel} \dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{6}\times…..\times\dfrac{2n-3}{2n-2}\times\dfrac{2n-1}{2n}\leq\dfrac{1}{\cancel{\sqrt{3}}}\times \dfrac{\cancel{\sqrt{3}}}{\cancel{\sqrt{5}}}\times\dfrac{\cancel{\sqrt{5}}}{\cancel{\sqrt{6}}}\times.....\times\dfrac{\cancel{\sqrt{2n-3}}}{\cancel{\sqrt{2n-1}}}\times\dfrac{\cancel{\sqrt{2n-1}}}{\sqrt{2n+1}}
      
Puis après les simplifications symbolisées par les traits, on a bien :        
\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{6}\times…..\times\dfrac{2n-3}{2n-2}\times\dfrac{2n-1}{2n}\leq\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}.

 

Auteur: 
Mouhamadou Ka

Commentaires

Bon et encouragement

Le reste des corrections

amal khel doyna tamite

Le reste de la correction svp

Je veux la correction de l'exercice 8

Je suis très contente ça nous aide beaucoup

Bonne continuation c’est de bon exercice

Bonjour . Je voudrais la correction de l'exercice 21

ah les MATHS

La correction de l'exercice 28

Je veux comprendre mieux les exercices

Pourquoi vous ne donnez pas la correction des autres exercices en fin de serie

Toujours au service des humains. Merci énormément grand professeur.

Mais la correction n'est pas complète

wa seconde SA bou lycée bambilor defelene exercice important na de

non exercice yi amna solo trope

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