Exercices : Application affine 3e
Classe:
Troisième
Exercice 1
$f$ est une application linéaire définie dans $\mathbb{R}$ telle que : $f(3)=-6\;;\ g$ est une application affine définie dans $\mathbb{R}$ et telle que :
$g(5)=-2\;;\ g(-3)=4.$
1) Écrire $f(x)\ $ et $\ g(x)$ en fonction de $x.$
2) Donner le sens de variation de $f\ $ et $\ g.$
Exercice 2 BFEM 2003
On considère les expressions suivantes :
$H(x)=4(x+\sqrt{3})^{2}-4\sqrt{3}(x+\sqrt{3})+3\ $ et $\ G(x)=(2x+\sqrt{3})^{2}$
1) Développer, réduire et ordonner $H(x)\ $ et $\ G(x)$
2) En déduire une factorisation de $H(x).$
3) On pose $Q(x)=\sqrt{H(x)}.$
a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $Q(x)=2\sqrt{3}.$
b) Montrer que $Q$ est une application affine par intervalle.
c) Représenter graphiquement $Q$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ I\;,\ J).$
Exercice 3 BFEM 2006
Soit l'application $f$ définie par : $f(x)=|x+3|.$
1) Calculer : $f(0)\ $ et $\ f(-3).$
2) Montrer que $f$ est une application affine par intervalle.
3) Représenter graphiquement $f$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ I\;,\ J).$
4) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=1.$
Exercice 4
1) Résoudre dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ le système d'équation suivant : $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 6x+y-440&=&0 \\ \\17x+2y-1\,080&=&0\end{array}\right.$$
2) Le prix à payer sur le réseau téléphonique $\text{"EXPRESSO"}$ comprend une somme forfaitaire et un prix proportionnel au nombre de minutes de communication.
$-\ $ Alioune a payé $440\;F\,CFA$ pour une durée de $6\;min$;
$-\ $ Fatou a payé $540\;F\,CFA$ pour une durée de $8.5\;min.$
a) Déterminer le prix d'une minute de communication et la somme forfaitaire sur le réseau $\text{"EXPRESSO"}$
b) Déterminer l'application affine qui définit la somme à payer en fonction du nombre de minute de communication.
c) Représenter graphiquement cette application dans un repère orthonormé.
On prendra en abscisse : $1\;cm$ pour $2$ minutes et en ordonnée : $1\;cm$ pour $100\;F\,CFA.$
d) Déterminer graphiquement la somme à payer pour $10$ minutes de communication.
Exercice 5 BFEM 2004
1) Pour organiser une colonie de vacances pour les $50$ enfants de ses employés, une société établie à Dakar lance un appel d'offre auquel $3$ agences de transport $A\;,\ B\ $ et $\ C$ ont soumissionné :
L'agence $A$ réclame pour chacun de ses cars un forfait de $30\,000\;F\ $ et $\ 500\;F$ pour chaque $km.$
L'agence $B$ réclame pour chacun de ses cars un forfait de $40\,000\;F\ $ et $\ 300\;F$ pour chaque $km.$
L'agence $C$ réclame $64\,000\;F$ pour chacun de ses cars.
a) Établir la relation exprimant la somme $y$ à payer en fonction du nombre $x$ de kilomètres parcourus pour chacune des $3$ agences.
b) Dans un même repère orthonormal ($1\;cm$ pour $10\;km$ en abscisses et $1\;cm$ pour $10\,000\;F$ en ordonnées), représenter graphiquement les $3$ relations précédemment obtenues.
c) Déterminer graphiquement sur quelle longueur de trajet :
$-\ $ L'agence $A$ réclame plus que l'agence $B$;
$-\ $ L'agence $A$ et l'agence $C$ réclament la même somme
$-\ $ L'agence $B$ réclame moins que l'agence $C.$
2) Les enfants sont répartis en deux groupes :
Le $1e$ groupe va à Thiès, ville distante de $70\;km$ de Dakar.
Le $2e$ groupe va à Kaolack, ville distante de $192\;km$ de Dakar.
a) Indiquer sur chacun de ces deux trajets l'agence la moins chère qui sera retenue.
b) Quelle est l'agence qui n'aura aucune part de ce marché ? Pourquoi ?
3) Deux cars sont prévus pour le voyage sur Kaolack et cinq cars pour le voyage sur Thiès. Si chacun des enfants du premier groupe verse $5\,000\;F$ et chacun des enfants du deuxième groupe verse $3\,000\;F$, alors la société devra compléter pour $223\,000\;F$ pour couvrir les frais de transport.
Quel est le nombre d'enfants qui composent chaque groupe ?
Exercice 6
On définit l'application $f$ dans $\mathbb{R}$ par $f(x)=|2-x|$
1) Montre que $f$ est une application affine par intervalles.
2) Détermine les variations de $f$ dans les intervalles $]-\infty\;;\ 2]\ $ et $\ [2\;;\ +\infty[.$
3) Représente $f$ dans un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
Exercice 7
On considère l'application affine $g$ telle que $g(-1)=4\ $ et $\ g(-2)=0.$
1) Détermine l'expression littérale de $g$.
2) En déduire $g'$ l'application linéaire associée à $g(x)$.
3) Représente $g(x)\ $ et $\ g'(x)$ puis déduis en la position relative des deux représentations.
Exercice 8
On considère la fonction affine suivante $f(x)=|x+1|-2$
1) Écris $f(x)$ sans la valeur absolue.
2) En déduire que $f$ est une application affine par intervalles et précise ses intervalles de définition.
3) Représente $f$ dans un repère orthonormal.
Exercice 9
Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
a) Trouve l'application affine $f$ dont la représentation graphique est la droite $(D)$ passant par les points $A(-1\;;\ 2)\ $ et $\ B(\sqrt{3}\;;\ 0).$
b) Détermine le sens de variation de $f$.
Exercice 10
Soit $P=\sqrt{(\sqrt{2}-3)^{2}}-\sqrt{(3-2\sqrt{2})^{2}}$
1) Calcule $P$.
2) Soit $g(x)=|2x-\sqrt{7}|$
a) Montre que $g$ est une application affine par intervalles.
b) Quel est le sens de variation de $g(x)$ dans l'intervalle $\left]-\infty\;;\ \dfrac{\sqrt{7}}{2}\right]$.
c) Représente graphiquement $g(x)$ dans l'intervalle $\left[\dfrac{\sqrt{7}}{2}\;;\ +\infty\right[$.
Exercice 11
Soit l'application $f$ définie par $f(x)=x^{2}+bx+c$ avec $f(0)=9\ $ et $\ f(-1)=16$
1) Détermine les réels $b\ $ et $\ c$.
2) Montre que $f(x)$ est le carré d'un facteur.
3) Soit $h(x)=\sqrt{(x-3)^{2}}$
a) Montre que $h$ est une application affine par intervalles.
b) Représente graphiquement $h(x)$.
Exercice 12
Un gérant de cybercafé propose à ses clients deux types d'options :
Optons $I\ :\ 150\;F$ par heure de connexion internet avec un abonnement de $3\,000\;F.$
Option $II\ :\ 350\;F$ par heure de connexion internet sans abonnement
1) Une personne a effectué une connexion mensuelle de $x$ heures.
On note $P_{1}(x)\ $ et $\ P_{2}(x)$ les prix en francs correspondant respectivement aux options $I\ $ et $\ II.$
Exprime $P_{1}(x)\ $ et $\ P_{2}(x)$ en fonction de $x.$
2) Dans un même repère $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, construire les représentions graphiques des applications affines $p_{1}\ $ et $\ p_{2}.$ On prendra :
$1\;cm$ pour $2\;h$ sur l'axe des abscisses,
$1\;cm$ pour $1\,000\;F$ sur l'axe des ordonnées
3) a) Déterminer graphiquement dans quel intervalle de temps l'option $I$ est plus avantageuse que l'option $II.$
b) Retrouver cet intervalle par le calcul.
4) Au bout de combien de temps de connexion deux clients d'options différentes payeront-ils le même prix ?
5) Quelle est l'option la plus avantageuse pour $5\;h$ de connexion ?
Exercice 13 BFEM 2009
Soit l'application affine $f$ définie par $f(1)=-1\ $ et $\ f(2)=-3$
1) Montrer que $f(x)=-2x+1$
2) a) Soit $a$ et $b$ deux nombres réels distincts. Montrer que $f(a)-f(b)\ $ et $\ a-b$ sont de signes contraires.
b) En déduire que $f(\sqrt{2})<f(0)\ $ et $\ f(0)<f(-1)$
3) Le plan est muni d'un repère orthonormal.
$(D)$ est la droite d'équation $y=-2x+1\ $ et $\ (D')$ est la droite d'équation $y+x=0.$
a) Montrer que $(D)\ $ et $\ (D')$ sont sécantes.
b) Tracer les droites $(D)\ $ et $\ (D')$
c) Déterminer le point d'intersection de $(D)\ $ et $\ (D')$.
d) Résoudre graphiquement le système $\left\lbrace\begin{array}{lcl} y+2x-1 &>& 0\\\\y+x &<& 0\end{array}\right.$
Exercice 14 BFEM 2000
$u$ et $v$ sont deux applications définies dans $\mathbb{R}$ telles que $u(x)=|x+2|\ $ et $\ v(x)=|1-2x|.$
1) Montrer que $u\ $ et $\ v$ sont deux applications affines par intervalle.
2) Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $u(x)=v(x)$ ?
3) Construire les représentations graphiques de $u$ et $v$ dans l'intervalle $\left[-2\;;\ \dfrac{1}{2}\right]$
Exercice 15 BFEM 1992
On considère l'expression littérale
$$h(x)=(2x-\sqrt{3})^{2}+2(2x-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})+(1+\sqrt{3})^{2}$$
1) Montrer que $h(x)$ est le carré d'une expression littérale
2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt{h(x)}-7=0$
3) Soit l'expression définie par $k(x)=\sqrt{h(x)}-1$
a) Sur quelle partie de $\mathbb{R}\;;\ k$ est-elle une application linéaire ?
b) Sur quelle partie de $\mathbb{R}\;;\ k$ est-elle une application affine ?
c) Représenter graphiquement $k$ dans un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$
Exercice 16
Soit l'application affine $f$ définie par $f(x)=-5x+3$
1) Calcule l'image par $f$ de chacun des nombres suivants :
$-3\;;\ \dfrac{1}{2}\;;\ 9\;;\ 0.$
2) Calcule l'antécédent par $f$ de chacun des nombres suivants :
$-2\;;\ \dfrac{-4}{3}\;;\ 0\;;\ \sqrt{3}.$
Exercice 17
1) Détermine l'application affine $f$ de coefficient $-2$ telle que $f(3)=-4$
2) Détermine l'application affine $g$, telle que $g(2)=-1\ $ et $\ g(1)=5.$
Exercice 18
On donne les applications affines $f\ $ et $\ g$ définies par $f(x)=2x-5\ $ et $\ g(x)=4x.$
1) Représente graphiquement ces deux applications dans un même repère orthonormal.
2) Détermine graphiquement puis par calcul, les coordonnées de leur point d'intersection $A.$
Exercice 19
1) Détermine l'application affine $f$, telle que sa représentation graphique $(\mathcal{D})$ passe par les points $A(1\;;\ 3)\ $ et $\ B(-1\;;\ -2).$
2) Détermine l'équation de la droite $(\Delta)$ passant par le point $C(2\;;\ -1)$ et parallèle à $(\mathcal{D}).$
3) Détermine l'équation de la droite $(L)$ passant par le point $E(0\;;\ 4)$ et perpendiculaire à $(\mathcal{D}).$
Exercice 20
On donne l'expression suivante :
$f(x)=x+1+\sqrt{(2x-3)^{2}}$
1) Calcule $f(0)\ $ et $\ f(-1).$
2) Montre que $f$ est une application affine par intervalles.
3) Représente graphiquement l'application $f$ dans un repère orthonormal.
4) Résous dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes :
$f(x)=x\;;\ f(x)=x+2.$
Exercice 21 (BFEM Octobre 2012)
Pour financer une sortie pédagogique, une école décide de vendre les tomates de son jardin.
Le client paye en plus de la quantité de tomates achetée une somme forfaitaire fixe pour le transport.
Un commerçant qui a acheté $300\;kg$ a versé au gestionnaire une somme totale de $125\,000\;F.$
Un membre de l'association des parents d'élèves a acheté $100\;kg$ et a payé $45\,000\;F.$
Calcule le prix d'un kilogramme de tomates et la somme forfaitaire allouée au transport.
Exercice 22
Un fournisseur d'accès à Internet propose à ses clients $3$ formules d'abonnement :
$-\ $ Une formule $A$ comportant un abonnement fixe de $12\,000\;F$ par mois auquel s'ajoute le prix des communications au tarif préférentiel de $100\;F$ de l'heure.
$-\ $ Une formule $B$ offrant un libre accès à Internet mais pour laquelle le prix des communications est de $250\;F$ pour une heure de connexion.
$-\ $ Une formule $C$ offrant un libre accès à Internet et comportant une carte d'abonnement annuel de $25\,000\;F.$
Dans les deux premiers cas, les communications sont facturées proportionnellement au temps de connexion.
1) Reproduis et complète le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline &\text{Nombre d'heures de}&60&80\\ &\text{connexion}& &\\ \hline \text{Prix à payer}&\text{Formule }A& &\\ \hline \text{Prix à payer}& \text{Formule }B& &\\\hline\text{Prix à payer}&\text{Formule }C& &\\ \hline \end{array}$$
2) Pierre se connecte $60$ heures par mois et Fatou $80$ heures par mois.
Quelle est la formule la plus avantageuse pour chacune de ces personnes.
3) On note $x$ le temps de connexion d'un client, exprimé en heures.
On appelle $P_{A}$ le prix à payer en $F\;CFA$ avec la formule $A\;,\ P_{B}$ le prix à payer en $F\;CFA$ avec la formule $B\ $ et $\ P_{C}$ le prix à payer en $F\;CFA$ avec la formule $C.$
Exprimer $P_{A}\;,\ P_{B}\ $ et $\ P_{C}$ en fonction de $x.$
4) Dans un repère orthogonal trace :
a) la droite $(\mathcal{D}_{1})$, représentation graphique de la fonction $f\ :\ x\mapsto 100x+12000$ ;
b) la droite $(\mathcal{D}_{2})$, représentation graphique de la fonction $g\ :\ x\mapsto 250x$ ;
c) la droite $(\mathcal{D}_{3})$, représentation graphique de la fonction $h\ :\ x\mapsto 25 000$ ;
(On prendra $1\;cm$ pour $10\;h$ sur l'axe des abscisses et $1\;cm$ pour $5 000\;F$ sur l'axe des ordonnées)
5) Moïse, qui a choisi la formule $A$ a payé $20\,000\;F.$
a) Détermine graphiquement le temps pendant lequel il s'est connecté.
b) Vérifie le résultat par le calcul.
6) a) Résous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation :
$$250x\leq 100x+12\,000$$
b) Interprète le résultat obtenu.
7) Détermine graphiquement à partir de quelle durée de connexion par mois la formule $C$ est plus avantageuse que les deux autres.
Exercice de Synthèse
I. On pose $q(x)=|3x-2|.$
1) Montre que $q$ est une application affine par intervalles.
2) Représente graphiquement $q$ dans un repère orthonormal.
II. Un commerçant fixe le prix de vente de chacun de ses articles en prévoyant un bénéfice de $25\%$
sur le prix d'achat.
Soit $x$ le prix d'achat d'un article et $p$ son prix de vente
1) Justifier que $p=\dfrac{5}{4}x$
2) Calculer le prix de vente d'un article acheté à $400\;F$
3) Calculer le prix d'achat d'un article vendu à $1\,250\;F$
4) Représenter graphiquement dans un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$
5) Déterminer graphiquement le prix d'achat d'un article vendu à $750\;F$
III. Une fonction affine $f$ définie, pour tout nombre $x$, par :
$$f(x)=ax+b$$
On donne : $f(-1)=4\ $ et $\ f(3)=6.$
1) Déterminer $a\ $ et $\ b$
2) Soit $g(x)=-2x+9.$
Les représentations graphiques de $f(x)\ $ et $\ g(x)$ sont-elles perpendiculaires ?
Justifier.
$\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$
Ordre:
9
Commentaires
Gedeon (non vérifié)
dim, 06/02/2019 - 19:03
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Cool vos exos puis-je avoir
Gedeon (non vérifié)
dim, 06/02/2019 - 19:04
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En classe de 3em
Ndeye ba (non vérifié)
mer, 07/15/2020 - 20:51
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Pourrais-je avoir la
Anonyme (non vérifié)
lun, 07/20/2020 - 06:56
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Bonjour je n'arrive pas à
Anonyme (non vérifié)
mar, 07/27/2021 - 19:14
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Merci infiniment
Anonyme (non vérifié)
mar, 07/27/2021 - 19:14
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Merci infiniment
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