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Fonctions numériques - T S2 : Savoir-faire

Classe:

Terminale

1 Rappels et Compléments

1.1 Rappels sur la continuité

Continuité en un point

Propriété

$f$ est une fonction définie sur un intervalle contenant

$a.$ Les affirmations suivantes sont équivalentes :

(1)

$f$ est continue en

$a.$

(2)

$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a).$

(3)

$\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=f(a)$

Exercice 1

Soit la fonction

$f$ définie sur

$\mathbb{R}$ par :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&=&3x^{2}+ax+1\quad\text{pour }x<1 \\ \\ f(x)&=&\dfrac{3x-1}{x+2}\end{array}\right.$

Déterminer

$a$ pour que

$f$ soit continue au point 1.

Solution

On a

$\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}(3x^{2}+ax+1)=3+a+1=4+a$

$\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\left(\dfrac{3x-1}{x+2}\right)=\dfrac{3-1}{1+2}=\dfrac{1}{3}$ et

$f(1)=\dfrac{1}{3}$

Pour que

$f$ soit continue en 1, il faut que

$\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=f(1)$

Soit

$4+a=\dfrac{1}{3}$ ou encore

$a=-\dfrac{11}{3}$

Continuité sur un intervalle

Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en chaque point de cet intervalle.

Propriétés

$\centerdot\ \$ Toute fonction polynôme est continue en tout réel.

$\centerdot\ \$ Toute fonction rationnelle est continue en tout réel de son domaine de définition.

Les fonctions

$x\mapsto\cos x$ et

$x\mapsto\sin x$ sont continues en tout réel.

Soit

$f$ et

$g$ deux fonctions définies sur un intervalle ouvert

$I$ contenant

$a.$

$\centerdot\ \$ Si

$f$ et

$g$ sont continues en

$a$ , alors les fonctions

$f+g$ et

$f\times g$ sont continues en

$a.$

$\centerdot\ \$ Si

$f$ est continue en

$a$ , alors les fonctions

$\alpha f\;,\ (\alpha\in\mathbb{R})\;,\ |f|$ et

$f^{n}\;,\ (n\in\mathbb{N}^{*})$ sont continues en

$a.$

$\centerdot\ \$ Si

$f$ est continue en

$a$ et si

$f(a)\neq 0$ , alors les fonctions

$\dfrac{1}{f}$ et

$\dfrac{1}{f^{n}}$ sont continues en

$a.$

$\centerdot\ \$ Si

$f$ et

$g$ sont continues en

$a$ et si

$g(a)\neq 0$ , alors la fonction

$\dfrac{f}{g}$ est continue en

$a.$

$\centerdot\ \$ Si

$f$ est continue sur

$I$ et

$g$ continue en

$a$ , alors la fonction

$\sqrt{f}$ est continue en

$a.$

Exercice 2

Déterminer l'ensemble de définition et étudier la continuité de la fonction

$f$ dans chacun des cas suivants :

$f\ :\ x\mapsto 3x^{2}+x-1\qquad$ 2)

$f\ :\ x\mapsto\dfrac{2x+1}{2x-1}\qquad$ 3)

$f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{2}+5x-5}$

Solution

$f$ est définie et continue sur

$\mathbb{R}$ comme fonction polynôme.

$f$ est définie et continue sur

$\mathbb{R}\setminus\left\lbrace\dfrac{1}{2}\right\rbrace$ comme fonction rationnelle.

$f(x)$ existe si et seulement si

$x^{2}+5x-5\geq 0$ , soit après calcul des racines du trinôme,

$x\in D=\left]-\infty\;;\ \dfrac{-5-3\sqrt{5}}{2}\right]\cup\left[\dfrac{-5+3\sqrt{5}}{2}\;;\ +\infty\right[$

La fonction

$g\ :\ x\mapsto x^{2}+5x-5$ étant continue et positive sur

$D$ , il résulte d'un théorème du cours de Première que la fonction

$f=\sqrt{g}$ est continue sur

$D.$

Exercice 3

Soit

$a$ un réel. On a la fonction

$f$ définie par :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&=&\dfrac{\sqrt{x+2}-1}{x+1}\quad\text{pour }x\neq -1 \\ \\ f(x)&=&a\quad\text{si }x=-1\end{array}\right.$

1) Déterminer

$D_{f}$

2) Pour quelles valeurs de

$a$

$f$ est-elle continue sur

$D_{f}$ ?

Solution

$f(x)$ existe si et seulement si

$x+2\geq 0$ (Ici il n'est pas nécessaire de poser

$x+1\neq 0$ car l'énoncé a attribué une valeur à

$f(-1).$

$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\rightarrow -1}f(x)&=&\lim\limits_{x\rightarrow -1}\dfrac{(\sqrt{x+2}-1)(\sqrt{x+2}+1)}{(x+1)(\sqrt{x+2}+1)}\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow -1}\dfrac{(x+2)-1)}{(x+1)(\sqrt{x+2}+1)}\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow -1}\dfrac{(x+1)}{(x+1)(\sqrt{x+2}+1)}\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow -1}\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+1}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\end{array}$

Pour que

$f$ soit continue en

$-1$ , il faut que

$a$ soit égal à

$\dfrac{1}{2}$ , d'après la définition de la continuité en un point.

Dans ce cas,

$f$ est continue sur

$\mathbb{R}$ .

En effet, la fonction

$x\mapsto x+1$ est continue sur

$\mathbb{R}$ , donc a fortiori sur

$[-2\;;\ +\infty[$ et est positive sur cet intervalle.

Donc la fonction

$x\mapsto \sqrt{x+1}$ est continue sur

$[-2\;;\ +\infty[.$ Par suite la fonction

$f_{1}\ :\ x\mapsto \sqrt{x+1}-1$ est continue sur

$[-2\;;\ +\infty[$ comme somme d'une fonction continue et d'une fonction constante sur un intervalle.

La fonction

$f_{2}\ :\ x\mapsto x+1$ est également continue sur

$[-2\;;\ +\infty[$ (comme fonction rationnelle) et ne s'annule pas sur cet intervalle.

Donc

$f=\dfrac{f_{1}}{f_{2}}$ est bien continue sur

$D_{f}$ .

1.2 Théorème des valeurs intermédiaires

Propriété

$f$ est continue sur

$[a\;;\ b]$ , alors pour tout nombre

$a$ compris entre

$f(a)$ et

$f(b)$ , il existe au moins un nombre

$c$ de

$[a\;;\ b]$ tel que

$f(c)=\alpha.$ En d'autres termes, pour tout

$\alpha$ compris entre

$f(a)$ et

$f(b)$ , l'équation

$f(x)=\alpha$ admet au moins une solution dans

$[a\;;\ b].$

Cas particulier

$f$ est continue sur

$[a\;;\ b]$ et l'on a

$f(a)f(b)<0$ , alors il existe au moins un nombre

$c$ de

$]a\;;\ b[$ tel que

$f(c)=0.$ En d'autres termes, l'équation

$f(x)=0$ admet au moins une solution dans

$[a\;;\ b].$

Exercice 4

Soit

$f$ la fonction définie sur

$\mathbb{R}$ par

$f(x)=x\sqrt{x+3}-1$

1) Montrer que l'équation

$f(x)=x$ admet dans

$[-3\;;\ 0]$ au moins une solution

$a.$

2) Montrer que

$a$ est solution de l'équation :

$x^{3}+2x^{2}-2x-1.$

Solution

$D_{f}=[-3\;;\ +\infty[.\ f$ est continue sur

$D_{f}$ comme somme et composée de fonctions continues. Posons

$\varphi(x)=f(x)-x.$

$\varphi$ est continue sur

$D_{f}$ comme somme de

$f$ et d'une fonction affine. En particulier,

$\varphi$ est continue sur

$[-3\;;\ 0].$

On a

$\varphi(0)=f(0)-0=-1$ et

$\varphi(-3)=f(-3)+3=2.$ D'où

$\varphi(0)\times\varphi(-3)<0.$

D'après le cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel

$a$ de

$]-3\;;\ 0[$ tel que

$\varphi(a)=0$ soit

$f(a)=a.$

$\begin{array}{rcl} f(a)=a&\Rightarrow&a\sqrt{a+3}-1=a\\ \\ &\Rightarrow&a\sqrt{a+3}=a+1\\ \\ &\Rightarrow&a^{2}(a+3)=(a+1)^{2}\quad\text{par élévation au carré}\\ \\ &\Rightarrow&a^{3}+3a^{2}=a^{2}+2a+1\\ \\ &\Rightarrow&a^{3}+2a^{2}-2a-1=0\end{array}$

Nous avons procédé par implications successives, étant donné que l'égalité

$(A=B)$ implique que

$(A^{2}=B^{2})$ mais la réciproque n'est pas vraie.

Exercice 5

Soient

$f$ et

$g$ deux fonctions continues sur un intervalle

$[a\;;\ b].$ On suppose que

$f(a)=g(b)$ et

$f(b)=g(a).$

Démontrer qu'il existe un réel

$c$ de

$[a\;;\ b]$ tel que

$f(c)=g(c).$

Solution

Posons

$\varphi(x)=f(x)-g(x).$ Alors

$\varphi$ est continue sur

$I=[a\;;\ b]$ comme somme des fonctions

$f$ et

$g$ (continues sur

$[a\;;\ b]$ par hypothèse).

On a

$\varphi(a)=f(a)-g(a)=f(a)-f(b)$ (d'après l'hypothèse

$f(a)=g(b)$ ) et

$\varphi(b)=f(b)-g(b)=f(b)-f(a)$ (d'après l'hypothèse

$g(b)=f(a)$ )

Ainsi

$\varphi(a)$ et

$\varphi(b)$ sont deux réels opposés (car

$f(a)-f(b)=-(f(b)-f(a))$ ), donc en particulier de signes contraires.

D'après le cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit qu'il existe au moins un réel

$c$ tel que

$\varphi(c)=0$ , soit

$f(c)=g(c).$

Auteur:

Mouhamadou Ka

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

mer, 03/04/2020 - 01:17

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C'est très intéressant

répondre

nono (non vérifié)

sam, 03/28/2020 - 13:47

Permalien

exo 4 sur les fonctions numeriques

bonjour Prof, Merci pour ce site qui permet de réviser l'essentiel et très facilement. Dans l'exercice 4 sur les valeurs intermédiaires Tle S2 , PHI de 0 est bon, mais j'ai pas compris pourquoi calculer PHI de 1 , mais en plus PHI de 1 calculé ne me semble pas juste sauf erreur ça donne 0 et non 1 et ne permet pas de conclure suivant le cours