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Repérage dans le plan 3e

Classe:

Troisième

I. repérage orthonormal

Soient

$\vec{i}\$ et

$\ \vec{j}$ deux vecteurs du plan de direction respective

$(x'x)\$ et

$\ (y'y)$ non parallèles et

$O$ leur point d'intersection.

On appelle repère cartésien, le triplet

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

$(x'x)\perp(y'y)$ alors, le repère cartésien sera le repère orthogonal.

Si, pour le repère orthogonal, on a

$\ell_{\vec{i}}=\ell_{\vec{j}}$ alors, le repère sera dit repère orthonormal.

Le point

$O$ est appelé origine du repère et les axes

$(x'x)\$ et

$\ (y'y)$ sont respectivement appelés axe des abscisses et axe des ordonnées.

Remarque :

En posant

$\vec{i}=\overrightarrow{OI}\$ et

$\ \vec{j}=\overrightarrow{OJ}$ , le repère orthonormal sera noté

$(O\;;\ I\;,\ J)$

II. Coordonnées d'un point dans un repère orthonormal

Soient

$(O\;;\ I\;,\ J)$ un repère orthonormal et

$M$ un point du plan.

On a :

$OM_{1}MM_{2}$ un parallélogramme alors,

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM_{1}}+\overrightarrow{OM_{2}}.$

Or, les vecteurs

$\overrightarrow{OM_{1}}\$ et

$\ \overrightarrow{OM_{2}}$ sont respectivement colinéaires aux vecteurs

$\vec{i}\$ et

$\ \vec{j}.$

Donc, il existe deux réels

$x\$ et

$\ y$ tels que

$\overrightarrow{OM_{1}}=x.\vec{i}\$ et

$\ \overrightarrow{OM_{2}}=y.\vec{j}.$

Ainsi,

$\overrightarrow{OM}=x.\vec{i}+y.\vec{j}.$ D'où le couple

$(x\;;\ y)$ est appelé les coordonnées du point

$M$ dans le repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

On notera

$M\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$ ou

$M(x\;;\ y)$

$M$ a pour coordonnées

$\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$ dans le repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ alors,

$\overrightarrow{OM}=x.\vec{i}+y.\vec{j}.$

Exemple :

On considère un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ et on donne :

$\overrightarrow{OA}=3\vec{i}+2\vec{j}\;;\ \overrightarrow{OB}=-2\vec{i}+3\vec{j}\;;\ \overrightarrow{OC}=4\vec{i}\$ et

$\ \overrightarrow{OD}=-3\vec{j}.$

Trouvons les coordonnées des points

$A\;,\ B\;,\ C\$ et

$\ D$ et plaçons les dans le repère orthonormal.

On a :

$\overrightarrow{OA}=3\vec{i}+2\vec{j}$ alors,

$A\begin{pmatrix} 3\\ 2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OB}=-2\vec{i}+3\vec{j}$ alors,

$B(-2\;;\ 3)$

$\overrightarrow{OC}=4\vec{i}$ alors,

$C\begin{pmatrix} 4\\ 0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OD}=-3\vec{j}$ alors,

$D(0\;;\ -3)$

Les réels

$x\$ et

$\ y$ sont appelés respectivement abscisse et ordonnée du point

$M$ dans le repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

$\centerdot\ \$ Le point

$O$ a pour coordonnées

$\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$ , on notera

$O\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$

$\centerdot\ \$ Si un point a pour abscisse nul, il se trouvera alors dans l'axe des ordonnées.

$\centerdot\ \$ Si un point a pour ordonnée nulle, il se trouvera alors dans l'axe des abscisses.

III. Coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormal

III.1 Coordonnées d'un vecteur représenté par un bipoint.

Soient

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ un repère orthonormal,

$A\$ et

$\ B$ deux points de ce repère.

On a :

$\overrightarrow{OA}=x_{A}\vec{i}+y_{A}\vec{j}\$ et

$\ \overrightarrow{OB}=x_{B}\vec{i}+y_{B}\vec{j}$

et comme

$\overrightarrow{AB}=(x_{B}\vec{i}+y_{B}\vec{j})-(x_{A}\vec{i}+y_{A}\vec{j})$

alors,

$\overrightarrow{AB}=x_{B}\vec{i}+y_{B}\vec{j}-x_{A}\vec{i}-y_{A}\vec{j}.$

Ainsi,

$\overrightarrow{AB}=(x_{B}-x_{A})\vec{i}+(y_{B}-y_{A})\vec{j}.$

$A\begin{pmatrix} x_{A}\\ y_{A} \end{pmatrix}\$ et

$\ B\begin{pmatrix} x_{B} \\ y_{B}\end{pmatrix}$ dans un repère orthonormal alors,

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A}\\ y_{B}-y_{A} \end{pmatrix}$

Exemple : on considère un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ et on donne :

$\overrightarrow{OA}=2\vec{i}+3\vec{j}\;;\ \overrightarrow{OB}=-3\vec{i}+2\vec{j}\$ et

$\ \overrightarrow{OC}=-\vec{i}-4\vec{j}.$

Calculons les coordonnées des vecteurs

$\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\$ et

$\ \overrightarrow{BC}$

On a :

$A\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}\;,\ B\begin{pmatrix} -3\\ 2 \end{pmatrix}\$ et

$\ C\begin{pmatrix} -1\\ -4 \end{pmatrix}$

alors, $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -3-2\\ 2-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5\\ -1 \end{pmatrix}\;,\ \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -1-2\\ -4-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ -7\end{pmatrix}$

et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -1-(-3)\\ -4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ -6\end{pmatrix}$

III.2 Coordonnées d'un vecteur somme

Soient

$\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\$ et

$\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs dans un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

On aura :

$\vec{u}=x.\vec{i}+y.\vec{j}\$ et

$\ \vec{v}=x'.\vec{i}+y'.\vec{j}$

Alors,

$\vec{u}+\vec{v}=(x.\vec{i}+y.\vec{j})+(x'.\vec{i}+y'.\vec{j}).$

Donc,

$\vec{u}+\vec{v}=x.\vec{i}+y.\vec{j}+x'.\vec{i}+y'.\vec{j}.$

Ainsi,

$\vec{u}+\vec{v}=(x+x').\vec{i}+(y+y').\vec{j}.$

$\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\$ et

$\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ dans un repère orthonormal alors,

$\vec{u}+\vec{v}\begin{pmatrix} x+x'\\ y+y' \end{pmatrix}$

III.3 Coordonnées d'un vecteur égal à un autre

Soient

$\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\$ et

$\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs dans un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

On se propose de trouver la condition nécessaire et suffisante pour que les vecteurs

$\vec{u}\$ et

$\ \vec{v}$ soient égaux.

On a :

$\vec{u}=x.\vec{i}+y.\vec{j}\$ et

$\ \vec{v}=x'.\vec{i}+y'.\vec{j}$

or,

$\vec{u}=\vec{v}$

alors,

$x.\vec{i}+y.\vec{j}=x'.\vec{i}+y'.\vec{j}.$

Donc,

$x=x'\$ et

$\ y=y'$

$\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\$ et

$\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ dans un repère orthonormal et

$\vec{u}=\vec{v}$ alors,

$x=x'\$ et

$\ y=y'$ et réciproquement.

III.4 Coordonnées d'un vecteur opposé à un autre

Soient

$\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\$ et

$\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs dans un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

On se propose de trouver la condition nécessaire et suffisante pour que les vecteurs

$\vec{u}$ et

$\vec{v}$ soient des vecteurs opposés.

On a :

$\vec{u}=x.\vec{i}+y.\vec{j}$ et

$\vec{v}=x'.\vec{i}+y'.\vec{j}$

or,

$\vec{u}+\vec{v}=\vec{0}$

alors,

$x.\vec{i}+y.\vec{j}+x'.\vec{i}+y'.\vec{j}=\vec{0}.$

Donc,

$(x+x').\vec{i}+(y+y').\vec{j}=0.\vec{i}+0.\vec{j}$

Ainsi,

$x+x'=0$ et

$y+y'0$

d'où,

$x=-x'$ et

$y=-y'$

$\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ et

$\vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ dans un repère orthonormal et

$\vec{u}+\vec{v}=\vec{0}$ alors,

$x=-x'$ et

$y=-y'$ et réciproquement.

III.5 Coordonnées d'un vecteur multiplié par un réel

Soient

$\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ et

$\vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs dans un repère orthonormal

$(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$ et

$k\in\mathbb{R}$ tel que

$\vec{v}=k.\vec{u}.$

On a :

$\vec{u}=x.\vec{i}+y.\vec{j}\$ et

$\ \vec{v}=x'.\vec{i}+y'.\vec{j}$

or,

$\vec{v}=k.\vec{u}.$

alors,

$x'.\vec{i}+y'.\vec{j}=k(x.\vec{i}+y.\vec{j}).$

Donc,

$x'.\vec{i}+y'.\vec{j}=(kx).\vec{i}+(ky).\vec{j}.$

D'où,

$x'=kx$ et

$y'=ky$

$\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ dans un repère orthonormal et

$k\in\mathbb{R}$ alors,

$k\vec{u}\begin{pmatrix} kx\\ ky \end{pmatrix}$

III.6 Condition de colinéarité de deux vecteurs

Soient

$\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\$ et

$\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs colinéaires dans un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Alors on a :

$\vec{v}=k.\vec{u}$ avec

$k\in\mathbb{R}.$

Donc,

$x'=kx\$ et

$\ y'=ky$ , par suite

$\dfrac{x'}{y'}=\dfrac{kx}{ky}.$

Par conséquent,

$\dfrac{x'}{y'}=\dfrac{x}{y}.$

Ainsi,

$xy'=x'y$ ; d'où,

$xy'-x'y=0$

$\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\$ et

$\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ dans un repère orthonormal et

$\vec{u}\;,\ \vec{v}$ colinéaires alors,

$xy'-x'y=0.$

Réciproque : Si

$\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\$ et

$\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs dans un repère orthonormal et

$xy'-x'y=0$ alors,

$\vec{u}\$ et

$\ \vec{u}$ colinéaires.

III.7 Applications

$\centerdot\ \$ Coordonnées du milieu d'un segment

Soient

$A\begin{pmatrix} x_{A}\\ y_{A} \end{pmatrix}\$ et

$\ B\begin{pmatrix} x_{B}\\ y_{B} \end{pmatrix}$ dans un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})\$ et

$\ I\begin{pmatrix} x_{I}\\ y_{I} \end{pmatrix}$ milieu de

$[AB].$

On se propose de déterminer les coordonnées du point

$I$ en fonction des coordonnées des points

$A\$ et

$\ B.$

On a :

$I$ milieu de

$[AB]$ alors,

$\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}.$

Or,

$\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix} x_{I}-x_{A}\\ y_{I}-y_{A} \end{pmatrix}\$ et

$\ \overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{I}\\ y_{B}-y_{I} \end{pmatrix}$

Donc,

$x_{I}-x_{A}=x_{B}-x_{I}$ et

$y_{I}-y_{A}=y_{B}-y_{I}.$

Ainsi,

$2x_{I}=x_{A}+x_{B}\$ et

$\ 2y_{I}=y_{A}+y_{B}$

D'où,

$x_{I}=\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}\$ et

$\ y_{I}=\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}.$

$A\begin{pmatrix} x_{A}\\ y_{A} \end{pmatrix}\$ et

$\ B\begin{pmatrix} x_{B}\\ y_{B} \end{pmatrix}$ dans un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})\$ et

$\ I\begin{pmatrix} x_{I}\\ y_{I}\end{pmatrix}$ milieu de

$[AB]$ alors,

$I\begin{pmatrix} \dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}\\ \\ \dfrac{y_{A}+y_{B}}{2} \end{pmatrix}$

Exemple : on considère un repère orthonormal

$(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$ et on donne

$A\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}\$ et

$\ B\begin{pmatrix} 5\\ 4 \end{pmatrix}.$

On a :

$I$ milieu de

$[AB]$ alors,

$I\begin{pmatrix} \dfrac{(-1)+5}{2}\\ \\ \dfrac{2+4}{2} \end{pmatrix}$ ; donc,

$I\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}.$

On considère un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ et on donne

$A\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}\;,\ B\begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}\$ et

$\ C\begin{pmatrix} 5\\ y \end{pmatrix}.$

Déterminons la valeur de

$y$ pour que les points

$A\;,\ B\$ et

$\ C$ soient alignés.

1er méthode :

On a :

$A\;,\ B\$ et

$\ C$ alignés alors,

$\overrightarrow{AC}=k.\overrightarrow{AB}.$

Or,

$\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6\\ y-2 \end{pmatrix}\;;\ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}\$ et

$\ k.\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4k\\ 2k \end{pmatrix}$

Donc,

$6=2k\$ et

$\ y-2=2k$

Ainsi,

$k=\dfrac{3}{2}\$ et

$\ y-2=2\left(\dfrac{3}{2}\right)$ ; d'où,

$y=5.$

2em méthode :

On a :

$A\;,\ B\$ et

$\ C$ alignés alors,

$\overrightarrow{AB}\$ et

$\ \overrightarrow{AB}$ colinéaires.

Or,

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}\$ et

$\ \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6\\ y-2 \end{pmatrix}$

Donc,

$4(y-2)-2(6)=0$

Ainsi,

$4y-8-12=0$

D'où,

$y=5$

$\centerdot\ \$ Détermination du quatrième point d'un parallélogramme

On considère un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ et on donne

$A\begin{pmatrix} 3\\ 5 \end{pmatrix}\;,\ B\begin{pmatrix} -2\\ 2\end{pmatrix}\$ et

$\ C\begin{pmatrix} -4\\ 3\end{pmatrix}.$

Déterminons les coordonnées du point

$D$ telles que

$ABCD$ soit un parallélogramme.

On a :

$ABCD$ parallélogramme alors,

$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}.$

Or,

$\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x_{D}+4\\ y_{D}-3 \end{pmatrix}\$ et

$\ \overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix}$

Donc,

$x_{D}+4=5\$ et

$\ y_{D}=6$

D'où,

$D\begin{pmatrix} 1\\ 6 \end{pmatrix}.$

$\centerdot\ \$ Détermination des coordonnées du centre de gravité d'un triangle

On considère un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ et on donne

$A\begin{pmatrix} -3\\ 3 \end{pmatrix}\;,\ B\begin{pmatrix} 6\\ 3 \end{pmatrix}\$ et

$\ C\begin{pmatrix} 3\\ 6 \end{pmatrix}.$

Déterminons les coordonnées du point

$G$ centre de gravité du triangle

$ABC.$

1er méthode :

On a :

$G$ centre de gravité de

$ABC$ alors,

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}.$

Or,

$\overrightarrow{GA}\begin{pmatrix} -3-x_{G}\\ 3-y_{G} \end{pmatrix}\;;\ \overrightarrow{GB}\begin{pmatrix} 6-x_{G}\\ 3-y_{G} \end{pmatrix}\$ et

$\ \overrightarrow{GC}\begin{pmatrix} 3-x_{G}\\ 6-y_{G}\end{pmatrix}$

Donc,

$(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})\begin{pmatrix} 6-3x_{G}\\ 12-3y_{G} \end{pmatrix}\$ et

$\ \vec{0}\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$

Par suite,

$6-3x_{G}=0\$ et

$\ 12-3y_{G}=0$

Ainsi,

$x_{G}=2\$ et

$\ y_{G}=4$

D'où,

$G\begin{pmatrix} 2\\ 4 \end{pmatrix}$

2em méthode :

On a :

$G$ centre de gravité de

$ABC$ et

$I$ milieu de

$[AB].$

Alors,

$\overrightarrow{IC}=3\overrightarrow{IG}$

Or,

$I\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2}\\ \\ 3 \end{pmatrix}\;,\ \overrightarrow{IC}\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2}\\ \\ 3 \end{pmatrix}\;,\ \overrightarrow{IG}\begin{pmatrix} x_{G}-\dfrac{3}{2}\\ \\ y_{G}-3\end{pmatrix}\$ et

$\ 3\overrightarrow{IG}\begin{pmatrix} 3x_{G}-\dfrac{9}{2}\\ \\ 3y_{G}-9 \end{pmatrix}$

Donc,

$\dfrac{3}{2}=3x_{G}-\dfrac{9}{2}\$ et

$\ 3=3y_{G}-9$

Ainsi,

$x_{G}=2\$ et

$\ y_{G}=4$

D'où,

$G\begin{pmatrix} 2\\ 4 \end{pmatrix}$

IV. Distance de deux points dans un repère orthonormal

Soient

$A\begin{pmatrix} x_{A}\\ y_{A} \end{pmatrix}\$ et

$\ B\begin{pmatrix} x_{B}\\ y_{B} \end{pmatrix}$ deux points dans un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$

On a :

$ABC$ un triangle rectangle en

$C$ . D'après le théorème de Pythagore, on aura :

$AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}$

Or,

$AC^{2}=(x_{B}-x_{A})^{2}\$ et

$\ CB^{2}=(y_{B}-y_{A})^{2}$

Donc,

$AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}$

$A\begin{pmatrix} x_{A}\\ y_{A} \end{pmatrix}\$ et

$\ B\begin{pmatrix} x_{B}\\ y_{B} \end{pmatrix}$ sont deux points dans un repère orthonormal alors,

$AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}.$

En posant

$\overrightarrow{AB}=\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ alors,

$x_{B}-x_{A}=x\$ et

$\ y_{B}-y_{A}=y$

Donc,

$L_{\vec{u}}=AB=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ dans un repère orthonormal alors,

$AB=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.$

Applications :

$\centerdot\ \$ Nature d'un triangle

On considère un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ et on donne

$A\begin{pmatrix} 1\\ -2 \end{pmatrix}\;,\ B\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}\$ et

$\ C\begin{pmatrix} 5\\ 0 \end{pmatrix}.$

Déterminons la nature exacte du triangle

$ABC$

On a :

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}$ alors,

$AB=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$

$\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}$ alors,

$AC=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$

$\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 3\\ -1 \end{pmatrix}$ alors,

$BC=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{10}$

Donc,

$AB=BC.$ Ainsi,

$ABC$ est un triangle isocèle en

$B.$

De plus on a

$AC^{2}=(2\sqrt{5})^{2}=20\;,\ AB^{2}=(\sqrt{10})^{2}=10\$ et

$\ BC^{2}=(\sqrt{10})^{2}=10.$

Par suite,

$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}.$ D'après la réciproque du théorème de Pythagore

$ABC$ est un triangle rectangle en

$B.$

D'où,

$ABC$ est rectangle et isocèle en

$B$ .

$\centerdot\ \$ Condition d'orthogonalité de deux vecteurs dans un repère orthonormal

Soient

$\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\$ et

$\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs dans un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ tels que

$\vec{u}\perp\vec{v}$

On a :

$ABC$ triangle rectangle en

$B$ . D'après le théorème de Pythagore on aura :

$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}.$

Or,

$\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}\begin{pmatrix} x+x'\\ y+y' \end{pmatrix}$ alors,

$AC^{2}=(x+x')^{2}+(y+y')^{2}$

$\overrightarrow{AB}=\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ alors,

$AB^{2}=x^{2}+y^{2}$

$\overrightarrow{BC}=\vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ alors,

$BC^{2}=x'^{2}+y'^{2}$

Donc,

$x^{2}+2xx'+x'^{2}+y^{2}+2yy'+y'^{2}=x^{2}+y^{2}+x'^{2}+y'^{2}$

Ainsi,

$2xx'+2yy'=0$

D'où,

$xx'+yy'=0$

$\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\$ et

$\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ sont deux vecteurs dans un repère orthonormal et

$\vec{u}\perp\vec{v}$ alors,

$x.x'+y.y'=0$

Réciproque :

$\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\$ et

$\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ sont deux vecteurs dans un repère orthonormal tels que

$x.x'+y.y'=0$ alors,

$\vec{u}\perp\vec{v}$

Exemple : on considère un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ et on donne

$A\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\;,\ B\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}\$ et

$\ C\begin{pmatrix} 5\\ 0\end{pmatrix}.$

Démontrons que

$(AB)\perp(BC)$ .

On a :

$(AB)\perp(BC)$ si, et seulement si,

$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{BC}.$

Or,

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}\$ et

$\ \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 3\\ -1 \end{pmatrix}$ alors,

$(1)(3)+(3)(-1)=3-3=0.$

Donc,

$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{BC}.$

D'où,

$(AB)\perp(BC)$ .

V. Équation générale d'une droite

V.1 Droite passant par deux points dans un repère orthonormal

Soient

$A\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}\$ et

$\ B\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}$ deux points dans un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Déterminer l'équation de la droite

$(AB).$

Soit

$M\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\in\;(AB)$ alors,

$\overrightarrow{AM}\$ et

$\ \overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.

Or,

$\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x+1\\ y-2 \end{pmatrix}\$ et

$\ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3\\ -1 \end{pmatrix}$

Donc,

$-1(x+1)-3(y-2)=0$

Ainsi,

$-x-1-3y+5=0$

D'où,

$(AB)\;:\ -x-3y+5=0$ ou encore

$(AB)\;:\ x+3y-5=0$

V.2 Droite définie par un vecteur et un point : vecteur directeur

Soient

$\vec{u}\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}$ un vecteur et

$A\begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix}$ un point dans un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Déterminons l'équation de la droite

$(\Delta)$ passant par

$A$ et de direction

$\vec{u}.$

Soit

$N\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\in\;(\Delta)$ alors,

$\overrightarrow{AN}\$ et

$\ \vec{u}$ sont colinéaires.

Or,

$\overrightarrow{AN}\begin{pmatrix} x-3\\ y+2 \end{pmatrix}\$ et

$\ \vec{u}\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}$

Donc,

$3(x-3)-2(y+2)=0$

Ainsi,

$3x-9-2y-4=0$

D'où,

$(\Delta)\;:\ 3x-2y-13=0$

Le vecteur

$\vec{u}$ de coordonnées

$\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}$ est appelé un vecteur directeur de la droite

$(\Delta)$ d'équation

$3x-2y-13=0.$

Et l'équation

$3x-2y-13=0$ est une équation générale de

$(\Delta).$

Théorème :

$(\Delta)\;:\ ax+by+c=0$ alors,

$\vec{u}\begin{pmatrix} -b\\ a \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de

$(\Delta)$

Exemple : trouvons un vecteur directeur de chacune des deux droites suivantes :

$(D)\;:\ 4x-3y+5=0\$ et

$\ (\Delta)\;:\ 7x+5y-13=0.$

On a :

$\vec{u}\begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de

$(D)\$ et

$\ \vec{v}\begin{pmatrix} -5\\ 7 \end{pmatrix}$ celui de

$(\Delta)$

Applications :

$\centerdot\ \$ Droite passant par un point et parallèle à une droite donnée

Soient

$(D)\;:\ 4x-3y+1=0\$ et

$\ A\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}$ un point dans un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Déterminons l'équation de la droite

$(\Delta)$ passant par le point

$A$ et parallèle à la droite

$(D).$

Soit

$M\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\in\;(\Delta)$

On a :

$(D)\;:\ 4x-3y+1=0$ et alors,

$\vec{u}\begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}$ un vecteur directeur.

Donc,

$\overrightarrow{AM}\$ et

$\ \vec{u}$ sont colinéaires.

Or,

$\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-1\\ y-2 \end{pmatrix}\$ et

$\ \vec{u}\begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}$

Par suite,

$4(x-1)-3(y-2)=0$

Ainsi,

$4x-4-3y+6=0$

D'où,

$(\Delta)\;:\ 4x-3y+2=0$

$\centerdot\ \$ Droite passant par un point et perpendiculaire à une droite donnée

Soit

$(D)\;:\ 3x+2y-5=0$ une droite données et

$A\begin{pmatrix} -2\\ -3 \end{pmatrix}$ un point dans un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Déterminons l'équation de la droite

$(\Delta)$ passant par le point

$A$ et perpendiculaire à la droite

$(D).$

Soit

$M\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\in\;(\Delta)$

On a :

$(D)\;:\ 3x+2y-5=0$ et alors,

$\vec{u}\begin{pmatrix} -2\\ 3 \end{pmatrix}$ un vecteur directeur.

Et comme

$(\Delta)\perp D$ donc,

$\overrightarrow{AM}\perp\vec{u}.$

Or,

$\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x+2\\ y+3 \end{pmatrix}\$ et

$\ \vec{u}\begin{pmatrix} -2\\ 3 \end{pmatrix}$

Par suite,

$-2(x+2)+3(y+3)=0$

Ainsi,

$-2x-4+3y+9=0$

D'où,

$(\Delta)\;:\ -2x+3y+5=0$

$\centerdot\ \$ Équation d'une droite passant par un point et parallèle à l'axe des abscisses $(xx')\;:\ y=0$

Soit

$A\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$ un point dans un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Déterminons l'équation de la droite

$(\Delta)$ passant par le point

$A$ et parallèle à l'axe des abscisses.

Soit

$M\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\in\;(\Delta)$

On a :

$\vec{i}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de

$(xx')$ et comme

$(\Delta)\parallel(xx')$ alors,

$\overrightarrow{AM}$ et

$\vec{i}$ sont colinéaires.

Or,

$\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-a\\ y-b \end{pmatrix}\$ et

$\ \vec{i}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ donc,

$0(x-a)-1(y-b)=0.$

Par suite,

$-y+b=0.$

D'où,

$(\Delta)\;:\ y=b.$

$A\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\in\;(\Delta)$ un point dans un repère orthonormal et

$(\Delta)\parallel(xx')$ alors,

$(\Delta)\;:\ y=b$

$\centerdot\ \$ Équation d'une droite passant par un point et parallèle à l'axe des ordonnées $(yy')\;:\ x=0$

Soit

$A\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$ un point dans un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Déterminons l'équation de la droite

$(\Delta)$ passant par le point

$A$ et parallèle à l'axe des ordonnés.

Soit

$M\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\in\;(\Delta)$

On a :

$\vec{j}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de

$(yy')$ et comme

$(\Delta)\parallel(yy')$ alors,

$\overrightarrow{AM}\$ et

$\ \vec{j}$ sont colinéaires.

Or,

$\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-a\\ y-b \end{pmatrix}\$ et

$\ \vec{j}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ donc,

$1(x-a)-0(y-b)=0.$

Ainsi,

$x-a=0.$

D'où,

$(\Delta)\;:\ x=a.$

$A\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\in\;(\Delta)$ un point dans un repère orthonormal et

$(\Delta)\parallel(yy')$ alors,

$(\Delta)\;:\ x=a.$

VI. Équation réduite d'une droite

VI.1 Exemples et Définitions

Soit

$(\Delta)\;:\ 3x-2y+6=0$

On peut écrire alors

$(\Delta)\;:\ y=\dfrac{3}{2}x+3.$

L'équation écrite sous la forme

$y=\dfrac{3}{2}x+3$ est appelée équation réduite de la droite

$(\Delta)$ de coefficient directeur

$\dfrac{3}{2}$ et d'ordonnée à l'origine

$+3.$

Ce qui signifie que la droite

$(\Delta)$ passe par le point de coordonnées

$(0\;;\ 3).$

De manière générale, l'équation réduite d'une droite

$(\Delta)$ s'écrit sous la forme

$y=ax+b$ où

$a\in\mathbb{R}\$ et

$\ b\in\mathbb{R}.$

Le réel

$a$ est appelé le coefficient directeur (pente) de la droite

$(\Delta)$ et le réel

$b$ son ordonnée à l'origine ; c'est à dire la droite passe par un point de coordonnées

$(0\;;\ b).$

VI.2 Relation entre coefficient directeur et les coordonnées du vecteur directeur d'une droite

Soit

$(\Delta)\;:\ 3x-2y+6=0$

On a :

$\vec{u}\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de

$(\Delta)\$ et

$\ (\Delta)\;:\ y=\dfrac{3}{2}x+3.$

Ainsi, le coefficient directeur d'une droite est égal au rapport de l'ordonnée du vecteur directeur par son abscisse.

$\vec{u}\begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de

$(\Delta)\;:\ y=ax+b$ avec

$m\neq 0$ alors,

$a=\dfrac{n}{m}$

Exemple 1 : trouvons le coefficient directeur d'une droite

$(\Delta)$ de vecteur directeur

$\vec{u}\begin{pmatrix} -3\\ 6 \end{pmatrix}$

Soit

$(\Delta)\;:\ y=ax+b\$ et

$\ \vec{u}\begin{pmatrix} -3\\ 6 \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de

$(\Delta)$ alors,

$a=\dfrac{6}{-3}=-2$

Exemple 2 : trouvons un vecteur directeur de la droite

$(\Delta)$ d'équation

$y=\dfrac{4}{5}x-6$

On a :

$\vec{u}\begin{pmatrix} 5\\ 4 \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de

$(\Delta)$ .

VI.3 Propriétés

$\centerdot\ \$ Condition de parallélisme de deux droites

Soient

$(D)\;:\ y=ax+b\$ et

$\ (\Delta)\;:\ y=a'x+b'$ deux droites dans un repère orthonormal telles que

$(D)\parallel(\Delta).$

On a :

$\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\ a \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de

$(D)\;,\ \vec{v}\begin{pmatrix} 1\\ a' \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de

$(\Delta)\$ et

$\ (D)\parallel(\Delta)$

alors, $\vec{u}\$ et $\ \vec{v}$ sont colinéaires.

Donc,

$1(a')-1(a)=0$

Ainsi,

$a'-a=0$ . D'où

$a'=a$

$(D)\;:\ y=ax+b\$ et

$\ (\Delta)\;:\ y=a'x+b'$ deux droites dans un repère orthonormal et

$(D)\parallel(\Delta)$ alors,

$a=a'$

Réciproque :

$(D)\;:\ y=ax+b\$ et

$\ (\Delta)\;:\ y=a'x+b'$ deux droites dans un repère orthonormal et

$a=a'$ alors,

$(D)\parallel(\Delta)$

$\centerdot\ \$ Condition d'orthogonalité de deux vecteurs

Soient

$(D)\;:\ y=ax+b$ et

$(\Delta)\;:\ y=a'x+b'$ deux droites dans un repère orthonormal telles que

$(D)\perp(\Delta).$

On a :

$\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\ a \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de

$(D)\$ et

$\ \vec{v}\begin{pmatrix} 1\\ a' \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de

$(\Delta).$

Et comme

$(D)\perp(\Delta)$ alors,

$\vec{u}\perp\vec{v}.$

Donc,

$(1)(1)+(a)(a')=0$

Ainsi,

$1+a.a'=0$ . D'où,

$aa'=-1$

$(D)\;:\ y=ax+b$ et

$(\Delta)\;:\ y=a'x+b'$ deux droites dans un repère orthonormal et

$(D)\perp(\Delta)$ alors,

$aa'=-1$

Réciproque :

$(D)\;:\ y=ax+b\$ et

$\ (\Delta)\;:\ y=a'x+b'$ deux droites dans un repère orthonormal et

$aa'=-1$ alors,

$(D)\perp(\Delta)$

Applications :

$\centerdot\ \$ Droite passant par deux points dans un repère orthonormal

Soit

$A\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}\$ et

$\ B\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}$ deux points dans un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Déterminons l'équation de la droite

$(AB)$

Soit

$(AB)\;:\ y=ax+b$ . On a

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3\\ -1 \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de

$(AB)$ alors,

$a=-\dfrac{1}{3}$

Donc,

$(AB)\;:\ y=-\dfrac{1}{3}x+b$ et

$A\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}\in\;(AB)$

Par suite,

$2=-\dfrac{1}{3}(-1)+b$

Ainsi,

$b=2-\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{3}$

D'où,

$(AB)\;:\ y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{5}{3}$

Auteur:

Abdoulaye Ba

Commentaires

Mory (non vérifié)

mer, 11/27/2019 - 19:26

Permalien

Contribution

Vos cours sont très interressants mais le cours de repérage est très compliqué il y'a trop de x de i de y ce serait plus facile avec des valeur A et B x et y pour faciliter l'apprentissage mais ça donne pas envie d'apprendre