Angles - Trigonométrie - 1er S
Classe:
Première
I Angles non orientés
I.1 Définition
Deux demi-droites de même origine O divise le plan en deux parties appelées secteurs angulaires. On a le secteur angulaire saillant noté ^xOy et le secteur angulaire rentrant noté ∨xOy
Les unités de mesure sont : le radian (rd) ; le degré (∘) ; le grade (gr).
Nous avons les correspondances suivantes :
180∘→πrd→200gr30∘→π6rd→2006=1003gr45∘→π4rd→50gr60∘→π3rd→2003gr90∘→π2rd→100gr
I.2 Angles alternes internes, alternes externes, correspondants, opposés par le sommet
Soient deux droites (Δ) et (Δ′) parallèles et (D) une droite sécante à (Δ) et à (Δ′) respectivement en A et B.
⋅ {ˆA3 et ˆB3ˆA4 et ˆB4 sont alternes internes donc ˆA3=ˆB3 et ˆA4=ˆB4
⋅ {ˆA1 et ˆB1ˆA2 et ˆB2 sont alternes externes donc ˆA1=ˆB1 et ˆA2=ˆB2
⋅ {ˆA1 et ˆB3ˆA4 et ˆB2ˆA3 et ˆB1ˆA2 et ˆB4 sont des angles correspondants donc
ˆA1=ˆB3, ˆA4=ˆB2, ˆA3=ˆB1 et ˆA2=ˆB4
⋅ {ˆA1 et ˆA3ˆA4 et ˆA2ˆB3 et ˆB1ˆB2 et ˆB4 sont des angles opposés par le sommet donc
mesˆA1=mesˆA3, mesˆA4=mesˆA2, mesˆB3=mesˆB1 et mesˆB2=mesˆB4
I.3 Angle au centre - Angle inscrit
A, B, C, D∈C(O, R)
(T) est la tangente à (C) en A
l'angle ^AOB est un angle au centre qui intercepte l'arc ⌢AB
^ADB et ^ACB sont des angles inscrits qui interceptent l'arc ⌢AB
(^(AT1), (AB)) est l'angle formé par la tangente en A et la droite (AB)
Soit ^ACB=α+β
On a :
^AOB=β+β+α+α=2β+2α=2(β+α)⇒^AOB=2^ACB
⋅ L'angle au centre est le double de l'angle inscrit s'ils interceptent le même arc.
⋅ Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux.
(^(AT1), (AB))=^ACB=12^AOB
⋅ Points cocycliques : on dira que quatre points A, B, C, D sont cocycliques (appartiennent à un même cercle) ou alignés si, et seulement si,
^ABC=^ADC^CAB=^CDB^ABD=^ACD
I.4 Longueur de l'arc
Soit C(O, R) de centre O et de rayon R ; A et B deux points de (C) tels que ^AOB=θ.
⋅ La longueur de l'arc ⌢AB est donnée par ℓ⌢AB=R×θ
On a :
2π→2πRθ→2πR×θ2π=R×θ
⋅ L'aire du secteur angulaire S est donnée par
S=θ×R22
On a :
2π→πR2θ→πR2×θ2π=θ×R22
II Angles orientés
II.1 Orientation du plan
On a deux sens de parcours d'un cercle.
Le sens contraire des aiguilles d'une montre est appelé sens positif et le sens des aiguilles d'une montre est appelé sens négatif.
Orienté le plan, c'est choisir comme sens positif le sens contraire des aiguilles d'une montre.
II.2 Angles orientés de demi-droites, de vecteurs
II.2.1 Définition
Soient [Ox) et [Oy) deux demi-droites de même origine O.
L'angle orienté de demi-droites [Ox) et [Oy) noté (^[Ox), [Oy)) est l'angle qui a pour sommet O et pour extrémités [Ox) et [Oy), orienté de [Ox) vers [Oy).
Si →u est un vecteur directeur de [Ox) tel que →u=→OA avec A∈[Ox) et →v un vecteur directeur de [Oy) tel que →v=→OB avec B∈[Oy) alors l'angle orienté de vecteurs →u et →v noté (→u, →v) est égal à l'angle orienté de demi-droites (^[Ox), [Oy)) qui est orienté de [Ox) vers [Oy).
On a (→u,→v)=(^[Ox), [Oy))
II.2.2 Propriétés
⋅ (→u, →v)=−(→v, →u)[2π]
⋅ (−→u, →v)=(→u, −→v)=π+(→u, →v)
⋅ (−→u, −→v)=(→u, →v)[2π]
⋅ (k→u, k→v)=(→u, →v)[2π]∀k≠0
⋅ (k→u, →v)={(→u, →v)[2π] si k>0π+(→u, →v)[2π] si k<0
⋅ (→u, →v)+(→v, →w)=(→u, →w)[2π] (Relation de Chasles)
⋅ →u1⊥→u2 et →v1⊥→v2 alors (→u1, →v1)=(→u2, →v2)[π]
II.3 Lignes de niveau
Définition
Soient A et B deux points du plan P et soit l'application f : P→RM→f(M)=(→MA, →MB)
Soit θ∈R ; la ligne de niveau θ est l'ensemble des points M du plan P tels que f(M)=θ
Exemples
a) l'ensemble E={M∈P; (→MA, →MB)=0[π]} est la droite (AB) privée des points A et B.
b) l'ensemble E={M∈P; (→MA, →MB)=0[2π]} est la droite (AB) privée des points du segment [AB].
c) l'ensemble E={M∈P; (→MA, →MB)=π[2π]} est le segment [AB] privé des points A et B.
d) l'ensemble E={M∈P; (→MA, →MB)=π[π]} est la droite (AB).
e) l'ensemble E={M∈P; (→MA, →MB)=θ[π]} est un cercle passant par A et B et privé de des points A et B.
f) l'ensemble E={M∈P; (→MA, →MB)=θ[2π]} est un arc de cercle.
g) l'ensemble E={M∈P; (→MA, →MB)=π2[π]} est le cercle de diamètre [AB] privé des points A et B.
h) l'ensemble E={M∈P; (→MA, →MB)=π2[2π]} est un demi-cercle.
III Trigonométrie
III.1 Cercle trigonométrique et angles remarquables
III.1.1 Définition
On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1, orienté.
III.1.2 Angles associés
Dans la liste qui suit, nous allons donner quelques relations en fonctions de cosα et sinα.
On a :
cos(α+2kπ)=cosα,sin(α+2kπ)=sinα
cos(−α)=cosα,sin(−α)=−sinα cos(π−α)=−cosα,sin(π−α)=sinα
cos(π+α)=−cosα,sin(π+α)=−sinα
cos(π2−α)=sinα,sin(π2−α)=cosα
cos(π2+α)=−sinα,sin(π2+α)=cosα
tan(π−α)=−tanα,tan(π+α)=tanα
tan(α+2kπ)=tanα,tan(−α)=−tanα
Le tableau ci-après nous donne le cosinus et le sinus des angles remarquables
α0π6π4π3π2sinα012√22√321cosα1√32√22120tanα0√331√3×
Exemple :
Déterminer les cosinus et sinus de : 77π4, 81π6, −17π3
Résolution :
Soit α; −π<α≤π et k∈Z
a) posons 77π4=α+2kπ⇒α=77π4−2kπ alors on a
−π<77π4−2kπ≤π−π−77π4<−2kπ≤π−77π477π4−π≤2kπ<77π4+π18.25≤2k<20.259.125≤k<10.125
On obtient : k=10⇒α=−3π4
Donc,
cos77π4=cos(−3π4)=cos3π4=cos(π−π4)=−cosπ4=−√22
De même,
sin77π4=sin(π−π4)=sinπ4=√22
D'où, cos77π4=−√22 et sin77π4=√22
b) posons 81π6=α+2kπ⇒α=81π6−2kπ alors on a
−π<81π6−2kπ≤π−π−81π6<−2kπ≤π−81π681π6−π≤2kπ<81π6+π12.5≤2k<14.56.25≤k<7.25
On obtient : k=7⇒α=−3π4
Donc, cos81π6=−√22 et sin81π6=√22
c) On a : −17π3=−18π3+π3=−6π+π3
Donc, cos(−17π3)=cosπ3=12etsin(−17π3)=sinπ3=√32
III.1.3 Coordonnées polaires
Soit P un plan muni d'un repère orthonormal (O; →i, →j) et M(xy) un point de P.
x et y sont les coordonnées de M dans le repère (O; →i, →j).
On pose OM=||→OM||=r et (→i, →OM)=θ.
r et θ sont appelés coordonnées polaires de M.
On a alors {x=rcosθy=rsinθ
III.2 Formules d'addition et de multiplication par deux
III.2.1 Formules d'addition
Soient A et B deux point appartenant à C(O, 1) tels que (→i, →OA)=a et (→i, →OB)=b.
1e façon
Soit OA=||→OA||=1 et OB=||→OB||=1
On a : →OA(OAcosaOAsina) et →OB(OBcosbOBsinb)
Alors, →OA⋅→OB=cosacosb+sinasinb
2e façon
Soit (→OA, →OB)=(a−b)
On a : →OA⋅→OB=||→OA||.||→OB||.cos(→OA, →OB)=cos(a−b)
en combinant les deux méthodes on obtient :
cos(a−b)=cosacosb+sinasinb
Par conséquent, on a :
cos(a+b)=cos(a−(−b))=cosacos(−b)+sinasin(−b)
Or, cos(−b)=cosb et sin(−b)=−sinb
Donc, cos(a+b)=cosacosb−sinasinb
sin(a+b)=cos[π2−(a+b)]=cos[(π2−a)−b)]=sinacosb+cosasinb
D'où, sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
Par suite,
sin(a−b)=sin(a+(−b))=sinacos(−b)+cosasin(−b)
D'où, sin(a−b)=sinacosb−cosasinb
En résumé on a :
cos(a−b)=cosacosb+sinasinb(1)cos(a+b)=cosacosb−sinasinb(2)sin(a+b)=sinacosb+cosasinb(3)sin(a−b)=sinacosb−cosasinb(4)
En conséquence, nous obtenons les relations suivantes :
tan(a+b)=sin(a+b)cos(a+b)=sinacosb+cosasinbcosacosb−sinasinb=sinacosb+cosasinbcosacosbcosacosb−sinasinbcosacosb=sinacosbcosacosb+cosasinbcosacosbcosacosbcosacosb−sinasinbcosacosb=tana+tanb1−tanatanb
D'où, tan(a+b)=tana+tanb1−tanatanb
et par suite
tan(a−b)=tan(a+(−b))=tana+tan(−b)1−tanatan(−b)
Or, tan(−b)=−tanb
donc, tan(a−b)=tana−tanb1+tanatanb
Exemple :
Donner les valeurs exactes de :
cosπ12, sinπ12, cos7π12, sin7π12
Résolution :
cosπ12=cos(π3−π4)=cosπ3cosπ4+sinπ3sinπ4=12×√22+√32×√22=√24+√64
D'où, cosπ12=√2+√64
sinπ12=sin(π3−π4)=sinπ3cosπ4−cosπ3sinπ4=√32×√22−12×√22=√64−√24
D'où, sinπ12=√6−√24
cos7π12=cos(π3+π4)=cosπ3cosπ4−sinπ3sinπ4=12×√22−√32×√22=√24−√64
D'où, cos7π12=√2−√64
sin7π12=sin(π3+π4)=sinπ3cosπ4+cosπ3sinπ4=√32×√22+12×√22=√64+√24
D'où, sin7π12=√6+√24
⋅ Autres formes
En additionnant les relations (1) et (2) du résumé on obtient
(1)+(2)⇒2cosacosb=cos(a+b)+cos(a−b)
Donc, cosacosb=cos(a+b)+cos(a−b)2
Et leur différence donne :
(1)−(2)⇒2sinasinb=cos(a−b)−cos(a+b)
Ainsi, sinasinb=cos(a−b)−cos(a+b)2
Enfin en additionnant les relations (3) et (4) on a
(3)+(4)⇒2sinacosb=sin(a+b)+sin(a−b)
D'où, sinacosb=sin(a+b)+sin(a−b)2
Remarque
En posant {a+b=pa−b=q ⇒ {a=p+q2b=p−q2 on obtient les relations suivantes :
cosp+cosq=2cosp+q2cosp−q2cosp−cosq=−2sinp+q2sinp−q2
sinp+sinq=2sinp+q2cosp−q2sinp−sinq=2sinp−q2cosp+q2
tanp+tanq=sin(p+q)cospcosqtanp−tanq=sin(p−q)cospcosq
III.2.2 Formules de multiplication par deux
Soit les relations suivantes :
cos(a+b)=cosacosb−sinasinb(5)sin(a+b)=sinacosb+cosasinb(6)tan(a+b)=tana+tanb1−tanatanb(7)
Dans la relation (5) remplaçons b par a, alors on obtient
cos2a=cosacosa−sinasina=cos2a−sin2a
Donc cos2a=cos2a−sin2a
mais comme cos2a+sin2a=1 alors,
cos2a=cos2a−(−cos2a+1)=2cos2a−1
Ainsi, cos2a=2cos2a−1
Aussi, cos2a=cos2a−sin2a=1−sin2a−sin2a
Ce qui donne : cos2a=1−2sin2a
Par analogie on a :
cosx=cos2x2−sin2x2cosx=2cos2x2−1cosx=1−2sin2x2
En remplaçant b par a, dans la relation (6), on obtient
sin2a=2sinacosa
De même, en prenant b=a dans la relation (7), on obtient
tan2a=2tana1−tan2a
En conséquence, nous avons :
cost=cos2t2−sin2t2=cos2t2−sin2t21=cos2t2−sin2t2cos2t2+sin2t2=cos2t2cos2t2−sin2t2cos2t2cos2t2cos2t2+sin2t2cos2t2=1−tan2t21+tan2t2
Ainsi, cost=1−tan2t21+tan2t2
De même,
sint=2sint2cost2=2sint2cost2cos2t2+sin2t2=2tant21+tan2t2
Donc, sint=2tant21+tan2t2
Exercice d'application
Factoriser 1−cosx+sinx
Résolution
On a :
1−cosx+sinx=cos2x2+sin2x2−cos2x2+sin2x2+2sinx2cosx2=2sin2x2+2sinx2cosx2=2sinx2(sinx2+cosx2)=2sinx2(sinx2+sin(π2−x2))=2sinx2(2sinπ4cos(x2−π4))=2sinx2(√2cos(x2−π4))=2√2sinx2cos(x2−π4)
III.3 Équations et Inéquations trigonométriques
III.3.1 Équations trigonométriques
III.3.1.1 Équations du type cosx=a
Si a∉[−1; 1] l'équation n'admet pas de solution ; S=∅
Si a∈[−1; 1] alors il existe un seul réel α∈[0; π] tel que a=cosα
L'équation devient : cosx=cosα
Deux angles ayant même cosinus sont égaux ou opposés cosx=cosα ⇔ {x=α+2kπoux=−α+2k′π;k, k′∈Z
S={α+2kπ; −α+2k′π,(k; k′)∈Z2}
Exemple
Résoudre dans R cosx=12
cosx=12⇔cosx=cosπ3⇔{x=π3+2kπoux=−π3+2k′π;k, k′∈Z
S={π3+2kπ; −π3+2k′π,(k; k′)∈Z2}
III.3.1.2 Équations du type sinx=a
Si a∉[−1; 1] l'équation n'admet pas de solution ; S=∅
Si a∈[−1; 1] alors il existe un seul réel α∈[−π2; π2] tel que a=cosα
L'équation devient cosx=cosα
Deux angles ayant même sinus sont égaux ou supplémentaires sinx=sinα ⇔ {x=α+2kπoux=π−α+2k′π;k, k′∈Z
S={α+2kπ; π−α+2k′π,(k; k′)∈Z2}
Exemple
Résoudre dans R sinx=√22
sinx=√22⇔sinx=cosπ4⇔{x=π4+2kπoux=π−π4+2k′π;k, k′∈Z⇔{x=π4+2kπoux=3π4+2k′π;k, k′∈Z
S={π4+2kπ; 3π4+2k′π,(k; k′)∈Z2}
III.3.1.3 Équations du type tanx=a
Pour tout réel a, il existe un seul réel α∈]−π2; π2[ tel que tanx=tanα
Dire que tanx=tanα revient à dire que les droites (OM) et (ON) coupent l'axe des tangentes au même point. Donc :
− Soit M=N ce qui signifie que x=α+2kπ
− Soit M et N sont symétriques par rapport à O et alors : x=α+π+2k′π
Remarque :
Dans le dernier cas, on peut écrire : x=α+(2k′+1)π, donc dans tous les cas on : x=α+kπ; k∈Z
S={α+kπ;k∈Z}
Exemple
Résoudre dans R tanx=1
tanx=1⇔tanx=tanπ4⇔x=π4+kπ;k∈Z
S={π4+kπ;k∈Z}
III.3.1.4 Équations du type acosx+bsinx=c
Transformons d'abord acosx+bsinx en Acos(x+θ) ou en Asin(x+φ)
On a : acosx+bsinx=√a2+b2(a√a2+b2cosx+b√a2+b2sinx)
De plus (a√a2+b2)2+(b√a2+b2)2=1 or ∀α∈R; cos2α+sin2α=1
Donc soit {cosα=a√a2+b2sinα=b√a2+b2ou{sinα=a√a2+b2cosα=b√a2+b2
D'où,
acosx+bsinx=√a2+b2(cosαcosx+sinαsinx)=√a2+b2cos(x−α)
ou encore
acosx+bsinx=√a2+b2(sinαcosx+cosαsinx)=√a2+b2sin(x+α)
Exemple
Résoudre dans R cosx+√3sinx=√3
a=1; b=√3 donc √a2+b2=√4=2
Ainsi,
cosx+√3sinx=2(12cosx+√32sinx)=2(cosπ3cosx+sinπ3sinx)=2cos(x−π3)
cosx+√3sinx=√3⇔2cos(x−π3)=√3⇔cos(x−π3)=√32⇔cos(x−π3)=cosπ6⇔{x−π3=π6+2kπoux−π3=−π6+2k′π;k, k′∈Z⇔{x=π2+2kπoux−π3=π6+2k′π;k, k′∈Z
S={π2+2kπ; π6+2k′π,(k; k′)∈Z2}
III.3.2 Inéquations trigonométriques
Les inéquations trigonométriques de la forme cosx≥a, sinx≥a ou tanx≥a se résolvent par lecture graphique sur un cercle trigonométrique.
Les solutions d'une inéquation trigonométriques sont généralement une réunion d'intervalles, dont les bornes sont les solutions de l'équation correspondante.
Exemple 1
Soit à résoudre, dans l'intervalle [0; 2π] l'inéquation : sinx>−12
On commence par chercher une valeur simple pour laquelle sinx=−12. Ici on prendra x=−π6.
On trace un cercle trigonométrique pour retrouver les autres valeurs sur la parallèle à l'axe des abscisses passant par le point correspondant à −π6.
Attention on travaille dans l'intervalle [0; 2π], les valeurs retenues seront donc 7π6 et 11π6.
D'après la figure ci-dessus, les valeurs pour lesquelles sinx>−12 sont les valeurs situées au dessus de la droite horizontale en bleu.
On conclut que : S=[0; 7π6[∪]11π6; 2π]
Exemple 2
Soit à résoudre, dans l'intervalle ]−π; π] l'inéquation : 2cosx−1<0
Elle est équivalente à cosx<12. On commence par chercher une valeur simple pour laquelle cosx=12. Ici on prendra x=π3.
On trace un cercle trigonométrique pour retrouver les autres valeurs sur la parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point correspondant à π3.
Attention on travaille sur l'intervalle ]−π; π], les valeurs retenues seront donc −π3 et π3.
Les points M d'abscisse x pour lesquels cosx<12 sont les points situés à gauche de la droite verticale en bleu sur le schéma ci-dessous.
On conclut que : S=]−π; −π3[∪]π3; π]
Exemple 3
Soit à résoudre, dans l'intervalle [0; 2π[ l'inéquation : tanx>1
Elle est équivalente à tanx>tanπ4. D'après l'interprétation géométrique de la tangente, pour que le réel x soit solution, il faut que le point M d'abscisse x soit situé sur l'un des arcs de cercle en rouge de la figure ci-dessous :
On en conclut que : S=]π4; π2[∪]5π4; 3π2[
Auteur:
Diny Faye & Seyni Ndiaye
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
sam, 11/09/2019 - 10:53
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Très bien fait ;complet.
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