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Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur terrestre - Ts

Classe:

Terminale

Illustration

Un projectile de masse $m$ est lancé dans le champ de pesanteur terrestre avec un vecteur vitesse $\vec{v}_{0}$ faisant un angle $\alpha$ avec l'horizontale. Les forces de frottement sont négligeables.

Étudier alors le mouvement du projectile.

Étude du mouvement

Le système est constitué du projectile assimilable à un point matériel.

Le référentiel d'étude est le référentiel terrestre considéré comme galiléen et la seule force appliquée au projectile est son poids $\vec{p}.$

En appliquant le principe fondamental de la dynamique, on a : $$\sum \vec{F}_{\text{ext}}=m\vec{a}$$

D'où, $$m\vec{g}=m\vec{a}$$

Soit : $$\vec{g}=\vec{a}$$

Notre repère d'espace est le repère $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k}).$

Par ailleurs, la trajectoire étant dans le plan $(Ox\;,\ Oy)$ défini par le vecteur vitesse initial $\vec{v}_{0}\ $ et le vecteur accélération $\ \vec{a}$ alors, on peut choisir comme repère de projection le repère $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Équations horaires du mouvement

Supposons qu'à l'instant $t_{0}=0$, le centre d'inertie du projectile se trouve à l'origine $O$ du repère.

Projetons la relation vectorielle $(\vec{g}=\vec{a}$ suivant les axes du repère $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$ On obtient alors :

$-\ \ $ Suivant l'axe $Ox$

$a_{x}=0$ donc, $v_{x}=\text{cst}$ car $a_{x}=\dfrac{\mathrm{d}v_{x}}{\mathrm{d}t}$

Or, à $t_{0}=0\;,\ v_{x}=v_{0_{x}}=v_{0}\cos\alpha=\text{cst}.$

D'où : $$v_{x}=v_{0}\cos\alpha$$

Par ailleurs, $v_{x}=\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\ \Rightarrow\ \mathrm{d}x=v_{x}\mathrm{d}t=(v_{0}\cos\alpha)\mathrm{d}t$

D'où, après intégration ou par passages aux primitives, on obtient : $x=(v_{0}\cos\alpha)t+x_{0}$

Or, à $t_{0}=0\;,\ x_{0}=0\;,\ y_{0}=0$

Par suite, $$x=(v_{0}\cos\alpha)t\qquad(1)$$

$-\ \ $ Suivant l'axe $Oy$

$a_{y}=-g\ $ or, $\ a_{y}=\dfrac{\mathrm{d}v_{y}}{\mathrm{d}t}$

Ainsi, $\mathrm{d}v_{y}=a_{y}\mathrm{d}t=-g\mathrm{d}t$

Ce qui donne, après intégration ou par passage aux primitives : $v_{y}=-gt+v_{0_{y}}$

Or, à $t_{0}=0\;,\ v_{0_{y}}=v_{0}\sin\alpha.$

D'où : $$v_{y}=-gt+v_{0}\sin\alpha$$

Par ailleurs, on a :

$\begin{array}{rcl} v_{y}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\ \Rightarrow\ \mathrm{d}y&=&v_{y}\mathrm{d}t\\\\ \ \Rightarrow\ \mathrm{d}y&=&(-gt+v_{0}\sin\alpha)\mathrm{d}t\\\\ \ \Rightarrow\ \mathrm{d}y&=&-gt\mathrm{d}t+(v_{0}\sin\alpha)\mathrm{d}t\end{array}$

L'intégration de cette dernière expression de $(\mathrm{d}y)$ donne : $$y=-\dfrac{1}{2}gt^{2}+(v_{0}\sin\alpha)t+y_{0}$$

Comme à $t_{0}=0\;,\ x_{0}=0\;,\ y_{0}=0$ alors, $$y=-\dfrac{1}{2}gt^{2}+(v_{0}\sin\alpha)t\qquad(2)$$

Les équations (1) et (2) ainsi définies constituent les équations horaires du mouvement.

$$\boxed{\begin{array}{rcl} x&=&(v_{0}\cos\alpha)t\\ \\y&=&-\dfrac{1}{2}gt^{2}+(v_{0}\sin\alpha)t\end{array}}\qquad\begin{array}{l} (1)\\ \\(2)\end{array}$$

Équation de la trajectoire

L'équation de la trajectoire $y=f(x)$ est obtenue en éliminant le temps $t$ entre les équations horaires (1) et (2).

De l'équation (1), on tire : $t=\dfrac{x}{v_{0}\cos\alpha}$

En remplaçant cette expression de $t$ dans l'équation (2), on obtient :

$\begin{array}{rcl} y&=&-\dfrac{1}{2}gt^{2}+(v_{0}\sin\alpha)t\\ \\&=&-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{v_{0}\cos\alpha}\right)^{2}+(v_{0}\sin\alpha)\left(\dfrac{x}{v_{0}\cos\alpha}\right)\\ \\&=&-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{gx^{2}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}\right)+\dfrac{x\sin\alpha}{\cos\alpha}\\ \\&=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{gx^{2}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}+x\tan\alpha\end{array}$

D'où, l'équation de la trajectoire donnée par : $$\boxed{y=-\dfrac{1}{2}\dfrac{gx^{2}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}+x\tan\alpha}\qquad(3)$$

C'est l'équation d'une parabole d'axe vertical.

Date de retour

La date de retour correspond à l'instant $t_{_{P}}$ où le projectile rencontre le plan horizontal.

Ainsi, l'ordonnée du point d'impact sera nulle.

Or, d'après l'équation horaire (2) on a : $y=-\dfrac{1}{2}\dfrac{gx^{2}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}+x\tan\alpha$

Donc,

$\begin{array}{rcl} y=0&\Leftrightarrow&-\dfrac{1}{2}gt^{2}+(v_{0}\sin\alpha)t=0\\ \\&\Leftrightarrow&t\left(-\dfrac{1}{2}gt+v_{0}\sin\alpha\right)=0\\ \\&\Leftrightarrow&t=\dfrac{2v_{0}\sin\alpha}{g}\quad\text{ou}\quad t=0\end{array}$

Or, $t=0$ correspond à l'instant initial ; caractérisant le début du mouvement donc, la date de retour $t_{_{P}}$ sera donnée par : $$\boxed{t_{_{P}}=\dfrac{2v_{0}\sin\alpha}{g}}\qquad(4)$$

La portée $D$

La portée du tir est la distance $D$ à laquelle le projectile rencontre le plan horizontal.

On a : $D=OP=x_{_{P}}$ car, au point d'impact $P$ est l'ordonnée est nulle.

D'après l'équation de la trajectoire, on a :

$\begin{array}{rcl} y_{_{P}}=0&\Leftrightarrow&-\dfrac{1}{2}\dfrac{gx_{_{P}}^{2}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}+x_{_{P}}\tan\alpha=0\\ \\&\Leftrightarrow&x_{_{P}}\left(-\dfrac{1}{2}\dfrac{gx_{_{P}}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}+\tan\alpha\right)=0\\ \\&\Leftrightarrow&-\dfrac{1}{2}\dfrac{gx_{_{P}}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}+\tan\alpha=0\quad\text{ou}\quad x_{_{P}}=0\\ \\&\Leftrightarrow&x_{_{P}}=\dfrac{2v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha\tan\alpha}{g}\quad\text{ou}\quad x_{_{P}}=0\end{array}$

Or, le cas $x_{_{P}}=0$ correspond à la position initiale caractérisant le début du lancement.

Donc,

$\begin{array}{rcl} D=x_{_{P}}&=&\dfrac{2v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha\tan\alpha}{g}\\ \\&=&\dfrac{2v_{0}^{2}\cos\alpha\sin\alpha}{g}\quad\text{or }\ 2\cos\alpha\sin\alpha=\sin 2\alpha\\ \\&=&\dfrac{v_{0}^{2}\sin 2\alpha}{g}\end{array}$

D'où, $$\boxed{D=x_{_{P}}=\dfrac{v_{0}^{2}\sin 2\alpha}{g}}\qquad(5)$$

Cette portée est maximale lorsque $\sin2\alpha=1$ ; c'est-à-dire $2\alpha=\dfrac{\pi}{2}$

soit : $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$

Par suite, $$\boxed{D_{_{\text{max}}}=\dfrac{v_{0}^{2}}{g}}$$

La flèche $H$

La flèche correspond à l'altitude du sommet $S$ de la trajectoire.

Soit l'équation (3) de la trajectoire $y=f(x)$ alors, le sommet $S$, maximum de la courbe, vérifie : $f'(x_{_{S}})=0.$

On a : $f'(x)=-\dfrac{gx}{v_{0}^{2}.\cos^{2}\alpha}+\tan\alpha$

Donc,

$\begin{array}{rcl} f'(x_{_{S}})=0&\Leftrightarrow&-\dfrac{gx_{_{S}}}{v_{0}^{2}.\cos^{2}\alpha}+\tan\alpha=0\\ \\&\Leftrightarrow&x_{_{S}}=\dfrac{v_{0}^{2}.(\cos^{2}\alpha).\tan\alpha}{g}\\ \\&\Leftrightarrow&x_{_{S}}=\dfrac{v_{0}^{2}.\sin\alpha.\cos\alpha}{g}\end{array}$

En reportant l'expression de $x_{_{S}}$ dans l'équation de la trajectoire, on obtient :

$\begin{array}{rcl} y_{_{S}}&=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{gx_{_{S}}^{2}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}+x_{_{S}}\tan\alpha\\ \\&=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{g}{v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}\left(\dfrac{v_{0}^{2}.\sin\alpha.\cos\alpha}{g}\right)^{2}+\left(\dfrac{v_{0}^{2}.\sin\alpha.\cos\alpha}{g}\right)\tan\alpha\\ \\&=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{v_{0}^{2}.\sin^{2}\alpha}{g}+\dfrac{v_{0}^{2}.\sin^{2}\alpha}{g}\\ \\&=&\dfrac{v_{0}^{2}.\sin^{2}\alpha}{2g}\end{array}$

D'où, la flèche $H$ sera donnée par : $$\boxed{H=y_{_{S}}=\dfrac{v_{0}^{2}.\sin^{2}\alpha}{2g}}\qquad(6)$$

Cette altitude est maximale si $\sin\alpha=1$ ; soit $\alpha=\dfrac{\pi}{2}.$

Par conséquent, le tir sera vertical et on aura : $$\boxed{H_{_{\text{max}}}=\dfrac{v_{0}^{2}}{2g}}$$

Par ailleurs, on pouvait constater qu'au sommet $S$ de la parabole, la composante $v_{y}$ de la vitesse s'annule.

Ainsi, $-gt+v_{0}\sin\alpha=0\ \Rightarrow\ t=\dfrac{v_{0}\sin\alpha}{g}$

En reportant cette expression de $t$ dans l'équation horaire (2), on obtient :

$\begin{array}{rcl} y&=&-\dfrac{1}{2}gt^{2}+(v_{0}.\sin\alpha)t\\ \\&=&-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{v_{0}.\sin\alpha}{g}\right)^{2}+v_{0}.\sin\alpha\left(\dfrac{v_{0}.\sin\alpha}{g}\right)\\ \\&=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{v_{0}^{2}.\sin^{2}\alpha}{g}+\dfrac{v_{0}^{2}.\sin^{2}\alpha}{g}\\ \\&=&\dfrac{v_{0}^{2}.\sin^{2}\alpha}{2g}\end{array}$

D'où, $$\boxed{y_{_{S}}=\dfrac{v_{0}^{2}.\sin^{2}\alpha}{2g}}$$

Tir tendu - tir en cloche

Soit $\beta$ un autre angle de tir tel que $\sin2\beta=\sin2\alpha.$

On a :

$\begin{array}{rcl} \sin2\beta=\sin2\alpha&\Rightarrow&2\beta=\pi-2\alpha\\ \\&\Rightarrow&\beta=\dfrac{\pi}{2}-\alpha\\ \\&\Rightarrow&\beta+\alpha=\dfrac{\pi}{2}\end{array}$

Par suite, les angles $\alpha\ $ et $\ \beta$ sont complémentaires et donnent la même portée $OP.$

Supposons $\alpha<\dfrac{\pi}{4}\ $ et $\ \beta>\dfrac{\pi}{4}\ :$

$\centerdot\ \ $ le tir correspondant à l'angle $\alpha$ est appelé tir tendu.

$\centerdot\ \ $ le tir correspondant à l'angle $\beta$ est appelé tir en cloche.