Dérivation et études de fonctions - T S
I.Dérivation
1.1.Nombre dérivé en un point
Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction f définie sur un intervalle I et a un nombre réel de cet intervalle.
a) Définitions :
Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction f définie sur un intervalle I et a un nombre réel de cet intervalle.
Taux de variation : Le coefficient directeur de la sécante (AM) à la courbe est :
m=f(x)−f(a)x−a , c’est le taux de variation de la fonction entre a et x.
Nombre dérivée : Le nombre dérivée de la fonction f au point a par définition si elle existe, est
[f′(a)=limx→af(x)−f(a)x−a]
Il se note f′(a)
b) Equation de la tangente :
I.1.Fonctions dérivées
a) Définition :
Exemple :
b) Dérivées usuelles :
On admet les formules de dérivation pour les fonctions usuelles ci-dessous.
c) Opérations et dérivées
u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I et k est un nombre réel fixé.
I.2.Dérivées d’une fonction composée
a) Théorème de dérivation (d’une fonction composée g∘u)
Soit u et g deux fonctions telles que la composée f=g∘u existe sur un intervalle I. Si u est dérivable en x de I et g dérivable en u(x), alors f=g∘u est dérivable en x et : f′(x)=g′(u(x))u′(x).
Exemples :
Écrire chacune des fonctions qui suivent comme composée de deux fonctions et en déduire la dérivée : f(x)=√x2+1f(x)=(2x2−x+1)6
b) Conséquences du théorème : des dérivées à bien connaître
c) Dérivées successives
Exemple :
Calculer les dérivées successives jusqu’ à l’ordre 3 des fonctions suivantes : f(x)=4x3+2x2+3x+5g(x)=x+1xh(x)=exk(x)=lnx
II. Etude de fonction
II.1. Variations de fonction
Propriété :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Exemple :
f(x)=2x2+3x+5g(x)=x+1x−1
h(x)=ex±xk(x)=x+ln x
II.2 Parité d’une fonction
a) Ensemble de définition centré
Pour tout réel x, si x∈Df , alors −x∈Df .
b) Fonction paire
On dit qu’une fonction f est paire si et seulement si :
1. Son ensemble de définition est centré,
2. Pour tout réel x de Df, on a : f(−x)=f(x)
Exemple:
− Si n est un entier pair, positif, la fonction définie par f(x)=kxn est paire.
− la fonction x↦|x| est une fonction paire,
c) Fonction impaire
On dit qu’une fonction f est impaire si et seulement si :
1. Son ensemble de définition est centré,
2. Pour tout réel x de Df, on a : f(−x)=−f(x)
− la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.
d) Autres cas de symétries dans une courbe
Soit f une fonction. Soit Df son ensemble de définition et (C) sa courbe représentative.
Deux cas peuvent se présenter :
− (C) est symétrique par rapport à un axe d’équation x=a ,
− (C) est symétrique par rapport à un point A(a, b).
Nous admettrons les résultats suivants :
Si, pour tout réel x tel que a+x∈Df, on a : a−x∈Df et f(a+x)=f(a−x)
Alors, la courbe (C) est symétrique par rapport à l’axe d’équation x=a.
Si, pour tout réel x tel que a+x∈Df, on a : a−x∈Df et
f(a+x)+f(a−x)=2b
Alors, la courbe C est symétrique par rapport au point A(a, b).
e) Périodicité
Définition :
On dit qu’une fonction f est périodique si et seulement si, il existe un réel T strictement positif tel que : ∀x∈Df, on a : x+T∈Df et f(x+T)=f(x)
L’intervalle d’étude d’une fonction périodique peut se réduire à un intervalle couvrant une seule période.
Application :
1. f est la fonction définie sur R par f(x)=x2−x−2x2−x+1
Démontrer, en utilisant les deux méthodes, que la droite d'équation x=12 est un axe de symétrie de (C).
II.2. Extremums de fonction
Propriété :
Lorsque la dérivée d’une fonction s’annule, en changeant de signe, la fonction f admet un extremum.
Si f admet un extremum. En un point d’abscisse a alors f′(a)=0.
En effet deux types de tableaux de variation peuvent se rencontrer :
Cas d’un maximum
valeurs de xacbsigne de f′(x)+0−maximumvariations de f↗|↘|
Cas d’un minimum
valeurs de xacbsigne de f′(x)−0+|variations de f↘|↗minimum
Exemple :
Déterminer la nature des extrémums des fonctions suivantes
f(x)=x3+3x2−6x+5
g(x)=x+lnx
Exercice
Soit la fonction f définie pour tout x élément de l’intervalle [0, +∞[ par :
[f(x)=f(x)=x3−19x2+130x+100]
La fonction f modélise sur l’intervalle ]0; 16] la fonction coût total de production, en euro, d’un produit.
Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée C , est donnée ci-dessous
Pour tout x dans l’intervalle ]0; 16], le quotient CM(x)=f(x)x est appelé coût moyen de production de x kilogrammes de produit.
- Pour x dans l’intervalle ]0; 16], soit le point A d’abscisse x de la représentation graphique (C) de la fonction f.
Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal au coût moyen
CM(x)=f(x)x .
2. L’entreprise cherche à minimiser le coût moyen de production.
b) Calculer CM′ et vérifier que pour x dans l’intervalle ]0; 16] :
C′(x)=(x−10)(2x2+x+10)x2
∙ Étudier les variations de la fonction x↦CM(x) sur ]0; 16].
3. On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d'un objet supplémentaire.
a) Exprimer en fonction de x le coût marginal.
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
sam, 07/18/2015 - 04:58
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fellicitation merci<br />
Ibrahima Diallo (non vérifié)
mar, 09/01/2020 - 00:23
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Envie de reuissire
Yves (non vérifié)
mar, 12/08/2020 - 20:25
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Classe d'examen
Yves (non vérifié)
mar, 12/08/2020 - 20:26
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Classe d'examen
Yves (non vérifié)
mar, 12/08/2020 - 20:26
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Classe d'examen
Dutauziet (non vérifié)
mer, 08/31/2022 - 17:20
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Terminale S
Anonyme (non vérifié)
dim, 11/27/2022 - 22:49
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Cours très explicite
sall mbaye (non vérifié)
dim, 11/27/2022 - 22:51
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Félicitations
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