Fonctions numériques Ts2 : Savoir-faire

Classe: 
Terminale

1 Rappels et Compléments

1.1 Rappels sur la continuité

Continuité en un point

Propriété 

$f$ est une fonction définie sur un intervalle contenant $a.$ Les affirmations suivantes sont équivalentes :
 
(1) $f$ est continue en $a.$
 
(2) $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a).$
 
(3) $\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=f(a)$

Exercice 1

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&=&3x^{2}+ax+1\quad\text{pour }x<1 \\ \\ f(x)&=&\dfrac{3x-1}{x+2}\end{array}\right.$$
 
Déterminer $a$ pour que $f$ soit continue au point 1.

Solution 

On a $\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}(3x^{2}+ax+1)=3+a+1=4+a$
 
et $\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\left(\dfrac{3x-1}{x+2}\right)=\dfrac{3-1}{1+2}=\dfrac{1}{3}$ et $f(1)=\dfrac{1}{3}$
 
Pour que $f$ soit continue en 1, il faut que $$\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=f(1)$$
 
Soit $4+a=\dfrac{1}{3}$ ou encore $a=-\dfrac{11}{3}$

Continuité sur un intervalle

Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en chaque point de cet intervalle.

Propriétés

$\centerdot\ \ $ Toute fonction polynôme est continue en tout réel.
 
$\centerdot\ \ $ Toute fonction rationnelle est continue en tout réel de son domaine de définition.
 
Les fonctions $x\mapsto\cos x$ et $x\mapsto\sin x$ sont continues en tout réel.
 
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle ouvert $I$ contenant $a.$
 
$\centerdot\ \ $ Si $f$ et $g$ sont continues en $a$, alors les fonctions $f+g$ et $f\times g$ sont continues en $a.$
 
$\centerdot\ \ $ Si $f$ est continue en $a$, alors les fonctions $\alpha f\;,\ (\alpha\in\mathbb{R})\;,\ |f|$ et $f^{n}\;,\ (n\in\mathbb{N}^{*})$ sont continues en $a.$
 
$\centerdot\ \ $ Si $f$ est continue en $a$ et si $f(a)\neq 0$, alors les fonctions $\dfrac{1}{f}$ et $\dfrac{1}{f^{n}}$ sont continues en $a.$
 
$\centerdot\ \ $ Si $f$ et $g$ sont continues en $a$ et si $g(a)\neq 0$, alors la fonction $\dfrac{f}{g}$ est continue en $a.$
 
$\centerdot\ \ $ Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ continue en $a$, alors la fonction $\sqrt{f}$ est continue en $a.$

Exercice 2

Déterminer l'ensemble de définition et étudier la continuité de la fonction $f$ dans chacun des cas suivants :
 
1) $f\ :\ x\mapsto 3x^{2}+x-1\qquad$ 2) $f\ :\ x\mapsto\dfrac{2x+1}{2x-1}\qquad$ 3) $f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{2}+5x-5}$

Solution

1) $f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$ comme fonction polynôme.
 
2) $f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}\setminus\left\lbrace\dfrac{1}{2}\right\rbrace$ comme fonction rationnelle.
 
3) $f(x)$ existe si et seulement si $x^{2}+5x-5\geq 0$, soit après calcul des racines du trinôme, $$x\in D=\left]-\infty\;;\ \dfrac{-5-3\sqrt{5}}{2}\right]\cup\left[\dfrac{-5+3\sqrt{5}}{2}\;;\ +\infty\right[$$
La fonction $g\ :\ x\mapsto x^{2}+5x-5$ étant continue et positive sur $D$, il résulte d'un théorème du cours de Première que la fonction $f=\sqrt{g}$ est continue sur $D.$

Exercice 3

Soit $a$ un réel. On a la fonction $f$ définie par : $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&=&\dfrac{\sqrt{x+2}-1}{x+1}\quad\text{pour }x\neq -1 \\ \\ f(x)&=&a\quad\text{si }x=-1\end{array}\right.$$
 
1) Déterminer $D_{f}$
 
2) Pour quelles valeurs de $a$ $f$ est-elle continue sur $D_{f}$ ?

Solution

1) $f(x)$ existe si et seulement si $x+2\geq 0$ (Ici il n'est pas nécessaire de poser $x+1\neq 0$ car l'énoncé a attribué une valeur à $f(-1).$
 
2)
 
$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\rightarrow -1}f(x)&=&\lim\limits_{x\rightarrow -1}\dfrac{(\sqrt{x+2}-1)(\sqrt{x+2}+1)}{(x+1)(\sqrt{x+2}+1)}\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow -1}\dfrac{(x+2)-1)}{(x+1)(\sqrt{x+2}+1)}\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow -1}\dfrac{(x+1)}{(x+1)(\sqrt{x+2}+1)}\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow -1}\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+1}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\end{array}$
 
Pour que $f$ soit continue en $-1$, il faut que $a$ soit égal à $\dfrac{1}{2}$, d'après la définition de la continuité en un point.
 
Dans ce cas, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
 
En effet, la fonction $x\mapsto x+1$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc a fortiori sur $[-2\;;\ +\infty[$ et est positive sur cet intervalle.
 
Donc la fonction $x\mapsto \sqrt{x+1}$ est continue sur $[-2\;;\ +\infty[.$ Par suite la fonction $f_{1}\ :\ x\mapsto \sqrt{x+1}-1$ est continue sur $[-2\;;\ +\infty[$ comme somme d'une fonction continue et d'une fonction constante sur un intervalle.
 
La fonction $f_{2}\ :\ x\mapsto x+1$ est également continue sur $[-2\;;\ +\infty[$ (comme fonction rationnelle) et ne s'annule pas sur cet intervalle.
 
Donc $f=\dfrac{f_{1}}{f_{2}}$ est bien continue sur $D_{f}$.

1.2 Théorème des valeurs intermédiaires 

Propriété

Si $f$ est continue sur $[a\;;\ b]$, alors pour tout nombre $a$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un nombre $c$ de $[a\;;\ b]$ tel que $f(c)=\alpha.$ En d'autres termes, pour tout $\alpha$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=\alpha$ admet au moins une solution dans $[a\;;\ b].$

Cas particulier

Si $f$ est continue sur $[a\;;\ b]$ et l'on a $f(a)f(b)<0$, alors il existe au moins un nombre $c$ de $]a\;;\ b[$ tel que $f(c)=0.$ En d'autres termes, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $[a\;;\ b].$

Exercice 4

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x\sqrt{x+3}-1$
 
1) Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet dans $[-3\;;\ 0]$ au moins une solution $a.$
 
2) Montrer que $a$ est solution de l'équation : $x^{3}+2x^{2}-2x-1.$

Solution 

1) $D_{f}=[-3\;;\ +\infty[.\ f$ est continue sur $D_{f}$ comme somme et composée de fonctions continues. Posons $\varphi(x)=f(x)-x.$
 
$\varphi$ est continue sur $D_{f}$ comme somme de $f$ et d'une fonction affine. En particulier, $\varphi$ est continue sur $[-3\;;\ 0].$
 
On a $\varphi(0)=f(0)-0=-1$ et $\varphi(-3)=f(-3)+3=2.$ D'où $\varphi(0)\times\varphi(-3)<0.$
 
D'après le cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel $a$ de $]-3\;;\ 0[$ tel que $\varphi(a)=0$ soit $f(a)=a.$
 
2)
 
$\begin{array}{rcl} f(a)=a&\Rightarrow&a\sqrt{a+3}-1=a\\ \\ &\Rightarrow&a\sqrt{a+3}=a+1\\ \\ &\Rightarrow&a^{2}(a+3)=(a+1)^{2}\quad\text{par élévation au carré}\\ \\ &\Rightarrow&a^{3}+3a^{2}=a^{2}+2a+1\\ \\ &\Rightarrow&a^{3}+2a^{2}-2a-1=0\end{array}$
 
Nous avons procédé par implications successives, étant donné que l'égalité $(A=B)$ implique que $(A^{2}=B^{2})$ mais la réciproque n'est pas vraie. 

Exercice 5

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a\;;\ b].$ On suppose que $f(a)=g(b)$ et $f(b)=g(a).$
 
Démontrer qu'il existe un réel $c$ de $[a\;;\ b]$ tel que $f(c)=g(c).$

Solution

Posons $\varphi(x)=f(x)-g(x).$ Alors $\varphi$ est continue sur $I=[a\;;\ b]$ comme somme des fonctions $f$ et $g$ (continues sur $[a\;;\ b]$ par hypothèse).
 
On a $\varphi(a)=f(a)-g(a)=f(a)-f(b)$ (d'après l'hypothèse $f(a)=g(b)$) et
 
$\varphi(b)=f(b)-g(b)=f(b)-f(a)$ (d'après l'hypothèse $g(b)=f(a)$)
 
Ainsi $\varphi(a)$ et $\varphi(b)$ sont deux réels opposés (car $f(a)-f(b)=-(f(b)-f(a))$), donc en particulier de signes contraires.
 
D'après le cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit qu'il existe au moins un réel $c$ tel que $\varphi(c)=0$, soit $f(c)=g(c).$

 
Auteur: 
Mouhamadou Ka

Commentaires

6

C'est très intéressant

bonjour Prof, Merci pour ce site qui permet de réviser l'essentiel et très facilement. Dans l'exercice 4 sur les valeurs intermédiaires Tle S2 , PHI de 0 est bon, mais j'ai pas compris pourquoi calculer PHI de 1 , mais en plus PHI de 1 calculé ne me semble pas juste sauf erreur ça donne 0 et non 1 et ne permet pas de conclure suivant le cours

merci pour le retour, fallait mettre $\varphi(-3)$ à la place de $\varphi(1)$

Je n'arrive pas à télécharger

Merci merci et merci wallahi

Bon travail

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