Dérivation et études de fonctions - T S

I.Dérivation

1.1.Nombre dérivé en un point

Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction f définie sur un intervalle I et a un nombre réel de cet intervalle.

a) Définitions :

Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction f définie sur un intervalle I et a un nombre réel de cet intervalle.

Taux de variation : Le coefficient directeur de la sécante (AM) à la courbe est :

m=f(x)f(a)xa , c’est le taux de variation de la fonction entre a et x.

Nombre dérivée : Le nombre dérivée de la fonction f au point a par définition si elle existe, est

[f(a)=limxaf(x)f(a)xa]

Il se note f(a)

b) Equation de la tangente :

On suppose la fonction f dérivable en a
 
Elle admet donc une tangente au point A d'abscisse a. 
 
L'équation de la tangente est [(D) : y=f(a)(xa)+f(a)].
 
est le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe.
 
En posant x=a+h on obtient une autre forme pour l'expression de la dérivée de la fonction f au point a :
 
[f(a)=limhaf(h)f(a)ha]

I.1.Fonctions dérivées

a) Définition :

On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque, pour tout réel de l'intervalle I, le nombre dérivé de f en x existe. 
 
Par définition, la fonction dérivée f est la fonction qui à tout réel x de l'intervalle I associe f(x), nombre dérivé de f en x.

Exemple :

On considère la fonction carré, définie sur par. 
 
Soit a un nombre réel quelconque. 
 
La pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a est 2a ; le nombre dérivé de la fonction f en a est.
 
La fonction f est donc dérivable sur puisque le nombre dérivé de en tout réel a existe. 
 
On peut alors définir la fonction dérivée de f, notée f, par :

b) Dérivées usuelles :

On admet les formules de dérivation pour les fonctions usuelles ci-dessous.

FonctionDérivéeValiditéf(x)=kf(x)=0k nombre réel constant ; xRf(x)=axf(x)=axRf(x)=xnf(x)=nxn1nN; xRf(x)=1xf(x)=1x2xRf(x)=1xnf(x)=n1xn1nN; xRxxx12xx]0, +[

c) Opérations et dérivées

u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I et k est un nombre réel fixé.

FonctionDérivéeDérivabilitéSommef=u+vf=u+vdérivable sur l'intervalleIProduitf=kudérivable sur l'intervalleIf=kuProduitf=uvdérivable sur l'intervalleIf=uv+uvQuotientf=1vdérivable pour les x de I où v(x)0f=vv2Quotientf=uvdérivable pour les x de I où v(x)0f=uvvuv2
 
Remarquons que si f=u2=u×u, alors f=uu+uu=2uu.

I.2.Dérivées  d’une fonction composée

a) Théorème de dérivation (d’une fonction composée gu)

Soit u et g deux fonctions telles que la composée f=gu existe sur un intervalle I. Si u est dérivable en x de I et g dérivable en u(x), alors f=gu est dérivable en x et : f(x)=g(u(x))u(x).

Exemples : 

Écrire chacune des fonctions qui suivent comme composée de deux fonctions et en déduire la dérivée : f(x)=x2+1f(x)=(2x2x+1)6

b) Conséquences du théorème : des dérivées à bien connaître

FonctionDérivéef=un, n est un entier naturel, n1f=nun1×uf=1u avec u(x)0f=1u2×u=uu2f=u, avec u(x)>0f=12u×u=u2uf(x)=1un avec u(x)0f=nun+1×u=nuun+1

c) Dérivées successives

Lorsque la fonction f est dérivable, on note f sa fonction dérivée. 
 
Si f est dérivable à son tour, on note f sa fonction dérivée et par récurrence on définit la dérivée d'ordre n notée f^n ou \dfrac{d^nf}{dx^n} par [ f^{(n)} =(f^{(n-1)})']

 Exemple :

Calculer les dérivées successives jusqu’ à l’ordre 3 des fonctions suivantes :  f(x)=4x^3+2x^2+3x+5\qquad g(x)=\dfrac{x+1}{x}\qquad h(x)=\mathrm{e}^{x}\qquad k(x)=\ln x

II. Etude de fonction

II.1. Variations de fonction

Propriété :

Soit  f une fonction dérivable sur un intervalle I.            

\bullet\ \ Si la dérivée est positive sur I , alors f  est croissante sur I.    
 
\bullet\ \ Si la dérivée est négative sur I, alors  f est décroissante sur I.
 
\bullet\ \ Si la dérivée est nulle en toute valeur de I, alors la fonction  f est constante sur I.

Exemple :

f(x)=2x^2+3x+5\qquad g(x)=\dfrac{x+1}{x-1}

h(x)=e^x±x\qquad k(x)=x+ ln~x                                                         

II.2 Parité d’une fonction

a) Ensemble de définition centré

Soit f une fonction. 
 
Soit D_f son ensemble de définition. 
 
On dit que D_f est un ensemble de définition centré si et et seulement si :

Pour tout réel x,  si x\in  D_f , alors  -x\in  D_f .

b) Fonction paire

On dit qu’une fonction f est paire si et seulement si :

1. Son ensemble de définition est centré,

2. Pour tout réel x de D_f, on  a : f(-x)=f(x)

Exemple:

-\ \ Si n est un entier pair, positif, la fonction définie par  f(x)=kx^n est paire.        

-\ \ la fonction x\mapsto |x|  est une fonction paire,     

c) Fonction impaire

On dit qu’une fonction f est impaire si et seulement si :

1. Son ensemble de définition est centré,

2. Pour tout réel x de D_f, on  a : f(-x)=-f(x)

-\ \ la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

d) Autres cas de symétries dans une courbe

Soit f une fonction. Soit D_f son ensemble de définition et (\mathcal{C}) sa courbe représentative.

Deux cas peuvent se présenter :  

-\ \ (\mathcal{C}) est symétrique par rapport à un axe d’équation x=a ,

-\ \ (\mathcal{C}) est symétrique par rapport à un point A(a\;,\ b).

Nous admettrons les résultats suivants :

Si, pour tout réel x tel que a+x \in  D_f,  on a : a-x\in D_f et f(a+x)=f(a-x)

Alors, la courbe (\mathcal{C}) est symétrique par rapport à l’axe d’équation x=a.

Si, pour tout réel x tel que a+x \in D_f,  on a : a-x\in D_f  et

f(a+x)+f(a-x)=2b

Alors, la courbe \mathcal{C} est symétrique par rapport au point A(a\;,\ b).

e) Périodicité

Définition : 

On dit qu’une fonction f est périodique si et seulement si, il existe un réel T strictement positif tel que : \forall\; x\in D_f\;, \text{ on a : }x+T\in D_f\ \text{ et }\ f(x+T)=f(x)

On appelle période de la fonction f le plus petit réel T vérifiant la propriété ci-dessus. 
 
Si f est une fonction de période T, alors on a : 
\forall\; x\in D_f\ :\ f(x+T)=f(x)

L’intervalle d’étude d’une fonction périodique peut se réduire à un intervalle couvrant une seule période.

Application :
 

1. f\text{ est la fonction définie sur }\mathbb{R}\text{ par }f(x)=\dfrac{x^{2}-x-2}{x^{2}-x+1}

Démontrer, en utilisant les deux méthodes, que la droite d'équation x=\dfrac{1}{2} est un axe de symétrie de (\mathcal{C}).

2. f est la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^{3}+3x^{2}-4  
 
Démontrer, en utilisant les deux méthodes, que le point W(-1\;;\ -2) est un centre de symétrie de (\mathcal{C})

II.2. Extremums de fonction

Propriété :

Lorsque la dérivée d’une fonction s’annule, en changeant de signe, la fonction f admet un extremum.

Si f admet un extremum. En un point d’abscisse  a alors f'(a)=0. 

En effet deux types de tableaux de variation peuvent se rencontrer :

Cas d’un maximum

\begin{array}{|l|lcccr|}\hline\text{valeurs de } x&a&&c&&b\\ \hline\text{signe de } f'(x)&&+&0&-&\\ \hline&&&\text{maximum}&&\\ \text{variations de }f&&\nearrow&|&\searrow&\\&&&|&&\\ \hline \end{array}

Cas d’un minimum

\begin{array}{|l|lcccr|}\hline\text{valeurs de } x&a&&c&&b\\ \hline\text{signe de } f'(x)&&-&0&+&\\ \hline&&&|&&\\ \text{variations de }f&&\searrow&|&\nearrow&\\&&&\text{minimum}&&\\ \hline \end{array}

Exemple :

Déterminer la nature des extrémums des fonctions suivantes

f(x)=x^3+3x^2-6x+5

g(x)=x+\ln x     

Exercice

Soit la fonction f définie pour tout x élément de l’intervalle [0\;,\ +\infty[ par :

[f(x)=f(x)=x^3-19x^2+130x+100]

La fonction f modélise sur l’intervalle ]0\;;\ 16] la fonction coût total de production, en euro, d’un produit.

Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée \mathbb{C} , est donnée  ci-dessous

Pour tout x dans l’intervalle ]0\;;\ 16], le quotient C_M(x)=\dfrac{f(x)}{x} est appelé coût moyen de production de x kilogrammes de produit.

  1. Pour x dans l’intervalle ]0\;;\ 16], soit le point A d’abscisse x de la représentation graphique (\mathcal{C}) de la fonction  f. 

Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal au coût moyen

C_M(x)=\dfrac{f(x)}{x} .

      2. L’entreprise cherche à minimiser le coût moyen de production.

        a) Par lecture graphique indiquer la valeur de x qui réalise ce minimum et la valeur de ce minimum.
 
        On note C_{M'} la dérivée de la fonction.

      b) Calculer C_{M'} et vérifier que pour x dans l’intervalle ]0\;;\ 16] :
 
      C'(x)=\dfrac{(x-10)(2x^{2}+x+10)}{x^{2}}

\bullet\ \ Étudier les variations de la fonction x\mapsto C_M(x)\text{ sur }]0\;;\ 16].           

 
\bullet\ \ En déduire la valeur x_{0} de x qui minimise le coût moyen.

3. On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d'un objet supplémentaire. 

On modélise ce coût marginal par \mathcal{C}_{M}(x)=f'(x)\text{ où }f'\text{ est la dérivée de }f.
      
a) Exprimer en fonction de x le coût marginal.
 
b) Vérifier que pour x_{0}, le coût marginal est égal au coût unitaire moyen.

 

Auteur: 
Moussa Fall: Professeur au Lycée Omar Lamine Badji de Ziguinchor

Commentaires

fellicitation merci<br /> <br />

J'aimerai belle et bien que vous m'aidiez à bien préparer ma classe d'examen

Cours très explicite

Toute mes félicitations

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