I. Système de deux équations à deux inconnues
Un système d'équations du 1er degré à deux inconnues est un système de la forme {ax+by=ca′x+b′y=c′où a, b, c, a′, b′ et c′ ∈R
I.1 Méthodes de résolution
I.1.1 Méthode d'addition ou de combinaison
La méthode consiste à chercher l'une des inconnue en éliminant l'autre inconnue après addition des deux équations.
Soit à résoudre le système suivant {3x−4y=5(1)2x+3y=6(2)
Nous avons choisi de chercher d'abord x.
Et donc, pour éliminer y, on multiplie l'équation (1) par 3 et l'équation (2) par 4 ensuite, on les additionne .
Le système devient {9x−12y=15(3)8x+12y=24(4)
(3)+(4) ⇒ 17x=39; soit x=3917
Nous pouvons directement remplacer la valeur de x dans l'une des équations (1) ou (2) pour trouver y.
On peut aussi répéter la procédure pour trouver y en multipliant (1) par 2 et (2) par -3.
On obtient {6x−8y=10(5)−6x−9y=−18(6)
(5)+(6) ⇒ −17y=−8; soit y=817
S={(3917; 817)}
I.1.2 Méthode de substitution
Pour cette méthode, on exprime l'une des inconnues en fonction de l'autre dans l'une des équations et on remplace dans l'autre équation.
Soit le système : {3x−4y=5(1)2x+3y=6(2)
Partant de l'équation (2) on a :
2x+3y=6 ⇒ x=6−3y2=3−32y
En remplaçant dans (1) on obtient :
3(3−32y)−4y=5⇒9−92y−4y=5⇒−92y−4y=5−9=−4⇒−17y=−8⇒y=817
Or x=3−32, donc en remplaçant par la valeur de y on obtient :
x=3−32(817)=3−1217⇒x=51−1217
Soit : x=3917
S={(3917; 817)}
I.1.3 Méthode de comparaison
On exprime l'une des inconnues en fonction de l'autre simultanément dans les deux équations et pose l'égalité.
Par exemple, soit le système {3x−4y=5(1)2x+3y=6(2)
En exprimant x en fonction de y on obtient :
{x=5+4y3(3)x=6−3y2(4)
En posant (3)=(4) on obtient :
5+4y3=6−3y2⇒2(5+4y)=3(6−3y)⇒10+8y=18−9y⇒17y=8⇒y=817
En remplaçant dans (4) la valeur de y on obtient :
x=6−3(817)2=3−32×817⇒x=3−1217
Soit : x=3917
L'ensemble des solutions est donc donné par S={(3917; 817)}
I.1.4 Méthode de Cramer
Soit à résoudre le système suivant
(S) {ax+by=ca′x+b′y=c′où a, b, c, a′, b′ et c′ ∈R
On calcul d'abord le déterminant de (S). On a :
det(S)=Δ=|aba′b′|=ab′−a′b
Ensuite on pose Δx=|cbc′b′|=cb′−c′b et Δy=|aca′c′|=ac′−a′c
Enfin, selon le cas, on donne la solution
⋅ Si Δ≠0 alors le système admet une solution unique (x, y) où x=ΔxΔety=ΔyΔ
⋅ Si Δ=0 et si, Δx=0 et Δy=0 alors le système admet une infinité de solutions (x, y) qui vérifie ax+by+c=0 (ou a′x+b′y+c′=0)
⋅ Si Δ=0 et si, Δx≠0 ou Δy≠0 alors le système n'a pas de solutions. S=∅
I.2 Interprétation géométrique
Soit le système
(S) {ax+by=ca′x+b′y=c′ qui devient
(S′) {ax+by−c=0a′x+b′y−c′=0
où a, b, c, a′, b′ et c′ ∈R
Considérons les droites (D1) : ax+by−c=0 et (D2) : a′x+b′y−c′=0
Résoudre le système revient à déterminer les points d'intersection des droites (D1) et (D2)
1e cas
Soit
→u1(−ba) vecteur directeur de
(D1) et
→u2(−b′a′) vecteur directeur de
(D2)
Si (D1) est sécante à (D2) alors det(→u1; →u2)≠0
det(→u1; →u2)=|−b−b′aa′|=−a′b+ab′=det(S)
S={M0; point d'intersection des droites (D1) et (D2)}
2e cas
Si (D1)∥(D2) et (D1)∩(D2)=∅
S=∅
(D1)∥(D2) donc, →u1 et →u2 sont colinéaires.
Par suite, det(→u1; →u2)=0 or det(→u1; →u2)=det(S)=Δ=0 et on a : aa′=bb′≠cc′
D'où,
S=∅
3e cas
Si (D1)=(D2) alors les droites sont confondues.
(D1)∥(D2) donc, det(→u1; →u2)=det(S)=Δ=0 et on a : aa′=bb′=cc′
Ainsi, S={(x, y)∈R2/ax+by−c=0} ou {(x, y)∈R2/a′x+b′y−c′=0}
II. Système d'inéquations à deux inconnues
Soit par exemple, à résoudre graphiquement le système d'inéquations suivant :
(S) {2x−3≤1(1)x+2y≥−4(2)
Considérons les droites (D1) : 2x−3=1 soit x=2 et (D2) : x+2y+4=0
Dans un repère orthonormé (O; →i, →j) on représente ces droites.
Considérons un point quelconque n'appartenant pas aux deux droites. Si les coordonnées de ce point vérifient les deux inéquations alors ce point appartient à la partie solution sinon, l'autre partie du plan ne contenant pas ce point demeure solution du système d'inéquations.
Pour le système (S), vérifions si le point O∈S
On a :
2x−3≤1 ⇒ 2×0=0≤1vraie
x+2y≥−4 ⇒ 0+2×0=0≥−4vraie
Donc, O∈S
Sur le graphique, l'ensemble des solutions S est représenté par la partie non hachurée et les demi-droites frontières.
III. Programmation linéaire
Activité
Une entreprise fabrique des fauteuils et des chaises à l'aide de trois machines
A, B et
C.
Pour fabriquer un fauteuil il faut utiliser les machines A et B pendant une heure (1h), la machine C pendant trois heures (3h).
Pour fabriquer une chaise on utilise les machines A et C pendant une heure (1h), la machine B pendant deux heures (2h).
Mais les machines ne sont disponibles que soixante heures (60h) pour A, quatre vingts dix heures (90h) pour B et cent cinquante heures (150h) pour C.
Un fauteuil génère un bénéfice de 10000F et une chaise 5000F.
Combien faut-il fabriquer de fauteuils et de chaises pour obtenir, dans ces conditions, un bénéfice maximum ?
Résolution
Données
a) Disponibilitéen (h)A60B90C150b) Bénéfice surun articleFauteuil10000FChaise5000F
c) ABCTotalFauteuil1h1h3h5hChaise1h2h1h4hTotal2h3h4h
Déterminons le nombre de fauteuils et de chaises à fabriquer pour réaliser un bénéfice maximum.
Soit x le nombre de fauteuils et y le nombre de chaises.
Contraintes
Considérons le système (S) ci-après
(S){x≥0y≥0x+y≤60x+2y≤903x+y≤150
Soit B le bénéfice réalisé.
On a B=10000x+5000y
Le bénéfice maximum sera réalisé en un point A(xB, yB) appartenant à la partie solution de (S).
Résolution graphique de (S)
Échelle 1cm ⟶ 10
La partie non hachurée constitue la solution de (S).
Soient les droites (D1) : x+y−60=0,(D2) : x+2y−90=0 et (D3) : 3x+y−150=0
Traçons les droites
(DB) d'équation
B=10000x+5000y ⇔ y=B5000−2x pour les valeurs de
B suivantes :
200000; 300000; 400000 (les droites
(DB) sont les droites représentées en pointillés).
Soit bB=B5000 l'ordonnée à l'origine de y=B5000−2x alors si B augmente bB aussi augmente.
On constate d'après le graphique que le point A(45; 15) permet de réaliser un bénéfice maximal.
Le bénéfice maximum est donc : B=10000×45+5000×15=525000F
Commentaires
Mbaye (non vérifié)
mer, 02/12/2020 - 10:38
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Bjr, je suis u jeune
Papa (non vérifié)
dim, 11/01/2020 - 14:22
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Je suis content de vous
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