Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur terrestre - Ts
Classe:
Terminale
Illustration
Un projectile de masse m est lancé dans le champ de pesanteur terrestre avec un vecteur vitesse →v0 faisant un angle α avec l'horizontale. Les forces de frottement sont négligeables.
Étudier alors le mouvement du projectile.
Étude du mouvement
Le système est constitué du projectile assimilable à un point matériel.
Le référentiel d'étude est le référentiel terrestre considéré comme galiléen et la seule force appliquée au projectile est son poids →p.
En appliquant le principe fondamental de la dynamique, on a : ∑→Fext=m→a
D'où, m→g=m→a
Soit : →g=→a
Notre repère d'espace est le repère (O; →i, →j, →k).
Par ailleurs, la trajectoire étant dans le plan (Ox, Oy) défini par le vecteur vitesse initial →v0 et le vecteur accélération →a alors, on peut choisir comme repère de projection le repère (O; →i, →j).

Équations horaires du mouvement
Supposons qu'à l'instant t0=0, le centre d'inertie du projectile se trouve à l'origine O du repère.
Projetons la relation vectorielle (→g=→a suivant les axes du repère (O; →i, →j). On obtient alors :
− Suivant l'axe Ox
ax=0 donc, vx=cst car ax=dvxdt
Or, à t0=0, vx=v0x=v0cosα=cst.
D'où : vx=v0cosα
Par ailleurs, vx=dxdt ⇒ dx=vxdt=(v0cosα)dt
D'où, après intégration ou par passages aux primitives, on obtient : x=(v0cosα)t+x0
Or, à t0=0, x0=0, y0=0
Par suite, x=(v0cosα)t(1)
− Suivant l'axe Oy
ay=−g or, ay=dvydt
Ainsi, dvy=aydt=−gdt
Ce qui donne, après intégration ou par passage aux primitives : vy=−gt+v0y
Or, à t0=0, v0y=v0sinα.
D'où : vy=−gt+v0sinα
Par ailleurs, on a :
vy=dydt ⇒ dy=vydt ⇒ dy=(−gt+v0sinα)dt ⇒ dy=−gtdt+(v0sinα)dt
L'intégration de cette dernière expression de (dy) donne : y=−12gt2+(v0sinα)t+y0
Comme à t0=0, x0=0, y0=0 alors, y=−12gt2+(v0sinα)t(2)
Les équations (1) et (2) ainsi définies constituent les équations horaires du mouvement.
x=(v0cosα)ty=−12gt2+(v0sinα)t(1)(2)
Équation de la trajectoire
L'équation de la trajectoire y=f(x) est obtenue en éliminant le temps t entre les équations horaires (1) et (2).
De l'équation (1), on tire : t=xv0cosα
En remplaçant cette expression de t dans l'équation (2), on obtient :
y=−12gt2+(v0sinα)t=−12g(xv0cosα)2+(v0sinα)(xv0cosα)=−12(gx2v20cos2α)+xsinαcosα=−12gx2v20cos2α+xtanα
D'où, l'équation de la trajectoire donnée par : y=−12gx2v20cos2α+xtanα(3)
C'est l'équation d'une parabole d'axe vertical.
Date de retour
La date de retour correspond à l'instant tP où le projectile rencontre le plan horizontal.
Ainsi, l'ordonnée du point d'impact sera nulle.
Or, d'après l'équation horaire (2) on a : y=−12gx2v20cos2α+xtanα
Donc,
y=0⇔−12gt2+(v0sinα)t=0⇔t(−12gt+v0sinα)=0⇔t=2v0sinαgout=0
Or, t=0 correspond à l'instant initial ; caractérisant le début du mouvement donc, la date de retour tP sera donnée par : tP=2v0sinαg(4)
La portée D
La portée du tir est la distance D à laquelle le projectile rencontre le plan horizontal.
On a : D=OP=xP car, au point d'impact P est l'ordonnée est nulle.
D'après l'équation de la trajectoire, on a :
yP=0⇔−12gx2Pv20cos2α+xPtanα=0⇔xP(−12gxPv20cos2α+tanα)=0⇔−12gxPv20cos2α+tanα=0ouxP=0⇔xP=2v20cos2αtanαgouxP=0
Or, le cas xP=0 correspond à la position initiale caractérisant le début du lancement.
Donc,
D=xP=2v20cos2αtanαg=2v20cosαsinαgor 2cosαsinα=sin2α=v20sin2αg
D'où, D=xP=v20sin2αg(5)
Cette portée est maximale lorsque sin2α=1 ; c'est-à-dire 2α=π2
soit : α=π4
Par suite, Dmax=v20g
La flèche H
La flèche correspond à l'altitude du sommet S de la trajectoire.
Soit l'équation (3) de la trajectoire y=f(x) alors, le sommet S, maximum de la courbe, vérifie : f′(xS)=0.
On a : f′(x)=−gxv20.cos2α+tanα
Donc,
f′(xS)=0⇔−gxSv20.cos2α+tanα=0⇔xS=v20.(cos2α).tanαg⇔xS=v20.sinα.cosαg
En reportant l'expression de xS dans l'équation de la trajectoire, on obtient :
yS=−12gx2Sv20cos2α+xStanα=−12gv20cos2α(v20.sinα.cosαg)2+(v20.sinα.cosαg)tanα=−12v20.sin2αg+v20.sin2αg=v20.sin2α2g
D'où, la flèche H sera donnée par : H=yS=v20.sin2α2g(6)
Cette altitude est maximale si sinα=1 ; soit α=π2.
Par conséquent, le tir sera vertical et on aura : Hmax=v202g
Par ailleurs, on pouvait constater qu'au sommet S de la parabole, la composante vy de la vitesse s'annule.
Ainsi, −gt+v0sinα=0 ⇒ t=v0sinαg
En reportant cette expression de t dans l'équation horaire (2), on obtient :
y=−12gt2+(v0.sinα)t=−12g(v0.sinαg)2+v0.sinα(v0.sinαg)=−12v20.sin2αg+v20.sin2αg=v20.sin2α2g
D'où, yS=v20.sin2α2g
Tir tendu - tir en cloche
Soit β un autre angle de tir tel que sin2β=sin2α.
On a :
sin2β=sin2α⇒2β=π−2α⇒β=π2−α⇒β+α=π2
Par suite, les angles α et β sont complémentaires et donnent la même portée OP.
Supposons α<π4 et β>π4 :
⋅ le tir correspondant à l'angle α est appelé tir tendu.
⋅ le tir correspondant à l'angle β est appelé tir en cloche.

Commentaires
Mohamed Cissé (non vérifié)
dim, 06/14/2020 - 01:18
Permalien
Réussir mon Baccalauréat
Kebdang (non vérifié)
dim, 12/13/2020 - 05:24
Permalien
Consulter vos documents
Ouedraogo Zakary (non vérifié)
mar, 02/09/2021 - 12:14
Permalien
Explication
OURO Agbédji (non vérifié)
ven, 02/12/2021 - 18:21
Permalien
PC terminale
Abdoulaye Koné (non vérifié)
sam, 08/06/2022 - 17:56
Permalien
Mon objectif est d'avoir les documents
Keïta (non vérifié)
lun, 10/09/2023 - 01:33
Permalien
Bac
Ajouter un commentaire