Exercices : Racine carrée 3e
Classe:
Troisième
Exercice 1
Donner une écriture simple des nombres réels suivants :
A=√200−3√18+6√2+50
B=(√2+2)2
C=(3√2−5)2
D=(3√2+5)(3√2−5)
E=√19−√1+√82
Exercice 2 "au BFEM du 2e groupe"
Répondre par vrai on faux en justifiant la réponse :
1) √40=20, 2) 7√2=√98, 3) √64+25=8+5=13
Exercice 3
On considère les nombres réels définis par :
X=√5√5−√3−√3√5+√3 et Y=(3√2−√3)2+6√6
Montrer que X et Y sont des nombres entiers naturels.
Exercice 4
On donne les nombres réels suivants tels que :
X=√4+√7−√4−√7 et Y=√3−2√2−√3+2√2
1) Déterminer les signes respectifs de X et Y.
2) Calculer X2 et Y2.
3) En déduire X et Y.
Exercice 5
L'unité de longueur est le hm. Les dimensions d'un champ rectangulaire sont : 2√3+2 et 2√3−2.
Calculer : Le périmètre, l'aire ensuite le diamètre du cercle circonscrit de ce champ rectangulaire.
Exercice 6 "BFEM 2009"
On donne les réels : a=2−3√22 et b=13√2+4
1) Rendre rationnel le dénominateur de b puis montrer que les nombres a et b sont des opposés.
2) Soit A=√(1−2√2)2+(√2−2)2−√18.
Montrer que A=5−5√2 puis encadre-le à 10−2 prés sachant que :
1.414<√2<1.415.
Exercice 7
1) Calculer la valeur numérique de l'expression suivante : C=2x2−x−2−xx pour x=2−√3
2) Écrire les expressions suivantes sous la forme a√b avec a∈Q et b∈N
A=√363+5√3+√2×√54−3√12
B=√20−23√80+7√2.45
C=2√75−4√48+7√192
D=−15√96+18√54+3√486−21√24
E=√2√3−√54+√2449
F=73√5416−65√3020−92√2481
Exercice 8
1) Rendre rationnel le dénominateur des nombres suivants :
5−2√33√3−5,3√5−32√3,23√2−2√3
2) Mettre les expressions suivantes sous la forme a+b√c avec a∈Q, b∈Q et c∈N
A=21−√3+11+√3,B=√3√3−√2+√2√3+√2
3) Donner une écriture simplifiée de :
C=3√175×2√34,D=√(32)2+4
E=(1−√2)(5√2+3)+(1−√2)2,F=√1.6×2.50.36
4) Écris sans le grand radical.
F=√(1−√5)2,G=√(−5−√3)2
H=√(5−2√3)2,I=√(−2√3+4)2
J=√(32−2√2)2
Exercice 9
1) Écrire A=√121−2√112+√63−√81 sous la forme p+q√c(p∈Z, q∈Z, c∈N)
2) Soit l'expression B(x)=x2−1+(x+7)(2−2x).
a) Développer, réduire puis ordonner B(x).
b) Factoriser B(x).
3) Soit l'expression q(x)=B(x)(x−1)(x+7)
a) Établir la condition d'existence de q(x) et la Simplifier.
b) Calculer q(√2) (sans radicale au dénominateur).
c) Donner un encadrement de q(√2) d'amplitude 0.1 prés sachant que
1.41<√2<1.42.
Exercice 10
On donne A=4−√5−212−√5 et B=4−2√5
1) Écrire A et B2 sous la forme x+y√5. En déduire une écriture simplifiée de C=√A.
2) Sachant que 2.23<√5<2.24 ; donner un encadrement de B et C à 10−1 près.
Exercice 11
On donne a=−62√3−3√2 et b=4−2√3
1) Écrire a sous la forme x√3+y√2 puis calculer a2.
En déduire une écriture simplifiée de C=30+12√62√3−3√2.
2) Calculer b2 puis montrer que d=12−3√12√28−16√3∈N
Exercice 12
1) Écrire sous la forme a√b où a et b sont des entiers : √45; √12; √20.
2) Écrire C=√45+√12+√20−2√3 sous la forme d√5 où d est un entier.
3) Montrer que E=(1+√2)2−(√8−1) est un entier.
Exercice 13
On donne a=√10−3 et b=√√10−3√10+3
1) Calculer a2 puis rendre rationnel le dénominateur de √10−3√10+3
2) Simplifier l'écriture de b.
3) Sachant que 3.162<√10<3.163 ; donner un encadrement de 3−√10 au dixième près.
Exercice 14
Soient les réels x et y tels que x=2+√32−√3+2−√32+√3;y=√50−√32−√18
1) Montrer que x est un entier que l'on précisera.
2) Écrire y sous la forme a√b avec b un entier naturel.
3) Donner un encadrement de x−y à 10−2 près.
Exercice 15
1) Simplifier les réels suivants :
A=−√493+√12−√(−5)2
B=√12+√32−√144−√2
C=3√a4+a√a2−5a2 avec a∈R−
2) Comparer les réels
−2√5 et −3√5
3−2√2 et −1+√2
√5−2√3 et √3−√3
Exercice 16
1) On donne a=2+√5 et b=2−√5. Calculer a2 et b2 puis en déduire une écriture simplifiée de A=√9+4√5+√9−4√5.
2) On donne
X=√3+2√2 et Y=√3−2√2
a) Calculer X.Y ; que peut-on dire de X et Y ?
b) On pose M=X−Y ; calculer M2 puis en déduire que M=2.
Exercice 17
1) On donne C=√5√2−7 et D=√5√2+7.
Montre que C et D sont inverses.
2) E=3√2−1√2.
Après avoir rendu rationnel le dénominateur de E, encadrer E à 10−2 près sachant que 1.414<√2<1.415.
3) F=√2√48−3√54+5√6. Montrer que F=0
Exercice 18
1) On pose a=1+√5 et b=1−√3 ; calculer a2 et b2.
2) Simplifier c=1+√56+2√5 puis rendre rationnel son dénominateur.
3) Calculer a.c. Que représente a pour c ?
4) On donne A=√(6−2√5)2−2(6−2√5)(3+3√5)+(3+3√5)2
a) Simplifier A.
b) Donner la valeur approchée de A à 10−2 près par défaut sachant que
2.236<√5<2.237.
Exercice 19
On donne a=1−√3 et b=6√1−√32.
1) Calculer a2 et b2. Montrer que b=−3a.
2) On donne E=2−√126√1−√32 ; montrer que E est un rationnel.
Exercice 20 "BFEM 2008"
On donne a=√7+4√3 et b=√7−4√3
1) Calculer a2; b2; a×b; (a+b)2 et (a−b)2
2) En déduire a+b et a−b
Exercice 21
Soit A=√2−3 et B=5√2−1√2+1
1) Calculer A2 puis rendre rationnel le dénominateur de B.
2) En déduire une écriture simplifiée de √B.
Résoudre dans R, l'équation : (√2+1)x2−5√2+1=0
Exercice 22
1) Comparer en justifiant :
−2√33 et √27
√7+4 et √7−1
2√2−1 et 3−√2
√9+4√5 et √9−4√5
2) Écrire plus simplement :
√22×42×32×52,√72×22×53×38
√362×b5×c4×a−2 avec a>0 et b≥0
√4+√29−√14+√3+√1
14√13+√152+3√14
Exercice 23
On donne : P=2−3√22 et Q=13√2+4
1) Montrer que P et Q sont des opposés.
2) Sachant que 1.414<√2<1.415. Encadrer à 10−2 près P et Q.
3) On donne 3.316<√11<3.317 encadrer à 10−1 près ab sachant que a=2√11−6 et b=2√11+6
Exercice 24
On donne a=√28+16√3 et b=√28−16√3
1) Montrer que a×b=4
2) On pose u=a+b et v=a−b. Calculer u2 et v2 puis en déduire u et v.
3) On donne X=u+v2 et Y=u−v2. Trouver X et Y puis montrer que a=X et b=Y.
4) Donner la valeur approchée par défaut de b à 10−2 près sachant que 1.732<√3<1.733.
Exercice 25
Soient a, b, c trois réels tels que :
a(√3+1)=√3−1, b=√2−√3 et c=(√6−√22)2
1) Calculer a et rendre rationnel son dénominateur.
2) Écrire c sous la forme x+y√3.
3) a) Montrer que a=c puis en déduire une écriture simplifiée de b.
b) Encadrer b à 10−1 près sachant que
1.414<√2<1.415 et 2.449<√6<2.450
Exercice 26
1) Déterminer le réel a tel que 36a=1296 puis en déduire √1296.
2) On donne x=3+2√2; y=3−2√2 et z=√5+12
a) Calculer x2, y2, xy et xy
b) Montrer que xy+yx est un entier relatif.
c) Montrer que 1z=z−1
Exercice 27
1) On donne P=(√2−√3√2:1√2+√3)×√24√3.
Montrer que P=−√312.
2) On donne Q=−2√48+3√192−4√75
a) Écrire Q sous la forme a√b (a∈Z; b∈N)
b) Encadrer Q par deux entiers consécutifs.
3) Montrer que P et Q sont des inverses.
4) En déduire que P(P−1)=P−1Q.
Exercice 28
1) On considère l'expression X=√300+2√3−4√75.
Écris X sous la forme a√b ; où a et b sont des entiers relatifs.
2) Calcule (2−√3)2 puis déduis-en l'écriture de Y=√7−4√3. avec un seul radical.
Exercice 29
Écris le plus simplement possible les expressions suivantes :
A=5√300+√27−3√147 et
B=√6−√11×√6+√115.
Exercice 30
1) Calcule (1+√5)2 et (1−√5)2
2) On donne X=√6−2√5 et Y=√6+2√5
a) Écris X et Y avec un seul radical.
b) Calcule X+Y et X−Y.
Exercice 31
On donne a=5−2√6 et b=5+2√6.
1) Calcule a×b.
Que peux-tu en déduire ?
2) Calcule a2; b2 et ab.
3) Vérifie que ab+ba est un entier naturel.
4) Soit X=√49−20√6 et Y=√49+20√6
Écris X et Y avec un seul radical.
Exercice 32
On considère l'expression ci-dessous :
H(x)=4(x+√3)2−4√3(x+√3)+3
1) Développe, réduis et ordonne H(x).
2) Déduis-en une factorisation de H(x).
Exercice 33
On donne :
a=2−√35+√3
b=3√18+√128−√338
c=√2−3.
1) Rends rationnel le dénominateur de a.
2) Simplifie b.
3) Calcule c2.
Déduis-en que p=√5−√83√5−6√2 est un rationnel que l'on déterminera.
Exercice 34
Écris le plus simplement possible les expressions ci-dessous :
G=√76−2√37−√2125+125×√6+√103−2√94
On donne un triangle ABC rectangle en A tel que AC=√3−1 et BC=2√2.
1) Calcule AB2, déduis-en que AB=√3+1 puis l'aire du triangle ABC.
2) Calcule 1AC sans radical au dénominateur et déduis-en un encadrement de 1AC d'amplitude 0.01
sachant que 1.73<√3<1.74.
Exercice 35
ABCD et CHIJ sont des carrés de côtés respectifs :
5√3−1 et √27. (Voir figure ci-dessous)
Calcule :
1) l'aire du carré ABCD ;
2) l'aire du carré CHIJ ;
3) la longueur AE ;
4) le périmètre du rectangle CDFJ ;
5) l'aire de la surface coloriée.
Exercice 36
1) Écris les expressions x et y ci-dessous sous la forme a√b où a et b sont des entiers positifs.
a) x=2√50−3√18+√200−√2.
b) y=√20+√80−√32√12×√48.
2) On donne les réels m=1−2√3 et n=1+√12
a) Sans calculer m2 et n2 montre que m+n , m×n sont des entiers relatifs.
b) Déduis-en que m2+n2 est un entier relatif.
3) On pose p=mn.
Rends rationnel le dénominateur de p.
Exercice 37
On donne :
A=(√5−√3)2 et B=x2−7x+10.
1) Calcule A puis déduis-en l'expression simplifiée du nombre :
C=12(√5−√8−2√15).
2) Calcule B pour x=√2.
3) Donne un encadrement du nombre D=12−7√2 sachant que :
1.414<√2<1.415, puis déduis-en la valeur approchée de D à 10−2 près par défaut.
▸Correction des exercices
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Commentaires
Dadal (non vérifié)
mar, 06/25/2019 - 13:22
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Dont
Tidiane (non vérifié)
dim, 10/27/2019 - 13:44
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Apprendre
Samba ndour (non vérifié)
lun, 08/10/2020 - 11:53
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Pour réussi l'examen du BFM
Morzo (non vérifié)
mar, 12/22/2020 - 20:25
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comment faire ?
Anonyme (non vérifié)
lun, 10/24/2022 - 21:50
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Je le trouve bien
Anonyme (non vérifié)
dim, 12/27/2020 - 14:15
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on chiale sa mere
Soriba Sori (non vérifié)
jeu, 07/14/2022 - 23:29
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Réussir
Fatou ba (non vérifié)
ven, 01/01/2021 - 21:43
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On apprend aussi pour le
khady ndiaye (non vérifié)
mar, 11/02/2021 - 23:48
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être mielleur en math
Anonyme (non vérifié)
ven, 05/15/2020 - 23:29
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Exercice 6 rendre rationnelle
cherif (non vérifié)
sam, 05/16/2020 - 13:03
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On a fait
Tapsoba (non vérifié)
ven, 11/27/2020 - 20:12
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Télécharger les exercices et leur corrigé
Anonyme (non vérifié)
sam, 12/19/2020 - 17:17
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Super merci beaucoup c'est
Anonyme (non vérifié)
sam, 02/27/2021 - 15:38
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Correction
Anonyme (non vérifié)
jeu, 11/04/2021 - 07:38
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Interressant
mama fatou (non vérifié)
lun, 10/24/2022 - 19:43
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Je vous remercie vrm
GONDO GUEI LUCIEN (non vérifié)
ven, 07/28/2023 - 18:17
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Cool exercises!
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