Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur terrestre - Ts

Classe: 
Terminale
 

Illustration

Un projectile de masse m est lancé dans le champ de pesanteur terrestre avec un vecteur vitesse v0 faisant un angle α avec l'horizontale. Les forces de frottement sont négligeables.
 
Étudier alors le mouvement du projectile.

Étude du mouvement

Le système est constitué du projectile assimilable à un point matériel.
 
Le référentiel d'étude est le référentiel terrestre considéré comme galiléen et la seule force appliquée au projectile est son poids p.
 
En appliquant le principe fondamental de la dynamique, on a : Fext=ma
 
D'où, mg=ma
 
Soit : g=a
 
Notre repère d'espace est le repère (O; i, j, k).
 
Par ailleurs, la trajectoire étant dans le plan (Ox, Oy) défini par le vecteur vitesse initial v0  et le vecteur accélération  a alors, on peut choisir comme repère de projection le repère (O; i, j).

 
 

Équations horaires du mouvement

Supposons qu'à l'instant t0=0, le centre d'inertie du projectile se trouve à l'origine O du repère.
 
Projetons la relation vectorielle (g=a suivant les axes du repère (O; i, j). On obtient alors :
 
   Suivant l'axe Ox
 
ax=0 donc, vx=cst car ax=dvxdt
 
Or, à t0=0, vx=v0x=v0cosα=cst.
 
D'où :  vx=v0cosα
 
Par ailleurs, vx=dxdt  dx=vxdt=(v0cosα)dt
 
D'où, après intégration ou par passages aux primitives, on obtient : x=(v0cosα)t+x0
 
Or, à t0=0, x0=0, y0=0
 
Par suite, x=(v0cosα)t(1)
 
   Suivant l'axe Oy
 
ay=g  or,  ay=dvydt
 
Ainsi, dvy=aydt=gdt
 
Ce qui donne, après intégration ou par passage aux primitives : vy=gt+v0y
 
Or, à t0=0, v0y=v0sinα.
 
D'où : vy=gt+v0sinα
 
Par ailleurs, on a : 
 
vy=dydt  dy=vydt  dy=(gt+v0sinα)dt  dy=gtdt+(v0sinα)dt
 
L'intégration de cette dernière expression de (dy) donne : y=12gt2+(v0sinα)t+y0
 
Comme à t0=0, x0=0, y0=0 alors, y=12gt2+(v0sinα)t(2)
 
Les équations (1) et (2) ainsi définies constituent les équations horaires du mouvement.
 
x=(v0cosα)ty=12gt2+(v0sinα)t(1)(2)

Équation de la trajectoire

L'équation de la trajectoire y=f(x) est obtenue en éliminant le temps t entre les équations horaires (1) et (2).
 
De l'équation (1), on tire : t=xv0cosα
 
En remplaçant cette expression de t dans l'équation (2), on obtient : 
 
y=12gt2+(v0sinα)t=12g(xv0cosα)2+(v0sinα)(xv0cosα)=12(gx2v20cos2α)+xsinαcosα=12gx2v20cos2α+xtanα
 
D'où, l'équation de la trajectoire donnée par : y=12gx2v20cos2α+xtanα(3)
 
C'est l'équation d'une parabole d'axe vertical.

Date de retour

La date de retour correspond à l'instant tP où le projectile rencontre le plan horizontal.
 
Ainsi, l'ordonnée du point d'impact sera nulle.
 
Or, d'après l'équation horaire (2) on a :  y=12gx2v20cos2α+xtanα
 
Donc, 
 
y=012gt2+(v0sinα)t=0t(12gt+v0sinα)=0t=2v0sinαgout=0
 
Or, t=0 correspond à l'instant initial ; caractérisant le début du mouvement donc, la date de retour tP sera donnée par : tP=2v0sinαg(4)

La portée D

La portée du tir est la distance D à laquelle le projectile rencontre le plan horizontal.
 
On a : D=OP=xP car, au point d'impact P est l'ordonnée est nulle.
 
D'après l'équation de la trajectoire, on a :
 
yP=012gx2Pv20cos2α+xPtanα=0xP(12gxPv20cos2α+tanα)=012gxPv20cos2α+tanα=0ouxP=0xP=2v20cos2αtanαgouxP=0
 
Or, le cas xP=0 correspond à la position initiale caractérisant le début du lancement.
 
Donc, 
 
D=xP=2v20cos2αtanαg=2v20cosαsinαgor  2cosαsinα=sin2α=v20sin2αg
 
D'où, D=xP=v20sin2αg(5)
 
Cette portée est maximale lorsque sin2α=1 ; c'est-à-dire 2α=π2 
 
soit : α=π4
 
Par suite, Dmax=v20g

La flèche H

La flèche correspond à l'altitude du sommet S de la trajectoire.
 
Soit l'équation (3) de la trajectoire y=f(x) alors, le sommet S, maximum de la courbe, vérifie : f(xS)=0.
 
On a : f(x)=gxv20.cos2α+tanα
 
Donc, 
 
f(xS)=0gxSv20.cos2α+tanα=0xS=v20.(cos2α).tanαgxS=v20.sinα.cosαg
 
En reportant l'expression de xS dans l'équation de la trajectoire, on obtient :
 
yS=12gx2Sv20cos2α+xStanα=12gv20cos2α(v20.sinα.cosαg)2+(v20.sinα.cosαg)tanα=12v20.sin2αg+v20.sin2αg=v20.sin2α2g
 
D'où, la flèche H sera donnée par : H=yS=v20.sin2α2g(6)
 
Cette altitude est maximale si sinα=1 ; soit α=π2.
 
Par conséquent, le tir sera vertical et on aura : Hmax=v202g
 
Par ailleurs, on pouvait constater qu'au sommet S de la parabole, la composante vy de la vitesse s'annule.
 
Ainsi, gt+v0sinα=0  t=v0sinαg
 
En reportant cette expression de t dans l'équation horaire (2), on obtient :
 
y=12gt2+(v0.sinα)t=12g(v0.sinαg)2+v0.sinα(v0.sinαg)=12v20.sin2αg+v20.sin2αg=v20.sin2α2g
 
D'où, yS=v20.sin2α2g

Tir tendu - tir en cloche

Soit β un autre angle de tir tel que sin2β=sin2α.
 
On a : 
 
sin2β=sin2α2β=π2αβ=π2αβ+α=π2
 
Par suite, les angles α  et  β sont complémentaires et donnent la même portée OP.
 
Supposons α<π4  et  β>π4 :
 
   le tir correspondant à l'angle α est appelé tir tendu.
 
   le tir correspondant à l'angle β est appelé tir en cloche.

 

 

Auteur: 

Commentaires

En les téléchargeant

Bonjour ! S'il vous plait dans quel cas a t on souvent vx= vo(sin(a)) et vy=VO(cos(a))

Rien que vous féliciter

Pour me préparer du bac à l'année prochaine et le baccalauréat aun seul fois

Pour allé au université

Ajouter un commentaire

Plain text

  • Aucune balise HTML autorisée.
  • Les adresses de pages web et de courriels sont transformées en liens automatiquement.