Dérivation et études de fonctions - T S

I.Dérivation

1.1.Nombre dérivé en un point

Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction f définie sur un intervalle I et a un nombre réel de cet intervalle.

a) Définitions :

Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction f définie sur un intervalle I et a un nombre réel de cet intervalle.

Taux de variation : Le coefficient directeur de la sécante (AM) à la courbe est :

m=f(x)f(a)xa , c’est le taux de variation de la fonction entre a et x.

Nombre dérivée : Le nombre dérivée de la fonction f au point a par définition si elle existe, est

[f(a)=limxaf(x)f(a)xa]

Il se note f(a)

b) Equation de la tangente :

On suppose la fonction f dérivable en a
 
Elle admet donc une tangente au point A d'abscisse a. 
 
L'équation de la tangente est [(D) : y=f(a)(xa)+f(a)].
 
est le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe.
 
En posant x=a+h on obtient une autre forme pour l'expression de la dérivée de la fonction f au point a :
 
[f(a)=limhaf(h)f(a)ha]

I.1.Fonctions dérivées

a) Définition :

On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque, pour tout réel de l'intervalle I, le nombre dérivé de f en x existe. 
 
Par définition, la fonction dérivée f est la fonction qui à tout réel x de l'intervalle I associe f(x), nombre dérivé de f en x.

Exemple :

On considère la fonction carré, définie sur par. 
 
Soit a un nombre réel quelconque. 
 
La pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a est 2a ; le nombre dérivé de la fonction f en a est.
 
La fonction f est donc dérivable sur puisque le nombre dérivé de en tout réel a existe. 
 
On peut alors définir la fonction dérivée de f, notée f, par :

b) Dérivées usuelles :

On admet les formules de dérivation pour les fonctions usuelles ci-dessous.

FonctionDérivéeValiditéf(x)=kf(x)=0k nombre réel constant ; xRf(x)=axf(x)=axRf(x)=xnf(x)=nxn1nN; xRf(x)=1xf(x)=1x2xRf(x)=1xnf(x)=n1xn1nN; xRxxx12xx]0, +[

c) Opérations et dérivées

u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I et k est un nombre réel fixé.

FonctionDérivéeDérivabilitéSommef=u+vf=u+vdérivable sur l'intervalleIProduitf=kudérivable sur l'intervalleIf=kuProduitf=uvdérivable sur l'intervalleIf=uv+uvQuotientf=1vdérivable pour les x de I où v(x)0f=vv2Quotientf=uvdérivable pour les x de I où v(x)0f=uvvuv2
 
Remarquons que si f=u2=u×u, alors f=uu+uu=2uu.

I.2.Dérivées  d’une fonction composée

a) Théorème de dérivation (d’une fonction composée gu)

Soit u et g deux fonctions telles que la composée f=gu existe sur un intervalle I. Si u est dérivable en x de I et g dérivable en u(x), alors f=gu est dérivable en x et : f(x)=g(u(x))u(x).

Exemples : 

Écrire chacune des fonctions qui suivent comme composée de deux fonctions et en déduire la dérivée : f(x)=x2+1f(x)=(2x2x+1)6

b) Conséquences du théorème : des dérivées à bien connaître

FonctionDérivéef=un, n est un entier naturel, n1f=nun1×uf=1u avec u(x)0f=1u2×u=uu2f=u, avec u(x)>0f=12u×u=u2uf(x)=1un avec u(x)0f=nun+1×u=nuun+1

c) Dérivées successives

Lorsque la fonction f est dérivable, on note f sa fonction dérivée. 
 
Si f est dérivable à son tour, on note f sa fonction dérivée et par récurrence on définit la dérivée d'ordre n notée fn ou dnfdxn par [f(n)=(f(n1))]

 Exemple :

Calculer les dérivées successives jusqu’ à l’ordre 3 des fonctions suivantes :  f(x)=4x3+2x2+3x+5g(x)=x+1xh(x)=exk(x)=lnx

II. Etude de fonction

II.1. Variations de fonction

Propriété :

Soit  f une fonction dérivable sur un intervalle I.            

   Si la dérivée est positive sur I , alors f  est croissante sur I.    
 
   Si la dérivée est négative sur I, alors  f est décroissante sur I.
 
   Si la dérivée est nulle en toute valeur de I, alors la fonction  f est constante sur I.

Exemple :

f(x)=2x2+3x+5g(x)=x+1x1

h(x)=ex±xk(x)=x+ln x                                                         

II.2 Parité d’une fonction

a) Ensemble de définition centré

Soit f une fonction. 
 
Soit Df son ensemble de définition. 
 
On dit que Df est un ensemble de définition centré si et et seulement si :

Pour tout réel x,  si xDf , alors  xDf .

b) Fonction paire

On dit qu’une fonction f est paire si et seulement si :

1. Son ensemble de définition est centré,

2. Pour tout réel x de Df, on  a : f(x)=f(x)

Exemple:

   Si n est un entier pair, positif, la fonction définie par  f(x)=kxn est paire.        

   la fonction x|x|  est une fonction paire,     

c) Fonction impaire

On dit qu’une fonction f est impaire si et seulement si :

1. Son ensemble de définition est centré,

2. Pour tout réel x de Df, on  a : f(x)=f(x)

   la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

d) Autres cas de symétries dans une courbe

Soit f une fonction. Soit Df son ensemble de définition et (C) sa courbe représentative.

Deux cas peuvent se présenter :  

  (C) est symétrique par rapport à un axe d’équation x=a ,

  (C) est symétrique par rapport à un point A(a, b).

Nous admettrons les résultats suivants :

Si, pour tout réel x tel que a+xDf,  on a : axDf et f(a+x)=f(ax)

Alors, la courbe (C) est symétrique par rapport à l’axe d’équation x=a.

Si, pour tout réel x tel que a+xDf,  on a : axDf  et

f(a+x)+f(ax)=2b

Alors, la courbe C est symétrique par rapport au point A(a, b).

e) Périodicité

Définition : 

On dit qu’une fonction f est périodique si et seulement si, il existe un réel T strictement positif tel que : xDf, on a : x+TDf  et  f(x+T)=f(x)

On appelle période de la fonction f le plus petit réel T vérifiant la propriété ci-dessus. 
 
Si f est une fonction de période T, alors on a : 
xDf : f(x+T)=f(x)

L’intervalle d’étude d’une fonction périodique peut se réduire à un intervalle couvrant une seule période.

Application :
 

1. f est la fonction définie sur R par f(x)=x2x2x2x+1

Démontrer, en utilisant les deux méthodes, que la droite d'équation x=12 est un axe de symétrie de (C).

2. f est la fonction définie sur R par f(x)=x3+3x24  
 
Démontrer, en utilisant les deux méthodes, que le point W(1; 2) est un centre de symétrie de (C)

II.2. Extremums de fonction

Propriété :

Lorsque la dérivée d’une fonction s’annule, en changeant de signe, la fonction f admet un extremum.

Si f admet un extremum. En un point d’abscisse  a alors f(a)=0. 

En effet deux types de tableaux de variation peuvent se rencontrer :

Cas d’un maximum

valeurs de xacbsigne de f(x)+0maximumvariations de f||

Cas d’un minimum

valeurs de xacbsigne de f(x)0+|variations de f|minimum

Exemple :

Déterminer la nature des extrémums des fonctions suivantes

f(x)=x3+3x26x+5

g(x)=x+lnx     

Exercice

Soit la fonction f définie pour tout x élément de l’intervalle [0, +[ par :

[f(x)=f(x)=x319x2+130x+100]

La fonction f modélise sur l’intervalle ]0; 16] la fonction coût total de production, en euro, d’un produit.

Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée C , est donnée  ci-dessous

Pour tout x dans l’intervalle ]0; 16], le quotient CM(x)=f(x)x est appelé coût moyen de production de x kilogrammes de produit.

  1. Pour x dans l’intervalle ]0; 16], soit le point A d’abscisse x de la représentation graphique (C) de la fonction  f. 

Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal au coût moyen

CM(x)=f(x)x .

      2. L’entreprise cherche à minimiser le coût moyen de production.

        a) Par lecture graphique indiquer la valeur de x qui réalise ce minimum et la valeur de ce minimum.
 
        On note CM la dérivée de la fonction.

      b) Calculer CM et vérifier que pour x dans l’intervalle ]0; 16] :
 
      C(x)=(x10)(2x2+x+10)x2

   Étudier les variations de la fonction xCM(x) sur ]0; 16].           

 
   En déduire la valeur x0 de x qui minimise le coût moyen.

3. On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d'un objet supplémentaire. 

On modélise ce coût marginal par CM(x)=f(x) où f est la dérivée de f.
      
a) Exprimer en fonction de x le coût marginal.
 
b) Vérifier que pour x0, le coût marginal est égal au coût unitaire moyen.

 

Auteur: 
Moussa Fall: Professeur au Lycée Omar Lamine Badji de Ziguinchor

Commentaires

fellicitation merci<br /> <br />

J'aimerai belle et bien que vous m'aidiez à bien préparer ma classe d'examen

Cours très explicite

Toute mes félicitations

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