Série d'exercices sur les barycentres 1er S

Rappels sur les vecteurs

Exercice 1 

$ABCD$ est un quadrilatère quelconque, $I$ le milieu de $[AD]\ $ et $\ J$ celui de $[BC].$

1) Ecrire $\overrightarrow{IJ}$ comme la somme de $\overrightarrow{AB}$ et de deux autres vecteurs que l'on précisera.

2) Décomposer le même $\overrightarrow{IJ}$ en utilisant $\overrightarrow{DC}.$

3) En déduire que $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}.$

Exercice 2  

$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$, $\ I$ est le milieu de $[AB]\ $ et $\ J$ le point tel que $\overrightarrow{DJ}=\overrightarrow{OC}.$

1) Exprimer $\overrightarrow{OI}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$.

2) Justifier les égalités : $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OJ}.$

3) Quel théorème vous permet de conclure que $O\;,\ I\ $ et $\ J$ sont alignés ?

Exercice 3  

$ABC$ est un triangle, $E$ est tel que $\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$, $\ I$ est tel que $\overrightarrow{CI}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CB}\ $ et $\ F$ est tel que $\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$

Démontrer que $I$, $E$ et $F$ sont alignés.

Exercice 4  

$ABCD$ est un parallélogramme, $M\;,\ N\;,\ Q$ sont tels que :

$$\overrightarrow{DM}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{DA}\;,\ \overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{CQ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}$$

La parallèle à $(MQ)$ menée par $N$ coupe $(BC)$ en $P$. Il s'agit de trouver le coefficient $k$ de colinéarité tel que $\vec{BP}=k\overrightarrow{AD}$.

Considérons le repère $(A\;,\ \overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD}).$

1) Calculer les coordonnées des points $M$, $\ N\ $ et $\ Q.$

2) Justifier que $P$ a pour coordonnées $(1\;;\ k).$

3) En déduire que les vecteurs $\overrightarrow{MQ}\ $ et $\ \overrightarrow{NP}$ sont colinéaires et calculer $k.$

Exercice 5 

Sur la figure ci-dessous, $I$ est le milieu de $[BC]\;,\ J\ $ et $\ K$ sont les points tels que :

$$\overrightarrow{AJ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\ \text{ et }\ \overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}$$

On considère le repère $(A\;,\ \overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}).$

Calculer les coordonnées de $I\;,\ J\ $ et $\ K$ puis prouver que $I\;,\ J\ $ et $\ K$ sont alignés.

Barycentre de deux points

Exercice 6  

$A\ $ et $\ B$ sont deux points tels que $AB=6\;cm$. Construire (s'il existe) le barycentre de $(A\;;\ \alpha)\;,\ (B\;;\ \beta)$ dans chacun des cas suivants :

1) $\alpha=4\;,\quad \beta=-1$

2) $\alpha=2\;,\quad \beta=1$

3) $\alpha=2\;,\quad \beta=-2$

4) $\alpha=\dfrac{1}{10}\;,\quad \beta=\dfrac{1}{5}$

Exercice 7 

$A\ $ et $\ B$ sont deux points tels que $AB=9\;cm$. Construire (s'il existe) le barycentre de $(A\;;\ \alpha)\;,\ (B\;;\ \beta)$ dans chacun des cas suivants :

1) $\alpha=4\;,\quad \beta=5$

2) $\alpha=8\;,\quad \beta=-5$

3) $\alpha=-11\;,\quad \beta=2$

4) $\alpha=\dfrac{1}{2}\;,\quad \beta=-\dfrac{1}{2}$

5) $\alpha=-1\;,\quad \beta=-5$

6) $\alpha=0\;,\quad \beta=2011$

Exercice 8 

Les points $A\ $ et $\ B$ sont donnés et $G$ est défini par la condition indiquée. Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tel que $G$ soit le barycentre de $(A\;;\ \alpha)\;,\ (B\;;\ \beta).$

1) $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{GB}$

2) $2\overrightarrow{GB}-3\overrightarrow{AB}=\vec{0}$

3) $2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GA}-2\overrightarrow{GB}=\vec{0}$

Exercice 9 

Pour les exercices suivants, les points $A\;,\ B\ $ et $\ C$ sont indiqués sur la figure. Dans les deux cas suivants, trouver deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que :

$\centerdot\ \ A$ soit le barycentre de $(B\;;\ \alpha)\;,\ (C\;;\ \beta)$

$\centerdot\ \ B$ soit le barycentre de $(A\;;\ \alpha)\;,\ (C\;;\ \beta)$

$\centerdot\ \ C$ soit le barycentre de $(A\;;\ \alpha)\;,\ (B\;;\ \beta)$

Barycentre de trois points

Exercice 10

$ABC$ est un triangle de centre de gravité $G\;,\ G'$ est le symétrique de $G$ par rapport au milieu de $[BC].$

1) Prouver que $G$ est le milieu de $[G'A]$

2) Justifier que :

$$\overrightarrow{G'G}=\overrightarrow{G'B}+\overrightarrow{G'C}$$

3) Exprimer $\overrightarrow{G'A}$ en fonction de $\overrightarrow{G'B}\ $ et $\ \overrightarrow{G'C}$ puis en déduire que $G'$ est un barycentre de $A\;,\ B\ $ et $\ C$ affectés de coefficients que l'on précisera.

Exercice 11 

$ABC$ est un triangle. Construire (s'il existe) le barycentre de $(A\;;\ \alpha)\;,\ (B\;;\ \beta)\;,\ (C\;;\ \gamma)$ dans chacun des cas suivants :

1) $\alpha=3\;,\quad \beta=2\;,\quad \gamma=1$

2) $\alpha=1\;,\quad \beta=-1\;,\quad \gamma=-3$

3) $\alpha=2\;,\quad \beta=1\;,\quad \gamma=2$

4) $\alpha=\dfrac{1}{2}\;,\quad \beta=-\dfrac{1}{3}\;,\quad \gamma=-\dfrac{1}{6}$

Exercice 12 

$ABC$ est un triangle; $I$ est le barycentre de $(A\;,\ 2)\;,\ (B\;,\ 1)\;,\ J$ celui de $(B\;,\ 1)\;,\ (C, -2)\ $ et $\ G$ le barycentre de $(A\;,\ 2)\;,\ (B\;,\ 1)\;,\ (C\;,\ -2).$ Le but de l'exercice est de localiser $G$ à l'intersection de deux droites.

1) Quel théorème permet de justifier l'alignement de $A\;,\ J\ $ et $\ G$, puis celui de $C\;,\ I\ $ et $\ G\ ?$

2) En déduire que $G$ est à l'intersection de $(AJ)$ et de $(CI).$ Placer alors $G.$

3) Démontrer que $(BG)\ $ et $\ (AC)$ sont parallèles.

Exercice 13 

$ABC$ est un triangle. Les points $I\ $ et $\ J$ sont repérés sur la figure ci-dessous, dont les graduations sont régulières. $G$ est le milieu de $[CI].$

Le but de l'exercice est de montrer que $A\;,\ G\ $ et $\ J$ sont alignés.

1) Exprimer $I$ comme un barycentre de $A$ et de $B$, puis $J$ comme un barycentre de $B$ et de $C.$

2) On note $G'$ le barycentre de $(A\;,\ 1)\;,\ (B\;,\ 2)\;,\ (C\;,\ 3).$ Quel théorème permet de justifier que $G'$ est le milieu de $[IC]\ ?$ En déduire que $G'=G.$

3) Démontrer que $A\;,\ G\ $ et $\ J$ sont alignés.

Exercice 14 

$ABC$ est un triangle de centre de gravité $G$. Le but de l'exercice est de déterminer l'ensemble $\delta$ des points $M$ du plan tels que le vecteur $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}.$

1) Exprimer $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$ en fonction de $\overrightarrow{MG}.$

2) Justifier l'affirmation : "Dire que M appartient à $\Delta$ équivaut à dire que $\overrightarrow{GM}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$"

3) En déduire $\Delta$ et le construire.

Exercice 15 

Pour les exercices suivants, trouver trois réels $\alpha\;,\ \beta\ $ et $\ \gamma$ tels que $G$ soit barycentre de $(A\;,\ \alpha)\;,\ (B\;,\ \beta)\;,\ (C\;,\ \gamma)$

Barycentre de n points

Exercice 16 

Pour les exercices suivants, justifier de l'existence du barycentre G, puis le construire.

1) $ABCD$ est un rectangle et $G$ le barycentre de $(A\;,\ -1)\;,\ (B\;,\ 2)\;,\ (C\;,\ 2)\;,\ (D\;,\ 2).$

2) $ABCD$ est un parallélogramme et $G$ le barycentre de $(A\;,\ 2)\;,\ (B\;,\ -3)\;,\ (C\;,\ 2)\;,\ (D\;,\ 2).$

3) $ABCD$ est un quadrilatère et $G$ le barycentre de $(A\;,\ -1)\;,\ (B\;,\ 3)\;,\ (C\;,\ 2)\;,\ (D\;,\ 2).$

Exercice 17 

La figure ci-dessous indique une construction de barycentre $G$ de $(A\;,\ 1)\;,\ (B\;,\ 3)\;,\ (C\;,\ 1)\;,\ (D\;,\ 1).$ Justifier cette construction.

Exercice 18 

$ABCD$ est un rectangle, construire le barycentre $G$ de $(A\;,\ \alpha)\;,\ (B\;,\ \beta)\;,\ (C\;,\ \gamma)\;,\ (D\;,\ \delta)$ dans chacun des cas suivants :

1) $\alpha=-2\;,\quad \beta=3\;,\quad \gamma=1\;,\quad \delta=1$

2) $\alpha=-3\;,\quad \beta=2\;,\quad \gamma=1\;,\quad \delta=-3$

3) $\alpha=-\dfrac{1}{8}\;,\quad \beta=\dfrac{3}{8}\;,\quad \gamma=\dfrac{1}{4}\;,\quad \delta=\dfrac{1}{2}$

Coordonnées du barycentre

Exercice 19 

1) Placer les points $A(1\;,\ 3)\ $ et $\ B(2\;,\ 1).$

2) Calculer les coordonnées des points $M$, barycentre de $(A\;,\ -1)\;,\ (B\;,\ 3)\ $ et $\ N.$ barycentre de $(A\;,\ 2)\;,\ (B\;,\ -1).$

3) Calculer les coordonnées du milieu $I\ $ de $\ [AB].$

4) Trouver le réel $k$ tel que $\overrightarrow{MI}=k\overrightarrow{MN}$

5) En déduire deux réels $\alpha\ $ et $\ \beta$ tels que $I$ soit le barycentre de $(M\;,\ \alpha)\;,\ (N\;,\ \beta)$

Exercice 20 

1) Placer les points $A(2\;,\ 1)\;,\ B(-1\;,\ 4)\ $ et $\ C(-3\;,\ -2).$

2) Calculer les coordonnées du centre de gravité $G$ du triangle $ABC.$

3) Calculer les coordonnées de $G'$, barycentre de $(A\;,\ -2)\;,\ (B\;,\ 3)\;,\ (C\;,\ 1).$

4) Les points $O\;,\ G\ $ et $\ G'$ sont-ils alignés ?

Ensemble de point

Exercice 21 

$[AB]$ est un segment de longueur 5 cm. On se propose de trouver l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ tels que :

$$||2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}||=10$$

1) On pose $G$ le barycentre de $(A\;,\ 2)\;,\ (B\;,\ 3).$

Réduire la somme $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}.$

2) En déduire la nature de $\Gamma.$ Construire alors $\Gamma$

Exercice 22 

$ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $A$ tel que $AB=4\;cm.$ On se propose de trouver l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ tels que :

$$||-\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}||=4$$

1) On pose $G$ le barycentre de $(A\;,\ -1)\;,\ (B\;,\ 1)\;,\ (C\;,\ 2).$

Réduire la somme $-\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}$

2) En déduire la nature de $\Gamma.$

3) Montrer que $\Gamma$ passe par le point $C.$ Construire $G$ puis $\Gamma$

Exercice 23 

$ABC$ est un triangle équilatéral de coté $5\;cm.$

1) Construire $G$, barycentre de $(A\;,\ 1)\;,\ (B\;,\ -1)\;,\ (C\;,\ 1)$, et prouver que $ABCG$ est un losange.

2) Quel est l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ tels que :

$$||\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$$

3) Vérifier que le milieu de $[AC]$ appartient à $\Gamma.$ Tracer $\Gamma.$

Exercice 24 

$ABC$ est un triangle rectangle en $A\;,\ I$ est le milieu de $[BC]\;,\ \Gamma$ est le cercle de centre $A$ passant par $I.\ G$ est le point diamétralement opposé à $I.$

1) Prouver que le point $G$ est le barycentre de $(A\;,\ 4)\;,\ (B\;,\ -1)\;,\ (C\;,\ -1).$

2) Trouver deux réels $b\ $ et $\ c$ tels que $A$ est le barycentre de $(G\;,\ 2)\;,\ (B\;,\ b)\;,\ (C\;,\ c).$

3) Quel est l'ensemble des points $M$ du plan tels que :

$$||2\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=2||\overrightarrow{BC}||$$

Centre d'inertie

Exercice 25 

Pour chacune des plaques homogènes suivantes, construire le centre d'inertie.

Exercice 26 

Une plane homogène $P$ est constituée par un carré $OABC$ de côté $8\;cm$ dont on a retiré le carré $BIJK$ de côté $4\;cm.$

Trouver la position du centre d'inertie de la plaque par deux méthodes.

Exercice 27 

Une rondelle a la forme d'un disque évidé suivant le schéma ci-dessous pour lequel $OP=3OO'.$

1) Trouver la position du centre d'inertie $I$ de la rondelle évidée.

2) On note $M$ la masse de la rondelle évidée. Quelle masse m doit-on placer en $P$ afin que l'ensemble constitué de la rondelle et du point "massique" $P$ ait $O$ pour centre d'inertie ?

Exercice 28 

On considère une plaque homogène composée d'un carré de côté $10\;cm$ surmonté d'un rectangle de hauteur $10\;cm$ et de longueur $\ell$ (exprimée en $cm$) tel que $l\geq 10$ (figure ci-dessous)

Déterminer la longueur maximale $\ell_{max}$ pour laquelle la plaque reste en équilibre sur la base $[AB].$