Fonctions numériques - T S2 : Savoir-faire
Classe:
Terminale
1 Rappels et Compléments
1.1 Rappels sur la continuité
Continuité en un point
Propriété
f est une fonction définie sur un intervalle contenant a. Les affirmations suivantes sont équivalentes :
(1) f est continue en a.
(2) limx→af(x)=f(a).
(3) limx→a+f(x)=limx→a−f(x)=f(a)
Exercice 1
Soit la fonction f définie sur R par : {f(x)=3x2+ax+1pour x<1f(x)=3x−1x+2
Déterminer a pour que f soit continue au point 1.
Solution
On a limx→1−f(x)=limx→1−(3x2+ax+1)=3+a+1=4+a
et limx→1+f(x)=limx→1+(3x−1x+2)=3−11+2=13 et f(1)=13
Pour que f soit continue en 1, il faut que limx→1−f(x)=limx→1+f(x)=f(1)
Soit 4+a=13 ou encore a=−113
Continuité sur un intervalle
Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en chaque point de cet intervalle.
Propriétés
⋅ Toute fonction polynôme est continue en tout réel.
⋅ Toute fonction rationnelle est continue en tout réel de son domaine de définition.
Les fonctions x↦cosx et x↦sinx sont continues en tout réel.
Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I contenant a.
⋅ Si f et g sont continues en a, alors les fonctions f+g et f×g sont continues en a.
⋅ Si f est continue en a, alors les fonctions αf, (α∈R), |f| et fn, (n∈N∗) sont continues en a.
⋅ Si f est continue en a et si f(a)≠0, alors les fonctions 1f et 1fn sont continues en a.
⋅ Si f et g sont continues en a et si g(a)≠0, alors la fonction fg est continue en a.
⋅ Si f est continue sur I et g continue en a, alors la fonction √f est continue en a.
Exercice 2
Déterminer l'ensemble de définition et étudier la continuité de la fonction f dans chacun des cas suivants :
1) f : x↦3x2+x−1 2) f : x↦2x+12x−1 3) f : x↦√x2+5x−5
Solution
1) f est définie et continue sur R comme fonction polynôme.
2) f est définie et continue sur R∖{12} comme fonction rationnelle.
3) f(x) existe si et seulement si x2+5x−5≥0, soit après calcul des racines du trinôme, x∈D=]−∞; −5−3√52]∪[−5+3√52; +∞[
La fonction g : x↦x2+5x−5 étant continue et positive sur D, il résulte d'un théorème du cours de Première que la fonction f=√g est continue sur D.
Exercice 3
Soit a un réel. On a la fonction f définie par : {f(x)=√x+2−1x+1pour x≠−1f(x)=asi x=−1
1) Déterminer Df
2) Pour quelles valeurs de a f est-elle continue sur Df ?
Solution
1) f(x) existe si et seulement si x+2≥0 (Ici il n'est pas nécessaire de poser x+1≠0 car l'énoncé a attribué une valeur à f(−1).
2)
limx→−1f(x)=limx→−1(√x+2−1)(√x+2+1)(x+1)(√x+2+1)=limx→−1(x+2)−1)(x+1)(√x+2+1)=limx→−1(x+1)(x+1)(√x+2+1)=limx→−11√x+2+1=12
Pour que f soit continue en −1, il faut que a soit égal à 12, d'après la définition de la continuité en un point.
Dans ce cas, f est continue sur R.
En effet, la fonction x↦x+1 est continue sur R, donc a fortiori sur [−2; +∞[ et est positive sur cet intervalle.
Donc la fonction x↦√x+1 est continue sur [−2; +∞[. Par suite la fonction f1 : x↦√x+1−1 est continue sur [−2; +∞[ comme somme d'une fonction continue et d'une fonction constante sur un intervalle.
La fonction f2 : x↦x+1 est également continue sur [−2; +∞[ (comme fonction rationnelle) et ne s'annule pas sur cet intervalle.
Donc f=f1f2 est bien continue sur Df.
1.2 Théorème des valeurs intermédiaires
Propriété
Si f est continue sur [a; b], alors pour tout nombre a compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un nombre c de [a; b] tel que f(c)=α. En d'autres termes, pour tout α compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=α admet au moins une solution dans [a; b].
Cas particulier
Si f est continue sur [a; b] et l'on a f(a)f(b)<0, alors il existe au moins un nombre c de ]a; b[ tel que f(c)=0. En d'autres termes, l'équation f(x)=0 admet au moins une solution dans [a; b].
Exercice 4
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x√x+3−1
1) Montrer que l'équation f(x)=x admet dans [−3; 0] au moins une solution a.
2) Montrer que a est solution de l'équation : x3+2x2−2x−1.
Solution
1) Df=[−3; +∞[. f est continue sur Df comme somme et composée de fonctions continues. Posons φ(x)=f(x)−x.
φ est continue sur Df comme somme de f et d'une fonction affine. En particulier, φ est continue sur [−3; 0].
On a φ(0)=f(0)−0=−1 et φ(−3)=f(−3)+3=2. D'où φ(0)×φ(−3)<0.
D'après le cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel a de ]−3; 0[ tel que φ(a)=0 soit f(a)=a.
2)
f(a)=a⇒a√a+3−1=a⇒a√a+3=a+1⇒a2(a+3)=(a+1)2par élévation au carré⇒a3+3a2=a2+2a+1⇒a3+2a2−2a−1=0
Nous avons procédé par implications successives, étant donné que l'égalité (A=B) implique que (A2=B2) mais la réciproque n'est pas vraie.
Exercice 5
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a; b]. On suppose que f(a)=g(b) et f(b)=g(a).
Démontrer qu'il existe un réel c de [a; b] tel que f(c)=g(c).
Solution
Posons φ(x)=f(x)−g(x). Alors φ est continue sur I=[a; b] comme somme des fonctions f et g (continues sur [a; b] par hypothèse).
On a φ(a)=f(a)−g(a)=f(a)−f(b) (d'après l'hypothèse f(a)=g(b)) et
φ(b)=f(b)−g(b)=f(b)−f(a) (d'après l'hypothèse g(b)=f(a))
Ainsi φ(a) et φ(b) sont deux réels opposés (car f(a)−f(b)=−(f(b)−f(a))), donc en particulier de signes contraires.
D'après le cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit qu'il existe au moins un réel c tel que φ(c)=0, soit f(c)=g(c).
Auteur:
Mouhamadou Ka
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
mer, 03/04/2020 - 01:17
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C'est très intéressant
nono (non vérifié)
sam, 03/28/2020 - 13:47
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exo 4 sur les fonctions numeriques
fdini
sam, 03/28/2020 - 16:51
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merci pour le retour, fallait
merci pour le retour, fallait mettre φ(−3) à la place de φ(1)
mbodji (non vérifié)
sam, 05/30/2020 - 04:14
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Je n'arrive pas à télécharger
Anonyme (non vérifié)
dim, 12/06/2020 - 22:22
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Merci merci et merci wallahi
Malick (non vérifié)
mar, 01/05/2021 - 06:30
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Bon travail
Elhadji Maguett... (non vérifié)
jeu, 02/03/2022 - 19:36
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Rectification
Oulaï (non vérifié)
sam, 06/17/2023 - 16:45
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Pour me renforcer
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