Devoir n°1 - Ts2
Classe:
Terminale
Exercice 1 (3 points)
Calculer les limites suivantes :
a) lim
b) \lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{3x^{2}+2x}-1}{x+1}
Exercice 2 (6 points)
On considère les nombres complexes suivants : z_{1}=\left(\dfrac{3-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)^{2} et z_{2}=\dfrac{10+\mathrm{i}}{1-3\mathrm{i}}.
1) Donner l'écriture algébrique de z_{1} et z_{2}.
2) Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan complexe d'affixe z vérifiant :
a) |z-z_{1}|=|z-z_{2}|
b) |z-z_{1}|=|z_{1}|
c) \dfrac{z-z_{2}}{z-z_{1}}\in\mathbb{R}
Exercice 3 (11 points)
On considère la function f définie par : f(x)=\dfrac{x^{3}-4}{x^{2}-1}.
Soit \mathcal{C} sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
Partie A
Soit g la fonction définie par g(x)=-x^{3}+3x-8.
1) Dresser le tableau de variation de g.
2) Montrer qu'il existe un réel \alpha unique tel que g(\alpha)=0.
Prouver alors que \alpha\in\;]-2.5\;;\ -2.4[.
3) Étudier le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
Partie B
1) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition .
2) a) Montrer que pour tout x\in D_{f}\;,\ f'(x)=\dfrac{-xg(x)}{(x^{2}-1)^{2}}.
b) Étudier alors le sens de variation de f.
c) Montrer que f(\alpha)=\dfrac{3}{2}\alpha.
d) Préciser les branches infinies de la courbe \mathcal{C}.
3) Tracer la courbe \mathcal{C}.
4) Soit h la restriction de f à l'intervalle ]1\;;\ +\infty[.
a) Montrer que h est une bijection de ]1\;;\ +\infty[ vers un intervalle J à préciser.
b) Calculer h(2), noté y_{0}. En déduire h'^{-1}(y_{0}).
c) Construire dans le même repère la courbe de h^{-1}, notée \mathcal{C}_{h^{-1}}.
\text{Durée : 2 h}
Auteur:
Mouhamadou Ka
Commentaires
Grovogui (non vérifié)
mar, 07/14/2020 - 21:11
Permalien
Je vous remercie pour votre
Elisee N’guessan (non vérifié)
ven, 10/14/2022 - 01:52
Permalien
Je vous remercie pour le
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