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Solution série d'exercices : Ensemble ℚ des nombres rationnels 4e

Classe:

Quatrième

Exercice 1 Ensemble $\mathbb{Q}$

1) Complétons par

$\in\text{ ou }\not\in$

a) $\dfrac{21}{3}=7\in\mathbb{N}\;;\qquad\dfrac{41}{3}\not\in\mathbb{N}$

b) $\dfrac{21}{3}=7.0\in\mathbb{D}\;;\qquad\dfrac{40}{12}\in\mathbb{Q}\;;\qquad\dfrac{125}{374}\in\mathbb{Q}^{+}$

c) $-\dfrac{365}{73}=-5\in\mathbb{Z}\;;\qquad\dfrac{121}{11}\in\mathbb{Q}\;;\qquad\dfrac{42}{6}=7.0\in\mathbb{D}$

d) $15,5\in\mathbb{Q}\;;\qquad\dfrac{41}{3}\not\in\mathbb{D}\;;\qquad\dfrac{3}{4}\in\mathbb{Q}\;;\qquad -\dfrac{45}{3}\not\in\mathbb{N}$

2) Complétons par $\subset\text{ ou }\not\subset$

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\;;\qquad\mathbb{Z}\not\subset\mathbb{N}\;;\qquad\mathfrak{D}\subset\mathbb{D}\;;\qquad\mathbb{Q}\not\subset\mathbb{D}$

Exercice 2 Le PGCD et le PPMC

1) Calculons

$PGCD\;(504\;;\ 492)\$ et

$\ PGCD\;(888\;;\ 777)$

Calcul de

$PGCD\;(504\;;\ 492)$

Décomposons les nombres

$504\$ et

$\ 492$ en un produit de facteurs premiers.

On a :

$504=1\times 2^{3}\times 3^{2}\times 7\quad$ et

$\quad 492=1\times 2^{2}\times 3\times 41$

Donc,

$\begin{array}{rcl} PGCD\;(504\;;\ 492)&=&1\times 2^{2}\times 3\\\\&=&12\end{array}$

D'où,

$\boxed{PGCD\;(504\;;\ 492)=12}$

Calcul de

$PGCD\;(888\;;\ 777)$

En décomposant les nombres

$888\$ et

$\ 777$ en un produit de facteurs premiers, on obtient :

$888=1\times 2^{3}\times 3\times 37\quad\text{et}\quad 777=1\times 3\times 7\times 37$

Par suite,

$\begin{array}{rcl} PGCD\;(888\;;\ 777)&=&1\times 3\times 37\\\\&=&111\end{array}$

D'où,

$\boxed{PGCD\;(888\;;\ 777)=111}$

Simplifions les fractions suivantes :

$A=\dfrac{504}{492}\$ et

$\ B=-\dfrac{888}{777}$

Pour simplifier une fraction on utilise le PGCD du numérateur et du dénominateur.

Soit

$A=\dfrac{504}{492}$

Comme

$PGCD\;(504\;;\ 492)=12$ alors,

$\dfrac{504}{492}=\dfrac{504\div 12}{492\div 12}=\dfrac{42}{41}$

Par suite,

$\boxed{A=\dfrac{42}{41}}$

Soit

$B=-\dfrac{888}{777}$

Or,

$PGCD\;(888\;;\ 777)=111$ donc,

$-\dfrac{888}{777}=-\dfrac{888\div 111}{777\div 111}=-\dfrac{8}{7}$

D'où,

$\boxed{B=-\dfrac{8}{7}}$

2) Dans chacun des cas suivants, déterminons :

$PPCM\;(a\;;\ b)\quad\text{et}\quad PGCD\;(a\;;\ b)$

1e CAS :

$a=504\;;\quad b=492$

La décomposition des nombres

$504\$ et

$\ 492$ en un produit de facteurs premiers avait donné :

$504=1\times 2^{3}\times 3^{2}\times 7\quad\text{et}\quad 492=1\times 2^{2}\times 3\times 41$

Donc,

$\begin{array}{rcl} PPCM\;(504\;;\ 492)&=&1\times 2^{3}\times 3^{2}\times 7\times 41\\\\&=&20664\end{array}$

D'où,

$\boxed{PPCM\;(504\;;\ 492)=20664}$

A la question 1) on avait :

$PGCD\;(504\;;\ 492)=12$

2e CAS :

$a=121\;;\quad b=210$

En décomposant les nombres

$121\$ et

$\ 210$ en un produit de facteurs premiers, on obtient :

$121=1\times 11^{2}\quad\text{et}\quad 210=1\times 2\times 3\times 5\times 7$

Alors,

$\begin{array}{rcl} PPCM\;(121\;;\ 210)&=&1\times 11^{2}\times 2\times 3\times 5\times 7\\\\&=&25410\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{PPCM\;(121\;;\ 210)=25410}$

Les nombres

$121\$ et

$\ 210$ n'ont qu'un seul facteur premier en commun ; le nombre premier

$1.$

Donc,

$\boxed{PGCD\;(121\;;\ 210)=1}$

3) Montrons que

$1029$ est un multiple de

$147$

On a :

$1029\div 147=7\$ et

$\ 1029=(147\times 7)+0$

Alors,

$1029$ est un multiple de

$147$ car le reste

$r$ est égal à zéro

$(r=0)$

On en déduit :

$\boxed{PGCD\;(1029\;;\ 147)=147}\$ et

$\ \boxed{PPCM\;(1029\;;\ 147)=1029}$

Exercice 3 Opération dans $\mathbb{Q}$

1) Calculons les sommes suivantes puis simplifions :

On a :

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{-3}\\ \\&=&\dfrac{3}{4}+\left(-\dfrac{5}{3}\right)\\ \\&=&\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{3}\\ \\&=&\dfrac{3\times 3}{4\times 3}-\dfrac{5\times 4}{3\times 4}\\ \\&=&\dfrac{9}{12}-\dfrac{20}{12}\\ \\&=&\dfrac{9-20}{12}\\ \\&=&\dfrac{-11}{12}\end{array}$

D'où,

$\boxed{A=-\dfrac{11}{12}}$

On a :

$\begin{array}{rcl} B&=&\left(\dfrac{-2}{7}\right)+\left(\dfrac{-3}{2}\right)\\ \\&=& \dfrac{-2}{7}-\dfrac{3}{2}\\ \\&=&\dfrac{-2\times 2}{7\times 2}-\dfrac{3\times 7}{2\times 7}\\ \\&=&\dfrac{-4}{14}-\dfrac{21}{14}\\ \\&=& \dfrac{-4-21}{14}\\ \\&=&\dfrac{-25}{14}\end{array}$

Par suite,

$\boxed{B=-\dfrac{25}{14}}$

On a :

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{-2}{13}-\dfrac{7}{13}\\ \\&=&\dfrac{-2-7}{13}\\ \\&=&\dfrac{-9}{13}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{C=-\dfrac{9}{13}}$

2) Calculons les différences suivantes puis simplifions

On a :

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{3}\\ \\&=&\dfrac{3\times 3}{4\times 3}-\dfrac{2\times 4}{3\times 4}\\ \\&=&\dfrac{9}{12}-\dfrac{8}{12}\\ \\&=&\dfrac{9-8}{12}\\ \\&=&\dfrac{1}{12}\end{array}$

Donc,

$\boxed{A=\dfrac{1}{12}}$

On a :

$\begin{array}{rcl} B&=&3-\left(\dfrac{-3}{2}\right)\\ \\&=&\dfrac{3}{1}+\dfrac{3}{2}\\ \\&=&\dfrac{3\times 2}{1\times 2}+\dfrac{3\times 1}{2\times 1}\\ \\&=&\dfrac{6}{2}+\dfrac{3}{2}\\ \\&=&\dfrac{6+3}{2}\\ \\&=&\dfrac{9}{2}\end{array}$

Par suite,

$\boxed{B=\dfrac{9}{2}}$

On a :

$\begin{array}{rcl} C&=&\left(\dfrac{-12}{15}\right)-\left(\dfrac{-7}{15}\right)\\ \\&=&\dfrac{-12}{15}+\dfrac{7}{15}\\ \\&=&\dfrac{-12+7}{15}\\ \\&=&\dfrac{-5}{15}\\ \\&=&\dfrac{-5}{3\times 5}\end{array}$

En simplifiant par

$5$ , on obtient :

$\boxed{C=-\dfrac{1}{3}}$

3) Calculons les produits suivants (simplifions)

$\begin{array}{rcl} A&=&-3\times\dfrac{3}{4}\\ \\&=&\dfrac{-3\times 3}{4}\\ \\&=&\dfrac{-9}{4}\end{array}$

D'où,

$\boxed{A=-\dfrac{9}{4}}$

$\begin{array}{rcl} B&=&3\times \left(\dfrac{-3}{2}\right)\\ \\&=&\dfrac{3\times(-3)}{2}\\ \\&=&\dfrac{-9}{2}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{B=-\dfrac{9}{2}}$

$\begin{array}{rcl} C&=&\left(\dfrac{-2}{15}\right)\times +35\\ \\&=&\dfrac{(-2)\times(+35)}{15}\\ \\&=&\dfrac{-70}{15}\\ \\&=&\dfrac{(-14)\times 5}{3\times 5}\end{array}$

Donc, en simplifiant par

$5$ , on obtient :

$\boxed{C=-\dfrac{14}{3}}$

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{4}{3}\times -\dfrac{9}{12}\\ \\&=&\times\dfrac{-9}{12}\\ \\&=&\dfrac{4\times(-9)}{3\times 12}\\ \\&=&\dfrac{-36}{36}\\ \\&=&-1\end{array}$

D'où,

$\boxed{A=-1}$

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{125}{14}\times\dfrac{49}{-50}\\ \\&=&\dfrac{125\times 49}{14\times(-50)}\\ \\&=&\dfrac{(5\times 25)\times(7\times 7)}{(2\times 7)\times(-2\times 25)}\\ \\&=&\dfrac{5\times 7}{2\times(-2)}\\ \\&=&\dfrac{35}{-4}\end{array}$

Par suite,

$\boxed{B=-\dfrac{35}{4}}$

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{-248}{4}\times\dfrac{16}{-21}\\ \\&=&\dfrac{-248\times 16}{4\times(-21)}\\ \\&=&\dfrac{-248\times(4\times 4)}{4\times(-21)}\\ \\&=&\dfrac{-248\times 4}{-21}\\ \\&=&\dfrac{-992}{-21}\nonumber\end{array}$

D'où,

$\boxed{C=\dfrac{992}{21}}$

4) Calculons les quotients suivants (simplifions) :

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{-7}{5}\div 3\\ \\&=&\dfrac{-7}{5}\times\dfrac{1}{3}\\ \\&=&\dfrac{-7}{15}\end{array}$

Donc,

$\boxed{A=-\dfrac{7}{15}}$

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{4}{6}\div-12\\ \\&=&\dfrac{4}{6}\times\dfrac{1}{-12}\\ \\&=&\dfrac{4}{-72}\\ \\&=&\dfrac{1\times 4}{(-18)\times 4}\end{array}$

Ainsi, en simplifiant par 4, on obtient :

$\boxed{B=-\dfrac{1}{18}}$

$\begin{array}{rcl} C&=&\left(\dfrac{-2}{15}\right)\div -8\\ \\&=&\dfrac{-2}{15}\times\dfrac{1}{-8}\\ \\&=&\dfrac{-2}{-120}\\ \\&=&\dfrac{2}{120}\\ \\&=&\dfrac{1\times 2}{60\times 2}\end{array}$

Donc, en simplifiant par

$2$ , on trouve :

$\boxed{C=\dfrac{1}{60}}$

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{-4}{5}}\\ \\&=&\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{-4}\\ \\&=&\dfrac{10}{-12}\\ \\&=&\dfrac{2\times 5}{2\times(-6)}\end{array}$

Par suite, après simplification par

$2$ , on obtient :

$\boxed{A=-\dfrac{5}{6}}$

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{\dfrac{5}{7}}{3}\\ \\&=&\dfrac{5}{7}\times\dfrac{1}{3}\\ \\&=&\dfrac{5}{21}\end{array}$

D'où,

$\boxed{B=\dfrac{5}{21}}$

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{-5}{\dfrac{7}{-8}}\\ \\&=&-5\times\dfrac{-8}{7}\\ \\&=&\dfrac{40}{7}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{C=\dfrac{40}{7}}$

$\begin{array}{rcl} D&=&-\dfrac{4}{5}\div\dfrac{+14}{25}\\ \\&=&\dfrac{-4}{15}\times\dfrac{25}{14}\\ \\&=&\dfrac{-100}{210}\\ \\&=&\dfrac{(-10)\times 10}{21\times 10}\end{array}$

Donc, en simplifiant par

$10$ , on trouve :

$\boxed{D=-\dfrac{10}{21}}$

5) Calculons les puissances suivantes (simplifions) :

$\begin{array}{rcl} A&=&\left(\dfrac{2}{5}\right)^{5}\\ \\&=&\dfrac{2^{5}}{5^{5}}\\ \\&=&\dfrac{32}{3125}\end{array}$

Donc,

$\boxed{A=\dfrac{32}{3125}}$

$\begin{array}{rcl} B&=&\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{3}\times\left(\dfrac{2}{9}\right)^{5}\\ \\&=&\dfrac{(-3)^{3}\times(2)^{5}}{2^{3}\times 9^{5}}\\ \\&=&\dfrac{(-3)^{3}\times 2^{2}}{1\times(3^{2})^{5}}\\ \\&=&\dfrac{(-1)^{3}\times(3)^{3}\times 2^{2}}{(3^{10})}\\ \\&=&\dfrac{(-1)\times 2^{2}}{3^{7}}\\ \\&=&\dfrac{-4}{2187}\end{array}$

D'où,

$\boxed{B=-\dfrac{4}{2187}}$

$\begin{array}{rcl} C&=&\left(+\dfrac{1}{2}\right)^{-5}\\ \\&=&\dfrac{1}{\left(+\dfrac{1}{2}\right)^{5}}\\ \\&=&\dfrac{1}{\dfrac{(1)^{5}}{(2)^{5}}}\\ \\&=&\dfrac{(2)^{5}}{(1)^{5}}\\ \\&=&\dfrac{32}{1}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{C=32}$

Exercice 4

Dans une classe de

$3^{\text{ième}}\;,\ \dfrac{2}{3}$ des élèves désirent poursuivre leurs études en seconde d'enseignement général,

$\dfrac{1}{6}$ veulent aller en seconde technologique et les

$5$ élèves restant souhaitent aller en seconde professionnelle.

1) Calculons la fraction d'élèves qui veulent aller en seconde professionnelle.

On sait que :

$\dfrac{2}{3}$ des élèves désirent poursuivre leurs études en seconde d'enseignement général. Ce qui équivaut à

$\dfrac{4}{6}$ du nombre total d'élèves.

De plus,

$\dfrac{1}{6}$ des élèves veulent aller en seconde technologique.

Soit :

$\dfrac{6}{6}$ la proportion totale représentant le nombre total d'élèves.

Alors, la fraction d'élèves voulant aller en seconde professionnelle sera donnée par :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{6}{6}-\left(\dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6}\right)&=&\dfrac{6}{6}-\dfrac{5}{6}\\ \\&=&\dfrac{1}{6}\end{array}$

Ainsi,

$\dfrac{1}{6}$ des élèves veulent étudier en seconde professionnelle.

2) Déterminons le nombre d'élèves de la classe.

On sait que :

$5$ élèves souhaitent aller en seconde professionnelle. Ce qui correspond à

$\dfrac{1}{6}$ du nombre total d'élèves.

On peut alors dire que :

$\dfrac{1}{6}$ représente 5 élèves.

Ainsi,

$\dfrac{4}{6}\;,\ \dfrac{1}{6}\$ et

$\ \dfrac{1}{6}$ représenteront le nombre total d'élèves donné par :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}&=&\left(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\right)+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\\ \\&=&(5+5+5+5)+5+5\\ \\&=&30\end{array}$

Par suite, le nombre d'élèves de la classe est de

$30.$

3) Déterminons le nombre d'élèves de la classe désirant poursuivre leurs études en seconde d'enseignement général.

Comme la classe compte

$30$ élèves et que les

$\dfrac{2}{3}$ désirent poursuivre leurs études en seconde d'enseignement général donc, on obtient :

$\dfrac{2}{3}\times 30=\dfrac{2\times 30}{3}=20$

Ce qui signifie que

$20$ élèves de la classe désirent poursuivre leurs études en seconde d'enseignement général.

Exercice 5

Déterminons la fraction du rayon de mercure que représente le rayon de la lune.

On considère :

$R_{\text{terre}}$ : le rayon de la terre

$R_{\text{mercure}}$ : le rayon de mercure

$R_{\text{lune}}$ : le rayon de la lune

On sait que : le rayon de mercure est égal aux

$\dfrac{3}{8}$ du rayon de la terre.

Ce qui se traduit par :

$R_{\text{mercure}}=\dfrac{3}{8}R_{\text{terre}}$

Ainsi,

$8R_{\text{mercure}}=3R_{\text{terre}}$

Ce qui donne alors :

$R_{\text{terre}}=\dfrac{8}{3}R_{\text{mercure}}\qquad\text{égalité (*)}$

Or, le rayon de la lune est égal aux

$\dfrac{3}{11}$ du rayon de la terre.

Donc,

$R_{\text{lune}}=\dfrac{3}{11}R_{\text{terre}}$

En remplaçant

$R_{\text{terre}}$ par son expression trouvée dans l'égalité (*), on obtient :

$\begin{array}{rcl} R_{\text{lune}}&=&\dfrac{3}{11}R_{\text{terre}}\\ \\&=&\dfrac{3}{11}\times\dfrac{8}{3}R_{\text{mercure}}\\ \\&=&\dfrac{3\times 8}{11\times 3}R_{\text{mercure}}\\ \\&=&\dfrac{8}{11}R_{\text{mercure}}\end{array}$

Par suite,

$\boxed{R_{\text{lune}}=\dfrac{8}{11}R_{\text{mercure}}}$

Ainsi, le rayon de la lune est égal aux

$\dfrac{8}{11}$ du rayon de mercure.

Exercice 6 Problème de la vie courante

Un ordinateur est vendu

$12\,600\text{ F}.$ Un tiers de son prix est versé à la commende, un cinquième à la livraison, le reste en dix mensualités identiques.

1) Déterminons la fraction du prix de l'ordinateur représentée par le montant d'une mensualité.

On appelle

$P$ le prix de l'ordinateur,

$S_{_{C}}$ la somme versée à la commande,

$S_{_{L}}$ la somme versée à la livraison et

$S_{_{R}}$ la somme restante, versée en dix mensualités identiques.

On a alors :

$S_{_{R}}=P-(S_{_{C}}+S_{_{L}})$

Or, on sait que : un tiers du prix est versé à la commande et un cinquième à la livraison. Donc,

$S_{_{C}}=\dfrac{1}{3}P\quad\text{et}\quad S_{_{L}}=\dfrac{1}{5}P$

Par suite,

$\begin{array}{rcl} S_{_{R}}&=&P-(S_{_{C}}+S_{_{L}})\\ \\&=&p-\left(\dfrac{1}{3}P+\dfrac{1}{5}P\right)\\ \\&=&p-\left(\dfrac{1\times P\times 5}{3\times 5}+\dfrac{1\times P\times 3}{5\times 3}\right)\\ \\&=&p-\dfrac{5P+3P}{15}\\ \\&=&\dfrac{15P}{15}-\dfrac{8P}{15}\\ \\&=&\dfrac{15P-8P}{15}\\ \\&=&\dfrac{7P}{15}\end{array}$

D'où,

$\boxed{S_{_{R}}=\dfrac{7}{15}P}$

Ainsi, le montant restant représente

$\dfrac{7}{15}$ du prix de l'ordinateur.

Comme le montant d'une mensualité

$S_{_{M}}$ est le dixième de la somme restante, soit :

$S_{_{M}}=\dfrac{S_{_{R}}}{10}$

alors,

$\begin{array}{rcl} S_{_{M}}&=&\dfrac{S_{_{R}}}{10}\\ \\&=&\dfrac{\dfrac{7}{15}P}{10}\\ \\&=&\dfrac{7}{15}P\times\dfrac{1}{10}\\ \\&=&\dfrac{7}{150}P\end{array}$

Par conséquent, le montant d'une mensualité représente

$\dfrac{7}{150}$ du prix de l'ordinateur.

2) Calculons le montant d'une mensualité.

D'après la question 1), le montant

$S_{_{M}}$ d'une mensualité est égal à

$\dfrac{7}{150}$ du prix de l'ordinateur.

Or, l'ordinateur est vendu à

$12600\text{ F}$ , donc,

$S_{_{M}}=\dfrac{7}{150}\times 12600$

Soit :

$588\text{ F}$

Ainsi, le montant de chaque mensualité est de

$588\text{ F}.$

Exercice 7 : Puissances

Mettons les expressions suivantes sous la forme de Puissances simples.

Alors, en appliquant les propriétés sur les puissances, on a :

$\begin{array}{rcl} A&=&(2\times 3)^{-4}\times(2^{3})^{-2}\times 3^{2}\times 2^{-2}\\ \\&=& 2^{-4}\times 3^{-4}\times 2^{-6}\times 3^{2}\times 2^{-2}\\ \\&=&2^{-4}\times 2^{-6}\times 2^{-2}\times 3^{-4}\times 3^{2}\\ \\&=& 3^{-4-6-2}\times 3^{-4+2}\\ \\&=&2^{-12}\times 3^{-2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{A=2^{-12}\times 3^{-2}}$

$\begin{array}{rcl} B&=&\left(7^{-3}\times 2^{4}\right)^{-2}\times(7^{3})^{-2}\times 21\times 3\\ \\&=& 7^{6}\times 2^{-8}\times 7^{-6}\times 3\times 7\times 3\\ \\&=&2^{-8}\times 7^{6-6+1}\times 3^{2}\\ \\&=&2^{-8}\times 7\times 3^{2}\end{array}$

Donc,

$\boxed{B=2^{-8}\times 7\times 3^{2}}$

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{2^{3}\times 3^{-2}\times(2^{-1})^{3}\times 3^{3}}{(3^{2})^{2}\times(2^{2}\times 3)^{+3}}\\ \\&=&\dfrac{2^{3}\times 3^{-2}\times 2^{-3}\times 3^{3}}{3^{4}\times 2^{6}\times 3^{3}}\\ \\&=&\dfrac{2^{3-3}\times 3^{3-2}}{3^{4+3}\times 2^{6}}\\ \\&=&\dfrac{3}{3^{7}\times 2^{6}}\\ \\&=&3\times 3^{-7}\times 2^{-6}\\ \\&=&3^{1-7}\times 2^{-6}\\ \\&=&3^{-6}\times 2^{-6}\\ \\&=&(3\times 2)^{-6}\\ \\&=&6^{-6} \end{array}$

Ainsi,

$\boxed{C=6^{-6}}$

$\begin{array}{rcl} D&=&\dfrac{14\times 3^{-2}\times 0.5\times (2^{-1})^{-3}\times 7^{3}}{(7^{2})^{-2}\times(2^{2}\times 7)^{-3}}\\ \\&=&\dfrac{2\times 7\times 3^{-2}\times\dfrac{1}{2}\times 2^{3}\times 7^{3}}{7^{-4}\times 2^{-6}\times 7^{-3}}\\ \\&=&\dfrac{2^{1+3}\times 7^{1+3}\times 3^{-2}\times 1}{7^{-4-3}\times 2^{-6}\times 2}\\ \\&=&\dfrac{2^{4}\times 7^{4}\times 3^{-2}}{7^{-7}\times 2^{-6+1}}\\ \\&=&\dfrac{2^{4}\times 7^{4}\times 3^{-2}}{7^{-7}\times 2^{-5}}\\ \\&=&2^{4}\times 2^{5}\times 7^{4}\times 7^{7}\times 3^{-2}\\ \\&=&2^{4+5}\times 7^{4+7}\times 3^{-2}\\ \\&=&2^{9}\times 7^{11}\times 3^{-2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{D=2^{9}\times 7^{11}\times 3^{-2}}$

Exercice 8

1) Mettons les expressions suivantes sous la forme de

$2^{n}\times 3^{m}\times 5^{p}$ , où

$n\;,\ m\$ et

$\ p$ sont des entiers.

Soit :

$C=12\times 36\times 6^{-5}\times 100\times 5^{-3}$

Alors, en décomposant les nombres

$12\;,\ 36\;,\ 6\$ et

$\ 100$ en un produit de facteurs premiers, on obtient :

$12=2^{2}\times 3$

$36=2^{2}\times 3^{2}$

$6=2\times 3$

$100=2^{2}\times 5^{2}$

Ainsi, dans l'écriture de

$C$ , en remplaçant les nombres

$12\;,\ 36\;,\ 6\$ et

$\ 100$ par leur expression, on trouve :

$\begin{array}{rcl} C&=&12\times 36\times 6^{-5}\times 100\times 5^{-3}\\\\&=&2^{2}\times 3\times 2^{2}\times 3^{2}\times(2\times 3)^{-5}\times 2^{2}\times 5^{2}\times 5^{-3}\\\\&=&2^{2}\times 3^{1}\times 2^{2}\times 3^{2}\times 2^{-5}\times 3^{-5}\times 2^{2}\times 5^{2}\times 5^{-3}\\\\&=&2^{2}\times 2^{2}\times 2^{-5}\times 2^{2}\times 3^{1}\times 3^{2}\times 3^{-5}\times 5^{2}\times 5^{-3}\\\\&=& 2^{2+2-5+2}\times 3^{1+2-5}\times 5^{2-3}\\\\ &=& 2^{1}\times 3^{-2}\times 5^{-1} \end{array}$

D'où,

$\boxed{C=2^{1}\times 3^{-2}\times 5^{-1}}$

Soit :

$D=2\times 64\times 6^{-5}\times 100\times 5^{-3}$

En décomposant les nombres

$64\;,\ 6\$ et

$\ 100$ en un produit de facteurs premiers, on obtient :

$64=2^{6}$

$6=2\times 3$

$100=2^{2}\times 5^{2}$

Ainsi, dans l'écriture de

$D$ , en remplaçant les nombres

$64\;,\ 6\$ et

$\ 100$ par leur expression, on obtient :

$\begin{array}{rcl} D&=&2\times 64\times 6^{-5}\times 100\times 5^{-3}\\\\&=&2^{1}\times 2^{6}\times(2\times 3)^{-5}\times 2^{2}\times 5^{2}\times 5^{-3}\\\\&=&2^{1}\times 2^{6}\times 2^{-5}\times 3^{-5}\times 2^{2}\times 5^{2}\times 5^{-3}\\\\&=&2^{1}\times 2^{6}\times 2^{-5}\times 2^{2}\times 3^{-5}\times 5^{2}\times 5^{-3}\\\\&=&2^{1+6-5+2}\times 3^{-5}\times 5^{2-3}\\\\&=&2^{4}\times 3^{-5}\times 5^{-1}\end{array}$

D'où,

$\boxed{D=2^{4}\times 3^{-5}\times 5^{-1}}$

2) Donnons une écriture simple de

$E\$ et

$\ F.$

Soit :

$E=\dfrac{a^{2}\times(bc^{3})^{4}}{a^{-2}\times b^{2}\times c^{2}}$ avec ;

$a\;,\ b\;,\ c\;,\ n\$ et

$\ m$ différents de zéro.

Alors, en appliquant les propriétés sur les puissances, on obtient :

$\begin{array}{rcl} E &=& \dfrac{a^{2}(b c^{3})^{4}}{a^{-2}\times b^{2}\times c^{2}}\\\\&=& \dfrac{a^{2}\times b^{4}\times (c^{3})^{4}}{a^{-2}\times b^{2}\times c^{2}}\\\\&=& \dfrac{a^{2}\times b^{4}\times c^{4\times 3}}{a^{-2}\times b^{2}\times c^{2}}\\\\&=& \dfrac{a^{2}\times b^{4}\times c^{12}}{a^{-2}\times b^{2}\times c^{2}}\\\\&=&a^{2}\times b^{4}\times c^{12}\times a^{2}\times b^{-2}\times c^{-2}\\\\&=&a^{2}\times a^{2}\times b^{4}\times b^{-2}\times c^{12}\times c^{-2}\\\\&=&a^{2+2}\times b^{4-2}\times c^{12-2}\\\\&=&a^{4}\times b^{2}\times c^{10}\end{array}$

D'où,

$\boxed{E=a^{4}\times b^{2}\times c^{10}}$

Soit :

$F=\dfrac{n^{-3}\times(n\times m)^{3}\times n^{6}}{m^{+5}\times n^{-8}\times m^{-7}}$ avec ;

$a\;,\ b\;,\ c\;,\ n\$ et

$\ m$ différents de zéro.

Alors, en appliquant les propriétés sur les puissances, on obtient :

$\begin{array}{rcl} F&=&\dfrac{n^{-3}\times(n\times m)^{3}\times n^{6}}{m^{+5}\times n^{-8}\times m^{-7}}\\\\&=&\dfrac{n^{-3}\times n^{3}\times m^{3}\times n^{6}}{m^{5}\times n^{-8}\times m^{-7}}\\\\&=&n^{-3}\times n^{3}\times m^{3}\times n^{6}\times m^{-5}\times n^{8}\times m^{7}\\\\&=&n^{-3}\times n^{3}\times n^{6}\times n^{8}\times m^{3}\times m^{-5}\times m^{7}\\\\&=&n^{-3+3+6+8}\times m^{3-5+7}\\\\&=&n^{14}\times m^{5}\end{array}$

D'où,

$\boxed{F=m^{5}\times n^{14}}$

Exercice 9

Déterminons le signe de chacun des nombres suivants :

$\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{4}\;;\qquad\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{5}\;;\qquad\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-5}\;;\qquad 4^{-8}\;;\qquad -\dfrac{1}{4^{7}}$

On rappelle que d'après les propriétés sur les puissances, on a :

$-\$ si

$a$ est un nombre rationnel positif et

$n$ un entier naturel alors :

$\ \ \centerdot\ a^{n}$ est positif.

$\ \ \centerdot\ a^{-n}$ est positif.

$-\$ si

$a$ est un nombre rationnel négatif et

$n$ un entier naturel alors :

$\ \ \centerdot\ a^{n}$ est positif si

$n$ est un nombre pair ; c'est-à-dire multiple de

$2$

$\ \ \centerdot\ a^{n}$ est négatif si

$n$ est un nombre impair ; c'est-à-dire n'est pas multiple de

$2$

Ainsi, en appliquant ces propriétés, on obtient :

$-\dfrac{1}{3}$ est un nombre rationnel négatif et

$4$ est un nombre entier naturel paire.

Par conséquent,

$\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{4}$ est positif.

$-\dfrac{1}{2}$ est un nombre rationnel négatif et

$5$ est un nombre entier naturel impaire.

Donc,

$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{5}$ est négatif.

On a :

$\dfrac{1}{2}$ est un nombre rationnel positif et

$5$ est un entier naturel.

Alors,

$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-5}$ est positif.

On a :

$4$ est un nombre positif et

$8$ un entier naturel.

Par conséquent,

$4^{-8}$ est un nombre positif.

On a :

$\dfrac{1}{4^{7}}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{7}$ est un nombre positif.

Par conséquent, son opposé

$-\dfrac{1}{4^{7}}$ est négatif.

Exercice 10

Mettons les expressions suivantes sous la forme de

$a\times 10^{p}$ , où

$p\in\mathbb{Z}.$

On rappelle que si

$n\$ et

$\ m$ sont deux entiers relatifs alors, on a :

$10^{n}\times 10^{m}=10^{n+m}$

En appliquant cette propriété, on obtient :

$\begin{array}{rcl} A&=&10^{7}\times 10^{-4}\times 10^{2}\\\\&=&10^{7-4+2}\\\\&=&10^{5}\end{array}$

D'où,

$\boxed{A=1\times 10^{5}}$

$\begin{array}{rcl} B&=&5.7\times 10^{-7}\times(10^{-5}\times 10^{+2})^{-2}\\\\&=&5.7\times 10^{-7}\times 10^{(-5)\times(-2)}\times 10^{(+2)\times(-2)}\\\\&=&5.7\times 10^{-7}\times 10^{10}\times 10^{-4}\\\\&=&5.7\times 10^{-7+10-4}\\\\&=&5.7\times 10^{-1}\end{array}$

D'où,

$\boxed{B=5.7\times 10^{-1}}$

De plus, on rappelle que si

$a\$ et

$\ b$ sont deux nombres et

$n$ un entier relatif alors, on a :

$a\times 10^{n}-b\times 10^{n}=(a-b)\times 10^{n}$

En appliquant cette propriété, on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&105.7\times 10^{-7}-120\times 10^{-7}\\\\&=&(105.7-120)\times 10^{-7}\\\\&=&-14.3\times 10^{-7}\end{array}$

D'où,

$\boxed{C=-14.3\times 10^{-7}}$

Soit :

$D=2.9\times 10^{-1}-17.8\times 10^{-2}$

Alors, on peut écrire :

$2.9\times 10^{-1}=29\times 10^{-2}.$

Ainsi, en remplaçant dans l'expression de

$D$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} D&=&2.9\times 10^{-1}-17.8\times 10^{-2}\\\\&=&29\times 10^{-2}-17.8\times 10^{-2}\\\\&=&(29-17.8)\times 10^{-2}\\\\&=&11.2\times 10^{-2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{D=11.2\times 10^{-2}}$

Exercice 11

Simplifions les expressions suivantes en utilisant les propriétés des puissances de

$10.$

On a :

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{10^{-5}\times 10^{2}}{10^{-7}\times 10^{-4}}\\\\&=&10^{-5}\times 10^{2}\times 10^{7}\times 10^{4}\\\\&=&10^{-5+2+7+4}\\\\&=&10^{8}\end{array}$

Donc,

$\boxed{A=10^{8}}$

Soit :

$B=\dfrac{8\times 10^{5}\times 25\times 10^{-6}}{20\times(10^{2})^{5}\times 100}.$

En réécrivant

$20\$ et

$\ 100$ sous forme de puissance de

$10$ , on obtient :

$20=2\times 10^{1}\$ et

$\ 100=10^{2}.$

Alors, en remplaçant dans l'expression de

$B$ , on trouve :

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{8\times 10^{5}\times 25\times 10^{-6}}{20\times(10^{2})^{5}\times 100}\\\\&=&\dfrac{8\times 10^{5}\times 25\times 10^{-6}}{2\times 10^{1}\times 10^{2\times 5}\times 10^{2}}\\\\&=&\dfrac{8\times 25\times 10^{5}\times 10^{-6}}{2\times 10^{1}\times 10^{10}\times 10^{2}}\\\\&=&\dfrac{200\times 10^{5}\times 10^{-6}\times 10^{-1}\times 10^{-10}\times 10^{-2}}{2}\\\\&=&\dfrac{2\times 100\times 10^{5}\times 10^{-6}\times 10^{-1}\times 10^{-10}\times 10^{-2}}{2}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{2}\times 10^{5}\times 10^{-6}\times 10^{-1}\times 10^{-10}\times 10^{-2}}{2}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{2+5-6-1-10-2}}{2}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{-12}}{2}\\\\&=&\dfrac{2}{2}\times 10^{-12}\\\\&=&10^{-12}\end{array}$

D'où,

$\boxed{B=10^{-12}}$

Soit :

$C=\dfrac{0.25+0.5\times 10^{-2}-15\times 10^{-2}}{5\times 10^{-3}}$

Alors, on peut écrire :

$0.25=25\times 10^{-2}$

Ainsi, en remplaçant dans l'expression de

$C$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{0.25+0.5\times 10^{-2}-15\times 10^{-2}}{5\times 10^{-3}}\\\\&=&\dfrac{25\times 10^{-2}+0.5\times 10^{-2}-15\times 10^{-2}}{5\times 10^{-3}}\\\\&=&\dfrac{(25+0.5-15)\times 10^{-2}}{5\times 10^{-3}}\\\\&=&\dfrac{10.5\times 10^{-2}}{5\times 10^{-3}}\\\\&=&\dfrac{10.5\times 10^{-2}\times 10^{3}}{5}\\\\&=&\dfrac{10.5\times 10^{-2+3}}{5}\\\\&=&\dfrac{10.5\times 10^{1}}{5}\\\\&=&\dfrac{10.5}{5}\times 10^{1}\\\\&=&2.1\times 10^{1}\end{array}$

D'où,

$\boxed{C=2.1\times 10^{1}}$

Soit :

$D=\dfrac{4\times 10^{-5}\times 0.5\times 10^{7}}{10^{7}\times 2\times 10^{-9}}$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} D&=&\dfrac{4\times 10^{-5}\times 0.5\times 10^{7}}{10^{7}\times 2\times 10^{-9}}\\\\&=&\dfrac{4\times 0.5\times 10^{-5}\times 10^{7}}{2\times 10^{7}\times 10^{-9}}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{-5+7}}{2\times 10^{7-9}}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{2}}{2\times 10^{-2}}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{2}\times 10^{2}}{2}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{2+2}}{2}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{4}}{2}\\\\&=&\dfrac{2}{2}\times 10^{4}\\\\&=&1\times 10^{4}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{D=10^{4}}$

Exercice 12

Écrivons les expressions suivantes sans le symbole de valeur absolue.

On rappelle que :

$\ \ |a|=a$ si

$a$ est un nombre positif

$\ \ |a|=-a$ si

$a$ est un nombre négatif

Soit :

$A=\left|4-\dfrac{9}{7}\right|$

Alors, en appliquant cette propriété de la valeur absolue, on obtient :

$\begin{array}{rcl} A&=&\left|4-\dfrac{9}{7}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{28}{7}-\dfrac{9}{7}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{19}{7}\right|\\\\&=&\dfrac{19}{7}\end{array}$

D'où,

$\boxed{A=\dfrac{19}{7}}$

Soit :

$B=\left|1-\dfrac{1}{4}\div 7\right|$

Alors, en appliquant cette propriété de la valeur absolue, on trouve :

$\begin{array}{rcl} B&=&\left|1-\left(\dfrac{1}{4}\div 7\right)\right|\\\\&=&\left|1-\left(\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{7}\right)\right|\\\\&=&\left|1-\dfrac{1}{28}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{28}{28}-\dfrac{1}{28}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{28-1}{28}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{27}{28}\right|\\\\&=&\dfrac{27}{28}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{B=\dfrac{27}{28}}$

Soit :

$C=\left|\dfrac{3}{4}-\dfrac{4}{3}\right|$

Alors, en appliquant cette propriété de la valeur absolue, on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&\left|\dfrac{3}{4}-\dfrac{4}{3}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{9}{12}-\dfrac{16}{12}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{9-16}{12}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{-7}{12}\right|\\\\&=&\dfrac{7}{12}\end{array}$

D'où,

$\boxed{C=\dfrac{7}{12}}$

Soit :

$D=\left|\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}\div 3\right|$

Alors, en appliquant cette propriété de la valeur absolue, on trouve :

$\begin{array}{rcl} D&=&\left|\dfrac{2}{3}-\left(\dfrac{1}{2}\div 3\right)\right|\\\\&=&\left|\dfrac{2}{3}-\left(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}\right)\right|\\\\&=&\left|\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{4}{6}-\dfrac{1}{6}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{4-1}{6}\right|\\\\&=&\left|\dfrac{3}{6}\right|\\\\&=&\dfrac{3}{6}\\\\&=&\dfrac{1}{2}\end{array}$

Donc,

$\boxed{D=\dfrac{1}{2}}$

Exercice 13

On considère les nombres rationnels :

$a\;,\ b\$ et

$\ c$ tels que :

$a>0\;,\ b<0\$ et

$\ c>0.$

Écrivons les expressions suivantes sans le symbole de valeur absolue.

Comme

$a\$ et

$\ c$ sont positifs alors,

$|a|=a\$ et

$\ |c|=c.$

Comme

$b$ est négatif alors,

$|b|=-b.$

Donc, dans la suite, on va remplacer la valeur absolue de ces nombre par leur valeur.

Soit :

$A=|a|+|b|-|c|$

Ainsi, en remplaçant dans l'expression de

$A$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} A&=&|a|+|b|-|c|\\\\&=&a-b-c\end{array}$

D'où,

$\boxed{A=a-b-c}$

Soit :

$B=|-7abc|$

On rappelle que si

$a\$ et

$\ b$ sont deux nombres rationnels alors :

$|ab|=|a|\times|b|$

Donc, en appliquant cette propriété de la valeur absolue, on trouve :

$\begin{array}{rcl} B&=&|-7abc|\\\\&=&|-7|\times|a|\times|b|\times|c|\\\\&=&7\times a\times(-b)\times c\\\\&=&-7abc\end{array}$

D'où,

$\boxed{B=-7abc}$

Soit :

$C=\left|a\times\dfrac{b}{c}\right|$

On rappelle que

$b\$ et

$\ c$ sont deux nombres rationnels avec

$c\neq 0$ alors :

$\left|\dfrac{b}{c}\right|=\dfrac{|b|}{|c|}$

Donc, en appliquant cette propriété de la valeur absolue, on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&\left|a\times\dfrac{b}{c}\right|\\\\&=&|a|\times\left|\dfrac{b}{c}\right|\\\\&=&|a|\times\dfrac{|b|}{|c|}\\\\&=&a\times\dfrac{-b}{c}\\\\&=&\dfrac{-ab}{c}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{C=-\dfrac{ab}{c}}$

Soit :

$D=|-a+b|$

Or, on sait que

$a$ est positif donc,

$-a$ est négatif.

Comme

$b$ est négatif alors,

$-a+b$ qui est la somme de deux nombres négatifs est aussi négatif.

Par suite, d'après la définition de la valeur absolue, on a :

$\begin{array}{rcl} D&=&|-a+b|\\\\&=&-(-a+b)\\\\&=&a-b\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{D=a-b}$

Exercice 14

1) Dans chacun des cas ci-dessous, nous allons voir si

$A$ est égale

$B$

$A=\dfrac{5}{6}\$ et

$\ B=\dfrac{30}{36}$

Dans l'écriture de

$B$ on remarque que le numérateur et le dénominateur sont divisibles par

$6.$

Donc, en simplifiant par

$6$ , on obtient :

$B=\dfrac{30}{36}=\dfrac{30\div 6}{36\div 6}=\dfrac{5}{6}$

D'où,

$B=\dfrac{5}{6}$

Par conséquent,

$\boxed{A=B}$

$A=\dfrac{-7}{12}\$ et

$\ B=\dfrac{35}{-60}$

Soit :

$A=\dfrac{-7}{12}$

Alors, en multipliant le numérateur et le dénominateur de

$A$ par

$5$ , on obtient :

Donc, en simplifiant par

$5$ , on trouve :

$A=\dfrac{-7}{12}=\dfrac{-7\times 5}{12\times 5}=\dfrac{-35}{60}$

Ainsi,

$A=\dfrac{35}{-60}$

Par conséquent,

$\boxed{A=B}$

2) Comparons les nombres rationnels suivants en utilisant deux méthodes différentes.

$\dfrac{5}{6}\$ et

$\ -\dfrac{2}{5}$

En effet, on sait que tout nombre positif est plus grand que tout nombre négatif.

Or,

$\dfrac{5}{6}>0\$ et

$\ -\dfrac{2}{5}<0.$

Donc,

$\dfrac{5}{6}$ est plus grand que

$-\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{2}{7}\$ et

$\ \dfrac{3}{8}$

Par calcul direct, on a :

$\dfrac{2}{7}=0.28\$ et

$\ \dfrac{3}{8}=0.37$

Comme

$0.37$ est supérieur à

$0.28$ alors,

$\dfrac{3}{8}$ est plus grand que

$\dfrac{2}{7}$

Autrement, en réduisant au même dénominateur, on obtient :

$\dfrac{2}{7}=\dfrac{2\times 8}{7\times 8}=\dfrac{16}{56}$

$\dfrac{3}{8}=\dfrac{3\times 7}{8\times 7}=\dfrac{21}{56}$

Or, on sait que si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

Comme

$21>16$ alors,

$\dfrac{21}{56}$ est plus grand que

$\dfrac{16}{56}.$

Par conséquent,

$\dfrac{3}{8}$ est plus grand que

$\dfrac{2}{7}$

$5.1\$ et

$\ \dfrac{14}{3}$

Par calcul direct, on a :

$\dfrac{14}{3}=4.66$

Comme

$5.1$ est supérieur à

$4.66$ alors,

$5.1$ est plus grand que

$\dfrac{14}{3}$

Autrement, on a :

$5.1=\dfrac{51}{10}$

Donc, en réduisant au même dénominateur, on obtient :

$\dfrac{51}{10}=\dfrac{51\times 3}{10\times 3}=\dfrac{153}{30}$

$\dfrac{14}{3}=\dfrac{14\times 10}{3\times 10}=\dfrac{140}{30}$

Or, on sait que si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

Comme

$153>140$ alors,

$\dfrac{153}{30}$ est plus grand que

$\dfrac{140}{30}.$

Par conséquent,

$5.1$ est plus grand que

$\dfrac{14}{3}$

Exercice 15

Rangeons les nombres rationnels ci-dessous dans l'ordre croissant :

$\dfrac{8}{7}\;;\quad\dfrac{5}{8}\;;\quad\dfrac{7}{8}\;;\quad\dfrac{8}{6}\;;\quad\dfrac{8}{5}\ \text{ et }\ \dfrac{6}{8}$

En effet, on remarque que :

$\dfrac{8}{7}\;;\ \dfrac{8}{6}\;;\ \dfrac{8}{5}$ ont même numérateur.

Or, si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.

Donc,

$\dfrac{8}{7}<\dfrac{8}{6}<\dfrac{8}{5}$

De la même manière, on constate que :

$\dfrac{5}{8}\;;\ \dfrac{7}{8}\;;\ \dfrac{6}{8}$ ont même dénominateur

Or, si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

Donc,

$\dfrac{5}{8}<\dfrac{6}{8}<\dfrac{7}{8}$

Par ailleurs :

$\dfrac{7}{8}<1$ car le numérateur

$7$ est inférieur au dénominateur

$8.$

$\dfrac{8}{7}>1$ car le numérateur

$8$ est supérieur au dénominateur

$7.$

Ainsi, on obtient :

$\dfrac{5}{8}<\dfrac{6}{8}<\dfrac{7}{8}<1\ \text{ et }\ 1<\dfrac{8}{7}<\dfrac{8}{6}<\dfrac{8}{5}$

Par suite,

$\dfrac{5}{8}<\dfrac{6}{8}<\dfrac{7}{8}<1<\dfrac{8}{7}<\dfrac{8}{6}<\dfrac{8}{5}$

D'où, un rangement de ces nombres rationnels dans l'ordre croissant est donné par :

$\dfrac{5}{8}<\dfrac{6}{8}<\dfrac{7}{8}<\dfrac{8}{7}<\dfrac{8}{6}<\dfrac{8}{5}$

Exercice 16

On considère les nombres rationnels suivants :

$\dfrac{64}{192}\;;\quad\dfrac{18}{84}\;;\quad +\dfrac{84}{28}\;;\quad\dfrac{7}{21}\;;\quad -\dfrac{120}{160}\;;\quad -\dfrac{-16}{-48}\ \text{ et }\ \dfrac{210}{-441}$

1) Simplifions l'écriture de chacun des nombres rationnels ci-dessus.

En effet, on sait que pour simplifier une fraction, on peut utiliser le

$PGCD$ du numérateur et du dénominateur.

Soit à simplifier

$\dfrac{64}{192}$

En décomposant les nombres

$64\$ et

$\ 192$ en un produit de facteurs premiers, on obtient :

$64=1\times 2^{6}\quad$ et

$\quad 192=1\times 2^{6}\times 3$

Par suite,

$\begin{array}{rcl} PGCD\;(64\;;\ 192)&=&1\times 2^{6}\\\\&=&64\end{array}$

Donc,

$\boxed{PGCD\;(64\;;\ 192)=64}$

Comme

$PGCD\;(64\;;\ 192)=64$ alors, en divisant le numérateur et le dénominateur par

$64$ , on obtient :

$\dfrac{64}{192}=\dfrac{64\div 64}{192\div 64}=\dfrac{1}{3}$

Ainsi,

$\boxed{\dfrac{64}{192}=\dfrac{1}{3}}$

Soit à simplifier

$\dfrac{18}{84}$

En décomposant les nombres

$18\$ et

$\ 84$ en un produit de facteurs premiers, on obtient :

$18=1\times 2\times 3^{2} \quad$ et

$\quad 84=1\times 2^{2}\times 3\times 7$

Ainsi,

$\begin{array}{rcl} PGCD\;(18\;;\ 84)&=&1\times 2\times 3\\\\&=&6\end{array}$

Donc,

$\boxed{PGCD\;(18\;;\ 84)=6}$

Comme

$PGCD\;(18\;;\ 84)=6$ alors, en divisant le numérateur et le dénominateur par

$6$ , on trouve :

$\dfrac{18}{84}=\dfrac{18\div 6}{84\div 6}=\dfrac{3}{14}$

D'où,

$\boxed{\dfrac{18}{84}=\dfrac{3}{14}}$

Soit à simplifier

$+\dfrac{84}{28}$

En décomposant les nombres

$28\$ et

$\ 84$ en un produit de facteurs premiers, on obtient :

$28=1\times 2^{2}\times 7\quad$ et

$\quad 84=1\times 2^{2}\times 3\times 7$

Alors,

$\begin{array}{rcl} PGCD\;(28\;;\ 84)&=&1\times 2^{2}\times 7\\\\&=&28\end{array}$

Donc,

$\boxed{PGCD\;(28\;;\ 84)=28}$

Comme

$PGCD\;(28\;;\ 84)=28$ alors, on a :

$\dfrac{84}{28}=\dfrac{84\div 28}{28\div 28}=\dfrac{3}{1}$

D'où,

$\boxed{\dfrac{84}{28}=3}$

Soit à simplifier

$\dfrac{7}{21}$

On a :

$\dfrac{7}{21}=\dfrac{7}{3\times 7}$

Simplifions alors par

$7.$

Ce qui donne :

$\boxed{\dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3}}$

Soit à simplifier

$-\dfrac{120}{160}$

On a :

$\begin{array}{rcl} -\dfrac{120}{160}&=&-\dfrac{120\div 10}{160\div 10}\\\\&=&-\dfrac{12}{16}\\\\&=&-\dfrac{3\times 4}{4\times 4}\\\\&=&-\dfrac{3}{4}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{-\dfrac{120}{160}=-\dfrac{3}{4}}$

Soit à simplifier

$-\dfrac{-16}{-48}$

Comme

$48=3\times 16$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} -\dfrac{-16}{-48}&=&-\dfrac{16}{48}\\\\&=&-\dfrac{16}{3\times 16}\\\\&=&-\dfrac{1}{3}\end{array}$

D'où,

$\boxed{-\dfrac{-16}{-48}=-\dfrac{1}{3}}$

Soit à simplifier

$\dfrac{210}{-441}$

On sait que :

$441=21\times 21\$ et

$\ 210=21\times 10$

Donc,

$\begin{array}{rcl} \dfrac{210}{-441}&=&-\dfrac{210}{441}\\\\&=&-\dfrac{21\times 10}{21\times 21}\\\\&=&-\dfrac{10}{21}\end{array}$

2) Désignons ceux qui sont des opposés.

On rappelle que deux nombres rationnels

$a\$ et

$\ b$ sont opposés si, et seulement si :

$a+b=0$

D'après le résultat de la question

$1)$ , on a :

$\dfrac{64}{192}=\dfrac{1}{3}\;;\quad \dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3}\$ et

$\ -\dfrac{-16}{-48}=-\dfrac{1}{3}$

Or,

$\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}=0$

Donc, les nombres

$\dfrac{64}{192}\$ et

$\ -\dfrac{-16}{-48}$ sont des opposés.

De même, les nombres rationnels

$\dfrac{7}{21}\$ et

$\ -\dfrac{-16}{-48}$ sont des opposés.

3) Désignons sont ceux qui sont des inverses

On rappelle que deux nombres rationnels

$a\$ et

$\ b$ sont inverses si, et seulement si :

$a\times b=1$

D'après le résultat de la question

$1)$ , on a :

$\dfrac{64}{192}=\dfrac{1}{3}\;;\quad \dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3}\$ et

$\ +\dfrac{84}{28}=3$

Or,

$\dfrac{1}{3}\times 3=\dfrac{3}{3}=1$

Donc, les nombres

$\dfrac{64}{192}\$ et

$\ +\dfrac{84}{28}$ sont des inverses.

De même, les nombres rationnels

$\dfrac{7}{21}\$ et

$\ +\dfrac{84}{28}$ sont aussi des inverses.

Exercice 17

Calculons chacune des expressions suivantes en donnant le résultat sous forme de fractions irréductibles.

Soit :

$A=\left(-\dfrac{8}{7}\right)+\left(-\dfrac{7}{14}\right)-\left(-\dfrac{3}{2}\right)$

Alors, en appliquant la règle de suppression des parenthèses et en réduisant au même dénominateur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} A&=&\left(-\dfrac{8}{7}\right)+\left(-\dfrac{7}{14}\right)-\left(-\dfrac{3}{2}\right)\\\\&=&-\dfrac{8}{7}-\dfrac{7}{14}+\dfrac{3}{2}\\\\&=& -\dfrac{16}{14}-\dfrac{7}{14}+\dfrac{21}{14}\\\\&=&\dfrac{(-16-7+21)}{14}\\\\&=&\dfrac{-2}{14}\\\\&=&\dfrac{-2\div 2}{14\div 2}\\\\&=&\dfrac{-1}{7}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{A=-\dfrac{1}{7}}$

Soit :

$B=\dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{7}\times\left(\dfrac{5}{2}-5\right)^{2}$

Alors, en calculant, on trouve :

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{7}\times\left(\dfrac{5}{2}-5\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{7}\times\left(\dfrac{5}{2}-\dfrac{10}{2}\right)^{2}\\\\&=& \dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{7}\times\left(\dfrac{5-10}{2}\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{7}\times\left(\dfrac{-5}{2}\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{3}{7}-\left(\dfrac{1}{7}\times\dfrac{25}{4}\right)\\\\&=&\dfrac{3}{7}-\dfrac{25}{28}\\\\&=&\dfrac{12}{28}-\dfrac{25}{28}\\\\ &=&\dfrac{12-25}{28}\\\\&=&\dfrac{-13}{28}\end{array}$

D'où,

$\boxed{B=-\dfrac{13}{28}}$

Soit :

$C=\left|1-\dfrac{4}{3}\right|-\left|1+\dfrac{1}{2}\right|\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}$

Alors, en appliquant les propriétés de la valeur absolue, on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&\left|1-\dfrac{4}{3}\right|-\left|1+\dfrac{1}{2}\right|\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\\\&=&\left|\dfrac{3}{3}-\dfrac{4}{3}\right|-\left|\dfrac{2}{2}+\dfrac{1}{2}\right|\times\dfrac{1}{4}\\\\&=&\left|\dfrac{3-4}{3}\right|-\left|\dfrac{2+1}{2}\right|\times\dfrac{1}{4}\\\\&=&\left|\dfrac{-1}{3}\right|-\left|\dfrac{3}{2}\right|\times\dfrac{1}{4}\\\\ &=&\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{2}\times\dfrac{1}{4}\\\\&=&\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{8}\\\\&=&\dfrac{8}{24}-\dfrac{9}{24}\\\\&=&\dfrac{8-9}{24}\\\\&=&\dfrac{-1}{24}\end{array}$

Donc,

$\boxed{C=-\dfrac{1}{24}}$

Soit :

$D=\left(\dfrac{4-(2-5)^{2}}{7-5}\right)^{3}+\dfrac{17}{8}$

Alors, en calculant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} D&=&\left(\dfrac{4-(2-5)^{2}}{7-5}\right)^{3}+\dfrac{17}{8}\\\\&=&\left(\dfrac{4-(-3)^{2}}{2}\right)^{3}+\dfrac{17}{8}\\\\&=&\left(\dfrac{4-9}{2}\right)^{3}+\dfrac{17}{8}\\\\&=&\left(\dfrac{-5}{2}\right)^{3}+\dfrac{17}{8}\\\\&=&\dfrac{(-5)^{3}}{2^{3}}+\dfrac{17}{8}\\\\&=&\dfrac{-125}{8}+\dfrac{17}{8}\\\\&=&\dfrac{-125+17}{8}\\\\&=&\dfrac{-108}{8}\\\\&=&\dfrac{-108\div 4}{8\div 4}\\\\&=&\dfrac{-27}{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{D=-\dfrac{27}{2}}$

Exercice 18

Sachant que :

$a=-\dfrac{5}{2}\;;\ b=\dfrac{3}{2}\;;\ c=\dfrac{1}{2}\$ et

$\ d=\dfrac{1}{6}$ calculons puis rendons irréductible le résultat de :

$X=\dfrac{a+b}{b-d}\;;\quad Y=a\times c+b\div d\ \text{ et }\ Z=(b-a+c)^{2}$

Soit :

$X=\dfrac{a+b}{b-d}$

En remplaçant

$a\;;\ b\$ et

$\ d$ par leur valeur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} X&=&\dfrac{a+b}{b-a}\\\\&=&\dfrac{-\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{6}}\\\\&=& \dfrac{-\dfrac{2}{2}}{\dfrac{9}{6}-\dfrac{1}{6}}\\\\&=&\dfrac{-1}{\dfrac{8}{6}}\\\\&=&\dfrac{-6}{8}\\\\&=&\dfrac{-6\div 2}{8\div 2}\\\\&=&\dfrac{-3}{4}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{X=-\dfrac{3}{4}}$

Soit :

$Y=a\times c+b\div d$

Remplaçons

$a\;;\ b\;;\ c$ et

$\ d$ par leur valeur.

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl} Y&=&a\times c+b\div d\\\\&=&\left(-\dfrac{5}{2}\times\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{3}{2}\div\dfrac{1}{6}\right)\\\\&=&-\dfrac{5}{4}+\left(\dfrac{3}{2}\times\dfrac{6}{1}\right)\\\\&=& \dfrac{-5}{4}+\dfrac{18}{2}\\\\&=&-\dfrac{5}{4}+\dfrac{36}{4}\\\\&=&\dfrac{-5+36}{4}\\\\&=&\dfrac{31}{4}\end{array}$

Donc,

$\boxed{Y=\dfrac{31}{4}}$

Soit :

$Z=(b-a+c)^{2}$

En remplaçant

$a\;;\ b\$ et

$\ c$ par leur valeur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} Z&=&(b-a+c)^{2}\nonumber\\ &=&\left(\dfrac{3}{2}-\left(-\dfrac{5}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\\\&=&\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\\\&=&\left(\dfrac{3+5+1}{2}\right)^{2}\\\\&=&\left(\dfrac{9}{2}\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{9^{2}}{2^{2}}\\\\&=&\dfrac{81}{4}\end{array}$

D'où,

$\boxed{Z=\dfrac{81}{4}}$

Exercice 19

Calculons chacune des expressions suivantes en donnant le résultat sous forme de fractions irréductibles.

Soit :

$A=\dfrac{1+\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}$

Alors, en calculant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{1+\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{3}{3}+\dfrac{1}{3}}{\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{3+1}{3}}{\dfrac{3-1}{3}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{4}{3}}{\dfrac{2}{3}}\\\\&=&\dfrac{4}{3}\times\dfrac{3}{2}\\\\&=&\dfrac{4}{2}\\\\&=&2\end{array}$

Donc,

$\boxed{A=2}$

Soit :

$B=\dfrac{2^{2}+\dfrac{3}{4}}{-5+\dfrac{3}{4}}$

En calculant, on trouve :

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{2^{2}+\dfrac{3}{4}}{-5+\dfrac{3}{4}}\\\\&=& \dfrac{4+\dfrac{3}{4}}{-5+\dfrac{3}{4}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{16}{4}+\dfrac{3}{4}}{\dfrac{-20}{4}+\dfrac{3}{4}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{16+3}{4}}{\dfrac{-20+3}{4}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{19}{4}}{\dfrac{-17}{4}}\\\\&=&\dfrac{19}{4}\times\dfrac{4}{-17}\\\\&=&\dfrac{19}{-17}\end{array}$

D'où,

$\boxed{B=-\dfrac{19}{17}}$

Soit :

$C=\dfrac{1-\dfrac{1}{3}}{2+\dfrac{1}{4}}\div\dfrac{2-\dfrac{1}{4}}{1+\dfrac{1}{3}}$

Alors, en calculant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{1-\dfrac{1}{3}}{2+\dfrac{1}{4}}\div\dfrac{2-\dfrac{1}{4}}{1+\dfrac{1}{3}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3}}{\dfrac{8}{4}+\dfrac{1}{4}}\div\dfrac{\dfrac{8}{4}-\dfrac{1}{4}}{\dfrac{3}{3}+\dfrac{1}{3}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{3-1}{3}}{\dfrac{8+1}{4}}\div\dfrac{\dfrac{8-1}{4}}{\dfrac{3+1}{3}}\\\\ &=& \dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{9}{4}}\div\dfrac{\dfrac{7}{4}}{\dfrac{4}{3}}\\\\ &=& \left(\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{9}\right)\div\left(\dfrac{7}{4}\times\dfrac{3}{4}\right)\\\\ &=& \left(\dfrac{8}{27}\right)\div\left(\dfrac{21}{16}\right)\\\\ &=& \dfrac{8}{27}\times\dfrac{16}{21}\\\\ &=& \dfrac{128}{567}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{C=\dfrac{128}{567}}$

Soit :

$F=\dfrac{1+\dfrac{2\pi}{3}}{4-\dfrac{3}{2\pi}}$

En calculant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} F&=& \dfrac{1+\dfrac{2\pi}{3}}{4-\dfrac{3}{2\pi}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{3}{3}+\dfrac{2\pi}{3}}{\dfrac{8\pi}{2\pi}-\dfrac{3}{2\pi}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{3+2\pi}{3}}{\dfrac{8\pi-3}{2\pi}}\\\\&=& \dfrac{3+2\pi}{3}\times\dfrac{2\pi}{8\pi-3}\\\\&=&\dfrac{(3+2\pi)(2\pi)}{3(8\pi-3)}\\\\&=&\dfrac{6\pi+4\pi^{2}}{24\pi-9}\end{array}$

Donc,

$\boxed{F=\dfrac{6\pi+4\pi^{2}}{24\pi-9}}$

Exercice 20

Calculons puis rendons irréductible.

Soit :

$A=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{7}\times\dfrac{1}{4}}+\dfrac{\dfrac{\dfrac{1}{2}}{5}\times\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{7}\div\dfrac{3}{\dfrac{5}{2}\times 4}}$

Alors, en calculant, on trouve :

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{7}\times\dfrac{1}{4}}+\dfrac{\dfrac{\dfrac{1}{2}}{5}\times\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{7}\div\dfrac{3}{\dfrac{5}{2}\times 4}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{28}}+\dfrac{\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{7}\div\dfrac{3}{\dfrac{20}{2}}}\\\\&=&\dfrac{1}{3}\times\dfrac{28}{2}+\dfrac{\dfrac{1}{80}}{\dfrac{1}{7}\div\dfrac{3}{10}}\\\\&=&\dfrac{28}{6}+\dfrac{\dfrac{1}{80}}{\dfrac{1}{7}\times\dfrac{10}{3}}\\\\&=&\dfrac{14}{3}+\dfrac{\dfrac{1}{80}}{\dfrac{10}{21}}\\\\&=&\dfrac{14}{3}+\left(\dfrac{1}{80}\times\dfrac{21}{10}\right)\\\\&=&\dfrac{14}{3}+\dfrac{21}{800}\\\\&=&\dfrac{11\,200}{24\,000}+\dfrac{63}{24\,000}\\\\&=&\dfrac{11\,263}{24\,000}\end{array}$

D'où,

$\boxed{A=\dfrac{11\,263}{24\,000}}$

Soit :

$B=\dfrac{(-2)^{2}\times\dfrac{5}{3}}{7-\dfrac{2}{3}}\div\dfrac{(-1)^{9}+\dfrac{4}{9}}{1-\dfrac{2}{11}}$

On rappelle que si

$n$ est un entier naturel alors :

$\ \centerdot\ (-1)^{n}=1$ si

$n$ est pair ; c'est-à-dire, si

$n$ est un multiple de

$2$

$\ \centerdot\ (-1)^{n}=-1$ si

$n$ est impair ; c'est-à-dire, si

$n$ n'est pas multiple de

$2$

Alors, en calculant, on trouve :

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{(-2)^{2}\times\dfrac{5}{3}}{7-\dfrac{2}{3}}\div\dfrac{(-1)^{9}+\dfrac{4}{9}}{1-\dfrac{2}{11}}\\\\&=&\dfrac{4\times\dfrac{5}{3}}{\dfrac{21}{3}-\dfrac{2}{3}}\div\dfrac{-1+\dfrac{4}{9}}{\dfrac{11}{11}-\dfrac{2}{11}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{20}{3}}{\dfrac{21-2}{3}}\div\dfrac{\dfrac{-9}{9}+\dfrac{4}{9}}{\dfrac{11-2}{11}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{20}{3}}{\dfrac{19}{3}}\div\dfrac{\dfrac{-9+4}{9}}{\dfrac{9}{11}}\\\\&=&\left(\dfrac{20}{3}\times\dfrac{3}{19}\right)\div\dfrac{\dfrac{-5}{9}}{\dfrac{9}{11}}\\\\&=&\dfrac{20}{19}\div\left(\dfrac{-5}{9}\times\dfrac{11}{9}\right)\\\\&=&\dfrac{20}{19}\div\left(\dfrac{-55}{81}\right)\\\\&=&\dfrac{20}{19}\times\dfrac{81}{-55}\\\\&=&\dfrac{4}{19}\times\dfrac{81}{-11}\\\\&=&\dfrac{324}{-209}\end{array}$

Donc,

$\boxed{B=-\dfrac{324}{209}}$

Soit :

$C=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{7}\times\dfrac{1}{4}}-\dfrac{\dfrac{4}{5}\times\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{7}\times\dfrac{3}{4}}$

Alors, en calculant, on trouve :

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{7}\times\dfrac{1}{4}}-\dfrac{\dfrac{4}{5}\times\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{7}\times\dfrac{3}{4}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{28}}-\dfrac{\dfrac{4}{40}}{\dfrac{3}{28}}\\\\&=&\left(\dfrac{1}{3}\times\dfrac{28}{2}\right)-\left(\dfrac{4}{40}\times\dfrac{28}{3}\right)\\\\&=&\left(\dfrac{1}{3}\times\dfrac{14}{1}\right)-\left(\dfrac{1}{10}\times\dfrac{28}{3}\right)\\\\&=&\dfrac{14}{3}-\dfrac{14}{15}\\\\&=&\dfrac{70}{15}-\dfrac{14}{15}\\\\&=&\dfrac{56}{15}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{C=\dfrac{56}{15}}$

Soit :

$D=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{7}+\dfrac{1}{4}}\times\dfrac{\dfrac{\dfrac{1}{4}}{5}-\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{7}-\dfrac{3}{\dfrac{5}{2}+4}}$

Alors, en calculant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} D&=&\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{7}+\dfrac{1}{4}}\times\dfrac{\dfrac{\dfrac{1}{4}}{5}-\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{7}-\dfrac{3}{\dfrac{5}{2}+4}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{8}{28}+\dfrac{7}{28}}\times\dfrac{\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{7}-\dfrac{3}{\dfrac{5}{2}+\dfrac{8}{2}}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{15}{28}}\times\dfrac{\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{7}-\dfrac{3}{\dfrac{13}{2}}}\\\\&=&\dfrac{1}{3}\times\dfrac{28}{15}\times\dfrac{\dfrac{8}{160}-\dfrac{20}{160}}{\dfrac{1}{7}-\dfrac{3}{1}\times\dfrac{2}{13}}\\\\&=&\dfrac{28}{45}\times\dfrac{\dfrac{-12}{160}}{\dfrac{1}{7}-\dfrac{6}{13}}\\\\&=&\dfrac{28}{45}\times\dfrac{\dfrac{-12}{160}}{\dfrac{13}{91}-\dfrac{42}{91}}\\\\&=&\dfrac{28}{45}\times\dfrac{\dfrac{-12}{160}}{\dfrac{-29}{91}}\\\\&=&\dfrac{28}{45}\times\left(\dfrac{-12}{160}\times\dfrac{91}{-29}\right)\\\\&=&\dfrac{28}{45}\times\dfrac{12}{160}\times\dfrac{91}{29}\\\\&=&\dfrac{4\times 7\times 3\times 4\times 91}{3\times 15\times 4\times 4\times 10\times 29}\\\\&=&\dfrac{7\times 91}{15\times 10\times 29}\\\\&=&\dfrac{637}{4\,350}\end{array}$

D'où,

$\boxed{D=\dfrac{637}{4\,350}}$

Exercice 21

On considère les encadrements suivants :

$1.720<x<1.721\ \text{ et }\ 1.5<y<1.51$

a) Donnons un encadrement d'ordre

$1$ de

$x+y.$

Cela signifie d'encadrer

$x+y$ par deux nombres décimaux à un chiffre après la virgule.

On a :

$\begin{array}{rcccl} 1.720&<&x&<&1.721\\1.5&<&y&<&1.51 \end{array}$

Alors, en additionnant membre à membre ces deux encadrements, on obtient :

$\begin{array}{rcccl} 1.720&<&x&<&1.721\\\\+\quad 1.5&<&y&<&1.51\\\\\hline \\=\quad 3.22&<&x+y&<&3.231\end{array}$

Ainsi, un encadrement d'ordre

$1$ de

$x+y$ est donné par :

$\boxed{3.2<x+y<3.3}$

b) Donnons un encadrement d'ordre

$2$ de

$x-y$ puis en déduisons sa valeur approchée par défaut.

Cela revient à encadrer

$x-y$ par deux nombres décimaux à deux chiffres après la virgule.

On va d'abord encadre

$(-y)$ en multipliant chaque membre de l'encadrement de

$y$ par le même nombre

$-1.$

On rappelle que les inégalités changent de sens lorsqu'on multiplie l'encadrement par un nombre négatif.

Comme

$1.5<y<1.51$ alors, on a :

$-1.51<-y<-1.5$

Ainsi, on obtient :

$\begin{array}{rcccl} 1.720&<&x&<&1.721\\-1.51&<&-y&<&-1.5 \end{array}$

Alors, en additionnant membre à membre ces deux encadrements, on obtient :

$\begin{array}{rcccl} 1.720&<&x&<&1.721\\\\-1.51&<&-y&<&-1.5\\\\\hline \\=\quad 0.21&<&x+y&<&0.221\end{array}$

D'où, un encadrement d'ordre

$2$ de

$x-y$ est donné par :

$\boxed{0.21<x-y<0.22}$

Par conséquent, la valeur approchée par défaut de

$x-y$ est égale à :

$0.21$

Exercice 22

On considère les encadrements suivants :

$3.80<x<3.81\ \text{ et }\ 1.5<y<1.51$

1) Donnons un encadrement de

$3x+2y$ à

$10^{-1}$ prés puis en déduisons sa valeur approchée par excès.

On commence par encadrer

$3x$ en multipliant chaque membre de l'encadrement de

$x$ par le même nombre

$3.$

On obtient alors :

$3\times 3.80<3\times x<3\times 3.81$

Ce qui donne :

$11.4<3x<11.43$

Ensuite, on encadre

$2y$ en multipliant chaque membre de l'encadrement de

$y$ par le même nombre

$2.$

On obtient alors :

$2\times 1.5<2y<2\times 1.51$

Ce qui donne :

$3<2y<3.02$

Ainsi, on a :

$\begin{array}{rcccl} 11.4&<&3x&<&11.43\\3&<&2y&<&3.02\end{array}$

Par suite, en additionnant membre à membre ces deux encadrements, on obtient :

$\begin{array}{rcccl} 11.4&<&3x&<&11.43\\\\+\quad 3&<&2y&<&3.02\\\\\hline \\=\quad 14.4&<&3x+2y&<&14.45\end{array}$

Ainsi, un encadrement de

$3x+2y$ à

$10^{-1}$ près est donné par :

$\boxed{14.4<3x+2y<14.5}$

Sa valeur approchée par excès est donc égale à

$14.5$

2) Donnons un encadrement de

$2x-3y$ à

$10^{-2}$ prés.

On commence par encadrer

$(-3y)$ en multipliant chaque membre de l'encadrement de

$y$ par le même nombre

$-3.$

On rappelle que les inégalités changent de sens lorsqu'on multiplie l'encadrement par un nombre négatif.

Comme

$1.5<y<1.51$ alors, on a :

$-3\times 1.51<-3\times y<-3\times 1.5$

Ce qui donne :

$-4.53<-3y<-4.5$

Ensuite, on encadre

$2x$ en multipliant chaque membre de l'encadrement de

$x$ par le même nombre

$2.$

On obtient alors :

$2\times 3.80<2x<2\times 3.81$

Ce qui donne :

$7.6<2x<7.62$

Ainsi, on a :

$\begin{array}{rcccl} 7.6&<&2x&<&7.62\\-4.53&<&-3y&<&-4.5\end{array}$

Alors, en additionnant membre à membre ces deux encadrements, on obtient :

$\begin{array}{rcccl} 7.6&<&2x&<&7.62\\\\-4.53&<&-3y&<&-4.5\\\\\hline \\=\quad 3.07&<&2x-3y&<&3.12\end{array}$

D'où, un encadrement de

$2x-3y$ à

$10^{-2}$ prés est donné par :

$\boxed{3.07<2x-3y<3.12}$

3) Donnons un encadrement de

$\dfrac{x}{y}$ à

$10^{-1}$ prés.

On commence par encadrer

$\dfrac{1}{y}$ en remplaçant chaque membre de l'encadrement de

$y$ par son inverse tout en changeant le sens des inégalités.

Comme

$1.5<y<1.51$ alors, on a :

$\dfrac{1}{1.51}<\dfrac{1}{y}<\dfrac{1}{1.5}$

Ensuite, on multiplie membre à membre l'encadrement de

$x$ par celui de

$\dfrac{1}{y}.$

On obtient :

$3.80\times\dfrac{1}{1.51}<x\times\dfrac{1}{y}<3.81\times\dfrac{1}{1.5}$

Ce qui donne :

$\dfrac{3.80}{1.51}<\dfrac{x}{y}<\dfrac{3.81}{1.5}$

On trouve alors :

$2.51<\dfrac{x}{y}<2.54$

Ainsi, un encadrement de

$\dfrac{x}{y}$ à

$10^{-1}$ prés est donné par :

$\boxed{2.5<\dfrac{x}{y}<2.6}$

Exercice 23

On considère un rectangle dont les dimensions en

$cm$ sont

$3\$ et

$\ x-4.$

On suppose que :

$10\leq x<15.$

Donnons un encadrement de l'aire

$A$ en

$cm^{2}$ de ce rectangle d'amplitude la plus petite possible.

Comme les dimensions sont

$3\$ et

$\ x-4$ alors, l'aire

$A$ de ce rectangle est donnée par :

$A=3\times(x-4)$

Or,

$10\leq x<15.$

Donc,

$10-4\leq x-4<15-4.$

Ce qui donne :

$6\leq x-4<11.$

En multipliant chaque membre de cet encadrement par le même nombre

$3$ , on obtient :

$3\times 6\leq 3\times(x-4)<3\times 11.$

Donc,

$18\leq 3\times(x-4)<33.$

Ainsi, un encadrement de l'aire

$A$ en

$cm^{2}$ de ce rectangle est donné par :

$\boxed{18\;cm^{2}\leq A<33\;cm^{2}}$

Exercice 24

Soient

$x\$ et

$\ y$ deux nombres rationnels tels que :

$x=\dfrac{7934}{934}\ \text{ et }\ y=\dfrac{3794}{973}$

1) Trouvons les entiers

$a\$ et

$\ b$ tels que :

$a\leq x<a+1\ \text{ et }\ b\leq y<b+1$

Par calcul direct, on trouve :

$x=\dfrac{7934}{934}=8.49$

Or,

$8<8.49<9$

Donc,

$8<x<8+1$

Par conséquent,

$\boxed{a=8}$

De la même manière, on a :

$y=\dfrac{3794}{973}\simeq 3.899$

Or,

$3<3.899<4$

Ce qui signifie que :

$3<y<3+1$

Ainsi,

$\boxed{b=3}$

2) Donnons un encadrement de

$x+y$

D'après le résultat de la question

$1)$ , on a :

$\begin{array}{rcccl} 8&<&x&<&9\\3&<&y&<&4\end{array}$

Alors, en additionnant membre à membre ces deux encadrements, on obtient :

$\begin{array}{rcccl} 8&<&x&<&9\\\\+\quad 3&<&y&<&4\\\\\hline \\=\quad 11&<&x+y&<&13\end{array}$

Ainsi, un encadrement de

$x+y$ est donné par :

$\boxed{11<x+y<13}$

Auteur:

Diny Faye

Commentaires

Aliou diaw (non vérifié)

jeu, 12/19/2019 - 00:39

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j aime les matières

j aime les matières scientifiques

répondre

Mame Diarra cissé (non vérifié)

dim, 05/17/2020 - 02:05

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Scientifique

Très bien

répondre

FATOU (non vérifié)

sam, 12/12/2020 - 15:22

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AU TEMP QUE MOI

répondre

Anonyme (non vérifié)

mar, 11/16/2021 - 21:00

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Valeurs absolue

répondre

Maimouna Sambou (non vérifié)

mer, 03/25/2020 - 09:52

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Exercice et solution 4

Merci je révise en même temps

répondre

Mouhamadoul ami... (non vérifié)

ven, 11/13/2020 - 22:13

Permalien

besoin du corrigé des solutions de l exercice 8 9 10

CE SITE EST EXELLENT

répondre

Anonyme (non vérifié)

dim, 03/14/2021 - 11:07

Permalien

En expliquant

répondre

Mamadou Diallo (non vérifié)

sam, 12/26/2020 - 10:36

Permalien

Bonjour je voulais avoir la

Bonjour je voulais avoir la correction de la série pour corriger mes éventuelles erreurs. Merci Messieurs

répondre

SD (non vérifié)

ven, 03/05/2021 - 13:35

Permalien

Merci pour la correction mais

Merci pour la correction mais ke pense que dans l'exercice3 à la question b) à l'opération D il y'a une erreur de calcul on doit trouver normalement -10/7 MERCi pour votre soutien