Série d'exercices : Repérage - 2nd
Classe:
Seconde
Mesures algébriques
Exercice 1
Les points A, B, C et D sont situés sur un axe de telle sorte que : ¯AB=−8;¯BC=12 et ¯CD=−6
Calculer ¯AC, ¯AD, ¯BA, ¯BD, ¯DA et ¯DB.
Exercice 2
Sur un axe (D), on donne trois points A, B et C tels que ¯AB=−9 et ¯BC=16.
Où faut-il placer l'origine O pour que ¯OA+3¯OB+5¯OC=0 ?
Exercice 3
Soient A et B deux points d'un axe, I milieu de [AB]. Montrer que pour tout point M de l'axe, on a :
a) ¯MA2+¯MB2=2¯MI2+¯AB22
b) ¯MA.¯MB=¯MI2−¯AB24
Exercice 4
Une droite est munie d'un repère (O, →i). On place les points A, B, C, D de cette droite d'abscisses respectives 4, 152, −1 et −113.
1) Calculer ¯AB, ¯BC, ¯AD, ¯CA.
2) Déterminer l'abscisse x des points M dans chacun des cas suivants :
a) ¯AM=3
b) 2¯CM+¯MA=1
c) 2¯OB=3¯AM
d) 0≤¯CM≤2
e) 3¯AM=¯AC
f) AM2=4
Exercice 5
Sur un axe (D), on considère deux points A et B d'abscisses respectives -1 et 2.
1) Placer le point C tel que ¯CA=2¯CB.
2) Montrer qu'il existe un point M tel que : ¯MA+2¯MB=0.
3) Quels sont les points M de (D) tels que MA2−4MB2=0 ?
Exercice 6
Soient A, B, C et D quatre points d'une même droite (Δ) muni d'un repère (O, I).
1) a) Établir, à l'aide des abscisses des points la relation suivante : ¯DA.¯BC+¯DB.¯CA+¯DC.¯AB=0(relation dite d'Euler)
2) Établir, en utilisant la relation de Chasles, la relation d'Euler.
3) Former l'expression ¯DA2.¯BC+¯DB2.¯CA et en déduire la relation suivante : ¯DA2.¯BC+¯DB2.¯CA+¯DC2.¯AB+¯BC.¯CA.¯AB=0(relation dite de Stewart)
Exercice 7 Applications du théorème de Thalès et de sa réciproque
Les différentes questions sont complètement indépendantes.
1) ACG est un triangle. B est un point du segment [AC], E un point du segment [CG]. La parallèle à (CG) passant par B coupe (AE) en D et (AG) en F.
Montrer que : ¯EG¯DF=¯CE¯BD
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig50_4.png)
2) ABCD est un parallélogramme. E est un point du segment [AD]. La parallèle à (AB) passant par E coupe (AC) en G et (BC) en F.
Montrer que : ¯EG¯AB=¯BF¯BC
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig51_3.png)
3) RST est un triangle. L appartient à [RS] et M appartient à [RT].
Indiquer si (LM) est parallèle à (ST) dans chacun des cas suivants :
RS=7;RT=14;RL=1.5;RM=3
RS=8;RT=9;RL=5;RM=5.5
RS=7;RT=9;SL=3;RM=5
RS=12;RT=18;SL=18;MT=4.5
4) Soit ABCD un rectangle donné de cotés a et b. Construire exactement un rectangle de même aire et dont un côté a pour longueur d (d longueur donnée).
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig52_3.png)
5) Soit RST un triangle donné de cotés a=ST donné et de hauteur h. Construire un rectangle de même aire et dont un côté a pour longueur d (d longueur donnée).
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig53_3.png)
6) Placer exactement les points L, M, N d'abscisses respectives 23, 57, 411 sur la droite (D) de repère (A, B).
7) Placer exactement les points S, T, U d'abscisses respectives −13, −37, −711 sur la droite (D) de repère (A, B).
8) ABCD est un trapèze. Les diagonales (AC) et (BD) se coupent en O. Par O, on trace une parallèle à (AB) qui coupe (AD) en I et (BC) en J.
Démontrer que ¯IO¯AB=¯OJ¯AB. Que peut-on en déduire pour I, O et J ?
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig54_3.png)
9) ABCD est un quadrilatère. La parallèle à (AD) passant par C coupe (BD) en M. La parallèle à (BC) passant par D coupe (AC) en N.
On appelle I le point de rencontre de (AC) et (BD).
Calculer ¯IN¯IC et ¯IM¯ID.
Démontrer que (MN) est une droite parallèle à (AB).
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig55_2.png)
Repères et droites du plan
Exercice 8
Soit ABCD un parallélogramme non aplati.
On pose →u=→AB et →v=→AC
1) Les vecteurs →u+→u et →u−→v sont-ils colinéaires ?
2) On pose →i=→u+→u et →j=→u−→v
Donner les coordonnées de →u et →v dans la base (→i, →j).
3) Donner les coordonnées de A, B, C et D dans le repère (B, →i, →j).
4) Existe-t-il des points qui ont les mêmes coordonnées relativement aux repères (A, →u, →v) et (B, →i, →j). ?
Exercice 9
Soient →u et →v deux vecteurs dont les coordonnées relativement à la base (→i, →j) sont respectivement (1, 2) et (−1, −3).
1) Montrer que (→u, →v) est une base de l'ensemble des vecteurs du plan.
2) Exprimer →i et →j à l'aide de →u et →v.
3) Soit →w1, →w2 et →w3, trois vecteurs dont les coordonnées dans (→i, →j) sont respectivement (1, 2), (6, −4) et (−3, 2).
Quelles sont les coordonnées de →w1, →w2 et →w3 dans (→u, →v) ?
4) Calculer les déterminants des couples de vecteurs suivants dans la base (→i, →j), puis dans la base (→u, →v), (→w1, →w2), (→w2, →w3) et (→w1, →w3)
Exercice 10 Repérer un point - Placer un point
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O; I; J) dessiné ci-dessous :
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig56_2.png)
1) Placer les points A(−3; 0), B(0; −2) et C(−3; −2).
2) a) On note A′ le symétrique de A par rapport au point O et B′ le symétrique de B par rapport à O.
Placer les points A′ et B′ puis préciser leurs coordonnées.
b) On note C′ le point tel que le quadrilatère OA′C′B′ soit un rectangle.
Préciser les coordonnées du point C′.
3) a) Préciser pourquoi (O; A; B) constitue un nouveau repère du plan. Est-il orthogonal ou orthonormé ?
b) Déterminer les coordonnées de chacun des points O, A, B, C, A′, B′ et C′ dans ce repère (O; A; B).
Exercice 11 Lire des coordonnées
ABCD est un carré. E est le milieu du segment [AB] et F est le milieu du segment [BD].
Dans le repère orthonormé (A; B; D), préciser les coordonnées des différents points de la figure.
Exercice 12 Coordonnées du milieu d'un segment
Dans un repère, on donne les points R(4; −1), S(2; 5), T(3; 2) et U(5; 2).
1) Placer les points R, S, T et U dans ce repère.
2) Démontrer que le point T est le milieu du segment [RS].
3) a) Tracer la parallèle à la droite (RU) passant par le point T. Justifier pourquoi elle coupe le segment [SU] en son milieu V.
b) Calculer les coordonnées du point V.
Exercice 13 Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
Dans un repère, on donne les points D(−2; 1), E(3; 3), F(1; −1) et G(−4; −3).
Démontrer que le quadrilatère DEFG est un parallélogramme.
Exercice 14
Soit ABC un triangle et α un réel. On définit trois points P, Q, R par : →CR=−α→CB→CQ=α→CAet→AP=α→AB
1) Faire une figure pour α=−2.
2) Déterminer dans le repère (A, →AB, →AC) les coordonnées des points P, Q et R en fonction de α.
3) Exprimer dans la base (→AB, →AC) les coordonnées des vecteurs →PQ et →PR à l'aide de α.
4) Déterminer α pour que P, Q, R soient alignés et distincts.
5) Faire la figure dans ce cas et montrer que Q est alors le milieu de [PR].
Exercice 15
Dans chacun des cas suivants, on demande :
de donner une représentation paramétrique de la droite (D).
de déterminer les points d'intersection de (D) avec les axes.
de tracer (D).
1) (D) passe par A(1, 2) et B(−2, 4).
2) (D) passe par A(1, 2) et a pour vecteur directeur →u(3, 1).
3) (D) passe par A(1, 2) et a pour coefficient directeur -2.
4) (D) a pour équation : x+2y−3=0.
Exercice 16
Soit (D) la droite d'équation 3x−2y+2=0 et (D′) la droite de représentation paramétrique {x=3−4ty=−1+2t
1) Pour chacune des droites, donner deux vecteurs directeurs .
2) Les points suivants appartiennent-ils à (D) ou (D′) :
A(2, 4), B(3, −1), C(−1, 1) et D(4, 7) ?
Exercice 17
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, →i, →j).
On considère l'ensemble (Dm) des points M du plan dont les coordonnées (x, y) vérifient l'équation : (2m−1)x+(3−m)y−7m+6=0
1) Montrer que, quel que soit m∈R, (Dm) est une droite .
2) Dans chacun des cas suivants, trouver m pour que :
a) (Dm) passe par A(1, 1).
b) (Dm) passe par l'origine du repère.
c) (Dm) soit parallèle à l'axe des abscisses.
d) (Dm) soit parallèle à l'axe des ordonnées.
e) (Dm) ait pour coefficient directeur -1.
f) (Dm) soit parallèle à la droite d'équation x−3y−5=0.
3) Existe-t-il un point commun à toutes les droites (Dm) ?
Exercice 18
Soit un parallélogramme ABCD de centre O
1) On choisit (→AB, →AD) comme base de vecteurs. Pourquoi ce choix est-il possible ?
2) Quelles sont les coordonnées des vecteurs →AC, →AO et →DB (justifiez) ?
3) Construire E tel que les coordonnées de →CE soient (23; −53)
4) Démontrer que D, B et E sont alignés.
Exercice 19
1) Parmi ces droites, lesquelles sont parallèles, confondues ou sécantes ?
(D1) : 6x−3y+4=0(D2) : 2x−y+7=0(D3) : y=2x+43
(D4) : −12x+6y−8=0(D5) : 5x+2y+10=0(D6) : x−5y−10=0
(D7) : 3x−2y+5=0(D8) : 2x+3y=5
2) Déterminer les coordonnées du point d'intersection de D7 et D2
Exercice 20
Tracer les droites d'équation :
(Δ1) : y=2x−4(Δ2) : y=−3x+5
(Δ3) : y=32x−4
(Δ3) : y=32x−4
(Δ4) : y=−25x+15(Δ5) : x+2y−2=0
(Δ6) : 2x−14y+1=0
(Δ6) : 2x−14y+1=0
(Δ7) : 5x+2y−3=0
(Δ8) : −3x+2y−7=0
(Δ8) : −3x+2y−7=0
Exercice 21
Soient ABC un triangle et O un point de la droite (BC) tel que O≠B et O≠C. Par B et C, on trace deux droites Δ1 et Δ2 parallèles. La parallèle à (AC) passant par O coupe Δ1 en I et la parallèle à (AB) passant par O coupe Δ2 en J.
Le but du problème est de montrer que A, I, J sont alignés.
On choisit le repère R=(O, →OI, →OJ).
1) Faire une figure soignée.
2) Soient (α, β) les coordonnées de B dans le repère R. Déterminer les coordonnées de →JB.
3) Déterminer les coefficients directeurs des droites (OB), (BJ) et (CJ).
4) Déterminer les équations réduites des droites (BC) et (CJ) et en déduire l'abscisse de C.
5) Quelles sont les coordonnées du point A ?
6) Prouver que A, I et J sont alignés.
Exercice 22
ABCD est un parallélogramme, a et b sont deux réels non nuls. E et F sont les points tels que : →AE=a→ABet→AF=b→AD
La droite parallèle à (AD) passant par E coupe (CD) en G et la droite parallèle à (AB) passant par F coupe (BC) en H. On note K le point d'intersection des droites (EG) et (FH).
On considère le repère R=(A, →AB, →AD).
N.B. On fera une figure illustrant les données avec a=32; b=2; AB=4cm et AD=2.5cm.
1) Déterminer les coordonnées des points A, B, C, D, E, F, G, H et K dans le repère R.
2) Déterminer une condition sur a et b pour que les droites (FG) et (EH) soient parallèles, puis montrer qu'avec cette condition, on a : (FG)//(AC) et (EH)//(AC).
3) Montrer que si a+b=1, alors K∈(BD).
4) Déterminer une condition sur a et b pour que les droites (EF) et (GH) soient parallèles, puis montrer que, dans ce cas, on a : (EF)//(DB) et (GH)//(DB).
5) Montrer alors que K∈(AC).
6) Montrer que le quadrilatère EFGH est un parallélogramme si, et seulement si : {a+b=1a=b
7) Montrer qu'alors E et G sont les milieux respectifs de [AB] et [CD] et que les parallélogrammes ABCD et EFGH ont même centre.
Exercice 23
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O; →i, →j) soient le point A(−2; 1) et le vecteur →u=(−23). On note d la droite passant par A et de vecteur directeur →u.
1) Le point O appartient-il à d ? Le point B(−1; −1/2) ?
2) Donner une équation de d et la tracer. Quelles sont les coordonnées de ses points d'intersection avec les axes ?
3) C est le point tel que →BC=2→AO. Déterminer les coordonnées de C ainsi qu'une équation de la droite (BC). La tracer et déterminer son intersection avec d.
4) Soit d′ la droite passant par D(0; 4) et parallèle à d. Donner une équation de d′, la tracer et déterminer graphiquement puis par le calcul les coordonnées de son point d'intersection K avec (BC).
5) Soit δ la droite d'équation x+2y−4=0. Déterminer son vecteur directeur ainsi que deux de ses points. Tracer δ. Que peut on en dire ? Déterminer ses points d'intersection avec d et d′.
6) Montrer de trois manières différentes que la figure formée par d, d′, δ et (BC) est un parallélogramme.
Exercice 24
Soient A(25), B(3−4) et C(17) trois points du plan.
1) Déterminer les équations cartésiennes de :
a) la droite (AB)
b) la droite D passant par C et parallèle à (AB)
c) la médiatrice de [AC]
d) la hauteur issue de C
2) Déterminer d(C, (AB)) et d(B, D), les distances entre C et (AB) et, B et D respectivement.
3) Déterminer l'équation du cercle de diamètre [BC]
Exercice 25
Soit (Dm) la droite d'équation : (m−1)x+(m−2)y+m=0
1) Montrer que (m−1; m−2)≠(0; 0)
2)a) Déterminer m pour que (Dm)∥ à l'axe des abscisses.
b) Déterminer m pour que (Dm)∥ à l'axe des ordonnées.
c) Déterminer m pour que (Dm)∥ D : x+3y+2=0
Exercice 26
Soit (Δm) la droite d'équation : (2m−1)x+(3−m)y−7m+6=0
1) Pour quelles valeurs de m, Δm est-elle :
a) parallèle à (Ox) ?
b) parallèle à (Oy) ?
c) parallèle à Δ : 2x+y−4=0 ?
d) perpendiculaire à Δ′ : x+y=0 ?
2) Montrer que toutes les droites (Δm) passent par un point fixe A dont on déterminera les coordonnées.
Exercice 27
1) Soit la droite (Δ) : 3x+2y−5=0
Déterminer un système d'équations paramétriques de (Δ)
2) Soit (Δ′) la droite dont un système d'équations paramétriques est
{x=3t+1y=−2t+3
Déterminer une équation cartésienne de (Δ′)
Exercice 28
Soient A(12) et B(34) deux points du plan, D1 : 2x−3y+5=0
1) déterminer un système d'équations paramétriques des droites (AB) et D1
2) Soit D2 : {x=2−ty=3+4t
a) A(12) et D(011) appartiennent-ils à D2 ?
b) Déterminer l'équation cartésienne de D2
c) Déterminer d(A, D2) ; la distance entre le point A et la droite D2
3) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de :
a) D1 et D2
b) D1 et D6 : x+y+1=0
c) D2 et D7 : {x=1+ty=7−2t
Équations de cercle
Exercice 29
1) Les équations suivantes sont-elles des équations de cercle ?
Si oui, donner le centre et le rayon.
a) x2+y2−6x+8y−5=0
b) x2+y2+2x+4y−1=0
2) Discuter suivant les valeurs du paramètre m la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble (E) des points M(xy) tels que x2−2x+y2+4x=m2−6
Exercice 30
Soit (O; →i, →j) un repère du plan, A(21), B(34), C(11) et Ω(32) quatre points dans (O; →i, →j).
1) Trouver les coordonnées de A, B et C dans (Ω; →i, →j) et dans (Ω; 2→i, 3→j).
2) Déterminer une équation cartésienne de la médiane issue de A, dans (Ω; →i, →j).
Exercice 31
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O; →i, →j).
1) Déterminer l'équation cartésienne d'un cercle de centre Ω(−2; 4) et de rayon 2.
2) Soit (E) : x2+y2−6x+4y−3=0 Montrer que (E) est l'équation d'un cercle dont on déterminera le centre I et le rayon r.
Exercice 32
Soient (C) et (C′) deux cercles d'équations respectives x2+y2−2x+4y−20=0 etx2+y2+2x−6y−26=0
1) (C) et (C′) sont-ils sécants ?
2) Si oui, déterminer les coordonnées de leurs points d'intersection.
Commentaires
Mamadou Dia (non vérifié)
lun, 07/22/2019 - 09:47
Permalien
Bj, chers monsieurs ou
Fat Bintou Diop (non vérifié)
jeu, 05/05/2022 - 21:20
Permalien
Reste de la correction
Dior Kama (non vérifié)
lun, 03/02/2020 - 22:51
Permalien
la correction
Amadou sow (non vérifié)
jeu, 04/23/2020 - 02:20
Permalien
Et si on aurait les
Alssainy Diallo (non vérifié)
sam, 08/22/2020 - 01:07
Permalien
Je voulais vérifie de ce que je fais est bon
Anonyme (non vérifié)
mar, 09/15/2020 - 15:45
Permalien
J'aimerais avoir la
Boniface mané (non vérifié)
mar, 03/21/2023 - 14:47
Permalien
Explication
Anonyme (non vérifié)
dim, 04/04/2021 - 20:34
Permalien
12=¯AB
Fatoumata (non vérifié)
mer, 06/08/2022 - 23:01
Permalien
Avis
Ajouter un commentaire