Fonctions numériques - T S2 : Savoir-faire

Classe: 
Terminale

1 Rappels et Compléments

1.1 Rappels sur la continuité

Continuité en un point

Propriété 

f est une fonction définie sur un intervalle contenant a. Les affirmations suivantes sont équivalentes :
 
(1) f est continue en a.
 
(2) limxaf(x)=f(a).
 
(3) limxa+f(x)=limxaf(x)=f(a)

Exercice 1

Soit la fonction f définie sur R par : {f(x)=3x2+ax+1pour x<1f(x)=3x1x+2
 
Déterminer a pour que f soit continue au point 1.

Solution 

On a limx1f(x)=limx1(3x2+ax+1)=3+a+1=4+a
 
et limx1+f(x)=limx1+(3x1x+2)=311+2=13 et f(1)=13
 
Pour que f soit continue en 1, il faut que limx1f(x)=limx1+f(x)=f(1)
 
Soit 4+a=13 ou encore a=113

Continuité sur un intervalle

Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en chaque point de cet intervalle.

Propriétés

   Toute fonction polynôme est continue en tout réel.
 
   Toute fonction rationnelle est continue en tout réel de son domaine de définition.
 
Les fonctions xcosx et xsinx sont continues en tout réel.
 
Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I contenant a.
 
   Si f et g sont continues en a, alors les fonctions f+g et f×g sont continues en a.
 
   Si f est continue en a, alors les fonctions αf, (αR), |f| et fn, (nN) sont continues en a.
 
   Si f est continue en a et si f(a)0, alors les fonctions 1f et 1fn sont continues en a.
 
   Si f et g sont continues en a et si g(a)0, alors la fonction fg est continue en a.
 
   Si f est continue sur I et g continue en a, alors la fonction f est continue en a.

Exercice 2

Déterminer l'ensemble de définition et étudier la continuité de la fonction f dans chacun des cas suivants :
 
1) f : x3x2+x1 2) f : x2x+12x1 3) f : xx2+5x5

Solution

1) f est définie et continue sur R comme fonction polynôme.
 
2) f est définie et continue sur R{12} comme fonction rationnelle.
 
3) f(x) existe si et seulement si x2+5x50, soit après calcul des racines du trinôme, xD=]; 5352][5+352; +[
La fonction g : xx2+5x5 étant continue et positive sur D, il résulte d'un théorème du cours de Première que la fonction f=g est continue sur D.

Exercice 3

Soit a un réel. On a la fonction f définie par : {f(x)=x+21x+1pour x1f(x)=asi x=1
 
1) Déterminer Df
 
2) Pour quelles valeurs de a f est-elle continue sur Df ?

Solution

1) f(x) existe si et seulement si x+20 (Ici il n'est pas nécessaire de poser x+10 car l'énoncé a attribué une valeur à f(1).
 
2)
 
limx1f(x)=limx1(x+21)(x+2+1)(x+1)(x+2+1)=limx1(x+2)1)(x+1)(x+2+1)=limx1(x+1)(x+1)(x+2+1)=limx11x+2+1=12
 
Pour que f soit continue en 1, il faut que a soit égal à 12, d'après la définition de la continuité en un point.
 
Dans ce cas, f est continue sur R.
 
En effet, la fonction xx+1 est continue sur R, donc a fortiori sur [2; +[ et est positive sur cet intervalle.
 
Donc la fonction xx+1 est continue sur [2; +[. Par suite la fonction f1 : xx+11 est continue sur [2; +[ comme somme d'une fonction continue et d'une fonction constante sur un intervalle.
 
La fonction f2 : xx+1 est également continue sur [2; +[ (comme fonction rationnelle) et ne s'annule pas sur cet intervalle.
 
Donc f=f1f2 est bien continue sur Df.

1.2 Théorème des valeurs intermédiaires 

Propriété

Si f est continue sur [a; b], alors pour tout nombre a compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un nombre c de [a; b] tel que f(c)=α. En d'autres termes, pour tout α compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=α admet au moins une solution dans [a; b].

Cas particulier

Si f est continue sur [a; b] et l'on a f(a)f(b)<0, alors il existe au moins un nombre c de ]a; b[ tel que f(c)=0. En d'autres termes, l'équation f(x)=0 admet au moins une solution dans [a; b].

Exercice 4

Soit f la fonction définie sur R par f(x)=xx+31
 
1) Montrer que l'équation f(x)=x admet dans [3; 0] au moins une solution a.
 
2) Montrer que a est solution de l'équation : x3+2x22x1.

Solution 

1) Df=[3; +[. f est continue sur Df comme somme et composée de fonctions continues. Posons φ(x)=f(x)x.
 
φ est continue sur Df comme somme de f et d'une fonction affine. En particulier, φ est continue sur [3; 0].
 
On a φ(0)=f(0)0=1 et φ(3)=f(3)+3=2. D'où φ(0)×φ(3)<0.
 
D'après le cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel a de ]3; 0[ tel que φ(a)=0 soit f(a)=a.
 
2)
 
f(a)=aaa+31=aaa+3=a+1a2(a+3)=(a+1)2par élévation au carréa3+3a2=a2+2a+1a3+2a22a1=0
 
Nous avons procédé par implications successives, étant donné que l'égalité (A=B) implique que (A2=B2) mais la réciproque n'est pas vraie. 

Exercice 5

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a; b]. On suppose que f(a)=g(b) et f(b)=g(a).
 
Démontrer qu'il existe un réel c de [a; b] tel que f(c)=g(c).

Solution

Posons φ(x)=f(x)g(x). Alors φ est continue sur I=[a; b] comme somme des fonctions f et g (continues sur [a; b] par hypothèse).
 
On a φ(a)=f(a)g(a)=f(a)f(b) (d'après l'hypothèse f(a)=g(b)) et
 
φ(b)=f(b)g(b)=f(b)f(a) (d'après l'hypothèse g(b)=f(a))
 
Ainsi φ(a) et φ(b) sont deux réels opposés (car f(a)f(b)=(f(b)f(a))), donc en particulier de signes contraires.
 
D'après le cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit qu'il existe au moins un réel c tel que φ(c)=0, soit f(c)=g(c).

 
Auteur: 
Mouhamadou Ka

Commentaires

C'est très intéressant

bonjour Prof, Merci pour ce site qui permet de réviser l'essentiel et très facilement. Dans l'exercice 4 sur les valeurs intermédiaires Tle S2 , PHI de 0 est bon, mais j'ai pas compris pourquoi calculer PHI de 1 , mais en plus PHI de 1 calculé ne me semble pas juste sauf erreur ça donne 0 et non 1 et ne permet pas de conclure suivant le cours

merci pour le retour, fallait mettre φ(3) à la place de φ(1)

Je n'arrive pas à télécharger

Merci merci et merci wallahi

Bon travail

Je crois qu'il y'a une petite erreur sur l'exercice 1 lors du calcul du limite de f(x) x—>1+ car vous avez fais (3-1=1) or c'est=2

Pour me renforcer

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