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Calcul dans R - 2nd

Classe:

Seconde

I. Ensemble de nombres

Activité

1) Remplir le tableau suivant en mettant des croix si l'élément appartient à l'ensemble.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & \mathbb{N} & \mathbb{Z} & \mathbb{D} & \mathbb{Q} & \mathbb{R} \\ \hline 0 & & & & & \\ \hline -2 & & & & & \\ \hline 1.4 & & & & & \\ \hline 0.4 & & & & & \\ \hline \pi & & & & & \\ \hline \frac{1}{3} & & & & & \\ \hline \frac{3}{5} & & & & & \\ \hline \sqrt{3} & & & & & \\ \hline \end{array}$

2) Répondre par vrai ou faux

$\dfrac{5}{4}\in\mathbb{D}\;,\ -2\in\mathbb{Q}\;,\ 6.13\in\mathbb{D}\;,\ \sqrt{7}\in\mathbb{Q}$

$\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\;,\ \mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\;,\ \mathbb{N}\subset\mathbb{D}$

I.1 Définition

Soient les ensembles de nombres suivants :

$\mathbb{N}$ : ensembles des entiers naturels

$\mathbb{Z}$ : ensembles des entiers relatifs

$\mathbb{D}$ : ensembles des nombres décimaux

$\mathbb{Q}$ : ensembles des nombres rationnels

$\mathbb{R}$ : ensembles des nombres réels

I.2 Propriété

Nous avons :

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

II. Puissance

II.1 Définition

On appelle puissance

$n^{ième}$ d'un nombre

$a$ , le nombre noté

$a^{n}$ et qui est défini par :

$\centerdot\ \ n=0\qquad\qquad a^{0}=1$

$\centerdot\ \ n=1\qquad\qquad a^{1}=a$

$\centerdot\ \$ si

$n>0\$ alors,

$\ a^{n}=\underbrace{a\times a \ldots\times a}_{n\ \mathrm{fois}}$

$\centerdot\ \$ si

$n<0\$ alors,

$\ a^{n}=\dfrac{1}{\underbrace{a\times a \ldots\times a}_{n\ \mathrm{fois}}}$

$\centerdot\ \ -a^{n}=-(\underbrace{a\times a \ldots\times a}_{n\ \mathrm{fois}})$ ; l'exposant

$n$ concerne le

$a$

$\centerdot\ \ (-a)^{n}=\underbrace{(-a)\times (-a) \ldots\times (-a)}_{n\ \mathrm{fois}}$

$\centerdot\ \ (-a)^{n}=a^{n}\$ si

$n$ est pair

$\centerdot\ \ (-a)^{n}=-a^{n}\$ si

$n$ est impair

II.2 Propriétés

Soient

$a,\ b\in\mathbb{R}$ et

$n$ un entier relatif. Nous avons :

$\centerdot\ \ (ab)^{n}=a^{n}\times(b)^{n}$

$\centerdot\ \ a^{n}\times a^{m}=a^{n+m}$

$\centerdot\ \ (a^{n})^{m}=a^{n\times m}$

$\centerdot\ \ a^{n}=\dfrac{1}{a^{-n}}\ ;\qquad a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$

$\centerdot\ \ \dfrac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$

$\centerdot\ \ b\not=0;\ \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$

Exercice d'application

Écrire les réels suivants sous la forme de produits de puissance de nombres premiers

$A=32\;,\quad B=-54^{4}\;,\quad C=\dfrac{0.16\times 2700000}{50}\;,\quad D=\dfrac{81^{3}\times 64^{2}}{36^{5}}\;,\quad E=\left(2^{3}\right)^{5}\times\left(\dfrac{3}{5}\right)^{3}\times 25\times 7^{3}$

Résolution

$\begin{array}{rcl} A &=& 32\\ \\&=& 2\times 2\times 2\times 2\times 2\\ \\&=& 2^{5}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} B &=& -54^{4} \\ \\&=& -\left(2\times 3^{3}\right)^{4}\\ \\&=& -2^{4}\times 3^{12}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{0.16\times 2700000}{50}\\ \\&=&\dfrac{4^{2}\times 10^{-2}\times 3^{3}\times 10^{5}}{5\times 10^{1}} \\ \\&=& \left(2^{2}\right)^{2}\times 3^{3}\times 10^{-2}\times 10^{5}\times 10^{-1}\times 5^{-1} \\ \\ &=& 2^{4}\times 3^{3}\times 10^{2}\times 5^{-1} \\ \\ &=& 2^{4}\times 3^{3}\times 2^{2}\times 5^{2}\times 5^{-1} \\ \\ &=& 2^{6}\times 3^{3}\times 5^{1} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} D&=&\dfrac{81^{3}\times 64^{2}}{36^{5}}\\ \\&=&\dfrac{\left(9^{2}\right)^{3}\times \left(2^{6}\right)^{2}}{\left(6^{2}\right)^{5}} \\ \\ &=& \dfrac{9^{6}\times 2^{12}}{6^{10}} \\ \\ &=& \dfrac{\left(3^{2}\right)^{6}\times 2^{12}}{2^{10}\times 3^{10}} \\ \\ &=& \dfrac{3^{12}\times 2^{12}}{2^{10}\times 3^{10}} \\ \\ &=& 3^{12}\times 2^{12}\times 2^{-10}\times 3^{-10} \\ \\ &=& 3^{2}\times 2^{2}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} E &=& \left(2^{3}\right)^{5}\times\left(\dfrac{3}{5}\right)^{3}\times 25\times 7^{3} \\ \\ &=& 2^{3\times 5}\times\dfrac{3^{3}}{5^{3}}\times 5^{2}\times 7^{3} \\ \\ &=& 2^{15}\times 3^{3}\times 5^{-1}\times 7^{3} \end{array}$

II.3 Égalités remarquables

$\forall\;a,\ b\in\mathbb{R}$ , nous avons les expressions suivantes appelées égalités remarquables :

$\centerdot\ \ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

$\centerdot\ \ (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

$\centerdot\ \ (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

$\centerdot\ \ (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$

$\centerdot\ \ a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

$\centerdot\ \ a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

Exercice d'application

a) Développer les expressions suivantes

$A=\left(2x^{2}-4y\right)^{2}$

$B=\left(2x^{2}y-3z\right)^{3}$

b) Factoriser

$C=\left(4a^{2}+b^{2}-9\right)^{2}-16a^{2}b^{2}$

Résolution

a) Développons

$\begin{array}{rcl} A &=& \left(2x^{2}-4y\right)^{2}\\ \\&=& \left(2x^{2}\right)^{2}-2\left(2x^{2}\right)\left(4y\right)+(4y)^{2}\\ \\&=& 4x^{4}-16x^{2}y+16y^{2}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} B &=& \left(2x^{2}y-3z\right)^{3}\\ \\&=& \left(2x^{2}y\right)^{3}-3\left(2x^{2}y\right)^{2}(3z)+3(2x^{2}y)(3z)^{2}-(3z)^{3}\\ \\&=& 8x^{6}y^{3}-36x^{4}y^{2}z+54x^{2}yz^{2}-9z^{3}\end{array}$

b) Factorisons

$\begin{array}{rcl} C &=& \left(4a^{2}+b^{2}-9\right)^{2}-16a^{2}b^{2}\\ \\&=& \left(4a^{2}+b^{2}-9-4ab\right)\left(4a^{2}+b^{2}-9+4ab\right)\\ \\&=& \left[\left(4a^{2}-4ab+b^{2}\right)-9\right]\left[\left(4a^{2}+4ab+b^{2}\right)-9\right] \\ \\&=& \left[(2a-b)^{2}-9\right]\left[(2a+b)^{2}-9\right]\\ \\&=& (2a-b-3)(2a-b+3)(2a+b-3)(2a+b+3)\end{array}$

III. Racines carrés

Activité

1) Écrire les nombres suivants sans radicaux au dénominateur

$\dfrac{2}{\sqrt{3}-3}$ ;

$\quad \dfrac{7}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ ;

$\quad \dfrac{3}{\sqrt{6}}$

2) On donne

$a=\sqrt{9-4\sqrt{5}}+\sqrt{9+4\sqrt{5}}$ ;

$\quad b=\sqrt{7-4\sqrt{3}}-\sqrt{7+4\sqrt{3}}$

Calculer

$a^{2}$ et

$b^{2}$ . En déduire une expression simplifiée de

$a$ et

$b$ .

3) Déterminer

$a$ ,

$\ b$ et

$c$ pour que

$\sqrt{7+\sqrt{a}}=3$ ;

$\quad\sqrt{b+\sqrt{36}}=7$ ;

$\quad\sqrt{77}+\sqrt{11+\sqrt{25}}=c$

4) Résoudre

$x^{2}=3-2\sqrt{2}$ ;

$\quad x^{2}=-9$

5) Montrer que

$a>0$ ,

$\quad b>0$ ,

$\quad a>b$

$\left(\sqrt{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}}+\sqrt{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}}}\right)^{2}=2(a+b)$

III.1 Définition

On appelle racine carrée d'un nombre réel positif

$a$ le réel noté

$\sqrt{a}$ dont le carré est égal à

$a$ .

III.2 Propriétés

$\centerdot\ \ (\sqrt{a})^{2}=a$

$\centerdot\ \ \sqrt{a^{2}}=|a|$

$\centerdot\ \ a\geq 0\ ,\ b\geq 0\ ;\qquad \sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$

$\centerdot\ \ a\geq 0\ ,\ b>0\ ;\qquad \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

$\centerdot\ \ x^{2}=a\$ avec

$a$ positif

$\Rightarrow\ x=\sqrt{a}\$ ou

$x=-\sqrt{a}$

Attention :

$\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b};\qquad$

$\forall a>0,\ b>0$

IV. Valeur absolue

Activité

1) Écrire sans le symbole de la valeur absolue

$|\sqrt{5}-2|\,$ ;

$\quad|\sqrt{3}-2|\,$ ;

$\quad|1+\sqrt{3}2\sqrt{2}|$

2) Déterminer

$x$ pour que

$|x|=3\,$ ;

$\quad|x|=-2\,$ ;

$\quad|x|<4\,$ ;

$\quad|x|>7\,$ ;

$\quad|x|=0\,$ ;

$\quad|x|<-2\,$

IV.1 Définition

On appelle valeur absolue d'un nombre réel

$a$ , le réel noté

$|a|=\left\lbrace\begin{array}{ll} a & \text{si }a\geq 0\\ -a & \text{si }a\leq 0 \end{array} \right.$

IV.2 Propriétés

Soient

$a,\ b,\ k\in\mathbb{R}$ ,

$x$ un nombre quelconque. On a :

$\centerdot\ \ k>0$

$\cdot\ \ |x|=k\ \Leftrightarrow\ x=k\ \mbox{ ou }\ x=-k\ \Leftrightarrow\ x\in\{k;\ -k\}$

$\cdot\ \ |x|\leq k\ \Leftrightarrow\ -k\leq x\leq k\ \Leftrightarrow\ x\in[-k;\ k]$

$\cdot\ \ |x|\geq k\ \Leftrightarrow\ x\geq k\ \mbox{ou}\ x\leq -k\ \Leftrightarrow\ x\in]-\infty;\ -k]\cup[k;\ +\infty[$

$\centerdot\ \ k<0$

$\cdot\ \ |x|=k\;;\ \mbox{ impossible }\ S=\emptyset$

$\cdot\ \ |x|\leq k\;;\ \mbox{ impossible }\ S=\emptyset$

$\centerdot\ \ |a|=|b|\ \Leftrightarrow\ a=b\ \mbox{ ou }\ a=-b$

$\centerdot\ \ |ab|=|a|\cdot|b|$

$\centerdot\ \ b\not=0\;;\ \ \left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}$

$\centerdot\ \ |a^{n}|=|a|^{n}$

$\centerdot\ \ |a^{2}|=|a|^{2}=a^{2}$

$\centerdot\ \ \sqrt{x^{2}}=|x|$

$\centerdot\ \ |a+b|\leq|a|+|b|$

Exercice d'application

1) Dans chacun des cas suivants, écrire les fonctions sans le symbole de la valeur absolue

$f(x)=|2x-3|$

$g(x)=|x-2|-3|x+5|$

2) Résoudre dans

$\mathbb{R}$

$f(x)=1$

$g(x)=-2x+7$

$1\leq f(x)\leq 4$

$\left|\dfrac{x+3}{x}\right|>-1$

Résolution

1) a)

$f(x)=|2x-3|$

On a :

$2x-3=0\ \Leftrightarrow\ x=\dfrac{3}{2}$

Soit le tableau de signes suivant :

$\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x&-\infty& &3/2& &+\infty \\ \hline 2x-3& &-&|&+& \\ \hline |2x-3|& &-2x+3&|&2x-3& \\ \hline\end{array}$

Donc on obtient :

$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcccc} -2x+3&\text{si}&x&\leq&\dfrac{3}{2} \\ \\ 2x-3&\text{si}&x&\geq&\dfrac{3}{2} \end{array}\right.$

$g(x)=|x-2|-3|x+5|$

On a :

$x-2=0\ \Leftrightarrow\ x=2\quad\text{et}\quad x+5=0\ \Leftrightarrow\ x=-5$

Tableau de signes

$\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline x&-\infty& &-5& &2& &+\infty \\ \hline x-2& &-&|&-&|&+& \\ \hline |x-2|& &-x+2&|&-x+2&|&x-2& \\ \hline x+5& &-&|&+&|&+& \\ \hline |x+5|& &-x-5&|&x+5&|&x+5& \\ \hline\end{array}$

Donc,

sur

$]-\infty\;,\ -5]\;,\quad g(x)=-x+2-3x-15=-4x-13$

sur

$[-5\;,\ 2]\;,\quad g(x)=-x+2+3x+15=2x+17$

sur

$[2\;,\ +\infty[\;,\quad g(x)=x-2+3x+15=4x+13$

2) a)

$\begin{array}{rcl} f(x)=1 &\Leftrightarrow& |2x-3|=1\\ \\ &\Leftrightarrow& 2x-3=1\ \text{ ou }\ 2x-3=-1\\ \\ &\Leftrightarrow& 2x=4\ \text{ ou }\ 2x=2\\ \\ &\Leftrightarrow& x=2\ \text{ ou }\ x=1\end{array}$

$S=\{1\;,\ 2\}$

b) Résolvons

$g(x)=-2x+7$

Sur

$]-\infty\;,\ -5]$ on a

$g(x)=-4x-13$

alors,

$\begin{array}{rcl} g(x)=-2x+7 &\Leftrightarrow& -4x-13=-2x+7\\ \\ &\Leftrightarrow& -2x=20\\ \\ &\Leftrightarrow& x=-10\in\;]-\infty\;,\ -5]\end{array}$

Donc,

$S_{1}=\{-10\}$

Sur

$[-5\;,\ 2]$ , on a

$g(x)=2x+17$

alors,

$\begin{array}{rcl} g(x)=-2x+7 &\Leftrightarrow& 2x+17=-2x+7\\ \\ &\Leftrightarrow& 4x=-10\\ \\ &\Leftrightarrow& x=-\dfrac{10}{4}=-\dfrac{5}{2}\in[-5\;,\ 2]\end{array}$

Donc,

$S_{2}=\left\{-\dfrac{5}{2}\right\}$

Sur

$[2\;,\ +\infty[$ , on a

$g(x)=4x+13$

alors,

$\begin{array}{rcl} g(x)=-2x+7 &\Leftrightarrow& 4x+13=-2x+7\\ \\ &\Leftrightarrow& 6x=-6\\ \\ &\Leftrightarrow& x=-1\notin[2\;,\ +\infty[\end{array}$

Donc,

$S_{3}=\emptyset$

D'où,

$S=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}=\left\{-10\;,\ -\dfrac{5}{2}\right\}$

$1\leq f(x)\leq 4$

On a :

$\begin{array}{rcl} 1\leq f(x)\leq 4 &\Leftrightarrow& f(x)\geq 1\ \text{ et }\ f(x)\leq 4\\ \\ &\Leftrightarrow& |2x-3|\geq 1\ \text{ et }\ |2x-3|\leq 4\\ \\ &\Leftrightarrow& (2x-3\geq 1\ \text{ ou }\ 2x-3\leq -1)\ \text{ et }\ (-4\leq 2x-3\leq 4)\\ \\ &\Leftrightarrow& \left(x\geq 2\ \text{ ou }\ x\leq 1\right)\ \text{ et }\ \left(-\dfrac{1}{2} \leq x\leq \dfrac{7}{2} \right)\\ \\ &\Leftrightarrow& x\in\;]-\infty\;,\ 1]\cup[2\;,\ +\infty[ \ \text{ et }\ x\in\left[-\dfrac{1}{2}\;,\ \dfrac{7}{2}\right]\end{array}$

Donc,

$S=\left[-\dfrac{1}{2}\;,\ 1\right]\cup\left[2\;,\ \dfrac{7}{2}\right]$

$\left|\dfrac{x+3}{x}\right|>-1$

On a :

$\forall\;x\neq 0\;,\ \left|\dfrac{x+3}{x}\right|$ est toujours positive donc supérieure à -1.

Donc,

$S=\mathbb{R}\setminus\{0\}=\;]-\infty\;,\ 0[\cup]0\;,\ +\infty[$

III.3 Distance sur une droite et intervalles de $\mathbb{R}$

III.3.1 Définition

Soit

$(x'Ox)$ un axe gradué.

$M$ et

$N$ deux points d'abscisses respectives

$x$ et

$y$ . On appelle distance entre les points

$M$ et

$N$ , le nombre positif noté

$d(M,\ N)$ vérifiant :

$d(M,\ N)=MN=d(x,\ y)=|x-y|$

$|x|$ est la distance entre

$M$ d'abscisse

$x$ et le point

$O$ d'abscisse 0;

$MO=d(M\;,\ O)=d(x\;,\ 0)=|x-0|=|x|$ .

III.3.2 Propriétés

Soient

$x\;,\ y$ et

$a$ trois nombre réels, et

$r\in\mathbb{R}_{+}$ . On a :

$\centerdot\ \ d(x\;,\ y)=d(y\;,\ x);\qquad\qquad (|x-y|=|y-x|)$

$\begin{array}{ccl}\centerdot\ \ d(x\;,\ a)=r&\Leftrightarrow&|x-a|=r\\ \\&\Leftrightarrow&x-a=r\ \mbox{ ou }\ x-a=-r \\ \\&\Leftrightarrow&x=a+r\ \mbox{ ou }\ x=a-r\\ \\&\Leftrightarrow&x\in\{a-r\;;\ a+r\}\end{array}$

$\begin{array}{ccl}\centerdot\ \ d(x\;,\ a)\leq r&\Leftrightarrow&|x-a|\leq r\\ \\&\Leftrightarrow&-r\leq x-a\leq r \\ \\&\Leftrightarrow&a-r\leq x\leq a+r\\ \\&\Leftrightarrow&x\in[a-r\;;\ a+r]\end{array}$

Exemple

Soient

$A$ et

$B$ deux points sur une droite graduée tels que

$x_{A}=-4$ et

$y_{B}=3.$

Donner la distance entre

$A$ et

$B.$

On a

$d(A\;,\ B)=|x_{B}-x_{A}|=|3-(-4)|=7$

III.3.3 Intervalles dans $\mathbb{R}$

$-\$ Intervalles bornés

Soient

$a$ et

$b$ deux réels tels que

$a<b.$

L'ensemble des réels compris entre

$a$ et

$b$ est un intervalle borné.

$\begin{array}{ccl} \text{Notation}& &\text{Inégalité}\\ & & \\ [a\;;\ b]& &a\leq x\leq b \\ ]a\;;\ b[& &a<x<b \\ ]a\;;\ b]& &a<x\leq b \\ [a\;;\ b[& &a\leq x<b \end{array}$

Ces intervalles sont bornés ;

$a$ et

$b$ sont les bornes.

$-\$ Centre et rayon d'un intervalle borné

Soit

$x_{0}\in[a;\ b]\;;\ x_{0}=\dfrac{a+b}{2}$ , alors

$x_{0}$ est appelé centre de l'intervalle et le réel noté

$r=\dfrac{b-a}{2}$ est le rayon.

$-\$ Intervalles non bornés

$\begin{array}{ccl} \text{Notation}& &\text{Inégalité}\\ & & \\ ]-\infty\;;\ a]& &x\leq a \\ ]-\infty\;;\ a[& &x<a \\ ]a\;;\ +\infty[& &x>a \\ [a\;;\ +\infty[& &x\geq a \end{array}$

$-\$ Réunion et Intersection d'intervalles

Exemple

Soient

$I$ et

$J$ deux intervalles de

$\mathbb{R}.$

Déterminer

$I\cap J$ et

$I\cup J$ dans chacun des cas suivants :

$I=[-2\;;\ 6]\qquad J=[-3\;;\ +\infty[$

$I=]-\infty\;;\ 7]\qquad J=\left[-\dfrac{4}{5}\;;\ +\infty\right[$

$I=]-1\;;\ 4]\qquad J=[5\;;\ 10]$

Résolution

Remarques :

Pour l'intersection on hachure les parties non solutions

Pour la réunion on hachure les parties solutions

$I\cap J=[-2\;;\ 6]$

$[-2\;;\ 6]\subset[-3\;;\ +\infty[$ alors

$I\cup J=[-3\;;\ +\infty[$

$I\cap J=\left[-\dfrac{4}{5}\;;\ 7\right]$

$I\cup J=\mathbb{R}=]-\infty\;;\ +\infty[$

$I\cap J=\emptyset$

$I\cup J=]-1\;;\ 4]\cup[5\;;\ 10]$

V. Ordre et encadrement

V.1 Définition

Soient

$a$ et

$b$ deux nombres réels. On a :

$\centerdot\ \ a\leq b\ \Leftrightarrow\ a-b\leq 0\ \mbox{ ou }\ b-a\geq 0$

$\centerdot\ \ a>b\ \Leftrightarrow\ a-b>0\ \mbox{ ou }\ b-a<0$

V.2 Propriétés

$a$ ,

$b$ et

$c$ trois nombres réels, alors on a :

$\centerdot\ \$ si

$a\leq b\$ et

$\ b\leq a\$ alors,

$\ a=b$

$\centerdot\ \$ si

$a\leq b\$ et

$\ b\leq c\$ alors,

$\ a\leq c$

$\centerdot\ \$ si

$a\leq b\ \forall c\in\mathbb{R};\ \ a+c\leq b+c\$

$\centerdot\ \$ si

$a>0$ ,

$\ b>0\$ alors

$\ a\geq b\ \Leftrightarrow\ a^{2}\geq b^{2}$

$\centerdot\ \$ si

$a<0$ ,

$\ b<0\$ alors

$\ a\geq b\ \Leftrightarrow\ a^{2}\leq b^{2}$

$\centerdot\ \$ si

$a>0$ et

$k>0\$ alors,

$\ ka\geq kb$

$\centerdot\ \$ si

$a>0$ et

$k<0\$ alors,

$\ ka\leq kb$

$\centerdot\ \$ si

$0<a<b\$ alors,

$\ \dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$

$\centerdot\ \$ si

$a<b<0\$ alors,

$\ \dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$

$\centerdot\ \$ si

$a\leq x\leq b$ et

$c\leq y\leq d\$ avec

$a\;,\ b\;,\ c$ et

$d$ des réels strictement positifs alors on a :

$ac\leq xy\leq bd$

Exercice d'application

1) Sachant que

$2<x<9\quad 3<y<6$ , encadrer

$x+y\;;\ x-y\;;\ \dfrac{x}{y}\;;\ x^{2}$

2) Sachant que

$3\leq x\leq 5\quad -4\leq y\leq -1$ , encadrer

$x-y\;;\ \dfrac{x}{y}\;;\ xy\;;\ y^{2}$

3) Encadrer

$2z\;;\ -3z\;;\ z^{2}$ sachant que

$-9<z<5$

Résolution

1) Encadrons

$x+y$

On a :

$\begin{array}{rcrclcl} 2<x<9\quad\text{et}\quad 3<y<6 &\Rightarrow& 2+3&<&x+y&<&9+6 \\ &\Rightarrow& 5&<&x+y&<&15 \end{array}$

Encadrons

$x-y$

On a :

$\begin{array}{rcrclcl} 3<y<6 &\Rightarrow& -6&<&-y&<&-3 \\ \\&\Rightarrow& 2-6&<&x-y&<&9-3 \\ \\&\Rightarrow& -4&<&x-y&<&6 \end{array}$

Encadrons

$\dfrac{x}{y}$

On a :

$\begin{array}{rcrclcl} 3<y<6 &\Rightarrow& \dfrac{1}{3}&>&y&>&\dfrac{1}{6} \\ \\&\Rightarrow& \dfrac{2}{6}&<&\dfrac{x}{y}&<&\dfrac{9}{3} \\ \\&\Rightarrow& \dfrac{1}{3}&<&\dfrac{x}{y}&<&3 \end{array}$

Encadrons

$x^{2}$

On a :

$\begin{array}{rcrclcl} 2<x<9 &\Rightarrow& 2^{2}&<&x^{2}&<&9^{2} \\ \\&\Rightarrow& 4&<&x^{2}&<&81 \end{array}$

2) Sachant que

$3\leq x\leq 5\quad -4\leq y\leq -1$ , encadrons

$x-y$

On a :

$\begin{array}{rcrclcl} -4\leq y\leq -1 &\Rightarrow& 1&\leq& -y&\leq& 4 \\ \\&\Rightarrow& 3+1&\leq& x-y&\leq& 5+4 \\ \\&\Rightarrow& 4&\leq& x-y&\leq& 9 \end{array}$

Encadrons

$xy$

On a :

$\begin{array}{rcrclcl} -4\leq y\leq -1 &\Rightarrow& 1&\leq& -y&\leq& 4 \\ \\&\Rightarrow& 3\times 1&\leq& -xy&\leq& 5\times 4 \\ \\&\Rightarrow& 3&\leq& -xy&\leq& 20 \\ \\&\Rightarrow& -20&\leq& xy&\leq& -3 \end{array}$

Encadrons

$y^{2}$

On a :

$\begin{array}{rcrclcl} -4\leq y\leq -1 &\Rightarrow&1&\leq& -y&\leq& 4 \\ \\&\Rightarrow& 1^{2}&\leq &(-y)^{2}&\leq& 4^{2} \\ \\&\Rightarrow& 1&\leq& y^{2}&\leq& 16 \end{array}$

Encadrons

$\dfrac{x}{y}$

On a :

$\begin{array}{rcrclcl} -4\leq y\leq -1 &\Rightarrow& \dfrac{1}{-1}&\leq&\dfrac{1}{y}&\leq& \dfrac{1}{-4} \\ \\&\Rightarrow& \dfrac{1}{4}&\leq&\dfrac{-1}{y}&\leq& \dfrac{1}{1} \\ \\&\Rightarrow& \dfrac{3}{4}&\leq&\dfrac{-x}{y}&\leq& \dfrac{5}{1} \\ \\&\Rightarrow& -\dfrac{5}{1}&\leq&\dfrac{x}{y}&\leq& -\dfrac{3}{4} \\ \\&\Rightarrow& -5&\leq&\dfrac{x}{y}&\leq& -\dfrac{3}{4} \end{array}$

3) Encadrons

$2z\;;\ -3z\;;\ z^{2}$

On a :

$-9<z<5\ \Rightarrow\ -18<2z<10$

$-9<z<5\ \Rightarrow\ -15<-3z<27$

$-9<z<5\ \Rightarrow\ 0\leq z^{2}<81$

VI. Valeur approchée - notation scientifique

VI.1 Définition

$\centerdot\ \$ On dit que

$a$ est une valeur approchée de

$x$ à

$\epsilon$ près si et seulement si

$a-\epsilon\leq x\leq a+\epsilon$

c'est-à-dire

$|x-a|\leq\epsilon$ .

$\centerdot\ \$ On dit que

$a$ est une valeur approchée par défaut de

$x$ à

$\epsilon$ près si, et seulement si,

$a\leq x\leq a+\epsilon$

$\centerdot\ \$ On dit que

$a$ est une valeur approchée par excès de

$x$ à

$\epsilon$ près si, et seulement si,

$a-\epsilon\leq x\leq a$

Exemple

1) Donner un encadrement de

$x$ dans les cas suivants :

$40.5$ est une valeur approchée à

$10^{-1}$ près de

$x.$

$40.5$ est une valeur approchée à

$10^{-2}$ près de

$x.$

$40.5$ est une valeur approchée à

$5.10^{-2}$ près de

$x.$

2) Donner un encadrement de

$x-y\;;\ xy$ sachant que

$2.21$ est une valeur approchée de

$x$ à 0.1 près et

$-4\leq y\leq -1.$

Résolution

1) a)

$\begin{array}{ccccc} 40.5-0.1&\leq&x&\leq&40.5+0.1 \\ \\40.4&\leq&x&\leq&40.6\end{array}$

$\begin{array}{ccccc} 40.5-0.01&\leq&x&\leq&40.5+0.01 \\ \\40.49&\leq&x&\leq&40.51\end{array}$

$\begin{array}{ccccc} 40.5-0.05&\leq&x&\leq&40.5+0.05 \\ \\40.45&\leq&x&\leq&40.55\end{array}$

2) On a :

$-4\leq y\leq -1\ \Rightarrow\ 1\leq -y\leq 4$

Alors,

$\begin{array}{ccccc} 2.21-0.1&\leq&x&\leq&2.21+0.1 \\ \\2.11&\leq&x&\leq&2.31 \\ \\2.11+1&\leq&x-y&\leq&2.31+4 \\ \\3.11&\leq&x-y&\leq&6.31\end{array}$

Donc,

$3.11\leq x-y\leq 6.31$

$\begin{array}{ccccc} 2.11\times 1&\leq&-xy&\leq&2.31\times 4 \\ \\2.11&\leq&-xy&\leq&9.24 \\ \\-9.24&\leq&xy&\leq&2.11\end{array}$

Donc,

$-9.24\leq xy\leq 2.11$

$\centerdot\ \ \epsilon$ est appelé incertitude.

En effet,

$a$ est une valeur approchée de

$x$ à

$\epsilon$ près donc en remplaçant

$x$ par

$a$ on commet une erreur

$\Delta x=x-a.$ L'incertitude est un majorant de la valeur de l'erreur

$|\Delta x|=|x-a|<\epsilon$

Exemple

$x=\dfrac{4}{3}$

On a

$1.33<\dfrac{4}{3}<1.34$ c'est à dire

$\dfrac{4}{3}\in\;]1.33\;;\ 1.34[$

Donc

$\left|\dfrac{4}{3}-1.33\right|<10^{-2}$

$10^{-2}$ est l'incertitude.

$\centerdot\ \ \forall\;x\in\mathbb{R}$ il existe un entier relatif

$(b\in\mathbb{Z})$ et un seul tel que

$b\leq x\leq b+1$

$b$ s'appelle la partie entière de

$x$ . On note

$E(x)=b$

$\centerdot\ \$ Soit

$x$ un réel,

$n\in\mathbb{N}$ ,

$b$ la partie entière de

$x.10^{n}$ alors

$b.10^{-n}\leq x\leq(b+1)10^{-n}$ est un encadrement de

$x$ à

$10^{-n}$ près.

$b.10^{-n}$ est appelé approximation décimale de

$x.$

Exemple

Soit

$x=3.124124124124$ , donner une approximation de

$x$ à l'ordre 3.

On a :

$\begin{array}{rcl} x.10^{3}=3124.124124124 &\Rightarrow& E(x.10^{3})=3124\\ \\ &\Rightarrow& 3124\leq x.10^{3}\leq 3125\\ \\ &\Rightarrow& 3124\times 10^{-3}\leq x.10^{3}\times 10^{-3}\leq 3125\times 10^{-3}\\ \\ &\Rightarrow& 3.124\leq x\leq 3.125\end{array}$

$3.124$ est donc une approximation décimale de

$x$ à l'ordre 3.

VI.2 Notation scientifique

La notation scientifique d'un nombre réel

$x$ est l'écriture de

$x$ sous la forme

$a.10^{p}$ où

$1\leq a\leq 10$ et

$p\in\mathbb{Z}.$

Exemple

On donne les écritures scientifiques de

$2\,543\;;\ 6\,000\;;\ 0.0064\;;\ 29.77$

On a :

$2543=2.543\;10^{3}\;;\quad 6000=6\;10^{3}$

$0.0064=6.4\;10^{-3}\;;\quad 29.77=2.977\;10^{1}$

Auteur:

Diny Faye & Seyni Ndiaye

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

sam, 10/20/2018 - 11:08

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Tres intéressant

répondre

Pathé (non vérifié)

mar, 08/27/2019 - 16:51

Permalien

Très important

répondre

Anonyme (non vérifié)

sam, 11/02/2019 - 02:18

Permalien

Impressionant

répondre

Anonyme (non vérifié)

ven, 11/29/2019 - 17:16

Permalien

Très important

répondre

Bassirou gueye (non vérifié)

lun, 11/23/2020 - 23:05

Permalien

Pour mieux comprendre

répondre

Bassirou gueye (non vérifié)

lun, 11/23/2020 - 23:07

Permalien

J'aimerai bien de travailler

J'aimerai bien de travailler avec vous pour mieux comprendre

répondre

Bassirou Gueye (non vérifié)

mar, 11/24/2020 - 23:24

Permalien

Calcul dans R

Rien que pour travailler

répondre

Mouhamadou lami... (non vérifié)

mar, 12/01/2020 - 15:56

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Très intéressant . Merci

répondre

Anonyme (non vérifié)

dim, 02/28/2021 - 00:13

Permalien

Calcul dans R

répondre

Ndeye Fatou Ndiaye (non vérifié)

lun, 10/18/2021 - 18:28

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merici beaucoup

répondre

Moussa Sow (non vérifié)

mar, 05/31/2022 - 19:53

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Bonjour pourquoi il n y a

Bonjour pourquoi il n y a plus le slogan permettant de télécharger les leçons .Et j'ai pas l'argent pour acheter de la connexion pour voir certains documents dans le site .Voulant percer dans la science et voir même les difficultés dans certains leçons j'ai besoin de suunu daara .A part le professeur à l'école il n y que moi.SVP

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Anonyme (non vérifié)

ven, 10/28/2022 - 15:15

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c bien

répondre

Anonyme (non vérifié)

dim, 11/06/2022 - 20:34

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Merci

répondre

dièye (non vérifié)

mer, 06/07/2023 - 15:44

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vous pouvez mettre pour

vous pouvez mettre pour télécharger les slogans. svp

répondre

dièye (non vérifié)

mer, 06/07/2023 - 15:44

Permalien

vous pouvez mettre pour

vous pouvez mettre pour télécharger les slogans. svp

répondre

mayé faye (non vérifié)

ven, 10/13/2023 - 19:53

Permalien

merci beaucoup

répondre

mayé faye (non vérifié)

ven, 10/13/2023 - 21:29

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eleve

merci pour le travaille

répondre

Sadaga Manel Fall (non vérifié)

mar, 10/17/2023 - 21:26

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Merci

Merci beaucoup

répondre

Anonyme (non vérifié)

mer, 10/18/2023 - 15:30

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Maths 2S

répondre

Anonyme (non vérifié)

mer, 10/18/2023 - 15:31

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Ok

répondre

Serge Herman Sossou (non vérifié)

sam, 10/28/2023 - 23:30

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Très intéressant

répondre

Mouhamed pam (non vérifié)

mar, 11/07/2023 - 20:28

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Le contenue est riche

répondre

Sassy (non vérifié)

sam, 10/12/2024 - 16:58

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Il y'a un erreur au niveau du

Il y'a un erreur au niveau du développement de A .... .. . . . . . . . . ...... . . .

répondre

Anonyme (non vérifié)

jeu, 11/07/2024 - 18:00

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au niveau du développement de

au niveau du développement de A tout en haut vous avez commis une erreur car ce n'est pas -36x exposant 4 mais plutôt exposant 5 car il y a le (x²)² qui donne x exposant 4 et l'autre qui vient du 3x ainsi on aura x exp 4 * x exp 1 qui donne x exp5

répondre

Djimranodji maxime (non vérifié)

jeu, 11/21/2024 - 06:25

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Comment télécharger le cour

Comment télécharger le cour dans ce site?

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III.3.1 Définition

III.3.2 Propriétés

Exemple

III.3.3 Intervalles dans R\mathbb{R}

Exemple

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Remarques :

V. Ordre et encadrement

V.1 Définition

V.2 Propriétés

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VI.1 Définition

Exemple

Résolution

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III.3.3 Intervalles dans $\mathbb{R}$