Calcul dans R - 2nd
Classe:
Seconde
I. Ensemble de nombres
Activité
1) Remplir le tableau suivant en mettant des croix si l'élément appartient à l'ensemble.
NZDQR0−21.40.4π1335√3
2) Répondre par vrai ou faux
54∈D, −2∈Q, 6.13∈D, √7∈Q
Z⊂Q, Q⊂D, N⊂D
I.1 Définition
Soient les ensembles de nombres suivants :
N : ensembles des entiers naturels
Z : ensembles des entiers relatifs
D : ensembles des nombres décimaux
Q : ensembles des nombres rationnels
R : ensembles des nombres réels
I.2 Propriété
Nous avons : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R
II. Puissance
II.1 Définition
On appelle puissance nième d'un nombre a, le nombre noté an et qui est défini par :
⋅ n=0a0=1
⋅ n=1a1=a
⋅ si n>0 alors, an=a×a…×a⏟n fois
⋅ si n<0 alors, an=1a×a…×a⏟n fois
⋅ −an=−(a×a…×a⏟n fois) ; l'exposant n concerne le a
⋅ (−a)n=(−a)×(−a)…×(−a)⏟n fois
⋅ (−a)n=an si n est pair
⋅ (−a)n=−an si n est impair
II.2 Propriétés
Soient a, b∈R et n un entier relatif. Nous avons :
⋅ (ab)n=an×(b)n
⋅ an×am=an+m
⋅ (an)m=an×m
⋅ an=1a−n ;a−n=1an
⋅ anam=an−m
⋅ b≠0; (ab)n=anbn
Exercice d'application
Écrire les réels suivants sous la forme de produits de puissance de nombres premiers
A=32,B=−544,C=0.16×270000050,D=813×642365,E=(23)5×(35)3×25×73
A=32,B=−544,C=0.16×270000050,D=813×642365,E=(23)5×(35)3×25×73
Résolution
A=32=2×2×2×2×2=25
B=−544=−(2×33)4=−24×312
C=0.16×270000050=42×10−2×33×1055×101=(22)2×33×10−2×105×10−1×5−1=24×33×102×5−1=24×33×22×52×5−1=26×33×51
D=813×642365=(92)3×(26)2(62)5=96×212610=(32)6×212210×310=312×212210×310=312×212×2−10×3−10=32×22
E=(23)5×(35)3×25×73=23×5×3353×52×73=215×33×5−1×73
II.3 Égalités remarquables
∀a, b∈R, nous avons les expressions suivantes appelées égalités remarquables :
⋅ (a+b)2=a2+2ab+b2
⋅ (a−b)2=a2−2ab+b2
⋅ (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
⋅ (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
⋅ a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
⋅ a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
Exercice d'application
a) Développer les expressions suivantes
A=(2x2−4y)2
B=(2x2y−3z)3
b) Factoriser
C=(4a2+b2−9)2−16a2b2
Résolution
a) Développons
A=(2x2−4y)2=(2x2)2−2(2x2)(4y)+(4y)2=4x4−16x2y+16y2
B=(2x2y−3z)3=(2x2y)3−3(2x2y)2(3z)+3(2x2y)(3z)2−(3z)3=8x6y3−36x4y2z+54x2yz2−9z3
b) Factorisons
C=(4a2+b2−9)2−16a2b2=(4a2+b2−9−4ab)(4a2+b2−9+4ab)=[(4a2−4ab+b2)−9][(4a2+4ab+b2)−9]=[(2a−b)2−9][(2a+b)2−9]=(2a−b−3)(2a−b+3)(2a+b−3)(2a+b+3)
III. Racines carrés
Activité
1) Écrire les nombres suivants sans radicaux au dénominateur
2√3−3; 7√6−√2; 3√6
2) On donne a=√9−4√5+√9+4√5; b=√7−4√3−√7+4√3
Calculer a2 et b2. En déduire une expression simplifiée de a et b.
3) Déterminer a, b et c pour que
√7+√a=3; √b+√36=7; √77+√11+√25=c
4) Résoudre x2=3−2√2; x2=−9
5) Montrer que a>0, b>0, a>b
(√a+√a2−b2+√a−√a2−b2)2=2(a+b)
III.1 Définition
On appelle racine carrée d'un nombre réel positif a le réel noté √a dont le carré est égal à a.
III.2 Propriétés
⋅ (√a)2=a
⋅ √a2=|a|
⋅ a≥0 , b≥0 ;√ab=√a×√b
⋅ a≥0 , b>0 ;√ab=√a√b
⋅ x2=a avec a positif ⇒ x=√a ou x=−√a
Attention : √a+b≠√a+√b; ∀a>0, b>0
IV. Valeur absolue
Activité
1) Écrire sans le symbole de la valeur absolue
|√5−2|; |√3−2|; |1+√32√2|
2) Déterminer x pour que |x|=3; |x|=−2; |x|<4; |x|>7; |x|=0; |x|<−2
IV.1 Définition
On appelle valeur absolue d'un nombre réel a, le réel noté |a|={asi a≥0−asi a≤0
IV.2 Propriétés
Soient a, b, k∈R, x un nombre quelconque. On a :
⋅ k>0
⋅ |x|=k ⇔ x=k ou x=−k ⇔ x∈{k; −k}
⋅ |x|≤k ⇔ −k≤x≤k ⇔ x∈[−k; k]
⋅ |x|≥k ⇔ x≥k ou x≤−k ⇔ x∈]−∞; −k]∪[k; +∞[
⋅ k<0
⋅ |x|=k; impossible S=∅
⋅ |x|≤k; impossible S=∅
⋅ |a|=|b| ⇔ a=b ou a=−b
⋅ |ab|=|a|⋅|b|
⋅ b≠0; |ab|=|a||b|
⋅ |an|=|a|n
⋅ |a2|=|a|2=a2
⋅ √x2=|x|
⋅ |a+b|≤|a|+|b|
Exercice d'application
1) Dans chacun des cas suivants, écrire les fonctions sans le symbole de la valeur absolue
a) f(x)=|2x−3|
b) g(x)=|x−2|−3|x+5|
2) Résoudre dans R
a) f(x)=1
b) g(x)=−2x+7
c) 1≤f(x)≤4
d) |x+3x|>−1
Résolution
1) a) f(x)=|2x−3|
On a : 2x−3=0 ⇔ x=32
Soit le tableau de signes suivant :
x−∞3/2+∞2x−3−|+|2x−3|−2x+3|2x−3
Donc on obtient :
f(x)={−2x+3six≤322x−3six≥32
b) g(x)=|x−2|−3|x+5|
On a : x−2=0 ⇔ x=2etx+5=0 ⇔ x=−5
Tableau de signes
x−∞−52+∞x−2−|−|+|x−2|−x+2|−x+2|x−2x+5−|+|+|x+5|−x−5|x+5|x+5
Donc,
sur ]−∞, −5],g(x)=−x+2−3x−15=−4x−13
sur [−5, 2],g(x)=−x+2+3x+15=2x+17
sur [2, +∞[,g(x)=x−2+3x+15=4x+13
2) a)
f(x)=1⇔|2x−3|=1⇔2x−3=1 ou 2x−3=−1⇔2x=4 ou 2x=2⇔x=2 ou x=1
S={1, 2}
b) Résolvons g(x)=−2x+7
Sur ]−∞, −5] on a g(x)=−4x−13
alors,
g(x)=−2x+7⇔−4x−13=−2x+7⇔−2x=20⇔x=−10∈]−∞, −5]
Donc, S1={−10}
Sur [−5, 2], on a g(x)=2x+17
alors,
g(x)=−2x+7⇔2x+17=−2x+7⇔4x=−10⇔x=−104=−52∈[−5, 2]
Donc, S2={−52}
Sur [2, +∞[, on a g(x)=4x+13
alors,
g(x)=−2x+7⇔4x+13=−2x+7⇔6x=−6⇔x=−1∉[2, +∞[
Donc, S3=∅
D'où, S=S1∪S2∪S3={−10, −52}
c) 1≤f(x)≤4
On a :
1≤f(x)≤4⇔f(x)≥1 et f(x)≤4⇔|2x−3|≥1 et |2x−3|≤4⇔(2x−3≥1 ou 2x−3≤−1) et (−4≤2x−3≤4)⇔(x≥2 ou x≤1) et (−12≤x≤72)⇔x∈]−∞, 1]∪[2, +∞[ et x∈[−12, 72]
Donc, S=[−12, 1]∪[2, 72]
d) |x+3x|>−1
On a : ∀x≠0, |x+3x| est toujours positive donc supérieure à -1.
Donc, S=R∖{0}=]−∞, 0[∪]0, +∞[
III.3 Distance sur une droite et intervalles de R
III.3.1 Définition
Soit (x′Ox) un axe gradué.

M et N deux points d'abscisses respectives x et y. On appelle distance entre les points M et N, le nombre positif noté d(M, N) vérifiant :d(M, N)=MN=d(x, y)=|x−y|
|x| est la distance entre M d'abscisse x et le point O d'abscisse 0;
MO=d(M, O)=d(x, 0)=|x−0|=|x|.
III.3.2 Propriétés
Soient x, y et a trois nombre réels, et r∈R+. On a :
⋅ d(x, y)=d(y, x);(|x−y|=|y−x|)
⋅ d(x, a)=r⇔|x−a|=r⇔x−a=r ou x−a=−r⇔x=a+r ou x=a−r⇔x∈{a−r; a+r}
⋅ d(x, a)≤r⇔|x−a|≤r⇔−r≤x−a≤r⇔a−r≤x≤a+r⇔x∈[a−r; a+r]
Exemple
Soient A et B deux points sur une droite graduée tels que xA=−4 et yB=3.
Donner la distance entre A et B.
On a d(A, B)=|xB−xA|=|3−(−4)|=7
III.3.3 Intervalles dans R
− Intervalles bornés
Soient a et b deux réels tels que a<b.
L'ensemble des réels compris entre a et b est un intervalle borné.
NotationInégalité[a; b]a≤x≤b]a; b[a<x<b]a; b]a<x≤b[a; b[a≤x<b
Ces intervalles sont bornés ; a et b sont les bornes.
− Centre et rayon d'un intervalle borné
Soit x0∈[a; b]; x0=a+b2, alors x0 est appelé centre de l'intervalle et le réel noté r=b−a2 est le rayon.
− Intervalles non bornés
NotationInégalité]−∞; a]x≤a]−∞; a[x<a]a; +∞[x>a[a; +∞[x≥a
− Réunion et Intersection d'intervalles
Exemple
Soient I et J deux intervalles de R.
Déterminer I∩J et I∪J dans chacun des cas suivants :
a) I=[−2; 6]J=[−3; +∞[
b) I=]−∞; 7]J=[−45; +∞[
c) I=]−1; 4]J=[5; 10]
Résolution
Remarques :
Pour l'intersection on hachure les parties non solutions
Pour la réunion on hachure les parties solutions
a)

I∩J=[−2; 6]

[−2; 6]⊂[−3; +∞[ alors I∪J=[−3; +∞[
b)

I∩J=[−45; 7]

I∪J=R=]−∞; +∞[
c)

I∩J=∅

I∪J=]−1; 4]∪[5; 10]
V. Ordre et encadrement
V.1 Définition
Soient a et b deux nombres réels. On a :
⋅ a≤b ⇔ a−b≤0 ou b−a≥0
⋅ a>b ⇔ a−b>0 ou b−a<0
V.2 Propriétés
a, b et c trois nombres réels, alors on a :
⋅ si a≤b et b≤a alors, a=b
⋅ si a≤b et b≤c alors, a≤c
⋅ si a≤b ∀c∈R; a+c≤b+c
⋅ si a>0, b>0 alors a≥b ⇔ a2≥b2
⋅ si a<0, b<0 alors a≥b ⇔ a2≤b2
⋅ si a>0 et k>0 alors, ka≥kb
⋅ si a>0 et k<0 alors, ka≤kb
⋅ si 0<a<b alors, 1a>1b
⋅ si a<b<0 alors, 1a>1b
⋅ si a≤x≤b et c≤y≤d avec a, b, c et d des réels strictement positifs alors on a : ac≤xy≤bd
Exercice d'application
1) Sachant que 2<x<93<y<6, encadrer
x+y; x−y; xy; x2
2) Sachant que 3≤x≤5−4≤y≤−1, encadrer
x−y; xy; xy; y2
3) Encadrer 2z; −3z; z2 sachant que −9<z<5
Résolution
1) Encadrons x+y
On a :
2<x<9et3<y<6⇒2+3<x+y<9+6⇒5<x+y<15
Encadrons x−y
On a :
3<y<6⇒−6<−y<−3⇒2−6<x−y<9−3⇒−4<x−y<6
Encadrons xy
On a :
3<y<6⇒13>y>16⇒26<xy<93⇒13<xy<3
Encadrons x2
On a :
2<x<9⇒22<x2<92⇒4<x2<81
2) Sachant que 3≤x≤5−4≤y≤−1, encadrons x−y
On a :
−4≤y≤−1⇒1≤−y≤4⇒3+1≤x−y≤5+4⇒4≤x−y≤9
Encadrons xy
On a :
−4≤y≤−1⇒1≤−y≤4⇒3×1≤−xy≤5×4⇒3≤−xy≤20⇒−20≤xy≤−3
Encadrons y2
On a :
−4≤y≤−1⇒1≤−y≤4⇒12≤(−y)2≤42⇒1≤y2≤16
Encadrons xy
On a :
−4≤y≤−1⇒1−1≤1y≤1−4⇒14≤−1y≤11⇒34≤−xy≤51⇒−51≤xy≤−34⇒−5≤xy≤−34
3) Encadrons 2z; −3z; z2
On a :
−9<z<5 ⇒ −18<2z<10
−9<z<5 ⇒ −15<−3z<27
−9<z<5 ⇒ 0≤z2<81
VI. Valeur approchée - notation scientifique
VI.1 Définition
⋅ On dit que a est une valeur approchée de x à ϵ près si et seulement si a−ϵ≤x≤a+ϵ
c'est-à-dire |x−a|≤ϵ.
⋅ On dit que a est une valeur approchée par défaut de x à ϵ près si, et seulement si, a≤x≤a+ϵ
⋅ On dit que a est une valeur approchée par excès de x à ϵ près si, et seulement si, a−ϵ≤x≤a
Exemple
1) Donner un encadrement de x dans les cas suivants :
a) 40.5 est une valeur approchée à 10−1 près de x.
b) 40.5 est une valeur approchée à 10−2 près de x.
c) 40.5 est une valeur approchée à 5.10−2 près de x.
2) Donner un encadrement de x−y; xy sachant que 2.21 est une valeur approchée de x à 0.1 près et −4≤y≤−1.
Résolution
1) a) 40.5−0.1≤x≤40.5+0.140.4≤x≤40.6
b) 40.5−0.01≤x≤40.5+0.0140.49≤x≤40.51
c) 40.5−0.05≤x≤40.5+0.0540.45≤x≤40.55
2) On a : −4≤y≤−1 ⇒ 1≤−y≤4
Alors,
2.21−0.1≤x≤2.21+0.12.11≤x≤2.312.11+1≤x−y≤2.31+43.11≤x−y≤6.31
Donc, 3.11≤x−y≤6.31
2.11×1≤−xy≤2.31×42.11≤−xy≤9.24−9.24≤xy≤2.11
Donc, −9.24≤xy≤2.11
⋅ ϵ est appelé incertitude.
En effet, a est une valeur approchée de x à ϵ près donc en remplaçant x par a on commet une erreur Δx=x−a. L'incertitude est un majorant de la valeur de l'erreur |Δx|=|x−a|<ϵ
Exemple
x=43
On a 1.33<43<1.34 c'est à dire 43∈]1.33; 1.34[
Donc |43−1.33|<10−2
10−2 est l'incertitude.
⋅ ∀x∈R il existe un entier relatif (b∈Z) et un seul tel que b≤x≤b+1
b s'appelle la partie entière de x. On note E(x)=b
⋅ Soit x un réel, n∈N, b la partie entière de x.10n alors b.10−n≤x≤(b+1)10−n est un encadrement de x à 10−n près.
b.10−n est appelé approximation décimale de x.
Exemple
Soit x=3.124124124124, donner une approximation de x à l'ordre 3.
On a :
x.103=3124.124124124⇒E(x.103)=3124⇒3124≤x.103≤3125⇒3124×10−3≤x.103×10−3≤3125×10−3⇒3.124≤x≤3.125
x.103=3124.124124124⇒E(x.103)=3124⇒3124≤x.103≤3125⇒3124×10−3≤x.103×10−3≤3125×10−3⇒3.124≤x≤3.125
3.124 est donc une approximation décimale de x à l'ordre 3.
VI.2 Notation scientifique
La notation scientifique d'un nombre réel x est l'écriture de x sous la forme a.10p où 1≤a≤10 et p∈Z.
Exemple
On donne les écritures scientifiques de 2543; 6000; 0.0064; 29.77
On a : 2543=2.543103;6000=6103
0.0064=6.410−3;29.77=2.977101
Auteur:
Diny Faye & Seyni Ndiaye
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
sam, 10/20/2018 - 11:08
Permalien
Tres intéressant
Pathé (non vérifié)
mar, 08/27/2019 - 16:51
Permalien
Très important
Anonyme (non vérifié)
sam, 11/02/2019 - 02:18
Permalien
Impressionant
Anonyme (non vérifié)
ven, 11/29/2019 - 17:16
Permalien
Très important
Bassirou gueye (non vérifié)
lun, 11/23/2020 - 23:05
Permalien
Pour mieux comprendre
Bassirou gueye (non vérifié)
lun, 11/23/2020 - 23:07
Permalien
J'aimerai bien de travailler
Bassirou Gueye (non vérifié)
mar, 11/24/2020 - 23:24
Permalien
Calcul dans R
Mouhamadou lami... (non vérifié)
mar, 12/01/2020 - 15:56
Permalien
Très intéressant . Merci
Anonyme (non vérifié)
dim, 02/28/2021 - 00:13
Permalien
Calcul dans R
Ndeye Fatou Ndiaye (non vérifié)
lun, 10/18/2021 - 18:28
Permalien
merici beaucoup
Moussa Sow (non vérifié)
mar, 05/31/2022 - 19:53
Permalien
Bonjour pourquoi il n y a
Anonyme (non vérifié)
ven, 10/28/2022 - 15:15
Permalien
c bien
Anonyme (non vérifié)
dim, 11/06/2022 - 20:34
Permalien
Merci
dièye (non vérifié)
mer, 06/07/2023 - 15:44
Permalien
vous pouvez mettre pour
dièye (non vérifié)
mer, 06/07/2023 - 15:44
Permalien
vous pouvez mettre pour
mayé faye (non vérifié)
ven, 10/13/2023 - 19:53
Permalien
merci beaucoup
mayé faye (non vérifié)
ven, 10/13/2023 - 21:29
Permalien
eleve
Sadaga Manel Fall (non vérifié)
mar, 10/17/2023 - 21:26
Permalien
Merci
Anonyme (non vérifié)
mer, 10/18/2023 - 15:30
Permalien
Maths 2S
Anonyme (non vérifié)
mer, 10/18/2023 - 15:31
Permalien
Ok
Serge Herman Sossou (non vérifié)
sam, 10/28/2023 - 23:30
Permalien
Très intéressant
Mouhamed pam (non vérifié)
mar, 11/07/2023 - 20:28
Permalien
Le contenue est riche
Sassy (non vérifié)
sam, 10/12/2024 - 16:58
Permalien
Il y'a un erreur au niveau du
Anonyme (non vérifié)
jeu, 11/07/2024 - 18:00
Permalien
au niveau du développement de
Djimranodji maxime (non vérifié)
jeu, 11/21/2024 - 06:25
Permalien
Comment télécharger le cour
Ajouter un commentaire