Série d'exercices sur les barycentres 1er S

Rappels sur les vecteurs

Exercice 1 

 

ABCD est un quadrilatère quelconque, I le milieu de [AD]  et  J celui de [BC].

 

 

1) Ecrire IJ comme la somme de AB et de deux autres vecteurs que l'on précisera.

 

2) Décomposer le même IJ en utilisant DC.

 

3) En déduire que 2IJ=AB+DC.

 

Exercice 2  

 

ABCD est un parallélogramme de centre O,  I est le milieu de [AB]  et  J le point tel que DJ=OC.

 

1) Exprimer OI en fonction de BC.

 

2) Justifier les égalités : BC=OD+OC=OJ.

 

3) Quel théorème vous permet de conclure que O, I  et  J sont alignés ?

 

Exercice 3  

 

ABC est un triangle, E est tel que AE=13BC,  I est tel que CI=23CB  et  F est tel que AF=13AC.

 

Démontrer que I, E et F sont alignés.

 

Exercice 4  

 

ABCD est un parallélogramme, M, N, Q sont tels que :

DM=45DA, AN=34AB, CQ=23CD

La parallèle à (MQ) menée par N coupe (BC) en P. Il s'agit de trouver le coefficient k de colinéarité tel que BP=kAD.

 

Considérons le repère (A, AB, AD).

 

1) Calculer les coordonnées des points M,  N  et  Q.

 

2) Justifier que P a pour coordonnées (1; k).

 

3) En déduire que les vecteurs MQ  et  NP sont colinéaires et calculer k.

 

Exercice 5 

 

Sur la figure ci-dessous, I est le milieu de [BC], J  et  K sont les points tels que :

AJ=13AC  et  AK=14BC

 

On considère le repère (A, AB, AC).

 

Calculer les coordonnées de I, J  et  K puis prouver que I, J  et  K sont alignés.

 

Barycentre de deux points

 

Exercice 6  

 

A  et  B sont deux points tels que AB=6cm. Construire (s'il existe) le barycentre de (A; α), (B; β) dans chacun des cas suivants :

 

1) α=4,β=1

 

2) α=2,β=1

 

3) α=2,β=2

 

4) α=110,β=15

 

Exercice 7 

 

A  et  B sont deux points tels que AB=9cm. Construire (s'il existe) le barycentre de (A; α), (B; β) dans chacun des cas suivants :

1) α=4,β=5

2) α=8,β=5

3) α=11,β=2

4) α=12,β=12

5) α=1,β=5

6) α=0,β=2011

 

Exercice 8 

 

Les points A  et  B sont donnés et G est défini par la condition indiquée. Déterminer deux réels α et β tel que G soit le barycentre de (A; α), (B; β).

 

1) AB=2GB

 

2) 2GB3AB=0

 

3) 2AB+GA2GB=0

 

Exercice 9 

 

Pour les exercices suivants, les points A, B  et  C sont indiqués sur la figure. Dans les deux cas suivants, trouver deux réels α et β tels que :

 

  A soit le barycentre de (B; α), (C; β)

 

  B soit le barycentre de (A; α), (C; β)

 

  C soit le barycentre de (A; α), (B; β)

 

 

Barycentre de trois points

 

Exercice 10

 

ABC est un triangle de centre de gravité G, G est le symétrique de G par rapport au milieu de [BC].

 

1) Prouver que G est le milieu de [GA]

 

2) Justifier que :

GG=GB+GC

3) Exprimer GA en fonction de GB  et  GC puis en déduire que G est un barycentre de A, B  et  C affectés de coefficients que l'on précisera.

 

Exercice 11 

 

ABC est un triangle. Construire (s'il existe) le barycentre de (A; α), (B; β), (C; γ) dans chacun des cas suivants :

 

1) α=3,β=2,γ=1

 

2) α=1,β=1,γ=3

 

3) α=2,β=1,γ=2

 

4) α=12,β=13,γ=16

 

Exercice 12 

 

ABC est un triangle; I est le barycentre de (A, 2), (B, 1), J celui de (B, 1), (C,2)  et  G le barycentre de (A, 2), (B, 1), (C, 2). Le but de l'exercice est de localiser G à l'intersection de deux droites.

 

1) Quel théorème permet de justifier l'alignement de A, J  et  G, puis celui de C, I  et  G ?

 

2) En déduire que G est à l'intersection de (AJ) et de (CI). Placer alors G.

 

3) Démontrer que (BG)  et  (AC) sont parallèles.

 

Exercice 13 

 

ABC est un triangle. Les points I  et  J sont repérés sur la figure ci-dessous, dont les graduations sont régulières. G est le milieu de [CI].

 

 

Le but de l'exercice est de montrer que A, G  et  J sont alignés.

 

1) Exprimer I comme un barycentre de A et de B, puis J comme un barycentre de B et de C.

 

2) On note G le barycentre de (A, 1), (B, 2), (C, 3). Quel théorème permet de justifier que G est le milieu de [IC] ? En déduire que G=G.

 

3) Démontrer que A, G  et  J sont alignés.

 

Exercice 14 

 

ABC est un triangle de centre de gravité G. Le but de l'exercice est de déterminer l'ensemble δ des points M du plan tels que le vecteur MA+MB+MC est colinéaire à AB.

 

1) Exprimer MA+MB+MC en fonction de MG.

 

2) Justifier l'affirmation : "Dire que M appartient à Δ équivaut à dire que GM est colinéaire à AB"

 

3) En déduire Δ et le construire.

 

Exercice 15 

 

Pour les exercices suivants, trouver trois réels α, β  et  γ tels que G soit barycentre de (A, α), (B, β), (C, γ)

 


 

Barycentre de n points

 

Exercice 16 

 

Pour les exercices suivants, justifier de l'existence du barycentre G, puis le construire.

 

1) ABCD est un rectangle et G le barycentre de (A, 1), (B, 2), (C, 2), (D, 2).

 

2) ABCD est un parallélogramme et G le barycentre de (A, 2), (B, 3), (C, 2), (D, 2).

 

3) ABCD est un quadrilatère et G le barycentre de (A, 1), (B, 3), (C, 2), (D, 2).

 

Exercice 17 

 

La figure ci-dessous indique une construction de barycentre G de (A, 1), (B, 3), (C, 1), (D, 1). Justifier cette construction.

 


 

Exercice 18 

 

ABCD est un rectangle, construire le barycentre G de (A, α), (B, β), (C, γ), (D, δ) dans chacun des cas suivants :

 

1) α=2,β=3,γ=1,δ=1

 

2) α=3,β=2,γ=1,δ=3

 

3) α=18,β=38,γ=14,δ=12

 

Coordonnées du barycentre

 

Exercice 19 

 

1) Placer les points A(1, 3)  et  B(2, 1).

 

2) Calculer les coordonnées des points M, barycentre de (A, 1), (B, 3)  et  N. barycentre de (A, 2), (B, 1).

 

3) Calculer les coordonnées du milieu I  de  [AB].

 

4) Trouver le réel k tel que MI=kMN

 

5) En déduire deux réels α  et  β tels que I soit le barycentre de (M, α), (N, β)

 

Exercice 20 

 

1) Placer les points A(2, 1), B(1, 4)  et  C(3, 2).

 

2) Calculer les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC.

 

3) Calculer les coordonnées de G, barycentre de (A, 2), (B, 3), (C, 1).

 

4) Les points O, G  et  G sont-ils alignés ?

 

Ensemble de point

 

Exercice 21 

 

[AB] est un segment de longueur 5 cm. On se propose de trouver l'ensemble Γ des points M tels que :

||2MA+3MB||=10

1) On pose G le barycentre de (A, 2), (B, 3).

 

Réduire la somme 2MA+3MB.

 

2) En déduire la nature de Γ. Construire alors Γ

 

Exercice 22 

 

ABC est un triangle rectangle isocèle en A tel que AB=4cm. On se propose de trouver l'ensemble Γ des points M tels que :

||MA+MB+2MC||=4

1) On pose G le barycentre de (A, 1), (B, 1), (C, 2).

 

Réduire la somme MA+MB+2MC

 

2) En déduire la nature de Γ.

 

3) Montrer que Γ passe par le point C. Construire G puis Γ

 

Exercice 23 

 

ABC est un triangle équilatéral de coté 5cm.

 

1) Construire G, barycentre de (A, 1), (B, 1), (C, 1), et prouver que ABCG est un losange.

 

2) Quel est l'ensemble Γ des points M tels que :

||MAMB+MC||=532

3) Vérifier que le milieu de [AC] appartient à Γ. Tracer Γ.

 

Exercice 24 

 

ABC est un triangle rectangle en A, I est le milieu de [BC], Γ est le cercle de centre A passant par I. G est le point diamétralement opposé à I.

 

1) Prouver que le point G est le barycentre de (A, 4), (B, 1), (C, 1).

 

2) Trouver deux réels b  et  c tels que A est le barycentre de (G, 2), (B, b), (C, c).

 

3) Quel est l'ensemble des points M du plan tels que :

||2MG+MB+MC||=2||BC||

 

Centre d'inertie

 

Exercice 25 

 

Pour chacune des plaques homogènes suivantes, construire le centre d'inertie.

 


 

Exercice 26 

 

Une plane homogène P est constituée par un carré OABC de côté 8cm dont on a retiré le carré BIJK de côté 4cm.

 

Trouver la position du centre d'inertie de la plaque par deux méthodes.

 


 

Exercice 27 

 

Une rondelle a la forme d'un disque évidé suivant le schéma ci-dessous pour lequel OP=3OO.

 

1) Trouver la position du centre d'inertie I de la rondelle évidée.

 

2) On note M la masse de la rondelle évidée. Quelle masse m doit-on placer en P afin que l'ensemble constitué de la rondelle et du point "massique" P ait O pour centre d'inertie ?

 


 

Exercice 28 

 

On considère une plaque homogène composée d'un carré de côté 10cm surmonté d'un rectangle de hauteur 10cm et de longueur (exprimée en cm) tel que l10 (figure ci-dessous)

 

Déterminer la longueur maximale max pour laquelle la plaque reste en équilibre sur la base [AB].

 


 

Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

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