Série d'exercices sur l'orthogonalité et le produit scalaire dans le plan 1e S
Exercice 1
Calculer le produit scalaire
→AB⋅→CD dans les figures ci-dessous :
Exercice 2
Soit ABCD un carré de centre O tel que AB=4.
Calculer les produits scalaires :
→AB⋅→BC,→AB⋅→CD,→AB⋅→AC,→CD⋅→OA,→OA⋅→AC
→DB⋅→BC,et→AB⋅→DO
Exercice 3
ABC est un triangle isocèle de sommet A, BC=4.
Le point I est le milieu de [BC].
Calculer
→IB⋅→IC,→BI⋅→BC,→AI⋅→BC,→BA⋅→BC,→AC⋅→CI
Exercice 4
Soit ABC un triangle équilatéral de coté 6, O le centre de son cercle circonscrit, A′, B′, C′ les milieux respectifs de [BC], [CA], [AB].
Calculer les produits scalaires :
→AB⋅→AC,→OB⋅→OC,→OA⋅→BC,→OB⋅→AA′et→BC′⋅→CB′
Exercice 5
Dans la figure ci-dessous, ABC est un triangle isocèle de sommet A et ABIJ est un parallélogramme.
On pose BC=a.
Exprimer le produit scalaire →BC⋅→v en fonction de a dans chacun des cas suivants :
1) →v=→AB2) →v=→JC3) →v=→AI4) →v=→CI
5) →v=→BA+→OJ6) →v=2→OI7) →v=→IA−→AJ8) →v=→CI+→OJ
Exercice 6
ABCD est un carré.
I, J, K,, L sont les milieux respectifs des cotés [AB, [BC], [CD] et [DA] du carré.
Les droites (AJ) et (DI) se coupent en P, les droites (AJ) et (KB) se coupent en Q,
les droites (CL) et (DI) se coupent en S, les droites (CL) et (KB) se coupent en R.
1) a) Exprimer →AJ en fonction de →AB et →AC, puis →DI en fonction de →DA et →DB
b) En déduire que : →AJ⋅→DI=0
2) a) Établir que →PS⋅→ID=→AL⋅→AD
b) En déduire l'expression de PS en fonction du coté a du carré ABCD.
c) Montrer que le quadrilatère PQRS est un carré et exprimer son aire en fonction de celle du carré ABCD
Démontrer que quels que soient les vecteurs
→u, →v et →w :
||→u||2+||→v||2+||→w||2=14(||→u+→v+→w||2+||→u+→v−→w||2+||→u−→v+→w||2+||−→u+→v+→w||2)
Exercice 8
Démontrer que quels que soient les vecteurs →u et →v : les vecteurs →u+→v et →u−→v sont orthogonaux si et seulement si →u et →v ont la même norme.
Application :
Soit un parallélogramme ABCD.
Démontrer que les diagonales [AC] et [BD] sont orthogonales si et seulement si AC=BD.
Indication :
On pourra poser →AB=→u et →AB=→v
Exercice 9
Soit ABCD un quadrilatère.
Démontrer que l'on a :
→AB2+→CD2−→BC2−→AD2+2→AC⋅→BD=0
En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que les diagonales (AC) et (BD) soient perpendiculaires.
Exercice 10
Démontrer que quels que soient les points A, B, C, D :
→DA⋅→BC+→DB⋅→CA+→DC⋅→AB=0
Déduire de cette relation que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Exercice 11
1) Montrer que dans un triangle ABC d'orthocentre H, on a :
→HA⋅→HB=→HB⋅→HC=→HC⋅→HA
2) Réciproquement, soit M un point tel que :
→MA⋅→MB=→MB⋅→MC=→MC⋅→MA
Calculer les produits scalaires
→MA⋅→CB, →MB⋅→CA et →MC⋅→AB
En déduire que M=H.
Exercice 12
Soit ABC un triangle, H l'orthocentre, A′, B′, C′ les projetés orthogonaux respectifs de A, B, C sur le coté opposé.
1) Utiliser →BH⋅→AC=0 pour démontrer que : ¯A′A⋅¯A′H=−¯A′B⋅¯A′C
2) Comparer les produits scalaires →AH⋅→AB et →AH⋅→AC
Démontrer que ¯AH⋅¯AA′=¯AB⋅→AC′=¯AC⋅¯AB′
3) Démontrer de même que : ¯HA⋅¯HA′=¯HB⋅¯HB′=¯HC⋅¯HC′
Exercice 13
Démontrer que si ABC et A′B′C′ sont deux triangles tels que :
la droite d1 contenant A et orthogonale à (B′C′)
la droite d2 contenant B et orthogonale à (C′A′)
la droite d3 contenant C et orthogonale à (A′B′) sont concourantes, alors
la droite d′1 contenant A′ et orthogonale à (BC)
la droite d′2 contenant B′ et orthogonale à (CA)
la droite d′3 contenant C′ et orthogonale à (AB) sont concourantes.
Indications :
1) Établir d'abord que →AC⋅¯B′C′=→BC⋅¯A′C′ en utilisant le point de concours de d1, d2, d3.
2 Justifier l'existence d'un point Ω tel que : ¯Ω′A⋅¯B′C′=¯Ω′B⋅¯C′A′=0
3) Démontrer alors que ¯Ω′C⋅¯A′B′=0 et conclure.
Exercice 14
Le triangle OAB est rectangle en O.
Une droite Δ passant par A coupe la hauteur (OH) en M et le cercle de diamètre [AB] en N.
Montrer que →AM⋅→AN=AO2
Exercice 15
Soit Γ le cercle de centre O circonscrit à un triangle ABC.
La hauteur issue de A coupe (BC) en A′ et Γ en D.
Soit E le point diamétralement opposé à A sur Γ. Montrer que :
→AB⋅→AD=→AC⋅→AD=→AE⋅→AA′
Exercice 16
Dans le trapèze rectangle ABCD, la diagonale [AC] est orthogonale au coté [BC].
En calculant de deux façons le produit scalaire →AB⋅→AC,
montrer que AC2=AB×CD
Exercice 17
Soit ABC un triangle équilatéral de coté m.
1) I est le barycentre de (B, 4) et (A, 1) et J le barycentre de (C, 2) et (A, 3).
a) Calculer le produit scalaire →AI⋅→AC en fonction de m
b) Prouver que la droite (IJ) est orthogonale à la droite (AC).
2) Soit a, b, c trois réels.
On désigne par K le barycentre de (A, a) et (B, b) et par L celui de (A, a+b−c) et (C, c)
Montrer que les droites (KL) et (AC) sont orthogonales si et seulement si b=2c.
Exercice 18
Soit ABCD un carré, I et J les milieux de [AB] et [AD].
Montrer que la médiane issue de A du triangle AID est une hauteur de triangle ABJ
Exercice 19
Sur un cercle de centre Ω et de rayon r, on place quatre points A, B, A′ et B′ tels que les droites (BB′) et (AA′) soient orthogonales et sécantes en O.
1) En utilisant le diamètre [AA″], montrer que : →OA⋅→OA′=OΩ2−AΩ2
2) Montrer que la médiane issue de O du triangle OAB est une hauteur de triangle OA′B′.
(On pourra prouver que (→OA+→OB)⋅→A′B′=0)
Exercice 20
A l'extérieur d'un triangle ABC, on construit deux carrés.
1) Montrer que →CA⋅→CB=−→CD⋅→CE
2) Montrer que les droites (AD) et (EB) sont orthogonales et que AD=EB.
Exercice 21
A partir d'un triangle équilatéral ABE de coté 2, on construit deux carrés.
1) a) Calculer les produits scalaires →BC⋅→BE et →EA⋅→EB
b) Montrer que le triangle BCG est équilatéral.
En déduire →BC⋅→BG puis →DA⋅→EF
c) Calculer →AE⋅→EF
d) Calculer →DE⋅→BF
En déduire que les points D, E, G sont alignés.
2) En utilisant le repère (A, →AB, →AD),
calculer →DE⋅→BF
Conclure
Exercice 23
Soit ABCD un carré de coté 6.
I le barycentre de (A, 2) et (B, 1), J celui de (A, 1) et (D, 2), et K le point d'intersection des droites (ID) et (JC).
1) Faire une figure.
Montrer que les droites (ID) et (JC) sont perpendiculaires.
2) En utilisant un produit scalaire, montrer que : DK×DI=12DA2
3) Calculer les distances KD et KI.
4) a) Soit L le projeté orthogonal de A sur la droite (DI).
A l'aide d'un produit scalaire, calculer IL, puis LK
b) En déduire la construction d'un carré de coté 65√10
Exercice 24
Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AC=2AB.
on désigne par A′ le milieu de [BC] et par H le projeté orthogonal de A sur la droite (BC).
Le point H se projette orthogonalement en I sur (AB) et en J sur (AC).
Le but de l'exercice est de montrer que les droites (AA′) et (IJ) sont orthogonales.
1) Calcul vectoriel
Établir que →AA′⋅→IJ=0
Conclure.
2) Calcul analytique
a) On pose →i=→AB et →j=12→AC
Justifier que (A, →i, →j) est un repère orthonormal du plan.
b) Déterminer les coordonnées des points A, B, C et D dans ce repère.
c) Déterminer une équation de la hauteur issue de A à l'aide d'un vecteur normal.
Déterminer les coordonnées du point H, puis les coordonnées des points I et J.
d) Calculer →AA′⋅→IJ
Conclure.
Exercice 25
Relations métriques dans un triangle rectangle
On se propose de démontrer que les six phrases suivantes sont équivalentes :
(1) ABC est rectangle en A.(2) AB2+AC2=BC2
(3) AA′=12BC(4) AB2=¯BHׯBC
(5) AH2=−¯HBׯHC(6) AB×AC=AH×BC.
A) 1) En utilisant deux écritures de →BA⋅→BC,
justifier que les propriétés AB2=¯BHׯBC et ABC est rectangle en A sont équivalentes.
2) Démontrer qu'il est équivalent d'écrire :
→AB⋅→AC=0 et AH2=−¯HBׯHC
3) En donnant deux écritures de l'aire d'un triangle ABC, montrer que (6) et (1) sont équivalentes.
4) Déduire des égalités (2) et (6) que, si ABC est un triangle rectangle en A de hauteur [AH), alors on a l'égalité : 1AH2=1AB2+1AC2
B) ABC est un triangle rectangle en A.
Calculer BH, AH et AA′.
C) L'aire du triangle ABC étant égale à 80 unités d'aires, ce triangle est-il rectangle ?
D) On donne deux segments de longueurs a et b.
Construire à la règle et au compas un segment de longueur √ab.
(Penser à utiliser une des relations métriques dans un triangle rectangle)
Lignes de niveau
Exercice 26
Soient A, B deux points distincts tels que AB=2a.
Déterminer l'ensemble des points M vérifiant :
1) MA2−MB2=a22) MA2+MB2=3a2
3) MA=3MB4) →AB⋅→AM=−2a2
5) →MA⋅→MB=−3a246) MA2+3MB2=4a2
7) MA2−4MB2=4a2
Exercice 27
Soient les points A, B, C et α, β, γ des réels dont la somme n'est pas nulle.
Soit G le barycentre du système {(A, α); (B, β); (C, γ)}.
1) Démontrer que, pour tout point M du plan :
αMA2+βMB2+γMC2=(α+β+γ)MG2+αGA2+βGB2+γGC2
2) Les points A, B, C et les réels α, β, γ étant fixés, déterminer l'ensemble des points M du plan tels que :
αMA2+βMB2+γMC2=k, k réel fixé.
3) Application :
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que BC=2a et I le milieu de [BC].
a) Démontrer que G, défini par 4→GA−→GB−→GC=→0 est le symétrique de I par rapport à A.
b) Déterminer E, ensemble des points M du plan tels que :
4MA2−MB2−MC2=−4a2 (on notera que A∈E)
4) Application :
Soit a réel positif fixé et A, B, C points du plan tels que
BC=2a, CA=3a, AB=3a.
a) Déterminer G barycentre de {(A, −2); (B, 3); (C, 3)}.
b) Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que : −2MA2+3MB2+3MC2=54a2
Exercice 28
Soient les points A, B, C et α, β, γ des réels dont la somme est nulle.
1) Démontrer que, pour tout point M du plan :
a) α→MA+β→MB+γ→MC est un vecteur fixe →V
b) αMA2+βMB2+γMC2=2→MA⋅→V+βAB2+γAC2
2) Les points A, B, C et les réels α, β, γ étant fixés (α+β+γ=0),
déterminer l'ensemble des points M du plan tels que : αMA2+βMB2+γMC2=k, k réel fixé.
3) Application :
Soit A, B, C points du plan tels que BC=5a, CA=3a, AB=4a.
(a réel positif fixé).
Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que : MA2+2MB2+MC2=5a2
Construire cet ensemble.
4) Application :
Soit ABC un triangle équilatéral.
Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que : −2MA2+MB2+MC2=0
Exercice 29
Soit ABC un triangle de centre de gravité G.
1) Établir que : GA2+GB2=12GA2+BC22
(on pourra utiliser le théorème de la médiane)
2) En déduire que : GA2+GB2+GC2=13(AB2+BC2+CA2)
3) Quel est l'ensemble des points M du plan tels que : MA2+MB2+MC2=BC2+CA2+AB2 ?
Exercice 30
On donne un triangle ABC.
Déterminer l'ensemble des points M, tels que :
1) (2→MA−→MB−→MC)⋅→AM=(→MA−2→MB+3→MC)⋅→BC
2) (3→MA+→MB−4→MC)⋅→AM=(→MA+→MB+→MC)⋅→AB
3) (→MA+→MB+→MC)⋅(→AB+→AC)=0
4) (2→MA−3→MB+4→MC)⋅(→MA−3→MB+2→MC)=0
Exercice 31
On donne un rectangle ABCD tel que AB=a et AD=b et l'on considère l'application f de P dans R, définie par : f : M↦MA2+MB2+MC2+MD2.
1) Pour tout point M, démontrer que :
f(M)=4OM2+h, où O est le centre du rectangle et h un réel que l'on exprimera en fonction de a et b.
2) En déduire les lignes de niveau de l'application f.
Comment choisir le réel k pour que la ligne de niveau k soit le cercle circonscrit au triangle ?
Exercice 32
Soit ABC un triangle rectangle en A, de centre de gravité G, et A′ le milieu du segment [BC]
On pose BC=a.
1) Exprimer 4→GA⋅→AA′ en fonction de a.
2) Exprimer GB2+GC2 en fonction de a.
En déduire que GA2+GB2+GC2=23a2
3) Prouver que, pour tout point M du plan, on a : MA2+MB2+MC2=GA2+GB2+GC2+3MG2
4) Déterminer et représenter l'ensemble des points M du plan tels que :
MA2+MB2+MC2=34a2
Exercice 33
Soit ABC un triangle isocèle tel que: AB=AC=5 et BC=6.
1) Montrer que →AB⋅→AC=7
2) Soit G le barycentre de {(A, 2)(B, 3)(C, 3)}.
Construire G et montrer que AG=3.
3) Soit f l'application qui, à tout point M du plan, associe :
f(M)=2→MB⋅→MC+→MC⋅→MA+→MA⋅→MB
Montrer que f(M)=f(G)+4MG2.
4) Calculer f(A) et f(G).
5) Déterminer l'ensemble des points M tels que f(M)=f(A) et représenter cet ensemble.
Exercice 34
Construire un triangle ABC tel que : AB=8, AC=5 et BC=6.
I est le milieu de [AB].
1) Construire l'ensemble E des points M tels que : MA2+MB2=82.
2) Choisir k pour que la ligne de niveau Lk de la fonction f : M↦MA2+MB2 passe par C.
3) Construire l'ensemble F des points M tels que : 61≤MA2+MB2≤82
4) On note Gk l'ensemble des points M tels que :
MA2+MB2−2MC2=k, où k est un réel donné.
a) Quelle est la nature de Gk ?
b) Choisir k pour que Gk passe par B, et construire Gk dans ce cas particulier.
Équations de cercles
Exercice 35
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, →i, →j)
Soit E l'ensemble des points M(x, y) du plan défini par :
x2+y2−2mx−4my+6m2−4=0, avec m∈R..
1) Quelle est la nature de l'ensemble E dans chacun des cas suivants :
a) m=0 ?b) m=2 ?c) m=3 ?
2) Peut-on déterminer le réel m pour que l'origine O du repère appartienne à l'ensemble E ?
3) Existe-t-il un ensemble E contenant le point H(4; −2) ?
4) pour quelles valeurs de m l'ensemble E est-t-il un cercle ?
Préciser alors son centre Ω et son rayon r en fonction de m.
5) Montrer que, lorsque m varie, l'ensemble des centres Ω de ces cercles est un segment de droite.
Exercice 36
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation du ou des cercles déterminés par les conditions :
1) C a pour centre A(1, 1) et passe par B(2, 3).
2) C a pour centre Ω(2, 0) et est tangent à la droite d'équation x+y+1=0.
3) C passe par A(1, 0); B(0, 2); C(1, 2).
4) C a pour diamètre [AB] avec A(3, 2) et B(−1, 5).
5) C est circonscrit au triangle ABC avec A(2, 3); B(−2, −1); C(1, −1).
Exercice 37
Puissance d'un point par rapport à un cercle
A) Puissance d'un point par rapport à un cercle et lignes de niveau
Dans un plan P, soit un cercle C de centre Ω et de rayon R et M un point quelconque.
On mène par M une sécante au cercle C qui le coupe en deux points A et B.
A′ est le point du cercle C diamétralement opposé à A.
1) a) Établir que →MA⋅→MB=→MA⋅→MA′
b) Montrer alors que →MA⋅→MB=ΩM2−R2
c) En déduire que ce produit scalaire est indépendant de la sécante issue de M.
2) On pose Φ(M)=ΩM2−R2.
Le réel Φ(M) est appelé la puissance du point M par rapport au cercle C.
a) Lorsque M est un point extérieur au cercle C,
on considère la tangente (MT) au cercle C en T.
Montrer que Φ(M)=MT2.
b) Soit un triangle MQL et M un point de la droite (PQ) tel que l'on ait :
¯MPׯMQ=ML2.
Montrer que le cercle circonscrit au triangle PQL est tangent en L à la droite (ML)
3) Étudier le signe de Φ(M) suivant la position de M dans le plan P.
4) Soit Lk la ligne de niveau k de l'application Φ : M↦Φ(M)=ΩM2−R2
Lk est donc l'ensemble des points M tels que Φ(M)=k.
a) Discuter suivant les valeurs de k la nature de la ligne Lk.
b) Déterminer et, lorsqu'elle existe, représenter Lk pour les valeurs suivantes de k :
k=−2R2, k=−34R2 et k=0
c) Déterminer l'ensemble E des points M du plan P tels que :
R2≤Φ(M)≤3R2.
On retiendra de cette étude les résultats suivants :
B) Axe radical de deux cercles
On considère deux cercles de centres distincts :
C1 de centre Ω1 et de rayon R1, et
C2 de centre Ω2 et de rayon R2.
On note Φ1(M), respectivement Φ2(M), les puissances de M par rapport aux cercles C1 et C2.
1) a) Montrer que l'ensemble Δ des points M du plan tels que
Φ1(M)=Φ2(M), est une droite perpendiculaire à la droite (Ω1Ω2).
b) Cette droite est appelée axe radical des cercles C1 et C2.
Quel est l'axe radical de deux cercles sécants en A et B ?
2) Construire Δ dans les cas suivants (on suppose que l'unité choisie est le centimètre) :
a) R1=2, R2=5 et Ω1Ω2=7;b) R1=3, R2=4 et Ω1Ω2=7.
3) On considère maintenant trois cercles dont les centres sont distincts et non alignés :
C1 de centre Ω1 et de rayon R1,
C2 de centre Ω2 et de rayon R2,
C3 de centre Ω3 et de rayon R3.
Soit Δ1 l'axe radical des cercles C2 et C3,
Δ2 l'axe radical des cercles C1 et C3,
Δ3 l'axe radical des cercles C1 et C2.
a) Montrer que les droites Δ1, Δ2 et Δ3 sont concourantes en un point O.
Ce point est appelé centre radical des trois cercles C1, C2 et C3.
b) Application :
construction de l'axe radical de deux cercles n'ayant aucun point commun.
Soit C1 et C2 deux cercles de centres Ω1 et Ω2 et de rayons R1 et R2 avec :
R1=3, R2=2 et Ω1Ω2=7.
En utilisant un cercle C3 convenablement choisi, déterminer un point de l'axe radical de C1 et C2.
Construire alors cet axe.
c) Démontrer que le centre radical de trois cercles est soit intérieur aux trois cercles, soit extérieur aux trois cercles, soit sur les trois cercles.
C) Cercles orthogonaux
1) Soit C1 un cercle de centre Ω1 et de rayon R1.
Soit C2 un cercle de centre Ω2 et de rayon R2.
Donner un encadrement de la distance Ω1Ω2 de façon à ce que les cercles C1 et C2 soient sécants.
2) Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (O, →i, →j)
On définit les cercles C1 et C2 par les équations cartésiennes suivantes :
C1 : x2+y2+4x−y−2=0 et C2 : x2+y2−6x−6y−7=0.
a) Déterminer les coordonnées des points Ω1 et Ω2 et calculer R1, puis R2.
b) En utilisant la question 1), montrer que C1 et C2 sont sécants.
c) Soit I et J les points d'intersection des cercles C1 et C2, I désignant le point d'intersection d'abscisse nulle.
Déterminer les coordonnées de I et J.
d) Déterminer une équation de la tangente au cercle C1 en I, ainsi qu'une équation de la tangente au cercle C2 en I.
Montrer alors que C1 et C2 sont orthogonaux.
e) Calculer la puissance du point Ω1 par rapport au cercle C2, et la puissance du point Ω2 par rapport au cercle C1.
Comparer les nombres obtenus.
f) Soit D la droite passant par Ω1 et parallèle à l'axe (O, →i)
Donner les coordonnées des points d'intersection
P1 et Q1 de D avec le cercle C1, puis les coordonnées des points d'intersection
P2 et Q2 de D avec le cercle C1.
Montrer alors que :
Ω1P21=Ω1Q21=→Ω1P2⋅→Ω1Q2
Commentaires
Fiacre Martin D... (non vérifié)
ven, 11/15/2019 - 01:00
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Fiacre Martin D... (non vérifié)
ven, 11/15/2019 - 01:09
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corrections des exercices
garad (non vérifié)
lun, 02/07/2022 - 18:04
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pouvoir imprimer les exo
garad (non vérifié)
lun, 02/07/2022 - 18:04
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pouvoir imprimer les exo
diomaye Thiao (non vérifié)
mar, 05/31/2022 - 15:26
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correction exercice 32
diomaye Thiao (non vérifié)
mar, 05/31/2022 - 15:27
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correction de exercice 32
Anonyme (non vérifié)
mer, 01/11/2023 - 22:41
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je trouve les exercices
balthazar (non vérifié)
dim, 01/05/2025 - 18:44
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