Calcul dans R - 2nd

Classe: 
Seconde

I. Ensemble de nombres

Activité 

1) Remplir le tableau suivant en mettant des croix si l'élément appartient à l'ensemble.
 
NZDQR021.40.4π13353
 
2) Répondre par vrai ou faux
 
54D, 2Q, 6.13D, 7Q
 
ZQ, QD, ND

I.1 Définition

Soient les ensembles de nombres suivants :
 
N : ensembles des entiers naturels
 
Z : ensembles des entiers relatifs
 
D : ensembles des nombres décimaux
 
Q : ensembles des nombres rationnels
 
R : ensembles des nombres réels

I.2 Propriété

Nous avons : NZDQR

II. Puissance

II.1 Définition

On appelle puissance nième d'un nombre a, le nombre noté an et qui est défini par :
 
  n=0a0=1
 
  n=1a1=a
 
   si n>0  alors,  an=a×a×an fois
 
   si n<0  alors,  an=1a×a×an fois
 
  an=(a×a×an fois) ; l'exposant n concerne le a
 
  (a)n=(a)×(a)×(a)n fois
 
  (a)n=an  si n est pair
 
  (a)n=an  si n est impair

II.2 Propriétés

Soient a, bR et n un entier relatif. Nous avons :
 
  (ab)n=an×(b)n
 
  an×am=an+m
 
  (an)m=an×m
 
  an=1an ;an=1an
 
  anam=anm
 
  b0; (ab)n=anbn

Exercice d'application

Écrire les réels suivants sous la forme de produits de puissance de nombres premiers
A=32,B=544,C=0.16×270000050,D=813×642365,E=(23)5×(35)3×25×73

Résolution

A=32=2×2×2×2×2=25
 
B=544=(2×33)4=24×312
 
C=0.16×270000050=42×102×33×1055×101=(22)2×33×102×105×101×51=24×33×102×51=24×33×22×52×51=26×33×51
 
D=813×642365=(92)3×(26)2(62)5=96×212610=(32)6×212210×310=312×212210×310=312×212×210×310=32×22
 
E=(23)5×(35)3×25×73=23×5×3353×52×73=215×33×51×73

II.3 Égalités remarquables

 a, bR, nous avons les expressions suivantes appelées égalités remarquables  : 
 
  (a+b)2=a2+2ab+b2
 
  (ab)2=a22ab+b2
 
  (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
 
  (ab)3=a33a2b+3ab2b3
 
  a3b3=(ab)(a2+ab+b2)
 
  a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)

Exercice d'application

a) Développer les expressions suivantes 
 
A=(2x24y)2
 
B=(2x2y3z)3
 
b) Factoriser 
 
C=(4a2+b29)216a2b2

Résolution 

a) Développons
A=(2x24y)2=(2x2)22(2x2)(4y)+(4y)2=4x416x2y+16y2
 
B=(2x2y3z)3=(2x2y)33(2x2y)2(3z)+3(2x2y)(3z)2(3z)3=8x6y336x4y2z+54x2yz29z3
 
b) Factorisons
C=(4a2+b29)216a2b2=(4a2+b294ab)(4a2+b29+4ab)=[(4a24ab+b2)9][(4a2+4ab+b2)9]=[(2ab)29][(2a+b)29]=(2ab3)(2ab+3)(2a+b3)(2a+b+3)

III. Racines carrés

Activité

1) Écrire les nombres suivants sans radicaux au dénominateur
 
233; 762; 36
 
2) On donne a=945+9+45; b=7437+43
 
Calculer a2 et b2. En déduire une expression simplifiée de a et b.
 
3) Déterminer a,  b et c pour que 
 
7+a=3; b+36=7; 77+11+25=c
 
4) Résoudre x2=322; x2=9
 
5) Montrer que a>0, b>0, a>b
 
(a+a2b2+aa2b2)2=2(a+b)

III.1 Définition

On appelle racine carrée d'un nombre réel positif a le réel noté a dont le carré est égal à a.

III.2 Propriétés

  (a)2=a
 
  a2=|a|
 
  a0 , b0 ;ab=a×b
 
  a0 , b>0 ;ab=ab
 
  x2=a  avec a positif  x=a  ou x=a
 
Attention : a+ba+b; a>0, b>0

IV. Valeur absolue

Activité 

1) Écrire sans le symbole de la valeur absolue
 
|52|; |32|; |1+322|
 
2) Déterminer x pour que |x|=3; |x|=2; |x|<4; |x|>7; |x|=0; |x|<2

IV.1 Définition

On appelle valeur absolue d'un nombre réel a, le réel noté |a|={asi a0asi a0

IV.2 Propriétés

Soient a, b, kR, x un nombre quelconque. On a :
 
  k>0
 
  |x|=k  x=k  ou  x=k  x{k; k}
 
  |x|k  kxk  x[k; k]
 
  |x|k  xk ou xk  x]; k][k; +[
 
  k<0
 
  |x|=k;  impossible  S=
 
  |x|k;  impossible  S=
 
  |a|=|b|  a=b  ou  a=b
 
  |ab|=|a||b|
 
  b0;  |ab|=|a||b|
 
  |an|=|a|n
 
  |a2|=|a|2=a2
 
  x2=|x|
 
  |a+b||a|+|b|

Exercice d'application 

1) Dans chacun des cas suivants, écrire les fonctions sans le symbole de la valeur absolue
 
a) f(x)=|2x3|
 
b) g(x)=|x2|3|x+5|
 
2) Résoudre dans R
 
a) f(x)=1
 
b) g(x)=2x+7
 
c) 1f(x)4
 
d) |x+3x|>1

Résolution 

1) a) f(x)=|2x3|
 
On a : 2x3=0  x=32
 
Soit le tableau de signes suivant :
x3/2+2x3|+|2x3|2x+3|2x3
Donc on obtient :
f(x)={2x+3six322x3six32
b) g(x)=|x2|3|x+5|
 
On a : x2=0  x=2etx+5=0  x=5
 
Tableau de signes
x52+x2||+|x2|x+2|x+2|x2x+5|+|+|x+5|x5|x+5|x+5
Donc,
 
sur ], 5],g(x)=x+23x15=4x13
 
sur [5, 2],g(x)=x+2+3x+15=2x+17
 
sur [2, +[,g(x)=x2+3x+15=4x+13
 
2) a)
 
f(x)=1|2x3|=12x3=1  ou  2x3=12x=4  ou  2x=2x=2  ou  x=1
 
S={1, 2}
 
b) Résolvons g(x)=2x+7
 
Sur ], 5] on a g(x)=4x13
 
alors,
 
g(x)=2x+74x13=2x+72x=20x=10], 5]
 
Donc, S1={10}
 
Sur [5, 2], on a g(x)=2x+17
 
alors,
 
g(x)=2x+72x+17=2x+74x=10x=104=52[5, 2]
 
Donc, S2={52}
 
Sur [2, +[, on a g(x)=4x+13
 
alors,
 
g(x)=2x+74x+13=2x+76x=6x=1[2, +[
 
Donc, S3=
 
D'où, S=S1S2S3={10, 52}
 
c) 1f(x)4
 
On a :
 
1f(x)4f(x)1  et  f(x)4|2x3|1  et  |2x3|4(2x31  ou  2x31)  et  (42x34)(x2  ou  x1)  et  (12x72)x], 1][2, +[  et  x[12, 72]
 
Donc, S=[12, 1][2, 72]
 
d) |x+3x|>1
 
On a : x0, |x+3x| est toujours positive donc supérieure à -1.
 
Donc, S=R{0}=], 0[]0, +[

III.3 Distance sur une droite et intervalles de R

III.3.1 Définition

Soit (xOx) un axe gradué.

 

 
M et N deux points d'abscisses respectives x et y. On appelle distance entre les points M et N, le nombre positif noté d(M, N) vérifiant :d(M, N)=MN=d(x, y)=|xy|
|x| est la distance entre M d'abscisse x et le point O d'abscisse 0;
 
 MO=d(M, O)=d(x, 0)=|x0|=|x|.

III.3.2 Propriétés

Soient x, y et a trois nombre réels, et rR+. On a :
 
  d(x, y)=d(y, x);(|xy|=|yx|)
 
  d(x, a)=r|xa|=rxa=r  ou  xa=rx=a+r  ou  x=arx{ar; a+r}
 
  d(x, a)r|xa|rrxararxa+rx[ar; a+r]

Exemple 

Soient A et B deux points sur une droite graduée tels que xA=4 et yB=3.
 
Donner la distance entre A et B.
 
On a d(A, B)=|xBxA|=|3(4)|=7

III.3.3 Intervalles dans R

  Intervalles bornés
 
Soient a et b deux réels tels que a<b. 
 
L'ensemble des réels compris entre a et b est un intervalle borné.
NotationInégalité[a; b]axb]a; b[a<x<b]a; b]a<xb[a; b[ax<b
 
Ces intervalles sont bornés ; a et b sont les bornes.
 
  Centre et rayon d'un intervalle borné
 
Soit x0[a; b]; x0=a+b2, alors x0 est appelé centre de l'intervalle et le réel noté r=ba2 est le rayon.
 
  Intervalles non bornés 
NotationInégalité]; a]xa]; a[x<a]a; +[x>a[a; +[xa
 
  Réunion et Intersection d'intervalles

Exemple

Soient I et J deux intervalles de R.
 
Déterminer IJ et IJ dans chacun des cas suivants :
 
a) I=[2; 6]J=[3; +[
 
b) I=]; 7]J=[45; +[
 
c) I=]1; 4]J=[5; 10]

Résolution 

Remarques :

Pour l'intersection on hachure les parties non solutions  
 
Pour la réunion on hachure les parties solutions 
 
a) 

 
 
IJ=[2; 6]

 


 
[2; 6][3; +[ alors IJ=[3; +[
 
b)

 
 
IJ=[45; 7]

 


 
IJ=R=]; +[
 
c) 

 
 
IJ=

 

 
IJ=]1; 4][5; 10]

 

V. Ordre et encadrement

V.1 Définition

Soient a et b deux nombres réels. On a : 
 
  ab  ab0  ou  ba0
 
  a>b  ab>0  ou  ba<0

V.2 Propriétés

a, b et c trois nombres réels, alors on a :
 
   si ab  et  ba  alors,  a=b
 
   si ab  et  bc  alors,  ac
 
   si ab cR;  a+cb+c 
 
   si a>0,  b>0  alors  ab  a2b2
 
   si a<0,  b<0  alors  ab  a2b2
 
   si a>0 et k>0  alors,  kakb
 
   si a>0 et k<0  alors,  kakb
 
   si 0<a<b  alors,  1a>1b
 
   si a<b<0  alors,  1a>1b
 
   si axb et cyd  avec a, b, c et d des réels strictement positifs alors on a : acxybd

Exercice d'application 

1) Sachant que 2<x<93<y<6, encadrer
 
x+y; xy; xy; x2
 
2) Sachant que 3x54y1, encadrer
 
xy; xy; xy; y2
 
3) Encadrer 2z; 3z; z2 sachant que 9<z<5

Résolution 

1) Encadrons x+y
 
On a :
 
2<x<9et3<y<62+3<x+y<9+65<x+y<15
 
Encadrons xy
 
On a :
 
3<y<66<y<326<xy<934<xy<6
 
Encadrons xy
 
On a :
 
3<y<613>y>1626<xy<9313<xy<3
 
Encadrons x2
 
On a :
 
2<x<922<x2<924<x2<81
 
2) Sachant que 3x54y1, encadrons xy
 
On a :
 
4y11y43+1xy5+44xy9
 
Encadrons xy
 
On a :
 
4y11y43×1xy5×43xy2020xy3
 
Encadrons y2
 
On a :
 
4y11y412(y)2421y216
 
Encadrons xy
 
On a :
 
4y1111y14141y1134xy5151xy345xy34
 
3) Encadrons 2z; 3z; z2
 
On a :
 
9<z<5  18<2z<10
 
9<z<5  15<3z<27
 
9<z<5  0z2<81

VI. Valeur approchée - notation scientifique

VI.1 Définition 

   On dit que a est une valeur approchée de x à ϵ près si et seulement si aϵxa+ϵ 
c'est-à-dire |xa|ϵ.
 
   On dit que a est une valeur approchée par défaut de x à ϵ près si, et seulement si, axa+ϵ
 
   On dit que a est une valeur approchée par excès de x à ϵ près si, et seulement si, aϵxa

Exemple 

1) Donner un encadrement de x dans les cas suivants :
 
a) 40.5 est une valeur approchée à 101 près de x.
 
b) 40.5 est une valeur approchée à 102 près de x.
 
c) 40.5 est une valeur approchée à 5.102 près de x.
 
2) Donner un encadrement de xy; xy sachant que 2.21 est une valeur approchée de x à 0.1 près et 4y1.

Résolution 

1) a) 40.50.1x40.5+0.140.4x40.6
 
b) 40.50.01x40.5+0.0140.49x40.51
 
c) 40.50.05x40.5+0.0540.45x40.55
 
2) On a : 4y1  1y4 
 
Alors,
2.210.1x2.21+0.12.11x2.312.11+1xy2.31+43.11xy6.31
Donc, 3.11xy6.31
2.11×1xy2.31×42.11xy9.249.24xy2.11
Donc, 9.24xy2.11
 
  ϵ est appelé incertitude.
 
En effet, a est une valeur approchée de x à ϵ près donc en remplaçant x par a on commet une erreur Δx=xa. L'incertitude est un majorant de la valeur de l'erreur |Δx|=|xa|<ϵ

Exemple 

x=43
 
On a 1.33<43<1.34 c'est à dire 43]1.33; 1.34[
 
Donc |431.33|<102
 
102 est l'incertitude.
 
  xR il existe un entier relatif (bZ) et un seul tel que bxb+1
b s'appelle la partie entière de x. On note E(x)=b 
 
   Soit x un réel, nN, b la partie entière de x.10n alors b.10nx(b+1)10n est un encadrement de x à 10n près.
 
b.10n est appelé approximation décimale de x.

Exemple 

Soit x=3.124124124124, donner une approximation de x à l'ordre 3.
 
On a :
x.103=3124.124124124E(x.103)=31243124x.10331253124×103x.103×1033125×1033.124x3.125
3.124 est donc une approximation décimale de x à l'ordre 3.

VI.2 Notation scientifique

La notation scientifique d'un nombre réel x est l'écriture de x sous la forme a.10p1a10 et pZ.

Exemple 

On donne les écritures scientifiques de 2543; 6000; 0.0064; 29.77
 
On a : 2543=2.543103;6000=6103
 
0.0064=6.4103;29.77=2.977101

 

Auteur: 
Diny Faye & Seyni Ndiaye

Commentaires

Tres intéressant

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Pour mieux comprendre

J'aimerai bien de travailler avec vous pour mieux comprendre

Rien que pour travailler

Très intéressant . Merci

Calcul dans R

merici beaucoup

Bonjour pourquoi il n y a plus le slogan permettant de télécharger les leçons .Et j'ai pas l'argent pour acheter de la connexion pour voir certains documents dans le site .Voulant percer dans la science et voir même les difficultés dans certains leçons j'ai besoin de suunu daara .A part le professeur à l'école il n y que moi.SVP

c bien

vous pouvez mettre pour télécharger les slogans. svp

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Maths 2S

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Le contenue est riche

Il y'a un erreur au niveau du développement de A .... .. . . . . . . . . ...... . . .

au niveau du développement de A tout en haut vous avez commis une erreur car ce n'est pas -36x exposant 4 mais plutôt exposant 5 car il y a le (x²)² qui donne x exposant 4 et l'autre qui vient du 3x ainsi on aura x exp 4 * x exp 1 qui donne x exp5

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